武汉科技大学信号及系统期末试卷

武汉科技大学考试卷（A 卷）

课程：信号与系统（闭卷）（2014/05 ）

专业 班级 姓名 学号

一、 填空题（每空2分，共20分）

１．已知某系统的输出)(t r 与输入()e t 之间的关系为

∑∞

-∞

=-=

n nT t t e t r )()()(δ，其中T 为常数，则该系统是（线性/非线性） 线性 系统。

２．?-=+

π

π

π

δdx x x )2

()sin( -1 。

３．连续时间系统的传输算子为)

2)(1(3

)(+++=

p p p p H ，则描述该系统的方程为

()3()2()()3()r t r t r t e t e t ''''++=+，该系统的自然频率为 -1、-2 。

４． 信号)f(t)=5cos(3t)+10cos(5t ππ的周期是_2_，其平均功率等于 62.5 瓦。 ５．信号)(t f 的最高频率为10m f kHz =，其奈奎斯特抽样频率s ω=4410π? 弧度/秒，信号(0.1)f t 的m f = 1kHz ，(0.1)f t 的奈奎斯特抽样间隔=s T 500s μ。 ６．已知离散时间LTI 系统的单位函数响应为()cos(/3)()h k k k u k π=，则该系统为（稳定/不稳定）不稳定 系统。

二、（12分）已知)(t

f 的波形如图一所示。 )(t f （1）写出)(

t f 的表达式；

（2）画出()2(1)2

t

g t f =-+的波形； t

（3）求()

()dg t h t dt

=的傅里叶变换。 图一

解：（1）()[()(1)]f t t t t εε=-- （2分）

（2

分） （3 ()2()[()(2)]h t t t t δεε=--- （2分）

2211()2[()](1)2(1)j j H j e e j j ωωωπδωωω

--=-+

-=-- （4分）

三、（18分）已知)(t f 的频谱函数为)(ωj F ，其频谱图如图二所示。

（1） 求t j e t f t f 21)2()(-=的频谱函数)(1ωj F 的表达式；

（2） 画出)(1ωj F 的波形； （3）求)(t f 的表达式。 图二

（4）若让)(t f 经过图三所示系统，试绘出A ，B ，C ，D 各点的信号频谱图。系统中理想高通滤波器)(ωj H H 和理想低通滤波器)(ωj H L 在通带内的传输值均为1，相移均为0，其系统函数如图四所示。

)(t f )(t r

图三

图四

解：（1）111(2)()()22

f t F j F j ω

ω-?-=， 1111()()[(2)]f t F j F j ωω?=- 1411

()[(2)]()(4)(2)22

F j F j

G ωωεωεωω=--=--=- （4分）

（2）

（2分）

（3）2()

2()F j G ωω

= 由于()(

),()2()22G t Sa Sa t G ττωττ

ττπω?? （对称性质） 所以222()()()222

t

f t Sa t Sa τττππ==?= （4分） （4）41

()()cos ()[(1)(1)]()2

A A f t f t t F j F j j F j j G ωωωω=?=++-=

11()()()( 1.5)( 1.5)B A H F j F j H j G G ωωωωω==++-

1

()()c o s 2()

[(

2)(2)]

2

C B C

B

B f t f t t F j F j j F j j ωωω=?

=++-

1211

()[(3.5)()(3.5)]

2

C F j

G G G ωωωω=+++- 21

()()()()2

D C L F j F j H j G ωωωω== （2分） （2分） （2分） （2分）

四、（15分）某LTI 系统保持初始状态不变。已知当激励为1()()e t t δ=时，其全响应为1()()()t r t t e t δε-=+；当激励为2()()t e t e t ε-=时，其全响应为2()3()t r t e t ε-=。

（1）求系统的单位冲激响应()h t ，说明其因果性； （2）写出描述系统输入输出关系的微分方程； （3）求当激励为3()()(1)e t t t εε=--时的全响应。 解：（1）设该系统的零输入响应为()zi r t ，则由题意，有 ()()*()()()t zi r t t h t t e t δδε-+=+

1

()()*()3()t t zi r t e t h t e t εε--+= 对两式分别取拉氏变换，得

1()()11

13()()11zi zi

R s H s s R s H s s s ?

+=+??+??+=?++?

解之得，1()111()1zi H s s

R s s s ?=-????=+?+?

即()()()()(1)()t

zi h t t t r t e t δεε-=-??=+? （4分） 由于系统单位冲激响应满足：()0,0h t t =<，故该系统是因果系统。（2分） （2）由零输入响应知系统有两个特征根：0、-1，故系统函数

22

(1)(1)1

()(1)s s s H s s s s s

-+-==++ 则系统方程为：()()()()r t r t e t e t '''''+=- （3分）

（3）31

()(1)s E s e s

-=-

3332111

()()()(1)(1)()(1)s s zs R s H s E s e E s e s s s

--==--=--

3()()(1)()(1)(1)(1)()(2)(1)zs r t t t t t t t t t t t εεεεεε=---+--=-+-- 故全响应3()(2)()(2)(1)t r t t e t t t εε-=-++-- （6分）

五、（10分）某因果系统如图五所示。

（1）写出该系统的系统函数； （2）试问K 为何值时，系统稳定；

（3）在临界稳定条件下，求冲激响应。

图五 解：（1）()()/(1)1()(4222G s Ks Ks Ks

H s G s s 4s 4s 4s 4s K )s 4

=

=-=-+++++-+ （3分）

（2）当40,K 4K -><即时，系统稳定。 （3分）

)

（3）当K=4时，系统临界稳定，此时系统函数

()24s

H s s 4

=+

则系统冲激响应 ()4c o s 2(h t t t ε= （4分）

六、（10分）设计一个离散系统，使其输出()y k 是:,1,,1k k k M --+各点输入

之平均。

（1）确定描述该系统输出()y k 与输入()e k 之关系的差分方程； （2）求该系统的系统函数)(z H ；

（3）当3=M 时，采用加法器，标量乘法器和单位延时器画出系统的结构框图，要求尽可能地少用单位延时器。

解：（1）依题意，输出()y k 与输入()e k 之关系的差分方程为

1

(){()(1)(1)}y k e k e k e k M M =

+-++-+ （3分） （2）由于)]()()([1

)(11z E z z E z z E M

z Y M +--+++= 所以 ∑-=-+--=

+++==10

111

]1[1)()()(M n n

M z

M

z z M z E z Y z H （3分）

（3）3=M 时 ， 12

1

()[1]3

H z z z --=++ （1分）

3=M 时系统的结构框图：

3分）

七、（15分）已知某离散系统的差分方程为(2)5(1)6()(1)y k y k y k e k +-++=+，试求解下列问题：

（1）若系统是因果的，求系统的单位函数响应()h k ； （2）若系统是稳定的，求系统的单位函数响应()h k ；

（3）求系统在初始条件(0)2,(1)1zi zi y y ==下的零输入响应()zi y k ； （4）若系统函数的收敛域为23z <<，求此时系统在单位阶跃序列()k ε激励下的零状态响应()zs y k 。

解：（1）对系统差分方程取Z 变换，得2(56)()()z z Y z zE z -+= 则系统函数表达式为 2

()5632

z z z

H z z z z z =

=--+-- 系统是因果的，则系统函数的收敛域为3z >

系统的单位函数响应()(32)()k k h k k ε=- （3分）

（2） 若系统稳定，则系统函数的收敛域一定包含单位圆，即为2z < 此时系统为反因果系统，系统的单位函数响应

()(23)(1)k k h k k ε=--- （3分）

（3）系统有两个不相等的特征根：2、3，则零输入响应 12()(23)()k k zi y k c c k ε=+

代入初始条件(0)2,(1)1zi zi y y ==，得

1212(0)2(1)231zi zi

y c c y c c =+=??=+=? 解之得1253c c =??=-?

于是()[5(2)3(3)]()k k zi y k k ε=- （4分） （4）2(),1;(),23156

z z

E z z H z z z z z =

>=<<--+

2

()()()15613222,23

123zs Y z E z H z z z

z z z z z

z z z z z ==

?--+=-+<<--- 13

()()2(2)()(3)(1)22

k k zs y k k k k εεε=---- (5分)

武汉科技大学考试卷（A 卷）

课程：信号与系统（闭卷）（2015/05）

专业 班级 姓名 学号

二、 填空题（每空2分，共20分）

1．信号5cos(3

),0()5sin(3),0t t f t t t ππ≥?=?

是（周期/非周期） 非周

期 、（能量/功率） 功率 信号。

2．命题：“周期信号一定是功率信号，非周期信号一定是能量信号”是（正确/错误） 错误 的。

3．sin()(1)2t e t t dt π

δ∞--∞+=? -e 。

4．描述连续时间系统的微分方程为()3()2()()()r t r t r t e t e t ''''++=+，则该系统的

自然频率为 -1、-2 。 5．

j t e d ωω∞

-∞

=?

2()t πδ 。

6．已知信号)(t f 的带宽为100kHz ，则信号(2)f t -的带宽为 200 kHz 。 7．线性时不变系统传输信号不失真的时域条件为单位冲激响应()h t =

0()K t t δ- 。

8. 连续时间信号)(t f 的最高频率为

510m ωπ=弧度/秒，若对其抽样，则奈奎斯特抽样间隔=s T 510-

秒；若从抽样后的恢复原信号()f t ，则所需低通滤波器的截止频率c f = 4510? Hz 。

二、（10分）已知()sin [()()]f t t t t εεπ=--。

（1）求212

()

()()d f t f t f t dt

=+；

（2）求2()()t

f t f d ττ-∞

=?的波形；

（3）画出1()f t 、2()f t 的波形。 解：（1）()cos [()()]f t t t t εεπ'=--

()s i n [()()]()(f t t t t t t εεπδδπ''=---++- 1()()()f t t t δδπ=+- （4分） （2）

20

()sin()[()()][sin()]()[sin()]()

(1cos )()(1cos )()1cos ,02,t

t t

f t d d t d t t t t t t t t π

τετετπτ

ττεττεπεεππ

π

-∞=--=--=-++--≤

≥???? （4分）

（3

） 1()f t

（1）

π t （1分） （1分）

三、（10分）已知)(t f 的波形如图1所示。

（3） 求()f t 的傅里叶变换()F j ω；

（4） 若0()()()f t f t f t =+-，求0()F j ω；

（5） 用0()F j ω表示下列信号：

000()[(1)(1)]cos g t f t f t t ω=++- 图1

的傅里叶变换()G j ω。

解：（1）()(2)(1)[(1)(2)]f t t t t t εεεε'=+-+----

()(2)(1)[(1)(f t t

t t t δδδδ''=+-+----

222()()[]2c o s 22c o s

j j j j j F j e e e e ω

ω

ω

ω

ωωωω-

-

=-

-

-

=-

t

2

2c o s 2c o s 2

()F j ωωωω-

=

（5分）

（2）002

4(cos cos 2)

()()()()f t F j F j F j ωωωωωω

-?=+-= （2分）

（3）设 000()(1)(1)g t f t f t =++-

则 000()()()2cos ()j j G j F j e e F j ωωωωωω-=+=

0000

00000

011

()()()22

()cos()()cos()G j G j j G j j F j j F j j ωωωωωωωωωωωωω=++-=+++--（3分）

四、（10分）某LTI 系统的频率响应函数1()1j H j j ω

ωω

-=

+。 （1）求系统的幅频特性()H j ω和相频特性()?ω； （2）求系统的单位冲激响应()h t ； （3

）当系统激励()cos )e t t =++时，求系统的响应()r t 。 解：（1）

()1H j ω=

= （2分）

()arctan arctan 2arctan ?ωωωω=--=- （2分） （2） 12

()111j H j j j ωωωω

-=

=-++ ()2()()t h t e t t εδ-=- （2分）

（3）信号经过系统时各频率分量的幅度不变，只改变相位

1ω=

11()2arctan 3π

?ωω=-=-=- 21ω=时，22()2arctan 2arctan12

π

?ωω=-=-=-

3ω=

332()2arctan 2arctan 3

π?ωω=-=-=-

故2())cos())3

23r t t πππ

=-+-+- （4分）

五、（15分）已知某线性时不变因果系统的微分 方程为()3()2()2()3()r t r t r t e t e t ''''++=+，激励

()e t 的波形如图2所示。试求：

图 2

（1）该系统的单位冲激响应()h t ； （2）激励()e t 的拉氏变换()E s ；

（3）给定初始状态(0)0,(0)1r r '==时的零输入响应()zi r t 和零状态响应

()zs r t 。

解：（1）()3212

22s+311

H s s s s s =

=+++++

2()()()t t h t e e t ε--=+ （3分）

（2） 000

()(2)()*(2)n n e t e t n e t t n δ∞

∞

===-=-∑∑

00()()(1)()1s e t t t E s e δδ-=--?=-

02()11

()111s sT s s

E s e E s e e e -----===--+ （4分）

（3）212(),0t t zi r t c e c e t --=+>

121212(0)(0)0

1,1(0)2(0)1

zi zi r c c r c c r c c r =+==???==-?

''=--==?? 故 2()()()t t zi r t e e t ε--=- （3分）

222

1()()()()()()111s s

zs s s s e H s H s e R s H s E s H s e e e

------===---- 则

00

(2)2(2)(12)2(12)0

()(2)(12)

{[](2)[](12)}

zs n n t n t n t n t n n r t h t n h t n e e t n e e t n εε∞∞

==∞

----------==----=+--+--∑∑∑ （5分）

Or 00

1()()()()()()(1)()()1s n

n s n zs s

n n R s H s E s H s H s e H s e e ∞∞

---=====-=-+∑∑ ()2()0

()(1)()(1)[]()n

n t n t n zs n n r t h t n e e t n ε∞

∞

----===--=-+-∑∑

六、（15分）如图3所示电路，2()ku t 为受控源。

（1） 求系统函数31()

()()

U s H s U s =；

（2） 求使系统稳定的K 值范围；

（3） 若系统处于临界稳定，且初始状态为零，输入1()()u t u t =，求输出3()u t ，

并指出其中的自由响应分量和强迫响应分量。

+ + u 3()t - -

解：（1）复频域模型

+ + 1(U 3()U s

- -

节点方程：

4321423

2(11)()()()()()(1)()0()()

s U s sU s U s U s U s s U s U s kU s ++--=??

-++=??=?

解得 32

1()()()(3)1

U s k

H s U s s k s =

=+-+ （8分） （2）当30k ->，即3k <时系统稳定。（2分） （3）当3k =时，系统处于临界稳定，此时23

()1

H s s =+ 3122

333()()()(1)1

s

U s H s U s s s s s ===-++ 3

()3()3c o s ()u t t t t εε=

-

强迫响应分量自由响应分量 （5分）

七、（10分）已知离散系统的系统函数9.5()(0.5)(10)

z

H z z z =

--，求在以下两种收

敛情况下的系统单位函数响应()h k ，并说明系统的因果性和稳定性。 （1）10z <≤∞；（2）0.510z << 解：9.5()(0.5)(10)0.510

z z z

H z z z z z =

=-----

（1）10z <≤∞时，()(0.510)()k k h k k ε=-

系统是因果的，但不稳定。 （5分） （2）0.510z <<时，()0.5()10(1)k k h k k k εε=+-- 系统不是因果的，但稳定。 （5分）

八、（10分）已知零状态因果系统的阶跃响应为

114

()[(1)(2)]()623

k k g k k ε=--+-，

（1）写出系统的差分方程；

(2) 画出一种形式的模拟图或流图;

(3) 若激励()2[()(5)]x k k k εε=--,求零状态响应()y k .

解: (1) 141632()112

z z z G z z z z =-+

-++ 2()2()(1)(2)121

G z z z z

H z z z z z z z -===+++++- 故系统差分方程为 (2)3(1)2()(y k y k y k x k ++++=+ 或 ()3(1)2(2)y k y k

y k x k +-+-= (5分)

(2) 画出任一种形式即得2分.

(3) 由线性和时不变性质可得:

()2[()(5)]y k g k g k =--

55114114

()2[(1)(2)]()2[(1)(2)](5)623623

k k k k y k k k εε--=--+----+--

(3分)

武汉科技大学考试卷（A 卷）

课程：信号与系统（闭卷）（2016/06）

专业 班级 姓名 学号

一． 选择题（每小题2分，共20分）

1．连续信号)(t f 与)(0t t -δ的乘积，即=-)()(0t t t f δ_______。

(a) )()(0t t f δ (b) )(0t t f - (c) )(t δ (d) )()(00t t t f -δ 2．离散信号()f k 与0()k k δ-的卷积，即0()()f k k k δ*-=_______。

(a) ()f k (b) 0()f k k - (c) ()k δ (d) 0()k k δ- 3．系统无失真传输的条件是_______。

(a) 幅频特性等于常数 (b) 相位特性是一通过原点的直线 (c) 幅频特性等于常数，相位特性是一通过原点的直线 (d) 幅频特性是一通过原点的直线，相位特性等于常数

4．已知()f t 的傅里叶变换()F j ω，则信号(25)f t -的傅里叶变换是_______。

(a) 51()22j j F e ωω- (b) 5()2j j F e ωω-

(c) 52()2j j F e ωω- (d) 5

2

1()22

j j F e ωω-

5．若Z 变换的收敛域是 1||x z R > 则该序列是_______。

(a) 左边序列 (b)右边序列 (c)双边序列 (d) 有限长序列

6．已知某系统的系统函数()H s ，唯一决定该系统单位冲激响应()h t 函数形式的是_______。 (a) ()H s 的极点

(b) ()H s 的零点 (c)系统的输入信号

(d) 系统的

输入信号与()H s 的极点

7． 已知某信号()f t 的傅里叶变换为2

()2()F j j ωπδωω

=+，

则该信号的导数()f t '的拉普拉斯变换及其收敛域为_______。 (a) 2,σ-∞<<∞ (b)

21,0s σ+> (c) 2,0s σ> (d) 22

,0s

σ> 8．若离散时间系统是因果稳定的，则它的系统函数的极点_______。 (a) 全部落于单位圆外 (b) 全部落于单位圆上 (c) 全部落于单位圆内 (d) 上述三种情况都不对

9． 已知(),z

F z z a z a

=

<-，其对应的离散时间信号为_______。 (a) ()k a k ε-- (b) (1)k a k ε--- (c) ()k a k ε- (d) (1)k a k ε--

10．对信号sin()

()t f t t

ππ=

进行抽样，则其奈奎斯特抽样间隔为______。 (a) 1毫秒 (b) 1秒 (c) 0.5秒 (d) 2秒

二、（10分）已知信号1

(1)2

f t -+的波形如图1所示，

画出信号()f t 的波形。

图1

解：

三、（12分）已知()(1)()k

k f t t k δ∞

=-∞

=

--∑

（1）画出()f t 的波形；

（2）求()f t 的傅里叶变换()F j ω并画出其频谱波形。

解：（1）()f t 为周期信号，周期2T =

（2）()f t 的基波频率2T

π

πΩ==，其傅里叶级数系数 2

02[()(1)]1

(1)

j n t

n n A t t e d t T

π

δδ?

-=

--=--? 则其傅里叶变换

()()[1(1)]()n

n

n n F j A n n ωπ

δωπδωπ∞∞

=-∞

=-∞

=-Ω=---∑∑

四、（15分）如图2所示系统，已知sin 2()()cos3t

f t s t t t

=

=，， 1||3/()0||3/rad s H j rad s ωωω

>?，

，

画出(),(),(),()f t s t x t y t 的频谱图，并求系统的输出()y t 。

图2

解： 4

s i n 2

()22()()

t f t S a t F j G t

ωπ

ω=

=?=() ()3()[(3)(s t c o s t S j ωπδωδω=?=++-

π

。。。

。。。

w

F(jw)

π- 3π- 3π

(2)π

1

-1

-2

2

。。。

。。。

t

f(t)

11

()()()()3()(3)(3)22

x t f t s t f t cos t X j F j j F j j ωωω==?=++- 44()(3)(3)2

2

X j G G π

π

ωωω=

++

- 22()()()(2)(2)2

2

Y j X j H j G G π

π

ωωωωω==

++

-

22s i n ()()()*[(2)(

2)]

()2sin ()cos 2t

Sa t G t

G Y j t

y t t

t

πωπωπδωδωωπ

=

?++-=

∴=

五、（15分）某线性时不变系统如图3所示，已

知当()()e t t ε=时，全响应

22115

()()()426

t t r t e te t ε--=--

（1）求系统的输入输出方程；

（2）求单位冲激响应()h t ；

（3）求零输入响应()zi r t 和零状态响应()zs r t 。

图 3 解：（1）由框图可得：()44

2s+1

H s s s =++

则系统的输入输出方程为：()4()4()()()r t r t r t e t e t ''''++=+

r(t)

（2）因为 22

11

()2)2(2)

s+1H s (s s s =

=-+++ 所以 2()(1)()t h t t e t ε-=-

（3）由于1

()E s s

=

22

111

1442()()()(2)2(2)zs s R s H s E s s s s s s +===-++++ 故 221

()(12)()4

t t zs r t e te t ε--=-+

则 214

()()()()()43

t zi zs r t r t r t t e t ε-=-=-+

六、（12分）反馈系统如图4所示，

（1）求系统函数()

()()

R s H s E s =

； （2）求使系统稳定的K 值范围；

（3）求系统处于临界稳定时的阶跃响应()r t ε，并指出其中的强迫响应

分量和自然响应分量。

图4

解：（1） 2(2)

()(2)(1)(3)

()(2)()(2)23

1(1)(3)

k s R s k s s s H s k s E s s k s k s s +++-===++-+-++- （2）当20

230

k k ->??->?，即2k >时系统稳定。

（3）当2k =时，系统处于临界稳定，此时224

()1

s H s s +=

+ 222124442

()()(1)11

s s R s H s s s s s s s ε+===-+

+++

()4()4c o s ()

2s i n ()r t t t t t t εεεε=

-+强迫响应分量

自由响应分量

七、（10分）已知某因果离散系统的系统函数()H z 的极零图如图5所示，且系

统单位函数响应()h k 的初值(0)2h =。

（1）确定该系统的系统函数()H z 及其收敛域； （2）求单位函数响应()h k ，并说明系统的稳定性。

图5

解：（1）0

(1)()(3)(1)

z z

H z H z z +=+-

0(1)

(1)(0)l i m l i m 2

(3)(1)

(3)(1)

z z z z z z h H H H z z z z →∞

→∞++====+-+- 2

22(1)22(),:3

(3)(1)23

z z z z

H z R O C z z z z z ++∴==>+-+- （2）()31

z z

H z z z =

++- ()[(3)1]()k h k k ε=-+

该系统不稳定。

八、（8分）已知某稳定的离散系统的差分方程为

10

(1)()(1)()3

y k y k y k x k --++=，

（1）求系统的单位函数响应()h k ； (2) 说明系统的因果性;

(3) 给定初始条件(0)1,(1)2y y ==,求零输入响应()zi y k .