幂函数练习(含答案详解)
3.3 幂函数练习
一、单选题
1、已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝⎛⎭⎫1
2，2，则k ＋α＝( A ) A ．12 B ．1 C ．3
2
D ．2
2、下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( A ) A ．y ＝x
－2
B ．y ＝x
－1
C ．y ＝x 2
D ．y ＝3
1
x
3、幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( C )
4、幂函数()()22
22m f x m m x -=--在(
)
0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（ A ） A ．1-
B ．3
C ．1-或3
D ．3-
5、若f (x )＝12
x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( A )
A ．⎣⎡⎭⎫2，167
B ．(0，2]
C ．⎝⎛⎭⎫－∞，16
7 D ．[2，＋∞) 6、若幂函数f (x )＝(
)
1
2
2
55a a a x
---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( D )
A ．1
B ．6
C ．2
D ．－1
7、幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是 （ D ）
A ．a b c d >>>
B ．d b c a >>>
C ．d c b a >>>
D ．b c d a >>>
8、已知幂函数y ＝p q
x (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( D )
A ．p ，q 均为奇数，且p
q >0
B ．q 为偶数，p 为奇数，且p
q <0
C ．q 为奇数，p 为偶数，且p
q >0
D ．q 为奇数，p 为偶数，且p
q <0
二、多选题
9．下列关于幂函数y x α=的性质说法正确的有（ CD ） A ．当1α=-时，函数在其定义域上递减 B ．当0α=时，函数图象是一条直线 C ．当2α=时，函数是偶函数
D ．当3α=时，函数的图象与x 轴交点的横坐标为0 10．已知函数()
a f x x 的图象经过点1,33⎛⎫
⎪⎝⎭
则（ CD ）
A ．()f x 的图象经过点(3,9)
B ．()f x 的图象关于y 轴对称
C ．()f x 在(0,)+∞上单调递减
D ．()f x 在(0,)+∞内的值域为(0,)+∞
11、已知幂函数f (x )＝()
2
23
1m
m m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足
2
121)
()(x x x f x f -->0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( BC )
A ．a ＋b >0且ab <0
B ．a ＋b <0且ab <0
C ．a ＋b <0且ab >0
D ．以上都可能
12．若函数()f x x α
=的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为（ BD ）
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．3
三、填空题
13．若幂函数()21m
y m m x =--为偶函数，则m = ___2_____ .
14、已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝⎛⎭⎫
116，14，则m －2n ＋3k ＝_____0__. 15、若()()
2
12
2
1
112-+>+m m m ，则实数m 的取值范围是______⎣⎢
⎡⎭
⎪
⎫5－12，2__________.
16、给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为__③______． 四、解答题
17．已知幂函数()f x x α
=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求函数的解析式，并作出该函数图象的草
图，判断该函数的奇偶性和单调性．
解：因为幂函数()f x x α=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故可得139α
=，解得2α=-，
故()2
f x x -=，其定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称；
其函数图象如下所示：
数形结合可知，因为()f x 的图象关于y 轴对称，故其为偶函数； 且()f x 在()0,+∞单调递减，在(),0-∞单调递增.
18、已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x －m －1
(m ∈R)为偶函数．
(1)求f ⎝⎛⎭⎫12的值；
(2)若f (2a ＋1)＝f (a )，求实数a 的值． 解：(1)由m 2－5m ＋7＝1，得m ＝2或3. 当m ＝2时，f (x )＝x
－3
是奇函数，∴不满足题意，∴m ＝2舍去；
当m ＝3时，f (x )＝x －
4，满足题意， ∴f (x )＝x －4
，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭
⎫12－4
＝16.
(2)由f (x )＝x
－4
为偶函数和f (2a ＋1)＝f (a )可得|2a ＋1|＝|a |，
即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，∴a ＝－1或a ＝－1
3
.
19、已知幂函数f (x )＝2
1
()m
m x
-+(m ∈N *)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．
解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，
而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数， 所以函数f (x )＝21
()m m x
-+(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)， 所以
2＝2(m 2＋m )－
1
2()1
2
m m +-，即12
2＝2
()1
2
m
m +-，
所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝1
2
x ， 又因为f (2－a )>f (a －1)， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
2－a ≥0，a －1≥0，
2－a ＞a －1，
解得1≤a ＜3
2
，
故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.
满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为[1，3
2)．
20、19．已知函数()()()21
51Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，且为奇函数.
(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式； (2)令()()21g x f x x =++y
g x 在1,12x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
的值域.
解：(1)因为函数()()()21
51Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，
所以2511m m -+=，解得0m =或5m =， 当0m =时，函数()f x x =是奇函数，符合题意，
当5m =时，函数()6
f x x =是偶函数，不符合题意，
综上所述，m 的值为0，函数()f x 的解析式为()f x x =. (2)由（1）知，()f x x =，
所以()()2121g x f x x x x =+=++ 令21t x =+21
2
t x -=，
1
1,0123,032
x x t -≤≤∴≤+≤∴≤≤ 所以2211
()222
t t g t t t -=+=+-，3t ⎡∈⎣， 根据二次函数的性质知，()g t 的对称轴为11
1
22
t =-
=-⨯，开口向上，
所以()g t 在3⎡⎣上单调递增；
所以2min
011
()(0)0222
g t g ==+-=-，
(2
max 31
()(3)3312
2
g t g ==
= 所以函数()g x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
的值域为1312⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦.
高中数学必修一《幂函数》精选习题(含详细解析)
高中数学必修一《幂函数》精选习题（含详细解析） 一、选择题 1.下列函数中,是幂函数的是( ) A.y=2x B.y=2x3 C.y= D.y=2x2 2.若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图象不过原点,则m的取值范围为( ) A.1≤m≤2 B.m=1或m=2 C.m=2 D.m=1 3.函数y=x-2在区间上的最大值是( ) A. B. C.4 D.-4 4若本题的条件不变,则此函数在区间上的最大值和最小值之和为多少? 5.在下列函数中,定义域为R的是( ) A.y= B.y= C.y=2x D.y=x-1 6函数y=|x(n∈N,n>9)的图象可能是( ) 7下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( ) A.y= B.y=x2
C.y=x3 D.y= 8下列幂函数中过点(0,0),(1,1)且为偶函数的是( ) A.y= B.y=x4 C.y=x-2 D.y= 9.在同一坐标系内,函数y=x a(a≠0)和y=ax-的图象可能是( ) 二、填空题 10幂函数f(x)=xα过点,则f(x)的定义域是. 11若y=a是幂函数,则该函数的值域是. 12若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于. 13.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是. 14已知幂函数f=(m∈Z)的图象与x轴,y轴都无交点,且关于原点对称,则函数f的解析式是. 三、解答题
15.比较下列各组数的大小: (1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2; (3)0.20.3,0.30.3,0.30.2. 16.已知幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上为增函数,求满足条件(a+1<(3-2a的实数a的取值范围. 17幂函数f的图象经过点(,2),点在幂函数g的图象上, (1)求f,g的解析式. (2)x为何值时f>g,x为何值时f
高中数学幂函数的定义练习及答案
高中数学幂函数的定义练习及答案 题型一：幂函数的定义 【例1】 下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 形如(01)x y a a a =>≠且的函数叫做幂函数，答案为B ． 【答案】B 【例2】 11．函数 的定义域是 . 【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 【答案】 【例3】 如果幂函数()f x x α= 的图象经过点，则(4)f 的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 12 【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】D 【例4】 幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2 ，则(8)f 的值为 . 【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 典例分析
【例5】 下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）. A.12y x = B. 4y x = C. 2y x -= D.13y x = 【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B 【例6】 下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 A 错，当0α=时函数y x α=的图象是一条直线（去掉点（0，1））；B 错，如幂函数1y x -=的 图象不过点（0，0）；C 错，如幂函数1y x -=在定义域上不是增函数；D 正确，当0x >时，0x α>． 【答案】D 【例7】 函数2221(1)m m y m m x --=--是幂函数，求m 的值. 【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 幂函数需要保证系数为1，同时指数为有理数，从此两个条件入手，可以得到关于m 的等式 和不等式，从而解出m 的值. ∵2221(1)m m y m m x --=--是幂函数， ∴函数可以写成如下形式a y x =(a 是有理数) ∴211m m --=，解得121,2m m =-= 当11m =-时，211212m m Q --=∈ 22m =时，222211m m Q --=-∈ ∴m 的值域为-1或2. 【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检验a 是有理数. 【答案】-1或2 【例8】 求函数1302 (3)y x x x -=+--的定义域. 【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要保证每一个函数都有意义，即分母不为0、被开方数大于等于0.
幂函数练习(含答案详解)
3.3 幂函数练习 一、单选题 1、已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝⎛⎭⎫1 2，2，则k ＋α＝( A ) A ．12 B ．1 C ．3 2 D ．2 2、下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( A ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2 D ．y ＝3 1 x 3、幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( C ) 4、幂函数()()22 22m f x m m x -=--在( ) 0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（ A ） A ．1- B ．3 C ．1-或3 D ．3- 5、若f (x )＝12 x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( A ) A ．⎣⎡⎭⎫2，167 B ．(0，2] C ．⎝⎛⎭⎫－∞，16 7 D ．[2，＋∞) 6、若幂函数f (x )＝( ) 1 2 2 55a a a x ---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( D ) A ．1 B ．6 C ．2 D ．－1 7、幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是 （ D ）
A ．a b c d >>> B ．d b c a >>> C ．d c b a >>> D ．b c d a >>> 8、已知幂函数y ＝p q x (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( D ) A ．p ，q 均为奇数，且p q >0 B ．q 为偶数，p 为奇数，且p q <0 C ．q 为奇数，p 为偶数，且p q >0 D ．q 为奇数，p 为偶数，且p q <0 二、多选题 9．下列关于幂函数y x α=的性质说法正确的有（ CD ） A ．当1α=-时，函数在其定义域上递减 B ．当0α=时，函数图象是一条直线 C ．当2α=时，函数是偶函数 D ．当3α=时，函数的图象与x 轴交点的横坐标为0 10．已知函数() a f x x 的图象经过点1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ 则（ CD ） A ．()f x 的图象经过点(3,9) B ．()f x 的图象关于y 轴对称 C ．()f x 在(0,)+∞上单调递减 D ．()f x 在(0,)+∞内的值域为(0,)+∞ 11、已知幂函数f (x )＝() 2 23 1m m m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足
幂函数练习题及答案解析
幂函数练习题及答案解析 1.下列幂函数中为偶函数的是 y = x^ 2. 解析：定义域为实数集，f(-x) = (-x)^2 = x^2，因此是偶函数。 2.若 a < 1，则 5a < 0.5a < 5-a。 解析：因为 a < 1，所以 y = x 是单调递减函数且 0.5 < 5 < 5-a，因此 5a < 0.5a < 5-a。 3.α 可能的取值为 1 和 3，使得函数y = x^α 的定义域为实数集且为奇函数。 解析：只有函数 y = x 和 y = x^3 的定义域是实数集且为奇函数，因此α 可能的取值为 1 和 3. 4.当 n = -1 或 n = 2 时，满足 (-2)^n。(-3)^n。 解析：因为 (-2)^n。0 且 (-3)^n < 0，所以 y = x^n 在 (-∞。+∞) 上为减函数。因此 n = -1 或 n = 2. 1.函数 y = (x+4)^2 的递减区间是 (-∞。-4)。
解析：函数的开口向上，关于 x = -4 对称，因此在 (-∞。-4) 上递减。 2.幂函数的图像过点(2.4)，则其单调递增区间是(-∞。0)。 解析：因为 y = x^2 的图像是开口向上的抛物线，过点(2.4)，因此其单调递增区间为 (-∞。0)。 3.正确的说法有 2 个。 解析：①错误；②中 y = x^-1 的图像不过点 (1.1)；③正确；④正确，因此有 2 个正确的说法。 4.使f(x) = x^α 为奇函数且在(0.+∞) 上单调递减的α 的值 的个数是 1. 解析：因为f(x) = x^α 为奇函数，所以α 为奇数，因此α 可能的取值为 -3.-1.1.3.因为在(0.+∞) 上单调递减，所以只有α = -1 满足条件。因此个数为 1. 1.α=-1,1,3. 由于f(x)在(，+∞)上为减函数，所以α=-1. 2.使(3-2x-x^2)/4有意义的x的取值范围是(-3 幂函数的概念 例1、下列结论中，正确的是( ) A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限 C ．当幂指数α取1,3，1 2时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数 解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α (α∈R )，y >0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案 C 例2、已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 1 5(7＋3t －2t 2) (t ∈Z )是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t 的值． 分析 关于幂函数y ＝x α (α∈R ，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p |、|q |互质)， 当q 为偶数时，p 必为奇数，y ＝x p q 是非奇非偶函数；当q 是奇数时，y ＝x p q 的奇偶性与p 的值相对应． 解 ∵f (x )是幂函数，∴t 3－t ＋1＝1， ∴t ＝－1,1或0. 当t ＝0时，f (x )＝x 7 5是奇函数； 当t ＝－1时，f (x )＝x 2 5是偶函数； 当t ＝1时，f (x )＝x 85是偶函数，且25和8 5都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数． 故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 2 5. 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t ∈Z 给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) 幂函数练习题及答案 、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的， 填在题后的括号内（每小题 5 分，共50 分）. B．幂函数的图象都经过（0 ，0）和（1，1 ）点 C ．若幂函数y x 是奇函数，则y x 是定义域上的增函数 D．幂函数的图象不可能出现在第四象限 1 6．函数y x3和y x3图象满足 请把正确答案的代号 1．下列函数中既是偶函数又是（ ,0）上是增函数的是 4 x3 2．函数 3 B．y x 2 21 y x 2在区间[ ,2] 上的最大值是 2 C．D． 1 A． 4 B． 1C．D． 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是 A．y x3 3 B．y x C． 2x3D． 5．下列命题中正确的是 A．当0 时函数y x的图象是一条直线 y y 1 4 4 A．关于原点对称B．关于x 轴对称 7． 函数 y x|x|,x R ，满足 A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函 数 C ．是奇函数又是增函 数 D ．是偶函数又是减函 数 2 8．函数 y x 2 2x 24 的单调递减区间是 ( ) A ． ( , 6] B ．[ 6, ) C ．( , 1] D ．[ 1, ) 9． 如图 1— 9所示，幂函数 y x 在第一象限的图象，比较 x 1 x 2 f (x 1) f (x 2 ) f(x 12x 2)， f(x 1)2 f(x 2) 大小关系是( ) 奇偶性为 . 三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 （共 76 分） . 15 ．（ 12 分）比较下列各组中两个值大小 6 6 5 5 C ．关于 y 轴对称 D ．关于直线 y x 对称 0, 1, 2, 3 , 4 ,1的大小( A ． 1 3 4 2 1 B ． 0 1 2 3 4 1 C ． 2 4 0 3 1 1 D ． 3 2 4 1 1 4 10 ． 对于幂函数 f (x) x ， 若 0 x 1 x 2 ，则 A ． f(x 1 x 2 2 f (x 1) f (x 2) 2 B ． f(x 1 x 2 ) f (x 1) f(x 2) 2 C ． x 1 f( 1 x 2 2 f (x 1) f (x 2 ) 2 D ． 无法确定 、填空题：请把答案填在题中横线上(每小题 6 分，共 24 分) k n ( 1)k 14 ．幂函数 y x m (m,n,k N*, m,n 互质 ) 图象在一、二象限，不过原点，则 k,m,n 的 3 4 幂函数练习题及答案 幂函数练习题及答案 幂函数是数学中常见的一种函数形式，它的表达式为y = ax^n，其中a和n为 常数，x为自变量。幂函数在实际问题中具有广泛的应用，例如物理学中的力 学问题、经济学中的需求曲线等。下面将给出一些幂函数的练习题及其答案， 帮助读者更好地理解和掌握幂函数的性质和应用。 1. 练习题：已知函数y = 2x^3，求当x取值为2时，y的值是多少？ 解答：将x = 2代入函数表达式中，得到y = 2*(2^3) = 2*8 = 16。因此，当x 取值为2时，y的值为16。 2. 练习题：已知函数y = 5x^(-2)，求当x取值为0.5时，y的值是多少？ 解答：将x = 0.5代入函数表达式中，得到y = 5*(0.5^(-2)) = 5*(1/0.5^2) = 5*(1/0.25) = 5*4 = 20。因此，当x取值为0.5时，y的值为20。 3. 练习题：已知函数y = 3x^2，求当y取值为12时，x的值是多少？ 解答：将y = 12代入函数表达式中，得到12 = 3*(x^2)。将方程两边同时除以3，得到4 = x^2。再开平方根，得到x = ±2。因此，当y取值为12时，x的值为±2。 4. 练习题：已知函数y = 4x^(-1/2)，求当y取值为2时，x的值是多少？ 解答：将y = 2代入函数表达式中，得到2 = 4*(x^(-1/2))。将方程两边同时除 以4，得到1/2 = x^(-1/2)。两边同时取倒数，得到2 = x^(1/2)。再平方，得到 4 = x。因此，当y取值为2时，x的值为4。 通过以上练习题的解答，我们可以看到幂函数的特点和性质。首先，幂函数的 自变量可以取任意实数值，但要注意当指数为负数时，自变量不能取0。其次， [基础巩固] 1．函数f (x )＝x 3的图象( ) A ．关于直线y ＝x 对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于y 轴对称 解析 ∵f (x )＝x 3是奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称． 答案 C 2．若幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则f ⎝⎛⎭ ⎫12等于( ) A ．4 B ．2 C ．12 D ．14 解析 设f (x )＝x α，则14 ＝2α，∴α＝－2. ∴f (x )＝x －2.∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－2＝22＝4. 答案 A 3．(多选)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎫27，13，则幂函数f (x )具有的性质是( ) A ．在其定义域上为增函数 B ．在(0，＋∞)上单调递减 C ．奇函数 D ．定义域为R 解析 设幂函数f (x )＝x α(α为常数)， 因为幂函数图象过点⎝ ⎛⎭⎫27，13， 所以由f (x )的性质知，定义域为{x ∈R ，x ≠0}， f (x )是奇函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减． 答案 BC 4．下列幂函数中是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的是________(填序号)． ①y ＝x 2；②y ＝x ；③y ＝x 12 ；④y ＝x 3；⑤y ＝x －1. 解析 由奇偶性的定义知 y ＝x 2为偶函数，y ＝x 12 ＝x 既不是奇函数也不是偶函数．由幂函数的单调性知y ＝x －1在(0，＋∞)上单调递减，易知②④满足题意． 答案 ②④ 5．幂函数y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值为________． 解析 ∵y ＝x －1在(－∞，0)上单调递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上递减，∴y ＝x －1在[－ 自主梳理 1．幂函数的概念 形如________的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数．2．幂函数的性质 定义域值域奇偶性单调性过定点y＝x R R奇Z (1,1) y＝x2R[0，＋∞)偶 [0，＋∞)Z (－∞，0][ y＝x3R R奇Z Y＝x 1 2 [0，＋∞)[0，＋∞) 非奇 非偶 [0，＋∞)Z Y＝x－1 (－∞，0) ∪(0，＋∞) (－∞，0) ∪(0，＋∞) 奇 (－∞，0)[ (0，＋∞)[ (3)α>0时，幂函数的图象通过点____________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象______原点． 1．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫ 4， 1 2 ，则f(2)＝( ) A. 1 4 B．4 C. 2 2 D. 2 2．下列函数中，其定义域与值域不同的函数是( ) A．y＝x 1 2 B．y＝x－1 C．y＝x 1 3 D．y＝x2 3．已知f(x)＝x 1 2 ，若0 D ．f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a 幂函数 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( ) A ．①y ＝2 1x ；②y ＝x 2 ；③y ＝x 3 ；④y ＝x －1 B ．①y ＝x 3 ；②y ＝2 1x ；③y ＝x 2 ；④y ＝x －1 C ．①y ＝x 2 ；②y ＝x 3 ；③y ＝21x ；④y ＝x －1 D ．①y ＝x 3 ；②y ＝x 2 ；③y ＝2 1x ；④y ＝x －1 【答案】D 【解析】y ＝x 3 是奇函数，且在R 上递增，对应题图①；y ＝x 2 是偶函数，对应题图②；y ＝2 1x 的定 义域为[0，＋∞)，对应题图③；y ＝x －1 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，对应题图④.故选D. 2．已知幂函数f (x )＝(2n 2 －n )x n ＋1 ，若f (x )在其定义域上为增函数，则n 等于( ) A ．1或－ 2 1 B ．1 C ．－ 2 1 D ．－1或 2 1 【答案】C 【解析】依题意得2n 2 －n ＝1，即2n 2 －n －1＝0，解得n ＝1或n ＝－2 1. 当n ＝1时，f (x )＝x 2，在R 上不是增函数，不符合题意，舍去； 当n ＝－2 1 时，f (x )＝x x 21 ，在定义域[0，＋∞)上是增函数，符合题意．故选C. 3.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( ) A ．n 幂函数 课后篇巩固提升 合格考达标练 1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( ) A.f (x )=3x 2 B.f (x )=√x C.f (x )=1 x 4 D.f (x )=x -3 f (x )=3x 2,不是幂函数; 函数f (x )=√x ,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f (x )=1 x 4=x -4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数; 函数f (x )=x -3是幂函数,但不是偶函数.故选C . 2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f (x )的图象过点(2,√2),则下列关于f (x )的说法正确的是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.定义域为(0,+∞) D.在(0,+∞)上单调递增 f (x )=x α (α为常数),∵幂函数y=f (x )图象过点(2,√2),∴2 α =√2,∴α=1 2,∴幂函数 f (x )=x 1 2.∵ 1 2 >0,∴幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以选项D 正确;∵幂函数f (x )=x 1 2的定义域为[0,+∞),不关于 原点对称,∴幂函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C 错误,故选D . 3.已知 a=1.212,b=0.9-1 2,c=√1.1,则( ) A.c 1．下列幂函数为偶函数的是( ) A ．y ＝x 1 2 B ．y ＝3 x C ．y ＝x 2 D ．y ＝x － 1 解析：选C.y ＝x 2，定义域为R ，f (－x )＝f (x )＝x 2. 2．若a ＜0，则0.5a,5a,5－ a 的大小关系是( ) A ．5－a ＜5a ＜0.5a B ．5a ＜0.5a ＜5－ a C ．0.5a ＜5－a ＜5a D ．5a ＜5－ a ＜0.5a 解析：选B.5－a ＝(15)a ，因为a ＜0时y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－ a . 3．设α∈{－1,1，1 2，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为( ) A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,3 解析：选A.在函数y ＝x －1 ，y ＝x ，y ＝x 1 2，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3. 4．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－12)n >(－1 3 )n ，则n ＝________. 解析：∵－12<－13，且(－12)n >(－1 3)n ， ∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1或n ＝2. 答案：－1或2 1．函数y ＝(x ＋4)2 的递减区间是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，4) 解析：选A.y ＝(x ＋4)2开口向上，关于x ＝－4对称，在(－∞，－4)递减． 2．幂函数的图象过点(2，1 4)，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞) 解析：选C. 幂函数为y ＝x － 2＝1x 2，偶函数图象如图． 3．给出四个说法： 专题3.4 幂函数 1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（ ） A ．幂函数y =x -1是奇函数 B ．幂函数y =x 2是偶函数 C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数 D ．y = 1 2 x 既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】C 【解析】 根据奇偶函数的定义依次判断即可. 【详解】 因为1 1x x -= ， 11 =--x x ，所以A 正确； 因为2 2 ()x x -=，所以B 正确； 因为x x -=不恒成立，所以C 不正确； 因为12 y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确. 故选：C. 2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( ) A ．2 y x -=- B ．23 y x =- C ．13 y x =- D ．3y x -= 【答案】B 【解析】 A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除； B: 2 3y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增； C: 13y x =-为奇函数，故排除； D: 3y x -=为奇函数，故排除. 故选:B. 练基础 3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数( ) 2 21 ()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实 数m 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1或2 D ．2 【答案】D 【解析】 由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =. 因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即1 2 m >，所以2m =. 故选D. 4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3 ()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( ) A ．()f x 的定义域和值域相等 B ．()f x 的图象关于原点中心对称 C ．()f x 在定义域上是减函数 D ．()f x 是奇函数 【答案】C 【解析】 3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确； 3()-=f x x ，()()3 3()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确； ()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误. 故选：C. 5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则该函数的图像（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称 【答案】B 【解析】 设()f x x α =，依题意可得1()42 α =，解得2α=-， 所以2()f x x -=，因为2 2()() ()f x x x f x ---=-==， 所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称. 必修一 幂函数 练习题附答案 一、选择题 1．下列函数不是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x －1 C ．y ＝x D ．y ＝x 2 [答案] A [解析] y ＝2x 是指数函数，不是幂函数． 2．下列函数定义域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x 12 C ．y ＝x － 13 D ．y ＝x － 12 [答案] D 3．若幂函数y ＝x n ，对于给定的有理数n ，其定义域与值域相同，则此幂函数( ) A ．一定是奇函数 B ．一定是偶函数 C ．一定不是奇函数 D ．一定不是偶函数 [答案] D [解析] 由y ＝x 12 知其定义域与值域相同，但是非奇非偶函数， 故能排除A 、B ；又y ＝x 3的定义域与值域相同，是奇函数，故排除C. 4．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2 的图象不过原点，那么 ( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1 [答案] B [解析] 幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2 中，系数m 2－3m ＋3＝ 1，∴m ＝2,1.又∵y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2 的图象不过原点，故m 2 －m －2≤0，即－1≤m ≤2，故m ＝2或1. 5. 函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则实数a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．c 高中数学：幂函数练习及答案 幂函数的概念 1.若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝a x（a＞1），上述函数中幂函数的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3 2.幂函数f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，且f（－x）＝f（x），则m等于（） A.0 B.1 C.2 D.0或1 3.当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，则实数m等于（） A. B.－1 C.2或－1 D.2 求幂函数的解析式 4.已知点（，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（） A.f（x）＝3x B.f（x）＝x3 C.f（x）＝x－2 D.f（x）＝（）x 5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（16,4），则f（）的值为（） A.3 B. C. D. 幂函数的定义域和值域 6.若函数f（x）＝，则函数y＝f（4x－3）的定义域是（） A.（－∞，＋∞） B.（－∞，） C.[，＋∞） D.（，＋∞） 7.有四个幂函数：①f（x）＝x－1;②f（x）＝x－2;③f（x）＝x3；④f（x）＝. 某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质： （1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}. 如果这个同学给出的两个性质都是正确的，那么他研究的函数是（） A.① B.② C.③ D.④ 比较幂值的大小 8.下列关系中正确的是（） A.<< B.<< C.<< D.<< 9.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是（） 2023高考数学二轮复习专项训练《幂函数》 一、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）有以下函数：①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x−1)2;⑤y=x.其中幂函数的个数为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.（5分）直线y=1，y=x，x=1及幂函数y=x−1的图象将平面直角坐标系的第一 象限分为8个部分(如图所示)，那么幂函数y=x 1 2的图象在第一象限中经过() A. ③⑦ B. ③⑧ C. ②⑥ D. ①⑤ 3.（5分）函数y=x3和y=x 1 3图象满足() A. 关于原点对称 B. 关于x轴对称 C. 关于y轴对称 D. 关于直线y=x对称 4.（5分）（2022.西安高一检测）若(3−5a)1 2<;(a+2) 1 2，则a的取值范围是（） A. [1 6,3 5 ) B. (1 6 ,3 5 ] C. [1 6,3 5 ] D. (1 6 ,+∞) 5.（5分）函数f(x)=x a+b，不论a为何值，f(x)的图象均过点(m,0)，则实数b的值为() A. −1 B. 1 C. 2 D. 3 6.（5分）已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,1 4 )，则它的单调递增区间为( ) A. (0,+∞) B. [0,+∞) C. (−∞,0) D. (−∞,+∞) 7.（5分）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是() A. y=3−x B. y=log1 3x C. y=x12 D. y=3 x 8.（5分）已知函数f(x)=1 a x2a+1+√b+1是幂函数，则a+b等于() A. 2 B. 1 C. 1 2 D. 0 9.（5分）在同一直角坐标系中，函数f(x)=x a(x⩾0)，g(x)=log a x的图象可能是() 练习： 1.在第一象限内，函数y ＝x 2(x ≥0)与y ＝x 12的图象关于________对称． 解析：∵y ＝x 2，x ≥0与y ＝x 12互为反函数，∴两函数图象关于y ＝x 对称． 答案：直线y ＝x 2.函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是单调增函数，则 m 的值为________． 解析：根据幂函数的定义得： m 2－m －5＝1，解得m ＝3或m ＝－2， 当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是单调增函数； 当m ＝－2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是单调减函数，不符合要求． 故m ＝3. 答案：3 3.函数f (x )＝(1－x )0＋(1－x )12 的定义域为________． 解析：由题意，1－x ≠0且1－x ≥0，所以x ＜1. 答案：(－∞，1) 4. 如图，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则m ，n 与0的大小关系是________． 解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m ＜0，n ＜0.取x ＝2，则有2m ＞2n ， 故n ＜m ＜0. 答案：n ＜m ＜0 5.函数f (x )＝x 1m 2 ＋m ＋1(m ∈N ＋)为________函数． (填“奇”，“偶”，“奇且偶”，“非奇非偶”) 解析：∵m ∈N ＋，∴m 2＋m ＋1＝m (m ＋1)＋1为奇数， ∴f (x )为奇函数． 答案：奇 6.下面4个图象都是幂函数的图象，函数y ＝x －23的图象是________． 解析：∵y ＝x －23 为偶函数，且x ≠0，在(0，＋∞)上为减函数，故符合条件的为②. 答案：② 7.写出下列四个函数：①y ＝x 13；②y ＝x －13 ；③y ＝x －1；④y ＝x 23.其中定义域和值域相同的是________．(写出所有满足条件的函数的序号) 解析：函数y ＝x 13的定义域和值域都为R ；函数y ＝x －13 与y ＝x －1的定义域和值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)；函数y ＝x 23的定义域为R ，值域为[0，＋∞)． 答案：①②③ 8.已知函数f (x )＝x －m ＋3(m ∈N *)是偶函数，且f (3) 幂函数的解析式、定义域及值域同步练习题 一 选择题 1．幂函数y ＝f （x ）经过点（3，3），则f （x ）是（ ） A ．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数 B ．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数 C ．奇函数，且在（0，+∞）是减函数 D ．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数 2．当x ∈（0，+∞）时，幂函数y ＝（m 2-m-1）x ﹣5m ﹣3为减函数，则实数m 的值为（ ） A ．m ＝2 B ．m ＝-1 C ．m ＝-1或m ＝2 D ．m ≠2 51± 3．若函数f （x ）是幂函数，且满足)2()4(f f ＝3，则f （2 1）的值为（ ） A ．﹣3 B ．﹣31 C ．3 D ．3 1 4．如果幂函数y ＝（m 2-3m+3）22--m m x 的图象不过原点，则m 取值是（ ） A ．-1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1 5．函数f （x ）＝（m 2-m-1）322-+m m x 是幂函数，其图象与两坐标轴都没有交点，则m ＝（ ） A ．-1 B ．2 C ．3 D ．2或-1 6．幂函数f （x ）＝（m 2-6m+9）132+-m m x 在（0，+∞）上单调递增，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．2或4 7．已知函数f(x)=（m 2-m-1）13-m x 是幂函数，对任意的x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1≠x 2，满足0)()(2 121 x x x f x f --，若a ，b ∈R ，a+b ＜0，则f （a ）+f （b ）的值（ ） A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．等于0 D ．无法判断 8．函数f （x ）＝（m 2-m-1）12-+m m x 是幂函数，且在（0，+∞）上是减函数，则实数m 为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-1或2 9．已知幂函数f(x)=(m-1)2242 +-m m x 在（0，+∞）上单调递增，函数g （x ）＝2x -t ，∀x 1∈[1， 6）时，总存在x 2∈[1，6）使得f （x 1）＝g （x 2），则t 的取值范围是（ ） A ．φ B ．t ≥28或t ≤1 C ．t ＞28或t ＜1 D ．1≤t ≤28 10．若幂函数f(x)=(m 2-2m-2)32++-m m x 在（0，+∞）上是减函数，则实数m 的值是（ ） A ．-1或3 B ．3 C ．-1 D ．0 11．若函数y=(m 2-3m+3)4 22-+m m x 为幂函数，且在（0，+∞）单调递减，则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．1或2 C ．1 D ．2 12．已知幂函数y ＝x a 的图象经过点（2，4），则f （-3）＝（ ） A ．-9 B ．9 C ．3 D ．-3 13．函数f （x ）＝3a x-2+5（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点P ，点P 又在幂函数g （x ）的图象 上，则g （-2）的值为（ ）A ．-8 B ．-9 C ．81- D ．91- 14．有四个幂函数：①f （x ）＝x -1；②f （x ）＝x -2；③f （x ）＝x 3；④f(x)=3 1x ．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y|y ∈R ，且y ≠0}；（3）在（-∞，0）上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 15．幂函数f （x ）＝（m 2-2m-2）22-m x 在（0，+∞）上为增函数，则实数m 的值是（ ） A ．-1 B ．3 C ．-1或3 D ．1或﹣3 3.3 幂函数 一、选择题 1．（2017·全国高一课时练习）如图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A.－1 3．（2018·浙江高三课时练习）已知4 2 1 3332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b << 【答案】A 【解析】 因为a ＝24 3＝161 3，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 1 3在R 上单调递增，指数函数y ＝16x 在R 上单调递增，所以b 0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选B 不正确； 当α＝－1时，y ＝x －1 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D 不正确． 故选C. 5．（2017·全国高一课时练习） 在下列四个图形中，y ＝x -1 2的图像大致是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】幂函数经典例题(答案)
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