24.1.2 垂径定理(第2课时)

24.1.2 垂径定理（第2课时）

班级 ___ 学号 __ 姓名 ______

学习目标：掌握圆的对称性及垂径定理。 重难点：垂径定理的应用。

一.学习过程:预习：P80-81页完成下列问题:

1. 圆是一个 对称图形，它的对称轴是_____________________。

也是 对称图形，对称中心即为 ，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合。2．如图线段 AB 是⊙O 中任意一条弦，过点

O 作线段 AB 的垂线段O C ，则O C 叫做弦心距（即圆心到弦的距离），

并且弦心距O C 平分弦AB ，即AC=BC=AB 2

1

.(理由：______________________) 3．试一试

如图，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着

直径CD 对折，比较AP 与PB 、AC ︵与CB ︵，你能发现什么结论？你的结论是：AP PB ，AC CB 即：（垂径定理：）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 进一步，我们还可得到；

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 思考：如何利用尺规找出圆O 的圆心？请在右图试试看： 二、新课学习

例1：如图在⊙O 中，弦AB 的长为8 cm,圆心O 到AB 的距离为3 cm,求⊙O 的半径。 解：

巩固练习:你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2米,你能求出赵州桥拱的半径吗?

三、对应练习：

1.下列语句中正确的是（ ）

（1） 相等的圆心角所对的弧相等（2）平分弦的直径垂直与弦

（3）长度相等的两条弧是等弧 （4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴

A 1个

B 2个

C 3个

D 4个一、选择题

2. （2009年娄底）如图3，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．

的是 ( ) A ．AD=BD B ．∠ACB=∠AOE C ． AE BE

= D ．OD=DE

3.（2009恩施市）16．如图6，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ， 且P 是半径OB 的中点，6cm CD =，则直径AB 的长是（ ） A

． B

． C

． D

． 4．（2009年甘肃白银）如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5．（2009年甘肃庆阳）如图5，⊙O 的半径为5，

弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

6.如图，在⊙O 中，弦AB 垂直于直径CD 与点P,若半径OA=2cm,OP=1cm, 则AB= cm, =∠AOB °, =∠ADC °,

等于 °，ADC ?的周长是 cm 。

四、小结:本节课你有什么收获? 课后练习:（A 组） 1. 判断题

（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。 （ ） （2）弦的垂线必经过圆心。 （ ） （3）垂直与弦的直径平分弦。 （ ）

（4）连结一条弦所对的两条弧中点的线段是圆的直径。（ ） （5）平行弦（两条弦平行）所夹的弧相等。 （ ） （6）弦的垂直平分线平分弦所对的弧。 （ ） （7）平分弦的直径垂直与弦。 （ ）

BD

D

2. ⊙O 中，一条弦的长度等于半径，则它所对的劣弧的度数为 。

3.在半径为2cm 的⊙O 中，120°的圆心角所对的弦长为 cm 。 4．（2009年安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ， 且CD

＝BD

＝AB 的长为【 】

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 5. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵

，∠B ＝70°.求∠A 度数.

（B 组）

6.如图，在⊙O 中，直径AB=6cm ，弦CD 交直径

AB 与点P, PA:PB=1:5, 且30=∠BPD °，则CD= cm, CD 弦的弦心距是 cm 。 （C 组）

7.如图，AB 是⊙O 的弦，P 是BA 延长线上的点，OP 的中点为M ，AB 中点为C,猜想并说明MC 和OP 有怎样的关系？

A P

O

C

B

A

M

九年级数学(说课稿)垂径定理

2020-2021学年 垂径定理 一．教学背景分析 1、学习任务分析 “垂径定理”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师版）九年级下册第三章《圆》第3节的内容，第一课时学习了圆的相关概念，本课是学习圆的轴对称——垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、动手实践、思考、归纳等数学探究活动，最终领悟圆的轴对称美。 “垂径定理”是圆的轴对称性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者。“垂径定理”也是我们计算和证明圆的相关问题的重要基石，并且通过探究“垂径定理及其推论”十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。 2、学生情况分析 学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。 3、重点难点的定位 教学垂点：垂径定理及其推论。 教学难点：（1）用“折叠法”证明垂径定理， （2）领悟垂径定理中的对称美。 二．教学目标设计: 1.知识与技能目标： 使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 2.过程与方法目标： 教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。 3.情感、态度与价值观： 对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。 三．课堂结构设计： 《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来对待它。

垂径定理学案、教学设计

24.1.2垂直于弦的直径导学案 广水市实验中学张运才 【学习目标】 1.理解圆的轴对称性． 2.理解垂径定理及其推论，并能应用它们解决有关弦的计算和证明问题． 【学习重点】垂直于弦的直径的性质、推论以及证明． 【学习难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题． 【学习过程】 【我能行】学生自学课本Ｐ80---P81，按照提示思考下面问题： （一）情景导入：观看赵州桥视频。聪明的同学们，你能求出赵州桥桥拱所在圆的半径吗？ （二）自主探究：先自主探究，后小组交流。 探究一：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？ 我发现： （1）把圆纸片沿着它的任意一条直径所在的直线对折叠时，两个半圆． （2）上面的实验说明：圆是____ __，对称轴是经过圆心的每一条____ ___．圆有条对称轴． 探究二：请同学们按下面的步骤做一做： 第一步，把一个⊙O对折，使圆的两半部分重合，得到一条折痕CD； 第二步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，再沿垂线折叠，得到新的折痕，其中点E 是两条折痕的交点，即垂足； 第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD．观察你所折纸片：（1）在上述的操作过程中，由圆的轴对称性你能得到哪些相等的线段和相等的弧？ （2）你能用一句话概括上述结论吗？ （3）请作出图形并用符号语言表述这个结论． 练习：如下图，哪些能使用垂径定理？为什么？ 【交流学】先独立完成，后小组交流。 1.垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论：③AE=BE ④弧AC= 弧BC ⑤弧AD=弧BD.如果交换定理的题设和结论的部分语句，如①③作为题设，②④⑤作为结论，命题成立吗？例如在⊙O中，CD是直径，AB是的弦，CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？注意分情况讨论： （1）若AB是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？ （2）若AB不是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？ 思考：你能用一句话概括上述结论吗？ 推论： 如果交换定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？ 发现：

人教版九年级上数学教案：24.1 圆 第一课时

24．1 圆 第一课时 教学内容 1．圆的有关概念． 2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用． 教学目标 了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解． 重难点、关键 1．重点：垂径定理及其运用． 2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．举出生活中的圆三、四个． 2．你能讲出形成圆的方法有多少种？ 老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆． 二、探索新知 从以上圆的形成过程，我们可以得出： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，?另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 学生四人一组讨论下面的两个问题： 问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 老师提问几名学生并点评总结． （1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r的点组成的图形． 同时，我们又把 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； ②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB； AC ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，读作“圆

垂径定理教学设计

垂径定理（第一课时）教学设计 兰甲明 【教学内容】§7．3垂径定理（初三《几何》课本P 76~P 78） 【教学目标】 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。 【教学方法】探究发现法。 【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 【教学设计】 一、实例导入，激疑引趣 1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以 升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥 （如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵 县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存 最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被 誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁 界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4 米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离， 也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的 半径（即AB 所在圆的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1） ⌒

二、尝试诱导，发现定理 1．复习过渡： ①如图2(a)，弦AB 将⊙O 分成几部分？各部分的名称是什么？ ②如图2(b)，将弦AB 变成直径，⊙O 被分成的两部分各叫什么？ ③在图2(b)中，若将⊙O 沿直径AB 对折，两部分是否重合？ (a) (b) (a) (b) (c) （图2） （图3） 2．实验验证： 让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质—— 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。 3．运动变换： ①如图3(a)，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ ②如图3(b)，当AB ⊥CD 时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？ ③如图3(c)，当AB 向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？ 4．提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想—— （板书） ?????===????⊥BD AD BC AC BD AE CD E AB,CD O 垂足为弦的直径是圆 5．验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD 对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。 三、引导探究，证明定理 1．引导证明： 猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。 ①证明“AE=BE ”，可通过连结OA 、OB 来实现，利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。 B B B ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

九年级数学：垂径定理练习(第2课时)(含答案)

九年级数学：垂径定理练习(第2课时)（含答案） 1．平分弦(____________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧． 2．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． 3．垂径定理解读：(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项． A组基础训练 1．下列命题正确的有( ) ①垂直于弦的直径平分弦 ②平分弦的直径必垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦的直线必过圆心 ④弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图,⊙O的弦AB＝8,M是AB的中点,且OM＝3,则⊙O的半径等于( ) A．8 B．2 C．10 D．5 第2题图 3．如图,已知⊙O的半径为2cm,弦AB长23cm,则这条弦的中点C到弦所对劣弧的中点D 的距离为( ) 第3题图

A ．1cm B ．2cm C.2cm D.3cm 4．如图,一条公路弯道处是一段圆弧AB ︵,点O 是这条弧所在圆的圆心,C 是AB ︵的中点,OC 与 AB 相交于点D.已知AB ＝120m ,CD ＝20m ,那么这段弯道的半径为( ) 第4题图 A ．200m B ．2003m C ．100m D ．1003m 5．如图,AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,AB 与CD 相交于点E.若要得到结论AB⊥CD ,还需添加的条件是________________________________．(不添加其他辅助线) 第5题图 6.如图,AB ,CD 是⊙O 的直径,D 是AE ︵的中点,AE 与CD 交于点F ,若OF ＝3,则BE 的长为 ________． 第6题图 7．如图所示,AB 是半圆的直径,O 是圆心,C 是半圆上一点,E 是AC ︵的中点,OE 交弦AC 于点 D.若AC ＝8cm ,DE ＝2cm ,则OD 的长为________． 第7题图 8.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(10,0),点B 的坐标为(8,0),点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形,则点C 的坐标为________．

《垂径定理》公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】

《垂径定理》教学设计 圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。该节内容分为2 课时。本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。其对称 轴是任一条过圆心的直线。 【知识与能力目标】 1．理解圆的轴对称性及其相关性质； 2 ．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。 【过程与方法目标】 经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 【情感态度价值观目标】 1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。 2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。 【教学重点】 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。 【教学难点】 和圆有关的相关概念的辨析理解。 （提前一天布置） 1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K 打印纸） 2. 预习课本P 74~P 76内容 第一环节 复习提问

1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。 2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 第二环节讲授新课 活动内容： （一）探索垂径定理。 做一做 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分 重合。 2．得到一条折痕CD。 3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足。 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图 问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。 在⊙O中，AB为弦，CD为直径,CD⊥AB 提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。 证明过程见PPT。 几何语言

教案：24.2.2圆的基本性质之二：垂径定理(一)

24.2.2 圆的基本性质之二 ——垂径定理（第1课时） 教学目标： 1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题； 2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法； 3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。 教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。 教学难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明。 教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件 教学过程： 一、复习引入 1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？ 2、圆还有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？（直径所在的直线） 3、观察并回答： （1）在含有一条直径AB 的圆上再增加一条直径CD ，两条直径的位置关系？ （两条直径始终是互相平分的） （2）把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，弦AB 是否一定被直径CD 平分？ 二、新课 （一）猜想，证明，形成垂径定理 1、猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？（当C D ⊥AB 时）（用课件观察翻折验证） 2、得出猜想：在圆⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，当C D ⊥AB 时，弦AB 会被直径CD 平分。 3、提问：如何证明该命题是真命题？根据命题，写出已知、求证： 如图，已知CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦， 且AB ⊥CD ，垂足为M 。 求证：AE=BE 。 4、思考：直径CD 两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？ 5、给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。 （二）分析垂径定理的条件和结论 1、引导学生说出定理的几何语言表达形式

垂径定理教学设计

《24.1.2 垂径定理》教学设计柳城县寨隆镇中学覃光洋

学 案 导 案 （教学流程） 设计意图 2.你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 相等的线段： . 相等的弧： = ； = . 3.你能用一句话概括这些结论吗？ 垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 的两条弧. 4.你能用几何方法证明这些结论吗？ 5.你能用符号语言表达这个结论吗？ 如图2 CD 是直径（或CD 经过圆心），且CD AB ⊥ ∴ = ； = ； = (三)探究垂径定理的推论 如上图，若直径CD 平分弦AB 则 1.直径CD 是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证 明？ 2.你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧） ③如果弦AB 是直径，以上结论还成立吗？ 推论： _______________________________________________________________________． 符号语言：∵CD 是⊙O 的直径 又∵AE=BE ∴CD AB ⊥ = ； = . （四）探究：用垂径定理解决问题 已知：⊙O 的直径为10cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ， 求弦AB 的长 归纳：圆中常用辅助线---作弦心距，构造Rt △.弦的一半（2 a ）、弦心距（d)、半径（r ）三个量的数量关系为 . 教师出示问题 学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。 学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正。 教师提出问题，引导学生进行思考和讨论。 学生尝试得出垂径定理和推论，教师规 范并板书。 教师提醒学生此中的弦一定不能是直径。 学生先独立完成，再小组交流讨论，让一名学生展示。 教师讲评，引导学生联系弦、半径、弦心距等因素，从而构成直角三角形，利用 勾股定理解决问题。 培养学生的观察能力，概括能力，分析能力， 从而调动学生学习积极性，使学生主动的获得知识。 让学生进一步熟悉垂径定理的条件与结论，并为探索垂径定理的推论打基础。 让学生亲自探索出各条推论，以使学生以后在应用中可明明白白的应用。 巩固并熟练垂径定理的使用方法。 总结规律，培养学生的归纳总结能力。 C A B D E O C A B D E O （图2） （图1）

垂径定理教案

课题：垂直于弦的直径（第一课时） 展示课课型名称：“引导—探究—发现”型教学模式 【设计思路】 垂径定理是圆这一章书的重点，也是难点。尤其是书本用叠合法推导定理的过程。 本课时探索如何高效地解决重点和难点并存的教学内容教学。采用启发式和探究 发现法教学，探索初中数学重要定理教学的高效课堂教学模式。 【教学目标】 1、知识与技能： 1）经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理。 2）初步运用垂径定理解决有关计算和证明问题。 2、过程与方法 1）通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 2）学习运用叠合法经历和推导垂径定理的过程，培养学生各种数学方法和能力。3．情感态度与价值观 通过本节的教学，使学生感受探索过程和体验成功喜悦，激发学生探究、 发现数学问题的兴趣；适当进行爱国教育和美育渗透。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】学生对用“叠合法”探索和证明垂径定理的理解。 【教学方法】探究发现法。 【教学过程设计】 （一）创设情境,引入课题 1、介绍赵州桥；联系它与圆的关系，提出问题：赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵 州桥主桥拱的半径吗？ 2、复习24.1.1圆的知识，为探究准备图形的知识。 （二）动手动脑，探索定理 1．探究准备 课前让学生用纸剪一个圆。要求学生沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，通 过交流,得出圆是轴对称图形这一结论,理解掌握圆的对称轴是直径所在的直线． 2. 尝试猜想和探究定理 使CD⊥AB，垂足为E． （1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 引导学生观察图形,积极思考、探究和猜想，进行小组合作交流讨论：为什 么会出现这些相等的线段和弧，在这个教学过程中引导学生注意已知条件和利用

圆的垂径定理 优秀教学设计(教案)

24.1.2 垂直于弦的直径 一、教材分析 本节教学内容是新人教版九年级(上)第二十四章第一节圆的第二课时．本节教材是在学生学习了有关轴对称和中心对称性质之后对垂直于弦的直径和这弦的关系的学习，研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系．垂径定理的推证是以轴对称图形的性质和圆是轴对称图形的性质为依据的．本节内容是本章基础，是圆的有关计算和圆的有关证明一个重要工具．本节课的学习也为下节课奠定基础． 二、学情分析 通过对赵州桥历史的了解，让学生感受数学在生活中的运用，激发学习热情。同时在探究活动中，培养不断发现问题、通过合作交流解决问题。这样学生学会与人合作，并能与他人交流思维和得出探究的结果。通过探究活动，体验数学思维的严谨性。 三、教学目标1.理解圆是轴对称图形。 2.明确垂径定理的题设和结论及定理的推理过程。 3.能初步应用垂径定理进行计算和证明。 四、教学重点难点重点 垂径定理及应用。 难点 垂径定理的证明及应用。 五、教学过程设计1．问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？设计意图：创设问题情境，引入新课 2．把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 设计题图：复习圆是轴对称图形，直径所在直线是对称轴！

B A C E D O 3．如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，CD ⊥AB ，垂足为 E 。 （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什 么？ 线段：AE=BE 弧：AC BC AD BD ==， 得垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 设计意图：通过学生的观察，归纳，证明出垂径定理 4．得垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 5．利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题 设计意图：利用垂径定理来解决实际问题，体现数学来源于生活，应用于生活！ 6．随堂检测 1、如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，?错误的是（ ） A 、CE=DE B 、B C B D = C 、∠BAC=∠BAD D 、AC >AD 图1 图2 图3 2、如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A 、4 B 、6 C 、7 D 、8 3、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图3所示，污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm ，则修理人员应准备_________cm 内径的管道（内径指内部直径）． 4、如图3，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm.求：⊙O 的半径. 设计意图：灵活利用垂径定理来解决问题，体现出垂径定理的重要性！ _B _A _O _M A B O

圆的对称性(第一课时)教案

§4.2.1 圆的对称性 设计理念 数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.数学教学重在引导学生走向自主学习和探求知识之路，重在引导学生积极参与教学过程.重视学生的主体作用，倡导“自主、合作、探究”的学习方式，让学生经历学习的探索过程，真正成为学习的主人. 教学内容 《义务教育课程标准实验教科书数学》（鲁教版）九年级（下）第四章“圆”第二节“圆的对称性”第一课时. 教材分析 圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”第一课时的主要内容是垂径定理及其推论，它反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习. 教学目标 1.知识与技能 理解圆的轴对称性和相关概念（弦、弧）及性质；掌握垂径定理及其推论，能运用它们进行有关的作图、计算和证明． 2.过程与方法 经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步理解研究几何图形的各种方法（折叠、平移、推理证明），用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，积累学习经验，进一步发展学生自主学习、合作学习的能力． 3.情感、态度与价值观 通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，在探究垂径定理及其推论的过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 教学重点 垂径定理及其推论的探索． 教学难点

经典垂径定理教案

经典垂径定理教案

垂直于弦的直径（第一课时）教案 教学目标: 1、知识目标：通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性； 掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； 能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题 2、能力目标：在研究过程中，进一步体验“实验一归纳一猜想一证明”的方法; 在解题 过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解 决。 3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。 教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。 教学难点：对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理 教学用具：圆规，三角尺，PPT课件 教学过程： 一、复习引入 1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称） 2、实验：探究圆的轴对称性。如图（1），若将O O沿直径AB 对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片 A O B 亲自实验，教师引导学生努力发现： 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线） 都是它的对称轴 3、弓I入新知：如图（2），左图中AB是。O的弦，直径CD与弦AB相交，那么沿直径 CD所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB是。O的弦， 直径CD丄AB,垂足为E。此时再沿直径CD 所在直 线折叠，图形可以重合吗？（重合，说明此图也 是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为 垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容。 二、新课

（一）猜想，证明，形成垂径定理 1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关 系？ 2、猜想：可能出现的位置关系是： 线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。 可能出现的数量关系是： A 户 A A AE 二BE, AC 二BC, AD 二BD 3、证明： 利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等。板书： （AE = BD CD是圆0的直径〕 A 杵 工—M

垂径定理教学设计

垂径定理教学设计集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

第三章圆 《垂径定理》教学设计 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能． 学生活动经验基础：在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力． 二、教学任务分析 该节内容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理．具体地说，本节课的教学目标是： 1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 3．经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． 教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 教学难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．三、教学设计分析 第一环节复习引入 1.圆是轴对称图形吗？指出它的对称轴。 2．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M． （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．

第二环节探索新知 条件：①CD 是直径；结论：③AM =BM ； ②CD ⊥AB ④=；⑤=. 证明：连接OA ,OB ,则OA =OB . 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中, ∵OA =OB ，OM =OM ， ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM . ∴AM =BM . ∴点A 和点B 关于CD 对称. ∵⊙O 关于直径CD 对称, ∴当圆沿着直径CD 对折时,点A 与点B 重合, 和重合,和重合. ∴=，=. 2．证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？ 注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦． 4．垂径定理逆定理的探索 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M . （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 条件：①CD 是直径； ②AM =BM 结论：③CD ⊥AB ； ④=；⑤=. 让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容 ——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. O C D B A O C D E O C D B

垂径定理教学设计教案

《垂径定理》教学设计 单位：登封市大金店二中 授课教师：唐海广

《垂径定理》教学设计 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能． 学生活动经验基础：在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力． 二、教学任务分析 该节内容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理．具体地说，本节课的教学目标是： 知识与技能 1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 过程与方法 1．经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． 情感与态度 1. 培养学生类比分析，猜想探索的能力． 2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 教学难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．三、教学设计分析 本节课设计了四个教学环节：

类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结. 第一环节类比引入 活动内容： 1.等腰三角形是轴对称图形吗 2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论 3. 圆，得到的图形是否是轴对称图形呢 活动目的： 通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力． 第二环节猜想探索 活动内容： 1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）该图是轴对称图形吗如果是，其对称轴是什么 （2）你能图中有哪些等量关系说一说你的理由． 条件：①CD是直径；②CD⊥AB 结论（等量关系）：③AM=BM； ④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD. 证明：连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合, ⌒AC和⌒BC重合,⌒AD和⌒BD重合. ∴⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD.

经典垂径定理教案

垂直于弦的直径（第一课时）教案 教学目标： 1、知识目标：通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性； 掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； 能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。 2、能力目标：在研究过程中，进一步体验“实验—归纳—猜想—证明”的方法； 在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决。 3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学 的热爱。 教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。 教学难点：对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理。 教学用具：圆规，三角尺，PPT 课件 教学过程： 一、复习引入 1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称） 2、实验：探究圆的轴对称性。如图（1），若将⊙O 沿直径AB 对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片 亲自实验，教师引导学生努力发现： 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线） 都是它的对称轴。 3、引入新知：如图（2），左图中AB 是⊙O 的弦，直径CD 与弦AB 相交，那么沿直径CD 所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB 是⊙O 的弦，直径C D ⊥AB,垂足为E 。此时再沿直径CD 所在直线折叠，图形可以重合吗？（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容。 二、新课 B （1） （2）

（一）猜想，证明，形成垂径定理 1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD 所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？ 2、猜想：可能出现的位置关系是： 线段AE 和线段BE 重合，弧AC 和弧BC 重合，弧AD 和弧BD 重合。 可能出现的数量关系是： ,,AE BE AC BC AD BD === 3、证明： 利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE 与线段BD 相等，利用圆的对称性证明对应弧相等。板书： O CD AB,E AE BD CD AC BC AD BD =????=??⊥??=? 是圆的直径垂足为 4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 （二）分析垂径定理的条件和结论 1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象。 2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理本质的了解。 练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？

垂径定理优质课教学设计

垂径定理教学设计 【教学目标】 知识与技能： 1、知识目标：通过实验观察，让学生探索垂径定理的证明过程； 掌握垂径定理，能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。 2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、 归纳问题和解决问题的能力，培养发散思维。 过程与方法： 1、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、 深化新知，共同感受收获的喜悦。 2、在解决垂径定理的相关问题中总结出相应的解题方法和常见辅助线作法，渗透类比、转化、数形结合、方程、 建模等数学思想和方法 情感态度与价值观： （1）体会数学知识与现实生活的密切联系； （2）通过图片欣赏感受数学文化，激发学习热情； （3）养成独立思考、合作交流、反思质疑、主动探究的习惯，形成严谨的科学态度，培养学生勇于探索的精神。【教学难点】 垂径定理的证明和应用。 【教学重点】 运用垂径定理解决有关证明与计算问题 【教学媒体】 自制教具，圆规，三角尺，PPT课件 【教学方法】 问题教学法、实验教学法、探究教学法、引导发现法

设计意图：通过该观察和猜想让学生感知当直径与弦垂直时有特殊的性质。 2、操作验证 你能借助桌上的圆形纸片进行适当的操作来个猜想是否合理吗？动手试一试。培养学生养成严谨的思维习惯。 弦对的两图2 图3 图1

②、归纳垂径定理的几个基本图形 设计意图：让学生熟记定理应用的条件，检验是否理解了定理，熟悉定理能应用的相应图形。 垂足为M，AB=12，半径OB=10

师生共同总结常用方法：垂径定理常和勾股定理结合使用，半径、半弦、弦心距三个量中任知两个量，可求第三个量。 设计意图：让学生即学即练，初步运用定理解决简单计算问题，并总结解题方法。 方法归纳：当半径、半弦、弦心距三个量中不直接具备 进一步培养学生运用垂径定理解决有关计算问题的能力，初步感受“连半径”这一辅助线作法和方程思想。

垂径定理教学设计讲课教案

垂径定理教学设计

2 垂径定理（第一课时）教学设计 兰甲明 【教学内容】§7．3垂径定理（初三《几何》课本P76~P78） 【教学目标】 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。 【教学方法】探究发现法。 【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 【教学设计】 一、实例导入，激疑引趣 1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以 升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州 桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北 省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最 早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年 历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB 也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的 ⌒ 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 半径（即AB 所在圆的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1） 二、尝试诱导，发现定理 1．复习过渡： ①如图2(a)，弦AB 将⊙O 分成几部分？各部分的名称是什么？ ②如图2(b)，将弦AB 变成直径，⊙O 被分成的两部分各叫什么？ ③在图2(b)中，若将⊙O 沿直径AB 对折，两部分是否重合？ （图2 ） （图3） 2．实验验证： 让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质—— 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。 3 ．运动变换： ①如图3(a)，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ ②如图3(b)，当AB ⊥CD 时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？ ③如图3(c)，当AB 向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？ 4．提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想—— （板书） ?????===????⊥BD AD BC AC BD AE CD E AB,CD O 垂足为弦的直径是圆 5．验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD 对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。 三、引导探究，证明定理 B B B ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

第四讲、垂径定理教师版

知行力教育辅导教案 学员姓名：年级：第课时课程类型：辅导科目:数学教师：朱老师 课题第四讲垂径定理专题 授课时间：20 月日:00-- :00备课时间：20 月日教学目标 1.理解圆的对称性； 2.掌握垂径定理及其推论； 3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明. 重点、难点 掌握垂径定理及其推论； 利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明. 考点及考试要求掌握垂径定理及其推论；利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明. 教学内容 第四讲垂径定理专题 一、【要点梳理】 知识点一、垂径定理 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 要点诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 二、【典型例题】 类型一、应用垂径定理进行计算与证明 1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝6 cm ，OD ＝4 cm ，则DC 的长为（ ） A ．5 cm B ．2.5 cm C ．2 cm D ．1 cm 【思路点拨】 欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA. 【答案】D ； 【解析】连OA ，由垂径定理知1 3cm 2 AD AB = =， 所以在Rt △AOD 中，2 2 2 2 435AO OD AD =+=+=（cm ）． 所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）. 【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。 举一反三： 【变式】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。 【答案】1cm ． 2．如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ） A ．MP 与RN 的大小关系不定 B ．MP ＝RN C ．MP ＜RN D ．MP ＞RN 【答案】B ；【解析】比较线段MP 与RN 的大小关系，首先可通过测量猜测MP 与RN 相等， 而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证△OMP ≌△ONR ， 如果联想到垂径定理，可过O 作OE ⊥MN 于E ，则ME ＝NE ，PE ＝RE ，∴ ME －PE ＝NE －RE ，即MP ＝RN ．