含绝对值的不等式解法练习题及答案
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例 1不等式|8－3x|＞0的解集是
[] A． B ． R
C． {x|x ≠88
}D．{ }
33
8
分析∵ |8－3x|＞0，∴ 8－3x≠ 0，即x≠．
答选 C．
例 2绝对值大于 2 且不大于 5 的最小整数是
[]
A ． 3
B． 2
C．－ 2
D．－ 5
分析列出不等式．
解根据题意得2＜|x|≤ 5．
从而－ 5≤x＜－ 2 或 2＜ x≤ 5，其中最小整数为－5，
答选 D．
例 3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________．
分析利用所学知识对不等式实施同解变形．
解原不等式可化为4＜ |3x－ 1|≤ 7，即 4＜3x－ 1≤7 或－ 7
≤ 3x－ 1＜－ 4解之得5
＜ x≤
8
或－ 2≤ x＜－ 1，即所求不等式解集为33
58
．
{x| － 2≤ x＜－ 1或＜ x≤}
33
例 4已知集合 A ＝ {x|2 ＜ |6－ 2x|＜ 5，x∈ N} ，求 A ．分析转化为解绝对值不等式．
解∵ 2＜|6－ 2x|＜ 5 可化为
2＜ |2x－ 6|＜5
－5＜ 2x－ 6＜ 5，
即
2x － 6＞ 2或 2x － 6＜－ 2，
1＜ 2x ＜11，
即
2x ＞ 8或 2x＜ 4，
解之得 4＜ x＜11
或
1
＜ x＜ 2．22
因为 x∈ N，所以 A ＝ {0 ，1， 5} ．
说明：注意元素的限制条件．
例 5实数a，b满足ab＜0，那么
[]
A ． |a－b|＜ |a|＋ |b|
B． |a＋ b|＞ |a－ b|
C． |a＋ b|＜ |a－ b|
D． |a－b|＜ ||a|＋ |b||
分析根据符号法则及绝对值的意义．
解∵ a、b 异号，
∴|a＋ b|＜ |a－b|．
答选C．
例 6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b的值为
[]
A ． a＝1， b＝ 3
B． a＝－ 1， b＝ 3
C． a＝－ 1， b＝－ 3
1 3
D ． a＝2， b＝2
分析解不等式后比较区间的端点．
解由题意知， b＞ 0，原不等式的解集为{x|a － b＜ x＜ a＋ b} ，由于解集又为{x| － 1＜x＜ 2} 所以比较可得．
a－ b＝－ 11
， b＝3．
，解之得 a＝
a＋ b＝ 222
答选 D．
说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例 7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R)
分析分类讨论．
解若 2m－ 1≤ 0即m≤1
，则 |2x－ 1|＜ 2m－ 1恒不成立，此时原不等
2式的解集为；
若 2m－ 1＞ 0即 m＞1
，则－ (2m－ 1) ＜ 2x－ 1＜ 2m－ 1，所以 1－
m＜ 2 x＜ m．
综上所述得：当m≤1
时原不等式解集为；2
当 m＞1
时，原不等式的解集为2
{x|1 － m＜ x＜m} ．
说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．
例 8 解不等式3－|x|
≥
1
．|x|＋ 2 2
分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．
解 注意到分母 |x|＋2＞ 0，所以原不等式转化为 2(3－ |x|)≥ |x|＋2，整理得
4 4 4 4 4 |x| ≤ ，从而可以解得－
3
≤ x ≤
，解集为 {x| －
≤ x ≤ } ．
3
3
3
3
说明：分式不等式常常可以先判定一下
分子或者分母的符号，使过程简便．
例 9 解不等式 |6－ |2x ＋1||＞ 1．
分析
以通过变形化简，把该不等式化归为
式来解．
解 事实上原不等式可化为
|ax ＋ b|＜c
或 |ax ＋b|＞ c
型的不等
6－ |2x ＋ 1|＞ 1
①
或 6－ |2x ＋ 1|＜－ 1
②
由①得 |2x ＋ 1|＜ 5，解之得－ 3＜ x ＜ 2； 由②得 |2x ＋ 1|＞ 7，解之得 x ＞ 3 或 x ＜－ 4． 从而得到原不等式的解集为
{x|x ＜－ 4 或－ 3＜ x ＜ 2 或 x ＞3} ．
说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论． 例 10 已知关于 x 的不等式 |x ＋ 2|＋ |x － 3|＜ a 的解集是非空集合， 则实数 a 的 取值范围是 ________．
分析 可以根据对 |x ＋ 2|＋ |x － 3|的意义的不同理解，获得多种方法．
解法一
当 x ≤－ 2 时，不等式化为－
x － 2－ x ＋3＜ a 即－ 2x ＋ 1＜ a 有解，而
－ 2x ＋ 1≥5，
∴ a ＞ 5．
当－ 2＜ x ≤3 时，不等式化为 x ＋ 2－ x ＋3＜ a 即 a ＞ 5．
当 x ＞ 3 是，不等式化为 x ＋2＋ x － 3＜a 即 2x － 1＜ a 有解，而 2x － 1＞ 5，∴ a
＞ 5．
综上所述： a ＞ 5 时不等式有解，从而解集非空．
解法二 |x ＋ 2|＋ |x － 3|表示数轴上的点到表示－ 2 和 3 的两点的距离之和， 显 然最小值为 3－ (－ 2)＝ 5．故可求 a 的取值范围为 a ＞ 5．
解法三
利用 |m|＋ |n|＞ |m ± n|得
|x ＋ 2|＋ |x － 3|≥ |(x ＋ 2)－ (x － 3)|＝ 5． 所以 a ＞ 5 时不等式有解．
说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例 11 解不等式 |x ＋ 1|＞ 2－ x ．
分析一 对 2－ x 的取值分类讨论解之． 解法一
原不等式等价于：
2－ x ≥ 0
①
x ＋ 1＞ 2－ x 或 x ＋ 1＜ x － 2
2－ x ＜ 0 或 ②
x ∈ R
x ≤ 2
由①得
1
或1＜－
2
x ＞
2
x ≤ 2
即
x ＞ 1 ，所以 1
＜ x ≤ 2；
2 2
由②得 x ＞2．
综合①②得 x ＞ 1
．所以不等式的解集为
{x|x ＞ 1
} ．
2
2
分析二
利用绝对值的定义对 |x ＋ 1|进行分类讨论解之．
解法二
因为
x ＋ 1， x ≥－ 1 |x ＋ 1|＝
－ x －1， x ＜－ 1
原不等式等价于：
x 1≥ 0
x 1＜ 0 ①
1＞ 2 或②
x 1＞ 2 x
x x
x ≥ 1
由①得
x ＞
1
即 x ＞ 1
；
2
2 x ＜－ 1 由②得
即 x ∈ ．
－1＞ 2
所以不等式的解集为
{x|x ＞ 1
} ．
2
例 12 解不等式 |x － 5|－ |2x ＋ 3|＜ 1．
分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分
区间讨论，事实上，由于
x ＝ 5时， |x － 5|＝ 0， x ＝－ 3
时 |2x ＋ 3|＝ 0．
2
所以我们可以通过－
3
， 5将 x 轴分成三段分别讨论．
2
解 当 x ≤－ 3
时， x － 5＜ 0， 2x ＋ 3≤ 0所以不等式转化为
2
－ (x － 5)＋ (2x ＋ 3)＜ 1，得 x ＜－ 7，所以 x ＜－ 7；
当－ 3
＜ x ≤ 5时，同理不等式化为
2
－ (x － 5)－ (2x ＋ 3)＜ 1，
解之得
x ＞
1 ，所以 1 ＜ x ≤ 5；
3
3
当 x ＞ 5 时，原不等式可化为 x － 5－ (2x ＋3) ＜1，
解之得 x ＞－ 9，所以
x ＞ 5．
综上所述得原不等式的解集为
{x|x ＞
1 或 x ＜－
7} ．
3
说明：在含有绝对值的不等式中， “去绝对值”是基本策略．
例 13 解不等式 |2x －1|＞ |2x － 3|．
分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝
对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据
|a|＞ |b|
a 2 ＞
b 2 解
之，则更显得流畅，简捷．
解 原不等式同解于
(2x － 1)2＞ (2x － 3)2
，
即 4x 2－ 4x ＋ 1＞ 4x 2
－12x ＋ 9， 即 8x ＞ 8，得 x ＞ 1．
所以原不等式的解集为 {x|x ＞ 1} ．
说明：本题中，如果把
2x 当作数轴上的动坐标，则
|2x － 1|＞ |2x －3|表示
2x
到 1 的距离大于 2x 到 3 的距离，则 2x 应当在 2 的右边，从而 2x ＞ 2 即 x ＞1．
含参不等式的专题练习教学设计 .doc
例2 解不等式135 x <-< 课后练习： 一．选择题（共2小题） 1．（2015春?石城县月考）已知m为整数，则解集可以为﹣1＜x＜1的不等式组是（） A ．B ． C ． D ． 2．（2002?徐州）已知实数x、y同时满足三个条件：①3x﹣2y=4﹣p，②4x﹣3y=2+p，③x＞y，那么实数p 的取值范围是（） A ．p＞﹣1 B ． p＜1 C ． p＜﹣1 D ． p＞1 二．填空题（共7小题） 3．（2012?谷城县校级模拟）若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围 是． 4．（2010?江津区）我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1 ＜＜3，则x+y的值是． 5．若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009=． 6．关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是． 7．不等式组的解是0＜x＜2，那么a+b的值等于． 8．已知不等式组的解集1≤x＜2，则a=． 9．若关于x的不等式的解集为x＜2，则k的取值范围是． 三．解答题（共4小题）
10．（1）解方程组： （2）求不等式组的整数解． 11．（2013?乐山）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值． 12．（2011?铜仁地区）为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3：2，单价和为160元． （1）篮球和排球的单价分别是多少元？ （2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种购买方案？ 13．（2011?邵阳）为庆祝建党90周年，某学校欲按如下规则组建一个学生合唱团参加我市的唱红歌比赛．规则一：合唱队的总人数不得少于50人，且不得超过55人． 规则二：合唱队的队员中，九年级学生占合唱团总人数的，八年级学生占合唱团总人数的，余下的为七年 级学生． 请求出该合唱团中七年级学生的人数．
高考含绝对值不等式的解法
高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ，
所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ? ??<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+ 含绝对值的不等式解法练习题及答案 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ]答选C． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A．3 B．2 C．－2 D．－5 分析列出不等式． 解根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5， 答选D． 例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析利用所学知识对不等式实施同解变形． 解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7例4已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A． 分析转化为解绝对值不等式． 解∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x－6|＜5 因为x∈N，所以A＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a，b满足ab＜0，那么 [ ] A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a－b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|＋|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义． 解∵a、b异号， ∴ |a＋b|＜|a－b|． 答选C． 例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b 的值为 [ ] A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得． 答选D． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式：2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。 例3：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1(0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围. 例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0，求x 的 取值范围。 例5：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立，求x 的范围。 例 6： 对于∈x （0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的 取值范围。 例7：2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x >---34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ，求a 的取值范围 绝对值不等式中的含参问题 在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。 一、绝对值的最值问题 1、当绝对值中x的系数相同时。 运用三角不等式：a?b≤a±b≤a+b 例1：求函数f x=x?3+x?4的最值 解：x?3+x?4≥x?3?x?4=1，函数f x的最小值为1。 例2：求函数f x=2x?1?2x?3的最值 解：2x?1?2x?3≤2x?1?2x?3=2，即得到?2≤2x?1?2x?3≤2，函数f x的最小值为?2，最大值为2。 2、当绝对值中x的系数不相同时。 ①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。 例：求函数f x=2x?2+x+2的最值 解：当 x≤?2 ?x+2?(2x?2)即 x≤?2 ?3x， 当 ?2 则有f x= ?3x, x≤?2 ?x+4, ?2 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2 x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{} a x a x <<-; 当0的解集是{} R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{} c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{} c b ax c x <+<-; 当0 （二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >?? ==??-++。 分析:由绝对值的意义知，a a =?a ≥0，a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于2 x x +＜0?x(x+2)＜0?-2＜x ＜0。 （三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。 解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---< ?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ? 4 23 x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。 分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间，即2- 含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 }．．．≠．? 83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－， 52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜或＜＜．4x x 211212 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝1232 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．???1232 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12 x ＜m ． 1.4 含绝对值的不等式解法 1．不等式|x-2|>1的解集是（D ） A ．}31|{< C ．3、9 D ．-3、6 提示：必有0>b ，∴b a x b <-<-，即不等式的解为b a x b a +<<-，令3-=-b a ，9=+b a 解得． 6．已知不等式|x+3|≥|x-5|成立，则实数x 的取值范围是（B ） A ．{x|x>1} B ．{x|x ≥1} C ．{x|x<1} D ．{x|x ≤1} 提示：即0)5()3(22≥--+x x ，∴0)53)(53(≥+-+-++x x x x ． 7．已知a 2=9，则不等式x 2-|a|≥0的解集是（B ） A ．{x|x ≤3-，或x ≥3} B ．{x|x ≤3-，或x ≥3} C ．{x|3-≤x ≤3} D ．{x|3-≤x ≤3} 提示：即32 ≥x ． 8．不等式|21||3|x x ->+的解集是（A ） A ．2 {|3 x x <- ，或4}x > B ．{|3x x <-，或4}x > C ．{|34}x x -<< D ．2 {|4}3 x x - << 提示：原不等式即22(21)(3)x x ->+，∴(213)(213)0x x x x -++--->，即(32)(4)0x x +->，∴2 3 x <-，或4x >，故选A ． 9．设集合M={2|||<-a x x }，P={x | 12 1 2<+-x x }，若M ?P ，则实数a 的取值范围是（A ） A ．{a |0≤≤a 1} B ．{a |0<>的解集是)2()2(∞+--∞，， ，则不等式3|3 |-≤-a a x 的解集是（C ） A ．)1[]1(∞+--∞，， B ．R C ．Ф D ．]11[， - 提示：由已知得a=2，则不等式3|3 | -≤-a a x 即为1||- 解绝对值不等式题型探讨 题型一 解不等式2|55|1x x -+<． ［题型1］解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式 一、知识点回顾 1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =） ()()()?? ? ??<-=>=0,0,00,a a a a a a 2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即 ()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0 ()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<><<或0 3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。 4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。（见P8） 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤： （1）将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax (3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 《含绝对值不等式的解法》导学案 学习目标： 1.掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法; 2.理解含绝对值不等式的解法思想：去掉绝对值符号，等价转化 学习重点：简单的含绝对值不等式的解法 学习难点：含参数的绝对值不等式的解法 一、课前准备（请在上课之前自主完成）： 1．绝对值的定义：||a ??=??? 2. 绝对值的几何意义： （1）实数a 的绝对值||a ，表示数轴上坐标为a 的点A 到_____的距离. （2）任意的两个实数,a b ，它们在数轴上对应的点分别为,A B ， 那么 || a b -的几何意义是 . 3.绝对值三角不等式： ①0a b ?>时, 如下图, 易得：||||||a b a b ++. ②0a b ?<时, 如下图, 易得：||||||a b a b ++. ③0=ab 时，易得|| |||| a b a b ++ 定理1 如果,a b R ∈, 那么b a b a ++___,当且仅当 时, 等号成立. 定理2 如果,,a b c R ∈, 那么c b b a c a -+--___,当且仅当 时,等号成立. 二、学习过程 知识点1：含绝对值不等式的解法 1.设a 为正数, 根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是 它的几何意义就是数轴上到 的点的集合是开区间 ,如图所示. 2.设a 为正数, 根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是 它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ,如图所示. 3．设a 为正数, 则 (1).()f x a ? ; (3).设0b a >>, 则()a f x b ≤-213 例2：解不等式7324≤- 不等式(3)----含参不等式的解法 当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。 （一）几类常见的含参数不等式 一、含参数的一元二次不等式的解法： 例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈ 分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当－1 含绝对值的不等式解法 一、选择题 1.已知a ＜-6，化简26a -得() +6 2.不等式｜8-3x ｜≤0的解集是() A. C.{(1,-1)} D.? ?????38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是() 4.设A ={x ||x -2|＜3}，B ={x ||x -1|≥1}，则A ∩B 等于() A.{x |-1＜x ＜5} B.{x |x ≤０或x ≥2} C.{x |-1＜x ≤0} D.{x |-1＜x ≤0或2≤x ＜5} 5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且，}5 {≤∈=x Z x x B 且，则B A Y 中的元素个数是() 6.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y }，则M ∩N （） A.{4-≥y y }B.{51≤≤-y y }C.{14-≤≤-y y }D. 7.语句3≤x 或5>x 的否定是（） 53<≥x x 或53≤>x x 或53<≥x x 且53≤>x x 且二、填空题 1.不等式｜x +2｜＜3的解集是，不等式｜2x -1｜≥3的解集是. 2.不等式12 11<- x 的解集是_________________. 三、解答题 1.解不等式1.02122<--x x 2.解不等式x 2-2｜x ｜-3＞0 3.已知全集U =R ,A ={x ｜x 2-2x -8＞0},B ={x ｜｜x +3｜＜2},求： (1)A ∪B ,C u （A ∪B ）(2)C u A ,C u B ,（C u A ）∩（C u B ） 4.解不等式3≤|x －2|＜97.解不等式|3x －4|＞1+2x . 5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象，并解不等式|x +1|+|x －2|<4. 学科：数学 教学内容：含绝对值不等式的解法 【自学导引】 1．绝对值的意义是：? ? ?<-≥=)0x (x ) 0x (x x . 2．｜x ｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝． ｜x ｜＞a (a ＞0)的解集是｛x ｜x ＜－a 或x ＞a ｝． 【思考导学】 1．|ax ＋b |＜b (b ＞0)转化成－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是什么？ 答：含绝对值的不等式|ax ＋b |＜b 转化－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是由绝对值的意义确定． 2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么？ 答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同． 【典例剖析】 ［例1］解不等式2＜｜2x －5｜≤7． 解法一：原不等式等价于???≤->-7|52|2 |52|x x ∴???≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即????? ≤≤-<>6 12327x x x 或 ∴原不等式的解集为｛x ｜－1≤x ＜ 23或2 7 ＜x ≤6｝ 解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集 (Ⅰ)???≤-<≥-7522052x x (Ⅱ)???≤-<<-7 252052x x 不等式组(Ⅰ)的解集为｛x ｜ 2 7 ＜x ≤6｝ 不等式组(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23 ｝ ∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或2 7 ＜x ≤6｝ 解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集． (Ⅰ)2＜2x －5≤7 (Ⅱ)2＜5－2x ≤7 不等式(Ⅰ)的解集为｛x ｜ 2 7 ＜x ≤6｝ 不等式(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23 ｝ ∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或2 7 ＜x ≤6｝． 点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转 化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三． ［例2］解关于x 的不等式： (1)｜2x ＋3｜－1＜a (a ∈R )； (2)｜2x ＋1｜＞x ＋1． 解：(1)原不等式可化为｜2x ＋3｜＜a ＋1 当a ＋1＞0，即a ＞－1时，由原不等式得－(a ＋1)＜2x ＋3＜a ＋1 － 24+a ＜x ＜2 2 -a 当a ＋1≤0,即a ≤－1时，原不等式的解集为?， 综上，当a ＞－1时，原不等式的解集是｛x ｜－24+a ＜x ＜ 2 2 -a } 当a ≤－1时，原不等式的解集是?． (2)原不等式可化为下面两个不等式组来解 (Ⅰ)???+>+≥+112012x x x 或(Ⅱ)? ??+>+-<+1)12(012x x x 不等式组(Ⅰ)的解为x ＞0 不等式组(Ⅱ)的解为x ＜－ 3 2 ∴原不等式的解集为｛x ｜x ＜－ 3 2 或x ＞0｝ 点评：由于无论x 取何值，关于x 的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f (x )｜＜a (a ≤0)的解集为?． 解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如(1)对变量分类，解集必须合并如(2)． ［例3］解不等式|x －|2x ＋1||＞1． 解：∵由|x －|2x ＋1||＞1等价于(x －|2x ＋1|)＞1或x －|2x ＋1|＜－1 (1)由x －|2x ＋1|＞1得|2x ＋1|＜x －1 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．?8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 \ 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为 －≤＜－或＜≤． 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． ' 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜ 或＜＜．4x x 21121 2 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| · B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 ： B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝123 2 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．?? ? 123 2 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 、 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x ＜m ． 综上所述得：当≤时原不等式解集为； 当＞时，原不等式的解集为 m m 1 2 1 2 ? {x|1－m ＜x ＜m}． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准． 一、填空题 1．不等式1 |||5|1x a x + >-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】46a << 【解析】 试题分析：x Q 与 1x 同号，11x x x x ∴+=+1 22x x ≥=（当且仅当1x =±时取“=” ）251,51a a ∴>-+∴-<，解得46a <<，故答案为46a <<. 考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式求最值及不等式恒成立问题. 2．已知()48,f x ax ax a R =--+∈，若()f x k ≤恒成，求k 的取值范围__________． 【答案】[ )12,+∞ 3．若不等式12ax +>在()1,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】(,3]-∞- 【解析】 试题分析：121212ax ax ax +>?+>+<-或13a a x x ?> <-或在()1,+∞上恒成立,1 a x > 在()1,+∞上不成立，由3 a x <- 在()1,+∞上恒成立得3x ≤-. 考点：含绝对值不等式的恒成立问题. 4．若存在实数x 使13x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 【解析】试题分析：本题的几何意义是：存在在数轴上到的距离与到1的距离之和小于3的点.有13a -≤， 24a ∴-<<. 考点：含绝对值的不等式的解法. 【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如 或 ，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择 或填空题可采用绝对值几何意义的方法，解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题. 5．已知关于x 的不等式11x x c -+-<无解，实数c 的取值范围__________． 【答案】][() ,02,-∞?+∞ 6．已知函数．若的解集包含，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】f (x )≤|x －4|?|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ?4－x －(2－x )≥|x ＋a |?－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2， 即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为 . 7．若适合不等式2435x x k x -++-≤的x 的最大值为3，则实数k 的值为_______． 【答案】8 【解析】因为x 的最大值为3，故x ﹣3＜0， 原不等式等价于|x 2 ﹣4x+k|﹣x+3≤5， 即﹣x ﹣2≤x 2 ﹣4x+k ≤x+2， 则 x 2 ﹣5x+k ﹣2≤0且x 2 ﹣3x+k+2≥0解的最大值为3， 设 x 2﹣5x+k ﹣2=0 的根分别为x 1和x 2，x 1＜x 2， x 2 ﹣3x+k+2=0的根分别为x 3和 x 4，x 3＜x 4． 则x 2=3，或 x 4=3． 若x 2=3，则9﹣15+k ﹣2=0，k=8， 若x 4=3，则9﹣9+k+2=0，k=﹣2． 当k=﹣2时，原不等式无解， 解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<． ［题根4］解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜含绝对值的不等式解法练习题及答案
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