高等代数试题及答案
------------------------------------------------------------------------------------------------------------中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试试卷
数学科学 学院 《高等代数》课程试题(A 卷) 共 2 页 第 1 页
授课教师命题教师或
命题负责人签字年月日院系负责人签
字年月日
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x .
六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间.
七(10分)设2n 阶矩阵a
b a b A b a
b
a ???????
?
=?
??
???????
O N N O
,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足
()()0p f q f =(零变换)
求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f
S q f =⊕==
------------------------------------------------------------------------------------------------------------中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷
学院《XXX XXXXX 》课程试题(A 卷) 共 页 第 页
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案
一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√
二.解：A =????
????????1111111111111111，
3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量：
11111
,,,)'2222α＝(
，2α＝，
3α＝
，4'α＝.
所以正交阵1
212
6102610
2
T ?????-?
?=??-
??
????????
而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可.
(2) 令1101
010011
0n E D E -??
??
?
???
??== ?????
??????
O
O O
，D 为循环阵，
------------------------------------------------------------------------------------------------------------00n k k k
E D E -??
=
???
，(k E 为k 阶单位阵) 则2
1
,,,,n n D D D
D E -=L 在P 上线性无关.
且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++L ，令1
12(),n n f x a a x a x -=++L 有
()A f D =.
B M ?∈，必P ?上1n -次多项式()g x ，使()B g D =，反之亦真.
()()()()AB f D g D g D f D BA ∴===
(3)由上可知：2
1
,,,,n E D D D
-L 是M 的一组基，且dim M n =.
四.解：A 的行列式因子为3
3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==.
所以，不变因子为3
3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3
(2)λ+，
因而A 的Jordan 标准形为21212J -??
??=-??
??-??
五．证："":()()()
()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴==
""?：()0,()0f A g A ==
设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ?
------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ()()()()00ξξξξ→→
=====B A BA AB A B A
所以ξA 在B 下的像是零，即0V ξ∈A ．即证明了0V 是A 的不变子空间． 在B 的值域V B 中任取一向量ηB ，则()()V ηη=∈A B B A B . 因此，V B 也是A 的不变子空间．
综上，B 的值域与核都是A 的不变子空间． 七．解：22
()n
E A a b λλ??-=--??
当0b =时，由于A aE O -=，()A m x x a ∴=-
当0b ≠时，由于22
()A aE b E O --=，22()()A m x x a b ∴=--
八．证：先证V W S =+，显然，W S V +?
(),()p x q x Q 互素，(),()[],u x v x p x ∴?∈使得()()()()1u x p x v x q x += ()()()()u f p f v f q f ε∴+=（单位变换） ,()()()()V p f u f q f v f αααα?∈+=
设111()(),()()()[()]0q f v f p f p f q f v f W ααααα→
===∴∈Q 222()(),()()()[()]0p f u f q f q f p f u f S ααααα→===∴∈Q
V W S V W S ∴?+∴=+
再证：W S +是直和
,()0,()0
()()()()0{0}W S p f q f u f p f v f q f W S V W S
αααααα→
→
→
→
?∈==∴=+=∴=∴=⊕I I