用留数计算_fromx_to_R_x_e_ix_dx_型积分注记[1]

用留数计算

+∞

-∞

R (x )e αi x

d x 型积分注记

3

刘云冰　(武汉科技大学理学院

　湖北武汉　430081)

摘

要　用留数计算积分

∫+∞

-∞R (x )e

αi x

d x (

α>0)的方法可推广到α<0的情形,并举例计算一个函数的傅氏变换.关键词　积定;留数;奇点;积分变换;傅氏变换;有理函数 中图分类号　O174.5

关于用留数计算积分

∫

+∞-∞

R (x )e αi x

d x (注1),文[1]曾提出如下命题:

命题I 若R (x )是x 的有理函数,且分母次数至少比分子高一次(注2),如果R (z )在实轴上无奇点,则对α>0有:

∫

+∞-∞

R (x )e αi x d x =2πi Σk

Res [R (z )e αi x

,z k ],其中z k 是R (Z )位于上半平面的孤立奇点.

但在某些情况下,经常需要计算

∫

+∞

-∞

R (x )e

-αi x

d x (α>0).例如在积分变换中,求f (t )的傅氏变

换就要求F (ω

)=∫

+∞

-∞

f (t )e -i ωt

d t ,有些学生不认真分析命题I 的条件上,任意“套用”其结论进行计

算,导致出错.今提出如下两个补充命题,说明遇到

∫

+∞

-∞

R (x )e

-αi x

d x (α>0)时,应如何正确计算.

命题II 若R (x )是x 的有理函数,分母次数至少比分子高一次,且在实轴上R (z )无奇点,则对α>0,有:

∫

+∞-∞

R (x )e

-αi x

d x =-2πi Σl

Res [R (z )e α

i z ,z l ],其中z l 是R (z )位于下半平面的孤立奇点.

证明　(1).取积分路线如图,其中C R 是以原点为中心,R 为半径的下半圆周

.

∫

R

-R

R (x )e

-αi x

d x +

∫

C R

R (z )e

-αi z

d z =

-2πi Σl

Res [R (z )e

-αi z

,z l ].

其中z l 是R (z )位于积分路线内的孤立奇点.由于积分路线是顺

时针方向,所以右边前面加一负号.

(2).由于m -n ≥1,不妨设

|R (z )|=1z m-n 1+a 1z -1+…+a n z -n 1+b 1z -1+…b m z -m ≤1

|z |m-n

1+a 1z -1+…+a n z -n 1-b 1z -1+…+b m z -m

.当|z |充分大时,总可使:a 1z -1+…+a n z -n <

13,b 1z -1+…+b m z -m

<13

,从而|R (z )|<

1

|z |

m-n

1+

131-13≤2|z |,于是当R 充分大时,

∫

C R

R (z )e

-αi z

d z ≤

2

R

∫

C R

e

αy

d s ,其中y =R sin θ,d s =R |d

θ|.9

9Vol.10,No.1Jan.,2007 高等数学研究STUDIES IN COLL EGE MA T H EMA TICS

3收稿日期:2005-07-13.

基金项目:湖北省教育厅教研项目:高等工科院校开展数学实验研究(2003182).

由sin

θ关于θ=-π2对称性以及θ∈[-π

2

,0)时,sin

θ≤2πθ,又有∫

C R R (z )e -αi z d z ≤4R ∫

0-π2e αR sin θR d θ≤∫

0-π

2e αR 2π

θd θ=2παR (1-e -αR )→0,　(R →+∞.)由(1)及(2)的结果,即得当R →+∞时,∫+∞-∞

R (x )e

-αi z

d x =-2πi Σl

Res [R (z )e α

i z

,z l ],

显然z l 是R (z )在下半平面内的孤立奇点.

命题III 对R (x )限制的条件同上,且α>0,则有

∫

+∞

-∞R (x )e -αi x

d x =

∫

+∞

-∞

R (-x )e αi x

d x =2πi Σl

Res [R (-z )e αi z ,z l ].

其中z l 是R (-z )在上半平面的奇点.

证明　以u =-x 代入,有

∫

+∞

-∞

R (x )e

-αi x

d x =

∫

-∞

+∞

R (-u )e αi u

d (-u )=

∫

+∞

-∞

R (-U )e αi u

d u.

因R (-u )仍满足命题I 的条件,由命题I 即得所证.例1　设f (t )=

t

1+t 2

,求F [f (t )].

解　(1)对ω>0,由于被积函数在下半平面有奇点z =-i ,由命题II 及留数计算法则,有:

F [f (t )]=∫

+∞

-∞t 1+t 2e -i ωt d t =-2πi Σi Res [t 1+t

2e -i ωt

,z l ]=-2πi lim t →-i t e i ωt 2t =-πie -ω.(注:如用命题III 计算,则有F [f (t )]=2πi lim t →i -t e i ωt

2t

=-πie -ω

,结果相同.)

(2)对ω<0,由命题I ,

F [f (t )]=∫+∞-∞t 1+t 2e -i ωt d t =∫

+∞

-∞t 1+t 2

e i |ω|t

d t =2πi lim t →i t

e i|ω|t 2t

=πie -|ω|=πie ω.(3)对ω=0,由于f (t )=

t

1+t 2

为奇函数,所以在主值意义下F [f (t )]=0.

综上所述,F [f (t )]=F (ω

)=πie ω, ω<0,

0,ω=0,-πie -ω

,ω>0.

显然F (ω)为奇函数.文[2]要求用公式∫

+∞-∞[f (t )]2d t =12

π∫

+∞-∞|F (ω)|2|d ω计算∫

+∞

-∞(x 1+x 2)2

d x ,我们也可利用上例结果,由于|F (ω)|2

=π2e -2|ω|,ω≠00,

ω=0是偶函数,故可直接得出

∫

+∞-∞(x 1+x 2)2d x =22π∫

+∞

0π2e -2ωd ω=1π?π2e -2ω-2|+∞

0=π2

.(注1)　本文所述

∫+∞

-∞

f (x )d x 都是指主值意义下的值.

(注2)　对R (x )的限制也可稍加放宽改为:当x →∞时,R (x )→0,后面有关命题中R (x )的限制也可类似修

改[3],这里不作详细论述.

参考文献

[1]西安交通大学高等数学教研室编.复变函数(第四版)[M ].北京:高等教育出版社.[2]南京工学院数学教研室编.积分变换(第三版)[M ].北京:高等教育出版社.[3]朱静航.复变函数论[M ].沈阳:辽宁人民出版社,1983.

[4]孙清华.复变函数的内容、方法与技巧[M ].武汉:华中理工大学出版社,1996.

001高等数学研究 2007年1月

使用留数定理计算实积分

用留数定理计算实积分 一：教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法 重点：用留数定理计算实积分的方法 难点：定理的应用 二：教学目标或要求： 真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：5－7 用留数定理计算实积分 留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分. 如，在研究阻尼振动时 计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分. 在热学中将遇到积分(，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂.如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了.当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来. 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区 间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路l,l包围着区域B，这样

左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了，下面具体 介绍几个类型的实变定积分. 一 计算? π20 d )sin ,(cos R θ θθ型积分 令θi e =z ，则θc o s 与θsin 均可用复变量z 表示出来，从而实现将 )sin ,(cos R θθ变形为复变量z 的函数的愿望，此时有 z z z z i 21sin ,21cos 2 2 -= += θθ 同时，由于θi e =z ，所以1=z ，且当θ由0变到π2时，z 恰好在圆周1:=z c 上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。 至此，有 ?? =?-+=1 2 2π20 d i 1 )i 21,21(R d )sin ,(cos R z z z z z z z θθθ 于是，计算积分? π20 d )sin ,(cos R θ θθ的方法找到了，只需令θi e =z 即可。 例 求。 解 当 时， ；当 时，令 ， 当 时，在 内， 仅以 为一级极点， 在 上无奇点，故由留数定理

留数定理在定积分计算中的应用论(参考模板)

留数定理在定积分计算中的应用 引言 在微积分或数学分析中，不少积分( 包括普通定积分与反常积分) 的计算用微积分教材里的知识很难解决或几乎是无能为力． 如果我们能结合其他数学分支的理论方法来讨论解决这类问题，会达到化难为易、化繁为简的效果．本文主要利用复变函数中的留数定理，将实积分转换为复积分的方法，讨论了几类定积分的计算，首先我们来给出留数的定义及留数定理． 1留数定义及留数定理 1.1 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R

证明:以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ?=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，利用复周线的柯西定理得 ()()1k n k C f z dz f z dz =Γ=∑??， 由留数的定义，有 ()()2Re k k z a f z dz i s f z π=Γ=?． 特别地，由定义得 ()2Re k k z a f z dz i s π=Γ=?， 代入（1）式得 ()()1 2Re k n z a k C f z dz i s f z π===∑?． 2．留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分． 2.1形如 ()20 cos ,sin f x x dx π ?型的积分 ()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，且在[]0,2π上连续，解决此类积分要注意两点，一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。满足这两点之后，我们可以设ix z e =，则dz izdx =， 21sin 22ix ix e e z x i iz ---==，21 cos 22ix ix e e z x z -++== 得 ()22210 11cos ,sin ,22z z z dz f x x dx f z iz iz π =??--= ????? ()1 2Re k n z z k i s f z π===∑．

用留数定理计算实积分的再讨论分析

毕业论文 （2014届） 题目用留数定理计算实积分的再讨论 学院数计学院 专业数学与应用数学（师范） 年级2010级(2)班 学生学号12010244185 学生姓名刘艳 指导教师汪文帅 2014年5月8日 用留数定理计算实积分的再讨论

数学计算机学院数学与应用数学师范专业2014届刘艳 摘要:正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质并且在计算实积分的过程中构造容易求解的积分路径,然而大量教材或者相关文献长期或者有意无意的按照既定思维对某些实积分计算问题选择基本固定不变的积分路径进行求解,在一定程度上给学生造成思维定势. 本文用例证的方法讨论了用留数定理计算实积分的过程中积分曲线的选择方法,从不同的角度体现了求解过程中选择积分路径的核心思想.这为进一步开拓思维,更为深刻理解留数定理有积极的意义. 关键词:留数定理;实积分;积分曲线 中图分类号:O174 Further discussion of Calculation on real integral by the residue theorem Abstract: The correct use of the residue theorem to calculate real integration means to understand its essence and to construct easy-solved integral path, but a lot of materials or the relevant studies always select the same integral path to solve the similar problem, which give the students wrong understanding when most teachers did not pay attention to the ideological inspiration in teaching. T o some extent, this limits students’ thinking. In this paper, the selection method of integral curve is given with examples in view of the different integral path and the core idea of the residue theorem is shown in calculating process, which has a positive significance for further development of thinking and more understanding of the residue theorem. Key words: real integral；residue theorem；integral curve

使用留数定理计算实积分

用留数定理计算实积分 一：教学容（包括基本容、重点、难点）： 基本容：用留数定理计算实积分的几种方法 重点：用留数定理计算实积分的方法 难点：定理的应用 二：教学目标或要求： 真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：5－7 用留数定理计算实积分 留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分. 如，在研究阻尼振动时计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分. 在热学中将遇到积分(，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂.如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了.当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来. 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路l,l包围着区域B，这样

左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了，下面具体 介绍几个类型的实变定积分. 一 计算?π 20d )sin ,(cos R θθθ型积分 令θi e =z ，则θcos 与θsin 均可用复变量z 表示出来，从而实现将 )sin ,(cos R θθ变形为复变量z 的函数的愿望，此时有 z z z z i 21 sin ,21cos 22-= +=θθ 同时，由于θi e =z ，所以1=z ，且当θ由0变到π2时，z 恰好在圆周1:=z c 上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。 至此，有 ?? =?-+=1 22π20 d i 1)i 21,21(R d )sin ,(cos R z z z z z z z θθθ 于是，计算积分?π20 d )sin ,(cos R θθθ的方法找到了，只需令θi e =z 即可。 例 求。 解 当 时， ；当 时，令 ， 当 时，在 ， 仅以 为一级极点， 在 上无奇点，故由留数定理

应用留数定理计算实变函数定积分

应用留数定理计算物理学中实变函数定积分 1问题 在物理学中，研究阻尼振动时计算积分 sin x dx x ∞ ? ，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞?， 在热学中遇到积分 cos (0,ax e bxdx b a ∞ ->? 为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不 可能。而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数 定积分跟复变函数回路积分联系起来。 2应用留数定理求解实变函数定积分的类型 将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则 1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有 1 2 ()()()l l l f z dz f x dx f z dz =+? ??； 3） ()l f z dz ? 可以应用留数定理，1 ()l f x dx ?就是所求的定积分。如果2 ()l f z dz ?较易求出（往往是 证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了. 类型一 20 (cos ,sin )R x x dx π ? .被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π]. 求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从 0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理. 可以设ix z e =,则dz izdx =∴dz dx iz = 而1 1cos ()22ix ix e e x z z --+= =+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z k z z z z dz I R i Resf z i iz π--=+-==∑? 类型二 -()f x dx ∞ ∞ ? .积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限 个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0. 求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ?ψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至 图1

应用留数定理计算实变函数定积分

应用留数定理计算物理学中实变函数定积分 1问题 在物理学中，研究阻尼振动时计算积分0 sin x dx x ∞ ? ，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞?， 在热学中遇到积分 cos (0,ax e bxdx b a ∞ ->? 为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不 可能。而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系 起来。 2应用留数定理求解实变函数定积分的类型 将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有 1 2 ()()()l l l f z dz f x dx f z dz =+?? ? ； 3） ()l f z dz ? 可以应用留数定理，1 ()l f x dx ? 就是所求的定积分。如果2 ()l f z dz ?较易求出（往往是证 明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了. 类型一 20 (cos ,sin )R x x dx π ? .被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π]. 求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从 0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理. 可以设ix z e =,则dz izdx =∴dz dx iz = 而1 1cos ()22ix ix e e x z z --+= =+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z k z z z z dz I R i Resf z i iz π--=+-==∑? 类型二 -()f x dx ∞ ∞ ? .积分区间为（-∞,+∞） ；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0. 求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ?ψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至少 高于()x ?两次. 图1

留数定理与几类积分的计算

留数定理与几类积分的计算 中文摘要 本文主要总结几类可用留数定理计算的积分的特征并给出对应的用留数定理算积分的步骤以及可行性说明。其中类型3是对文献1中给出的结论的推广，类型3中的引理2是笔者对文献1的一道习题的推广并给出了证明。接着笔者补充了参考文献2中多值函数积分部分4个引理的证明并给出相应的应用例子，类型7笔者根据个人理解将分成瑕积分和黎曼积分两类给出计算方法。 关键词：留数定理，积分计算，单值函数，多值函数 …… 正文 （一）单值函数 类型1：形如20(sint,cost)dt I R π =?的实积分，其中(x,y)R 是有理函数，并且在圆 周22{(x,y):x y 1}+=上分母不为零。 解决技巧：令it z e =，将实积分转化为单位圆周上的复积分。 由sin ,cost ,22 it it it it it e e e e t dz ie dt i ---+= ==可得： 22221 111111 (,)2Re ((,),z )22222n k C k z z z z I R dz i s R iz z iz iz z i =-+-+==π∑?① 其中，12,,...,n z z z 是22111 (,)22z z R iz z zi -+在单位圆周的所有孤立奇点，22111 (,)22z z R iz z zi -+在单位闭圆盘除去12,,...,n z z z 外的其他点都解析。 例子： 类型2：形如(x)dx I R +∞ -∞ =? 的实反常积分，其中(x)R 是有理函数，在实轴上分 母不为零，并且分母的次数至少比分子次数高2。计算公式为 1 2Re (R(z),z )n k k I i s ==π∑（其中12,,...,n z z z 为R(z)在上半平面的所有孤立奇点，R(z ） 在上半平面除去这些点外的其他点解析）

留数定理及应用

留数及其应用 摘 要 数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内各孤立 奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可 以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用． 关键词 留数定理；留数计算；应用 引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法． 一. 预备知识 孤立奇点 1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点 则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域内解析，但在点a 不解析， 则称a 为f 的孤立奇点.例如sin z z ，1 z e 以0=z 为孤立奇点. z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点. 11sin z 以0=z 为奇点（又由1sin 0=z ，得1(1, 2...,)π ==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有

留数定理在定积分中的应用

留数定理在定积分中的应用 1． 留数定义及留数定理 1．1 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R

由留数的定义，有 ()()2Re k k z a f z dz i s f z π=Γ=?． 特别地，由定义得 ()2Re k k z a f z dz i s π=Γ=?， 代入（1）式得 ()()1 2Re k n z a k C f z dz i s f z π===∑?． 2．留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分． 2．1 形如 ()20 cos ,sin f x x dx π ?型的积分 这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设ix z e =，则dz izdx =， 21sin 22ix ix e e z x i iz ---==，21cos 22ix ix e e z x z -++== 得 ()222 10 11cos ,sin ,22z z z dz f x x dx f z iz iz π =??--= ???? ?

留数定理及其在积分中的运用

江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 留数定理及其在积分中的运用 （Residue theorem and the use in the Calculus） 姓名：刘燕 学号： 0507010122 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 指导老师：易才凤（教授） 完成时间：2009年*月*日

留数定理及其在积分中的应用 【摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计算 方法等。在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容--留数定理，并得到留数定理的推广。然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分的计算问题. 【关键词】解析孤立奇点留数留数定理

Residue theorem and the use in the Calculus 【Abstract】This paper, we first introduce the prior knowledge of complex function Calculus，and introduce the method of calculating the residue, etc.On this basis,We described and proved the main contents of this article--the Residue theorem,and the promotion of the Residue theorem . This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems. 【Key words】Analysis Isolated singular point Residue Residue theorem

留数定理及应用

留数定理及应用

留数及其应用 摘 要 数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内 各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数， 因此我们只关心该奇点处罗朗 留数理论是复积分和复级数 理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用． 关键词 留数定理；留数计算；应用 引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法． 一. 预备知识 孤立奇点 1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点 则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域内解析，但在点a 不解析， 则称a 为f 的孤立奇点.例如sin z z ，1 z e 以0=z 为孤立奇点. z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.

11sin z 以0=z 为奇点（又由1sin 0=z ，得1(1, 2...,)π ==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1 ()()() ， ∞ ∞ -===+-∑∑-n n n n n n f z c z a c z a 称()n=1 ∞ -∑-n n c z a 为()f z 在点a 的主要部分，称 () ∞ =-∑n n n z a c 为()f z 在点a 的正则部分， 当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点； 当主要部分为有限项时，设为 (1)11 (0)()()------+++≠---L m m m m m c c c c z a z a z a 称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点. 二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域 0z a R

用留数定理计算实积分

§2. 用留数定理计算实积分 一、教学目标或要求： 真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法 重点：用留数定理计算实积分的方法 难点：定理的应用 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：4－7 §2. 用留数定理计算实积分 留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分. 如，在研究阻尼振动时计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分. 在热学中将遇到积分(，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂.如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了.当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来. 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路l,l包围着区域B，这样 左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了，下面具体

介绍几个类型的实变定积分. 1. 计算?π 20d )sin ,(cos R θθθ型积分 令θi e =z ，则θcos 与θsin 均可用复变量z 表示出来，从而实现将 )sin ,(cos R θθ变形为复变量z 的函数的愿望，此时有 z z z z i 21 sin ,21cos 22-= +=θθ 同时，由于θi e =z ，所以 1=z ，且当θ由0变到π2时，z 恰好在圆周1:=z c 上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。 至此，有 ?? =?-+=1 22π20 d i 1)i 21,21(R d )sin ,(cos R z z z z z z z θθθ 于是，计算积分?π20 d )sin ,(cos R θθθ的方法找到了，只需令θi e =z 即可。 例 求。 解 当 时， ；当 时，令 ， 当 时，在 内， 仅以 为一级极点， 在 上无奇点，故由留数定理 当 时,在 内 仅以 为一级极点,在 上无奇点，

使用留数定理计算实积分

用留数定理计算实积分 一：教学内容（包括基本内容、重点、难 点）： 基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法 重点：用留数定理计算实积分的方法 难点：定理的应用 二:教学目标或要求： 真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法 三、教学手段与方法: 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：5-7 用留数定理计算实积分 留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分.女口，在研究阻尼振动时 a \ b 为任意实数）如用实函数分析 中的方法计算这些积分几乎是 不可能的，既使能计算，也相当复杂 ?如果能把 它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了 ?当然最关键的是设法 把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来 . 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区 间［口*］可以看作是复数平面上的实轴上的一段丄1,于是，或者利用自变数的 变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者 另外补上一段曲线。，使和一合成回路1,1包围着区域B ,这样 计算积分 ,在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分 ；sin x 2dx 在热学中将遇到积分I '

打⑵必二 f f(z)dz + f f(z)dz 左端可应用留数定理，如果」 容易求出，则问题就解决了，下面具体 介绍几个类型的实变定积分? 2 n 一 计算° R(cos , sin )d 型积分 令z e i ,则cos 与sin 均可用复变量z 表示出来，从而实现将 R(cos ,sin )变形为复变量z 的函数的愿望，此时有 同时，由于z e i ，所以z 1,且当 由0变到2n 时，z 恰好在圆周c: z 1 上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。 至此，有 当一’ 时，I 一；当一」时，令二 dz 稻 =1 r -1 *~ i I s !-1 (z _ 功(1 - pz) 2_亠戸 ':内，一 「宀〔二仅以 Z = 1：为一级极点, ‘：I 上无奇点, 故由留数定理cos z 2 1 2z sin 2iz 2 n 0 R(cos , sin )d R (—)丄dz H 1 2z 2iz iz 2 n 于是，计算积分o R(cos ,sin )d 的方法找到了，只需令z e i 即可。 ds

留数定理在定积分当中的应用

一绪论 1研究背景及意义 留数,也称残数,是指函数在其孤立奇点处的积分. 综观复分析理论的早期发展,这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义. 同时,它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段,通过函数的选取,积分路径的选取等等,求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况,为积分理论的发展奠定了充分的基础[1 ] . 1825 年,柯西(Cauchy) 在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中,基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题,并给出了关于留数的定义[2 ] . 随后,柯西进一步发展和完善留数的概念,形成了如下定义[3], 若函数f(z)在D（a，r）\｛a｝上全纯，其中r＞0.a为f （z）的孤立奇点，f（z）在a的留数定义为Res（f，a） = 柯西所给的这一定义一直沿用到了现在,推广到了微分方程,级数理论及其他一些学科, 并在相关学科中产生了深远影响, 成为一个极其重要的概念. 因而很自然地产生了这样一个问题:柯西为什么要定义这一概念或者说,什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想,揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义.

二留数定理 2.1 留数的定义 如果函数f（z）在点a的邻域K：|z-a|＜R内解析，围线C全含于K（包围a或不包围a），则 但如果a是f（z）的孤立奇点，即f（z）在点a的去心邻域K-｛a｝：0<|z-a|

留数定理求积分的另外解法

求解积分：3 11dx x ∞+? 解：令 x z = 则：3 11dz z ∞+? 23310i Z Z e πκπ+?? ???+=?== 所以上半平面存在极点：3i e π?? ??? ，i e π 建立如图所示的维道： 3 3 33 1111 1111x R L dz dx dz z x z z =++++++???? 3 2/3 112Re ()21333 i dz i sf z i i z e π πππ===-+? 因为：Re i z φ= () 002/32/3 3332/3111111Re i i i L dz e dR e dR z R πππ∞∞==+++??? 根据留数定理可知：在包含相同的极点情况下， 31 1L dz z +? 沿各个方向的积分相同，可求出此时沿各个方向上的积分求模相等，即 在20, 3π??????范围内311L dz C z =+? 设： 31 1L dz u iv z =++?，311x dx t x =+? 则根据条件有：222u v t += t u -= 3 v π=

9 t = 311x dx t x ==+? 这样就可以将求解积分转换为一次留数和二元一次方程的求解，在一定程度上我认为减少了 计算量，而且更重要的是，这种方法不必在意维道的建立，当然被积函数必须得满足一定的条件，沿各个方向的积分取模才能相等。 方法推广：当被积函数满足一定条件时，在所做维道包含相同极点情况下，各个方向包含的积分值的模相等。从而只需要求解一个留数和一个二元一次方程组 被积函数的条件：设被积函数为：() F x ，求 ()0 F x ∞ ? ⑴ 类型一：若 ()() 11....,0n n F x c x c x n ----=++>，则显然满足 ()()()110 lim lim (....)0n n n n n z x z F z z c z c z c -----→→=++=≠ 证明：此时z=0是() F x 的n 阶极点，根据极点在实轴上的运用情形可知，在1n >的情 形下， () F x 将无法计算 当1n =时， ()1 1F x c x --=，存在1阶极点，可以计算 ()1110 Re 0lim()z sF zc z c ---→== ()1111i F z c z c R e φ -----== ()()1 111110 i i L L x F z dz c z dz c R e e dR c R dR F x φφ∞ ∞ -------=== =??? ? ? 所以命题成立 所以 ：根据留数 定理： () ()()()() 0R e 0i x L x F z d z F x d x F z d φ ∞ =+ = +=????? ()()()x L L F x dx F z dz C F z dz A --==?=???（A ，C 为常数） 命题成立 ⑵ 类型二： ()() ()() 1010011...m m d d dx n n nx n n n n nx nx a x F x c b x c b x c b x = +++