无锡新领航教育特供：三角函数4
小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导
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无锡新领航教育特供：各地解析分类汇编:三角函数4
1.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）已知函数21()2cos ,()2
f x x x x R =--∈ （Ⅰ）当5[,]1212x ππ
∈-时，求函数(
)f x 的最小值和最大值； （Ⅱ）设ABC ?的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且()0c f C ==，
若向量
(1,sin )m A = 与向量(2,sin )n B = 共线，求,a b 的值。
【答案】1cos 21()222x f x x +--12cos 212x x =--sin(2)16x π=--。 ∵51212x ππ-
≤
≤，∴22363x πππ-≤-≤， ∴sin(2)16
x π≤-≤，从而01)62sin(231≤--≤--πx 。 则)(x f 的最小值是231--，最大值是0。 （2）()sin(2)106f C C π=-
-=，则1)62sin(=-πC ， ∵0C π<<，∴112666C π
ππ-<-<，∴262
C ππ-=，解得3C π=。 ∵向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，∴sin 2sin B A =，
由正弦定理得，2b a = ①
由余弦定理得，3cos
2222πab b a c -+=，即322=-+ab b a ② 由①②解得2,1==b a 。
2.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】（本小题满分12分）
ABC ?中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边c b a ，，满足ac b 322=，求A.
【答案】解：由C B A 、、成等差数列可得C A B +=2，而π=++C B A ，
故33ππ=
?=B B ，且A C -=32π.………………3分 而由ac b 322=与正弦定理可得C A B sin sin 3sin 22= …………5分
A A sin )3
2sin(33sin 22
-=??ππ 所以可得
第28章_锐角三角函数全章教案
课题锐角三角函数——正弦 一、教学目标 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、能根据正弦概念正确进行计算 3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。 二、教学重点、难点 重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 三、教学过程 （一）复习引入 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片） 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。 你想知道小明怎样算出的吗？ 师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测 算出旗杆的大致高度； 实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线 段的长度，来测算出旗杆的高度。 这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。 下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦 （二）实践探索 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 分析： 问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB 根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即 34 1米 10米 ?
中考数学锐角三角函数-经典压轴题含答案解析
中考数学锐角三角函数-经典压轴题含答案解析 一、锐角三角函数 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40o ，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60o ，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中， 3 1.73tan 3AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D． (1)求证：PA是☉O的切线； (2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=. 【解析】 试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线； （2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值． 试题解析：（1）连接OB，则OA=OB， ∵OP⊥AB，∴AC=BC， ∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB， 在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS） ∴∠PBO=∠PAO，PB=PA， ∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA， ∴PA是⊙O的切线； （2）连接BE，
揭秘日本精英教育
揭秘日本精英教育 “偏差值精英”毫无用处 不久前的日本媒体，就介绍过这样一位倾力于“一小撮教育”的“学霸妈妈”——专业主妇佐藤亮子。佐藤亮子毕业于日本女教育 家津田梅子创办的津田塾大学英文系，在私立高中做了两年英文老 师后，结婚、辞职、做专业主妇，生下三男一女四个孩子。现在三 个儿子都考入东京大学医学部，最小的女儿上高一，也在准备考东大。她在接受《周刊朝日》采访时介绍自己的育儿方法：制定阅读 计划，3岁前给孩子阅读一万册绘本，听一万首歌谣，电视是多余的，包起来放进储藏室……她的儿子不仅成绩优异，人还长得帅。 今年8月份的《周刊朝日》封面，就是佐藤亮子的大儿子佐藤真亮 身穿和服的大头照，清瘦俊秀、鼻梁挺直，颜值不让日本当红小生。 从普罗大众的视角来看，这已经是绝对的“精英教育”了。但如果按数学学者藤原正彦的标准，这样的精英，只能被划分到“偏差 值精英”类。日本的考试是算偏差值的，所谓“偏差值精英”，相 当于中国的“分数精英”或“考试精英”。 藤原正彦说:“以财务省为首，在霞之关的确有不少东大毕业的 成绩优秀的佼佼者，但那些都不过是所谓的‘偏差值精英’，在 ‘偏差值很高’这一点上，能力还是很不错的，但也只不过是跟擅 长单腿跳之类差不多的东西，对国家来说根本派不上什么用处。” “国家精英”早已绝迹 1943年出生于中国长春的藤原正彦，其本人也是日本精英社会 的一员：父亲是著名作家新田次郎，毕业于东京大学理学部数学科、并在东大大学院获得硕士学位的藤原正彦，曾先后任教于美国密歇 根大学、科罗拉多大学、英国剑桥大学，现为日本御茶之水女子大 学理学部教授。受作家父亲的影响，藤原正彦不仅是数学公式写得美，文笔也非常漂亮。2005年藤原正彦写过一本轰动全日本的书 《国家的品格》。在这本半年时间不到销量便超过265万册，并引
锐角三角函数全章教案
锐角三角函数全章教案 单元要点分析 内容简介 本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用． 相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础． 本章属于三角学中的最基础的部分内容，而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础．教学目标 1．知识与技能 （1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值． （2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角． （3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题． （4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 2．过程与方法 贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，再运用这些规律于实际生活中． 3．情感、态度与价值观 通过解直角三角形培养学生数形结合的思想． 重点与难点 1．重点 （1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，?应该牢牢记住． （2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题． 2．难点 （1）锐角三角函数的概念．
（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，?解决问题的能力． 教学方法 在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解．?讲课时应注意，只有让学生正确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，才能运用这些关系解直角三角形．故教学中应注意以下几点： 1．突出学数学、用数学的意识与过程．三角函数的应用尽量和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题． 2．在呈现方式上，突出实践性与研究性，三角函数的意义要通过问题经出，?再加以探索认识． 3．对实际问题，注意联系生活实际． 4．适度增加训练学生逻辑思维的习题，减少机械操作性习题，?增加探索性问题的比重．课时安排 本章共分9课时． 28．1 锐角三角函数4课时 28．2 解直角三角形4课时 小结1课时 28．1 锐角三角函数 内容简介 本节先研究正弦函数，在此基础上给出余弦函数和正切函数的概念．通过两个特殊的直角三角形，让学生感受到不管直角三角形大小，只要角度不变，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这为引出正弦函数的概念作好铺垫．这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完
九年级数学锐角三角函数知识点与典型例题
锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA=， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 2、取值范围
2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点， ?= ∠4 3 sin AOC 求AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 5B ．25 C ．12 D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B .45 C .34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ． 2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ， 和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ． 12 B ．32 C ．35 D ．4 5 D C B A O y x 第8题图
精英教育理念
精英教育 特点：不是人云亦云有自己的思想 一、我们对教育的疑问点： 1、审题错误：难道只是仔细的错误？ 2、知识的理解深度不一样？--只是考做题来的吗，智商不一样吗？ 3、会的题目在考场上就是做不对？ 4、课本的读法？上课的方法？学习的效率？ 5、有的人知道考试怎么考，可以预测考题，有的人却不知道？ 6、自己看老师讲题很简单，但是自己做的时候就是做不对？ 7、学习的兴趣问题？怎么对每一科目有兴趣呢？ 8、马虎问题多年没解决？比如书写错误，计算错误，回忆错误？ 9、莫非定律的应用：一个人对于考试结果在意程度的高低与他获得这个结果的可能性成反比---心态问题，不能正常发挥？ 10、为什么选择题这块有的人就可以找到它的漏洞，如何提高选择题目的技巧，提高解题速度？ 11、冲刺时间的不同心态用何种调整方法呢？ 12、死记硬背的方法？英语语感的形成？真实的语言体系是什么？语法多的很？ 13、做题速度的快慢只是熟练度的问题吗？还有其他的因素影响吗？ 14、学生的逆反心理对成绩的影响？对家长的、对老师的反感问题影响成绩？ 15、学生的好成绩真是老师的教育出来的吗？是选拔造成的比例问题，没有体现老师质量的本质区别。 16、不能通过老师的教教出好学生吗？ 17、教育的本质是什么？不是教只是，教会学生思考问题的方法，让它在面临新问题的时候可以游刃有余。、 二、教育与高考的关系 1、知识体系知识的定义是什么？变形的方式很多如何办？ 2、思维体系各个学科有共性思维存在 3、情商体系情商比智商更重要 结论：素质教育和应试教育是可以结合起来的，不是冲突，而是现在没做到位。 三、以什么态度面对现在的这些培训以及其他的课程 1、认可其中合理的存在 2、缺点：不全面各个方面的针对性不够 四、管式高考的全套体系 1.高考题目中的语言定义体系 1）将不同科目中不同的定义讲清楚 2）目的：身体再也不会出现错误，或者减少到最小 2、知识体系 1)知识本身的描述与定义 2）对全部真正对知识点的理解（用思维）而不是记忆例子：不是有顺序才是排列有区分才是排列 3）如何运用这个知识点 4）如何搞清楚知识点的内在联系以及什么是中间知识点
锐角三角函数--特殊角的函数值
25.2锐角三角函数（2） 教学目标 ：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理. 进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 教学重点： 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 教学难点： 进一步体会三角函数的意义. 教学方法：自主探索法。 教学准备：一副三角尺、 多媒体演示。 教学过程： 一：.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法 ) 提示：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 问题1：我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，你能求出30°角的三个三角函数值吗? 二.新知学习 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝ 2 1. sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与 斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ， 所以sin30°＝ 2 12=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝ 2 323=a a . tan30°= 333 13==a a
第二十八章 锐角三角函数全章测试(一)
第二十八章 锐角三角函数全章测试 一、选择题 1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,3 2sin =A 则AC 的长为( ) A ．6 B ．52 C ．53 D ．132 2．⊙O 的半径为R ，若∠AOB ＝α ，则弦AB 的长为( ) A ．2 sin 2α R B ．2R sin α C ．2 cos 2α R D ．R sin α 3．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．312 B ．12 C ．324 D ．348 4．若某人沿倾斜角为α 的斜坡前进100m ，则他上升的最大高度是( ) A ． m sin 100 α B ．100sin α m C ． m cos 100 β D ．100cos β m 5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( ) A ．15m B ．12m C ．9m D ．7m 6．P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2α ，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( ) A ． α α tan sin R B ． α α sin tan R C ． α α tan sin 2R D ． α α sin tan 2R 7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，若CB ＝a ，∠B ＝β ，则AD 等于( ) A ．a sin 2β B ．a cos 2β C ．a sin β cos β D ．a sin β tan β 8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么 AB DC 的值为( ) A ．sin ∠APC B ．cos ∠APC C ．tan ∠APC D ． APC ∠tan 1 9．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆的仰角∠ECA 为30°，旗杆底部的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( )
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3
特殊角的三角函数值的巧记
特殊角的三角函数值的巧记 特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背． 那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法 根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法． 首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系． 对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、 斜边的比是掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意 一个锐角三角函数值，如：001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点． 在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三 角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1 住：00sin 45cos 452 == ，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义． 二、列表法：
说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1 →22→23→1变化，其余类似记忆． 三、口诀记忆法 口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号， 不能丢掉．如tan60°= =tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记． 四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ． 例1.tan30°的值等于（ ）
省优秀课一等奖：锐角三角函数全章教案
【锐角三角函数全章教案】 锐角三角函数（第一课时） 教学三维目标： 一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。 三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。 教材分析： 1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念 2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切 教学程序： 一．探究活动 1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2．归纳三角函数定义。 siaA= 斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边 的对边 A A ∠∠ 3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。 4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60°
2. 求下列各式的值 （1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)0 4530cos sia +ta60°-tan30° 三．拓展提高P82例4.（略） 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=2 3 ,AC=23,求AB 四．小结 五．作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10
解直角三角形应用（一） 一．教学三维目标 (一)知识目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)能力训练点 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感目标 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 三、教学过程 (一)知识回顾 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=b a (2)三边之间关系 a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二） 探究活动 1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题评析
初中数学锐角三角函数的经典测试题及解析
初中数学锐角三角函数的经典测试题及解析一、选择题 1．如图，在扇形OAB中，120 AOB ∠=?，点P是弧 AB上的一个动点（不与点A、B重 合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33 CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π 【答案】A 【解析】 【分析】 如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题． 【详解】 解：如图作OH⊥AB于H． ∵C、D分别是弦AP、BP的中点． ∴CD是△APB的中位线， ∴AB＝2CD＝63 ∵OH⊥AB， ∴BH＝AH＝33 ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠AOH＝∠BOH＝60°， 在Rt△AOH中，sin∠AOH＝ AH AO ， ∴AO＝ 33 6 sin3 AH AOH == ∠， ∴扇形AOB的面积为： 2 1206 12 360 π π = g g ，
故选：A ． 【点睛】 本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A 2 B 22 C 42 D 32 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?DE 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90? 在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45? ∴AD=CD=22在Rt △ADB 中，AD=22ABD=60? ∴BD=33AD=263 ． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠EBD=30°． 在Rt △EBD 中，26，∠EBD=30° ∴DE=33BD=223 ∴AE=AD ?DE=222242 故选：C 【点睛】
精英教育的劣势 The disadvantages of elite education
精英教育的劣势The disadvantages of elite education （中英文齐备）也是超超超赞的一篇article来源：肖问渠的日志 摘要：本文简要探讨了精英教育对学生造成的不利影响，揭露了精英教育疏远人性、鼓吹虚假的自我价值、提供平庸和安全的诱惑、消磨欣赏孤独的能力等劣势，指出大学的宗旨是塑造灵魂而不是培养就业能力。 我到了三十五岁时才突然认识到我的教育可能存在一些漏洞。我刚刚买了房子，需要安装水管，请来的管子工就站在我的厨房。他个子矮小、结实健壮，留着山羊胡，戴一顶红色棒球帽，说话操着浓浓的波士顿口音，我突然意识到根本就不知道该如何给人家讲话。在我看来，他的经历是如此陌生，他的价值观是如此难以预测，他的语言怪异难懂，在他开始干活前，连和他闲聊几句都不可能。我十四年的大学教育和在几所常春藤大学工作的经历使得我傻乎乎站在那里，笨拙不堪，尴尬不已。有个朋友称这种现象为“常春藤错位”。我可以用外语和其他国家的人侃侃而谈，却无法和站在我家里的人说两句话。 我花费这么长时间才发现教育的错误程度并不让人吃惊，因为精英教育绝不可能让你认识到它自身的缺陷。正如在耶鲁和哥伦比亚大学二十多年的经验显示的，名牌学校不断地鼓励学生为能到这些地方上学而自豪，不断夸耀名牌大学经历能给他们带来的好处。精英教育的优势当然是不可否认的。你至少在某些方式上学会思考，还可以建立一些日后开创事业所需要的人际关系，获得让世人羡慕的富裕生活或其他报答。但是在这个背景下，如果认为它创造了一些机会，却丧失了其他机会，培养了有些能力，却其削弱了其他能力，不仅是大逆不道的而且是不可思议的。 我不是在谈论课程设置或者文化战争、美国思想的开放或者关闭、政治正确或者准则塑造或任何你拥有的东西，我是在讨论出现这些偏颇的整个体制。不仅是常春藤学校或者其他大学，而且包括让你获得优越地位的整个机制：私立或富裕的公立“填鸭式”学校、越来越泛滥的辅导老师、备考课程和辅导班等准机构、导致录取与否的招生疯狂。像通常情况一样，信息就是媒介。精英大学课堂之前、之后、和周围都在集中灌输着价值观。随着全球化加剧经济不安全感，学生、家长、和整个社会都越来越指望获得教育优势的整个机制。既然有这么多资源投入到精英教育的事业中，有这么多人来争夺向上阶梯的有限空间，我们有必要问一下最后你到底能得到什么，我们整体能得到了什么，因为正如大学不厌其烦地提醒他们的，当今的精英学生是未来的领袖。我们这些最好的大学已经忘记了存在的理由是塑造灵魂而不是创造职业。 正如我在厨房认识到的，精英教育的第一个劣势是它让你无法和与你不同的人进行交流。精英大学常常夸耀自己的多元化，但是这种多元化几乎总是限于种族和民族的范畴。说到阶级，这些学校基本上越来越多地趋同化。如果你到我们伟大国家的任何一所名牌大学看看，就会惊讶地发现白人商贾名流和专业人士的子女和黑人、亚裔、拉丁裔商贾名流和专业人士的子女一起学习和玩耍的温馨场景。与此同时，因为这些学校培养自由态度，所以让这些学生陷入矛盾的困境，他们愿意为工农阶层代言，却无法与来自这些阶层的人进行简单交流。让我们回顾一下上次民主党的两个总统提名候选人戈尔和克里的情景吧。他们一个来自哈佛，一个来自耶鲁，两人都是真诚、体面和富有智慧的人，但他们都根本无法和选民沟通交流。 但是这不仅仅是阶级问题。我的教育让我相信没有进入常春藤大学或者其他名牌大学的人是不值得交谈的，不管他出身于什么阶级。我得到的教育清清楚楚显示这些人低我一等。正如名牌大学喜欢宣扬的，我们是“最好的、最聪明的人”，其他任何地方的人都与我们不同：没
锐角三角函数之间的关系和特殊角Word版
课题：锐角三角函数之间的关系和特殊角 学习目标： 1、熟练掌握正弦和余弦、正切的关系和互化. 2、了解同一锐角三角函数间的平方关系、商数关系 3、掌握30度、45度、60度的三角函数值，能够用它们进行计算。 自主学习 一.正弦和余弦的关系 1.任意锐角的正弦值都等于它的余角的 值.cos sin =α 2.任意锐角的余弦值都等于它的余角的 值.sin cos =α 二..平方关系：1.推导：=+αα22cos sin 1 2、已知α为锐角，且5 3sin = α，则αcos = . 3、已知α为锐角，且13 12cos =α，则=αsin . 三.商数关系：1.推导：αα αtan cos sin = 2、已知α为锐角，且5 3sin =α，那么=αtan . 3、已知α为锐角，且13 5cos =α，那么=αtan . 4、已知α为锐角，且2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+= . 四、特殊角：根据直角三角形边角关系把108页表格填写完整。 合作再探 一、填空（正弦和余弦、正切和余切互化） ①sin48°= . ②cos63°= .sin54°= . ○ 4cos72°= . 2. 已知α为锐角，且sin α= 5 4,那么cos α= . 3. 已知α为锐角，且cos α=13 12,则tan α= . 4. 已知α为锐角，且tan α=3,则ααααcos sin cos sin +-= . 5、 若sinA=cos 245°,则∠A= 。 6、 △ABC 中，有01sin 22 3cos =-+-B A ,那么∠C= 。 7、若∠A=60°，则化简=-2)sin 1(A . 8、Rt ?ABC 中，∠C=?90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值
锐角三角函数超经典讲义
锐角三角函数 知识点一：锐角三角函数 1、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 2、锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin 。 3、锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos 。 4、锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan 。 sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。 考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosB=5 4 ，则AC ：BC ：AB=（ ） A 、3：4：5 B 、5：3：4 C 、4：3：5 D 、3：5：4 2、已知锐角α，cosα= 3 5 ，sinα=_______，tanα=_______。 3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB= = ______。 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 1 3 ，则BC 等于_______。 5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ） A 、ncosB B 、1 n cosB C 、cos n B D 、不变 考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形 例1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 6、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三
解读精英教育一
解读精英教育一：中国需要培养领袖和公民的真正教育！ (2009-08-08 10:49:25) 转载▼ 分类：解读精英教育系列 标签： 留学 精英教育 贵族教育 应试教育 中国传统文化 文化 题记：“十八世纪初期，耶鲁要求必须为小小的新英格兰殖民区培养领袖和公民。到十九世纪中叶，我们的视野便面向全国（为全美国培养领袖）。在进入21世纪时，我们必须立志为全世界培养领袖人才。----我们的学生，要准备成为世界领袖---到目前为止，耶鲁教育出来的企业领袖超过任何一所大学。”（选自耶鲁校长理查德.雷文“对耶鲁大学新生的演讲录”，见[大学工作]一书）。 解读精英教育一： 今日学堂致力于为中国人培养未来的领袖和公民！ 作者：今日学堂（私家学馆）校长张健柏
目前全世界的公办教育模式，全都是模仿数百年前德皇威廉三世时期，德国为提供民族素质和竞争力，首度普及国民大众教育的模式。当时的德国，为了在欧洲摆脱贫穷落后的局面，在欧洲人把德语称为“猪说的语言”的鄙薄下，全权委托具有卓越远见的教育家和思想家洪堡，设计了德国的国家教育战略：“正因为德国穷，因此更需要办教育”，因此创造了这种由国家出钱，普及全民教育的模式，与欧洲传统上教育仅限于贵族和有钱人的做法相反，从此之后，德国教育模式成为公立国民教育的典范。 德国人最先的一步，是建立了柏林大学，因为当时的校长，具有卓越远见的教育家洪堡认为：大学是一个最高手段，唯有通过它，普鲁士才能为自己赢得在德意志世界以及全世界的尊重，从而取得真正的启蒙和精神教育上的领导地位。这种极具眼光的教育战略，以优厚条件吸引了欧洲大陆各国的优秀人才来当教授，先培养了一大批德国自己的知识精英和师资储备，继而在拥有大量有才华的知识分子储备的情况下，建立了从幼儿园开始的，完善的中小学国家基础教育体系，以及以技术学校为主体，研究性大学为顶峰的成人教育体系，很有效率地培养出大量有文化的知识工人。为德国从落后的农业经济国家转向工业化发展，提供了最佳的人力资源保障，为德国崛起提供了最关键的支持。此举让德国最近一百多年来一直执西方工业技术和制造的牛耳，至今德国依然是世界级的制造业大国和工业强国。也正因为德国的成功，从而德国的教
特殊锐角三角函数值
《特殊锐角三角函数值》教学反思 芦庙中心中学刘红伟 在前一段我讲了30度、45度、60度特殊角的三角函数值，它是北师大版九年级数学下册的一节课，在前一节刚讲过正弦、余弦、正切三角函数的定义和求法。现把我对本节课的做法和想法与大家交流一下，希望能得到同行和专家的指点，以期取得更大的进步。 教学目标的设计我是以大纲为指导，要求同学们 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义；能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 2.发展学生观察、分析、发现的能力；培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 3.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯. 教学重点定为：探索特殊锐角三角函数值的过程，进行这些三角函数值的计算并会比较不同锐角三角函数值大小
在引入时我采用创设情境法，“为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：（1）含30、60度角的直角三角尺（2）皮尺。请你设计一个方案，来测量一棵大树的高度。这样会增强学生的学习欲望，使学生对本节内容更感兴趣。 在讲课中我采用这几种方法： 1、让学生自主研习，独立探究。 （1）观察一副三角尺，其中有几个锐角？他们分别等于多少度？ （2）sin30度等于多少呢？你是怎样得到的？cos30度呢，tan30度呢？ 2、让学生合作学习、生生互动 （1）请同学们完成下表：30°、45°、60°角的三角函数值（表格略） （2）观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?第二列、第三列呢？ （3）同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.
中国精英教育市场状况和教育现状
中国精英教育市场状况和教育现状 精英教育市场状况 市场容量：素质教育在学前用户和K12用户中的渗透率分别为64%、 52.8%，随着政策红利倾斜、家庭对精英教育认知的深化，精英教育成为教育行业新风口，市场容量大。 政策导向：政策上大力支持素质教育的发展，进一步规范教育培训行业，对学生的减 负也给了素质教育更多的自由时间上的操作。 竞争格局：全国性垄断品牌尚未成立，行业壁垒尚未形成，区域范围内的龙头连锁企 业抢占细分类别市场，总体上格局混乱，亟待一个强势品牌的整合。 触及人群：涵盖3-16周岁，其中主要是7-13周岁群体对于培训需求最旺盛。3-6岁在幼儿园阶段，14-16处于学习压力增加期，自由时间减少。其中，超过80%的家长用 户是位于一二线城市的，在上年的子女教育投入中达到平均9万元。 精英教育现状（解决痛点） 子女教育是新中产人群最普遍的焦虑，45%的中产家庭关注子女的教育。拥有良好教 育背景的中产家庭对子女的教育更重视，他们不愿意子女在应试教育中成为一个出了 社会仅会谋生的“工具”，更不愿意被无效的素质教育耽误孩子时间，增加负累。 他们更在乎子女的全面发展，综合素质教育，精英化，让子女成为一个独立思考，有 独立决策能力的精英，从而更好的传承财富，固化阶层。 1.种类繁多，单项为主，无系统化。 目前市场上精英教育培训的内容繁多而相互割裂的，就是一些不同的、经过简单优化的单项培训，譬如音乐、舞蹈、棋类、美术、体育、机器等，而不是针对性的精英人群综合素质教育，无法真正意义上让精英孩子拥有对知识的渴望度和超越经验的学习方式。 痛点解决：（所以我们提出系统化的精英教育，总结精英人群的特质，结合国际化教育和中国教学理念的精华，教育内容围绕人文、财商、数理、审美四大板块，综合构建孩子整体的知识结构、思想高度、思维能力、领导力、协同能力、创造力。）
人教中考数学锐角三角函数-经典压轴题附详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再