复变函数论第三版课后习题答案解析

固体物理课后答案

1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52体心立方3π/ 8 ≈0.68面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密 排2π/ 6 ≈0.74金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为

面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线

根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；

复变函数试题与答案

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

固体物理习题解答

《固体物理学》习题解答 ( 仅供参考) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院2003级

2006年6月 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl － 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。 由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 12 3()2()2()2a a a ? =+?? ?=+?? ?=+?? a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为： ,,.a a a =?? =??=? a i b j c k 2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的 晶面指数()h k l m 。 解： (1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：１，１，1 2 -，１。所以， 其晶面指数为()1121。

(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1 2-，∞。 所以，其晶面指数为()1120。 (3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。 (4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 π ；六角密集：6；金刚石： 。 证明： 由于晶格常数为a ，所以： (1)．构成简立方时，最大球半径为2 m a R = ，每个原胞中占有一个原子， 3 34326m a V a π π??∴== ??? 36 m V a π∴ = (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子， 3 3 422348m V a π??∴=?= ? ??? 32m V a ∴ = (3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子， 3 3 444346 m V a a π??∴=?= ? ???

复变函数论第三版课后习题答案

第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z

《复变函数论》试题(B)

得分评卷 人 上装订线 院（系）名：班级：姓名：学号：考生类别： 考试日期： 下装订线 复变函数论（B） 题号一二三四五六七八九十总分 分数 答卷注意事项： 1、学生必须用蓝色（或黑色）钢笔、圆珠笔或签字笔直接在试题卷上答题。 2、答卷前请将密封线内的项目填写清楚。 3、字迹要清楚、工整，不宜过大，以防试卷不够使用。 4、本卷共 4 大题，总分为100分。 Ⅰ. Cloze Tests（ Points） 1. If ，then . 2. If denotes the circle centered at positively oriented and is a positive integer，then . 3. The radius of the power series is . 4. The singular points of the function are . 5. , where is a positive integer. 6. . 7. The main argument and the modulus of the number are . 8. The square roots of 1+ are . 9. The definition of is .

得分评卷人 得分评卷人 10. Log= . Ⅱ. True or False Questions ( Points) 1. If a function is differentiable at a point ，then it is continuous at .（） 2. If a point is a pole of order of ，then is a zero of order of .（） 3. An entire function which maps the plane into the unite disk must be a constant.（） 4. A function is differentiable at a point if and only if whose real and imaginary parts are differentiable at and the Cauchy Riemann conditions hold there.（） 5. If a function is continuous on the plane and 0 for every simple closed contour , then is an entire function. ( ) Ⅲ. Computations ( Points) 1. Find . 2. Find the value of .

复变函数论第三版课后习题答案解析

1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。 解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ， 所以 z 1 z 2

《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)

《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-

复变函数课后习题答案(全)

习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+=

（2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- =

《复变函数论》试卷一

《复变函数论》试卷一 一、填空（30分） 1. 将复数()πααα≤≤+-=0sin cos 1i z 化为三角表示式，则=z 把它化为指数表示式，则=z 2.=+i e π3 ，()i i +1的辐角的主值为 3. =z 0是()44sin z z z f =的 阶零点. 4.0z 是()z f 的()1>m m 阶零点，则0z 是 () z f '1 的 阶极点. 5.已知()()2323cxy x i y bx ay z f +++=为解析函数， 则___________________===c b a 6.方程0273=+z 的根为 ， ， 二、简要回答下列各题（15分） 1. 用复数i 去乘复数i +1的几何意义是什么？ 2. 函数()z f 在0z 解析有哪几个等价条件？ 3. 设函数()z f 在单连通区域D 内处处解析，且不为零，C 是D 内的任一简 单闭曲线，问积分()() dz z f z f c ? '是否等于零，为什么？ 三、计算下列积分（16分） 1. c zdz ?，c 是从点1i -到点1i +的有向直线段 2. 20 2cos d πθ θ +? 四、（12分） 求函数() 1 1z z +在圆环112z <-<内的洛朗级数展开式.

五、（12分） 证明方程24290z z ++=在单位圆1z =内及其上无解. 六、（15分） 求映射，把带形区域0Re 2z <<共形映射成单位圆1w <，且把1z =映 射成0w =，把2z =映射成1w =. 《复变函数》试卷二 一、填空题（20分） 1. －2是 的一个平方根 2. 设2 1i z --= ，则，=z Argz ＝ =z Im 3. 若2 2z z =，则θi re z =满足条件 4. =z e e ，() =z e e Re 5. 设1≠=θi re z ，则()=-1ln Re z 6. 设变换βαβα,,+=z w 为复常数，则称此变换为 变换，它是由 等三个变换复合而成. 7. 幂级数∑∞ =1 2n n n z n 的收敛半径=R 8.函数 b az +1 在0=z 处的幂级数展开式为 ，其收敛半径为 9.变换z e W =将区域π<

黄昆版固体物理学课后答案解析答案

《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3

(完整)《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档

2 3 ∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A） 1．1 -i 一．填空题（每小题3 分，共计15 分） 的幅角是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1 ）；3.f (z) =1 +z 2 ， z - sin z f (5)(0) =（）； f (z) = 1 ， 4．z = 0 是 z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）； 二．选择题（每小题3 分，共计15 分） 1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）； （A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y； （C） f '(z) =u x +iv y ； （D） f '(z) =u y +iv x. 2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ． 3 ；（B）3(z -1) ；（C） 3(z -1) ；（D） 3 . （A） z - 2 z - 2 (z - 2)2 (z - 2)2 3.如果级数∑c n z n 在z = 2 点收敛，则级数在 n=1 （A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛； （C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点一定发散．４．下列结论正确的是( ) （A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点一定解析； 得分

e (B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ? C f (z )dz = 0 （C ） 如果 ? C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内一定解析； （D ） 函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是 u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) ∞为sin 1 的可去奇点 z (B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤立奇点; ∞ 1 (C) sin 1 z (D) 为 的孤立奇点. sin z 三．按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分） （1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求 a , b , c , d . z （2）．计算 ? C z (z - 1)2 d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ； 得分

第二学期 复变函数论期末试卷A

黄冈师范学院 2009—2010学年度第二学期期末试卷 考试课程：复变函数论 考核类型：考试A 卷 考试形式：闭卷 出卷教师： 考试专业：数信学院数教 考试班级：数教200701-02班 一、 选择题（每小题4分，共20分） 1、复数i z 45-=，则=2Re z （ ） A 、40 B 、9 C 、-40 D 、-9 2、关于复数z ，下列不正确的是（ ） A 、||2z z z = B 、)Im()Re(iz z = C 、z Argz arg = D 、z z sin )sin(-=- 3、已知xy i y x z f 2)(22+-=，则)(z f ''是（ ） A 、2 B 、y x 22- C 、2z D 、0 4、下列等式中不正确的是（ ） A 、?==0cos 111z dz z B 、02111=?=dz e z z z C 、??=dz z f k dz z kf )()( D 、? =z z e dz e 5、下列级数收敛的是（ ） A 、∑∞ =+1)21(n n i n B 、∑∞=??????+-12)1(n n n i n C 、∑∞=02cos n n in D 、∑∞=+o n n i )251( A 卷 【第 1 页 共 2 页】

二、填空题（每小题4分，共20分） 1、=-)22(i Arg ____________； 2、函数z e z f =)(是以 _______为基本周期； 3、幂级数∑∞ =12n n n z 的收敛半径R=____________； 4、函数()z z f cos =在0=z 处的泰勒级数是_________ ； 5、计算积分?==1||1 2 z z dz e 二、 判断题（每小题2分，共10分） 1、在几何上，θi re z =与)2(πθk i re z +=表示同一个复角.（ ） 2、当复数z=0时，则有0=z 和0arg =z .（ ） 3、可导函数一定处处连续，连续函数不一定处处可导.（ ） 4、若)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内存在无穷阶导数.（ ） 5、收敛级数的各项必是有界的.（ ） 三、 计算及证明题（8+8+10+12+12，共50分） 1、若0321=z z z ，则复数321,,z z z 中至少有一个为零（8分） 2、已知解析函数iv u z f +=)(的虚部为222121y x v +- =，且0)0(=f ，求)(z f （8分） 3、已知c 为从z =0到z =2+i 的直线段，求?dz z c 2（10分） 4、将z e z -1在0=z 处展成幂级数（12分） 5、将函数2 )(+=z z z f 按1-z 的幂展开，并指出它的收敛范围.（12分） A 卷 【第 2 页 共 2 页】

固体物理课后习题与答案

第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。

复变函数与积分变换课后习题答案详解

… 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案

习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==．

《复变函数论》试题(A)

复变函数论（A ） 答卷注意事项： 、学生必须用蓝色（或黑色）钢笔、圆珠笔或签字笔直接在试题卷上答题。 2、答卷前请将密封线内的项目填写清楚。 3、字迹要清楚、工整，不宜过大，以防试卷不够使用。 4、本卷共 4 大题，总分为100分。 Ⅰ. Cloze Tests （20102=? Points ） 1. If n n n n i i z ?? ? ??++??? ??-=1173，then lim =+∞ →n n z . If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is a positive integer ，then ) (1 0=-?C n dz z z . The radius of convergence of ∑∞ =++1 3 )123(n n z n n is . The singular points of the function ) 3(cos )(22+=z z z z f are . 0 ,)ex p(s Re 2=?? ? ??n z z , where n is a positive integer. =)sin (3z e dz d z . The main argument and the modulus of the number i -1 are .

8. The square roots of i -1 are . 9. The definition of z e is . 10. Log )1(i -= . Ⅱ. True or False Questions (1553=? Points) 1. If a function f is analytic at a point 0z ，then it is differentiable at 0z .（ ） 2. If a point 0z is a pole of order k of f ，then 0z is a zero of order k of f /1.（ ） 3. A bounded entire function must be a constant.（ ） 4. A function f is analytic a point 000iy x z += if and only if whose real and imaginary parts are differentiable at ),(00y x .（ ） 5. If f is continuous on the plane and =+?C dz z f z ))((cos 0 for every simple closed path C , then z e z f z 4sin )(+ is an entire function. ( ) Ⅲ. Computations (3557=? Points) 1. Find ?=-+1||)2)(12(5z z z zdz . 2. Find the value of ??==-+22812 2) 1(sin z z z z dz z dz z z e .

固体物理(严守胜编著) 课后答案 第1章

1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明 （1）电子气体的压强 ()() V p 032ξ?=，其中 0ξ为电子气体的基态能量。 （2）体弹性模量()V p V K ??-=为V 100ξ 解：（1） () 3 2 352225 223101101-==V N m h V m k h F πππξ （1.1.1） () () () ()() V V N m h V N m h V N m h V V p 035 352223535222323522223101323231013101ξππππππξ?==??? ? ??--=??? ? ????=??-=--- （1.1.2） （2） ()() () () V V N m h V N m h V V N m h V V V p V K 1031019103531013231013203 8 35222 383 52 22 353522 2ξππππππ==??? ? ??--=??? ? ????-=??-=--- （1.1.3） 1.2 He 3 原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附近，液体He 3 的密度为0.081g ?cm -3。 计算费米能量F ε和费米温度F T 。He 3 原子的质量为g m 24105-?≈。 解：把 He 3 原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1. 3 2832224 1062.11062.1105081 .01m cm m Z n m ?=?=??== --ρ （1.2.1） ( ) 19173 1 2 108279.7108279.73--?=?==m cm n k F π （1.2.2） () eV J m k F F 42327 2 9 3422102626.41080174.6100.52108279.710055.12----?=?=?????= =ηε （1.2.3） K k T B F F 92.410381.1106.801742323=??==--ε （1.2.4）