Strongart数学笔记：代数数论入门指南

代数数论入门指南

一般代数数论都是先在具体的代数数环上出发的，常常可以在Dedekind整环上统一处理，然后通过数域的完备化发展到局部域，最后建立局部与整体类域论，本文主要科普的是局部类域论之前的代数数论基础概念。

先从迹与范的概念开始，它们实际上都源于线性代数，是特征多项式上的两个特殊的系数。设A与B是两个交换环，且B是秩为n 的自由A-模，那么任何b∈B都可以视为B的乘子L_b(x)=bx，那么这个乘子就是一个线性变换（给定基之后可以写成n×n矩阵），它的迹、范与特征多项式就是元素b对于扩张B/A的特征多项式。分别记作Tr（b），N（b）与f_b(X).

代数数论中最常见的还是域的扩张，设L/K是有限n次扩域，u∈L在K上的不可约多项式的（可能重复的）根分别为u_1,…，u_s，则u的迹与范分别为：

Tr(u)=[L:K(u)]Σu_i; N(u)=(∏u_i)^[L:K(u)]

假若K是整环A的函数域，a∈L是A上的整元素，那么a对于L/K的特征多项式的系数（特别是迹与范）在A上都是整的且属于K。特别当A是整闭的，那么它们的系数搜属于A.

假若L/K是有限n次可分扩域，那么其迹形式T(u,v)=Tr(uv)是非退化的对称双线性型。可定义L的元素a_1,…,a_n对L/K的判别式为：Disc（a_1,…,a_n）=det[Tr(a_ia_j]=（det[σ_ia_j])^2，1≤ij≤n

其中σ_i是L的K-共轭。

若L=K(a),a在K上的极小多项式为f(x)=(x-a_1)…(x-a_n)，其中

a_i=σ_i(a)，则定义a对于f（x）的判别式为：

Disc（1,a,…,a^(n-1)）=∏(i＜j)(a_i-a_j)^2=(-1)^n(n-1)/2Nf'(a)

这里f"(a)称为a的微分或差分（different）.

通过对三项式f（x）=x^n+bx+c的验证，这里的判别式与通常二三次多项式的判别式是一致的（见[1]).

代数数环都是Dedekind整环，其理想可以被唯一分解为素理想之积，下面我们就着重研究素理想。基本假设是这样的：A是分式域为K的Dedekind整环，L/K是n次可分扩张，B是A在L内的整闭包。

在此前提下，对A内任何非零素理想P，它在B内生成的理想PB就有分解：

PB=Q_1^e_1…Q_g^e_g

其中各Q_i是B的彼此不同的素理想，并且它们一起组成了卧上于P （即Q∩A=P）的素理想Q的全体。这里e_i称为Q_i对P的分歧指数，f^i=|B/Q_i:A/P|称为Q_i对P的剩余类次数，g称为Q在B或L 内的分裂指数，有基本关系n=Σe _if_i.

下面看几种值得注意的特殊情形：

0）若有某e_i＞1，则称P在B或L内是分歧的；否则就称为非分歧的。

1）若各e_i=f_i=1，即PB=Q_1…Q_n，则称P在B或L内完全分裂的。

2）若有e_i=n、即PB=Q^n,则称P在B或L内是完全分歧的。

3）假若L/K是Galois扩张，那么所有的e_i与f_i均相等，分别记作e与f，此时有n=efg

对于扩张问题，我们还可以在局部域上进行再认识。局部域是赋值论中的一个概念，要求有诱导局部紧拓扑的绝对赋值，一般数域的

完备化都是局部域。对于局部域上的赋值，我们可以定义决定相同拓扑的赋值是等价的，其等价类一般称为素除子（prime divisor）或位（place）.

设域F关于离散素除子P是完备的，对F的任意n次代数扩张E，P到E上可扩张为素除子Q，记

e=e（Q|P）=e（E|F）

f=f（Q|P）=f（E|F）

分别对应上面的分歧指数与剩余类次数，自然有ef=[E:F]=n.同时我们记~为到其赋值整环上的商，有f={E~:F~}

对此我们也有下列特殊情况：

1）若e=1，f=n，则扩张E/F称为非分歧的，这个条件等价于有E=F（a），其中a是首一多项式f（x）∈O[x]的根，且a~是f~[x]的单根。

2）若e=n，f=1，则扩张E/F称为完全分歧的，这个条件/等价于有E=F（π），其中π在F上的极小多项式为Eisenstein多项式。

3）设F~的特征是p，E~/F~可分，若p不整除e，则称E/F为顺分歧（tamely ramified）；否则就称为是野分歧（wildly ramified）。E/F

是e次完全顺分歧扩张iff E=F（π^(1/e))，其中π是F的素元且p不整除e.

对于分歧性，实际上还是更加精细的刻画，比如可以定义一般n 阶分歧群，具体请参考Serre的名著[4].

下面我们把上面关于元素的微分与判别式定义在理想上，先定义理想的范映射，由于在Dedekind整环内的理想有素理想分解，因此一般就只要在素理想上讨论。假若B的素理想Q卧上于A的素理想P，可定义其范数理想为

N（Q）=P^f （f就是上面定义的剩余类次数）

先看判别式的定义，一般L的理想I的判别式D（I)可定义为所有D(a_1,…,a_n)生成的理想，其中各a_i∈I. 若I是B的分式理想，则D（I）=N（I）^2 D（L/K)

其中N是L到K的范。

微分的定义要稍微复杂一下，一般是先要考虑补集的概念。对L 的子集M，先定义M的补集或上微分（codifferent）为

M*={x∈L；Tr（xM）∈A}}

这样（B*）^(-1)就称为L/K（或B/A)的微分，可以记作d. 这样的定义的微分与元素的微分有什么关系呢？假若M=A[a]，f是a在K内的教小多项式，那么其微分d=（M*）^(-1)=（f'(a)），其中f’(a)恰恰就是元素a的微分。

对于理想的微分，我们有下列特征等价条件：设I与J分别为A 与B的分式理想，则

Tr（J）包含于I iff J包含于Id^(-1)

同时关于元素的微分与判别式的关系，在这里也同样得到保留，即有D=N（d），它可以推出判别式D∈A.

利用微分或者判别式，我们可以判定素理想的分歧性问题。设Q 是B的素理想。P=Q∩A，则

L/K在Q上非分歧iff Q不整除微分d iff P不整除判别式D

它的一个重要推论就是分歧的素理想最多只能是有限多个。

由数到理想的推广实际上是代数数论的发展思想，在[2]中更是敏锐的指出了它与代数数论两大基本定理之间的联系。怎样由数生成理想呢？最简单的方法就是由K上的元素直接生成主分式理想，由此

得到自然映射a→（a），其核实际上就是单位群，而余核则是理想类群。

设O是代数数域K的代数整数环。K的理想类群就是O的所有分式理想在乘法下构成的群对主分式理想群的商群，其阶称为K的类数；而K的单位群则是O的所有单位构成的群。代数数论的两大基本定理说明了这两个群在某种意义上都是有限的。

类数有限性定理：数域的理想类群是有限群，

Dirichlet定理：数域的单位群是有限生成Abel群。确切的说，假若数域K有r个实素除子，s个复素除子，那么其单位群同构于(r+s-1)个Z与某有限群的直和。

以上就是代数数论入门时会遇到的主要基本概念，再补充一点二次域与分圆域等实例，以及Frobenius自同构这样的特殊现象，基本上就构成了类域论之前的代数数论的代数部分。当然，一般代数数论的入门书籍中还包括一个解析部分，这对于专门的数论研究者来说也是必不可少的。

扩展阅读：

[1] 张贤科. 代数数论导引[M]. 高等教育出版社, 2006.（比较全面的代数数论中文教材）

[2] (日)加藤和也;黑川信重;斋藤毅（胥鸣伟印林生译）数论

I--Fermat的梦想和类域论高等教育出版社2009 （生动有趣的现代数论补充读物）

[3] Lang S. Algebraic number theory[J]. Reading, Mass, 1970. （强大的代数数论经典教科书）

[4] Serre J P. Local fields[M]. New York: Springer-Verlag, 1979. （数学经典名著，代数数论的后续读物）

本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！

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组合数论问题

组合数论问题 组合数论作为数论的一个（小）分支，是研究整数集合的组合性质。与代数数论、解析数论等分支相对应，组合数论的证明与结论更多地带有“离散的、组合的”味道。 例1. （组合数论经典定理）证明：任意2n+1个整数中一定可以找到n 个， 其和为n 的倍数。 [证：]先证命题的（完全）积性，即 引理：若对于正整数m, n 原命题都成立，则命题对于mn 亦成立。 由引理，只需对n=p 为素数的情形证明即可。 反证法，设存在2p+1个正整数1221,,,+p x x x 使得其中任意p 个之和 考察 )(m o d )(1122 1 p x x x C p i i i p p p ∑-++++≡ 例2．(IMO 预选题2008N4).对于整数k ?2,证明122k k C +－1 22k k C -被23k 整除但不被23k+1整除. [证：]利用2n n C =2(2)!(!)n n =2(21)!!!n n n -=222((21)!!)(2)! n n n -, 1 22k k C +－1 22k k C -=21 2(21)!!(2)!k k k +-－22 2((21)!!)(2)!k k k -=22(21)!!(2)!k k k -(121(221)k k i i -=+-∏－1 2 1 (2(21))k k i i -=--∏). 1 21 (221)k k i i -=+-∏－121 (2(21))k k i i -=--∏=2 12(21)12(21)1 2k k r k r r S ---+--=∑≡2 k+1 (2k －1)!!121 1 21 k i i -=-∑ (mod 23k+1). 1 21121 k i i -=-∑=121 2111()212(21)k k i i i -=+---∑=2k-1 1 2 11(21)(2(21)) k k i i i -=---∑. A={1,3,…, 2k －1}是(mod 2k )的缩系,故r -2(r ∈A)是r 2(r ∈A)的置换,因此 1(2)k r A r r ∈-∑≡－2 1r A r ∈∑≡－2 r A r ∈∑=－1 2 1 (4(1)1)k i i i -=-+∑≡2k-1(mod 2k ).

数论与解析数论简史

数论与解析数论简史 王志伟200800090156 数学与应用数学 数学王子Gauss曾经说过：数学是科学的女王，而数论是数学的女王。Gauss在数学、物理、天文各方面都取得了非凡的成就，但他却始终对数论情有独钟。数论，以其纯粹的数学本质，常常被认为是最美的数学，数学的中心。 与其他数学分支，比如几何、分析不同，数论并非是源于实际需要而创立的一门学科，其起源很有可能是出自数字游戏和Pythagoras学派以数字为图腾的宗教文化。数论曾经被认为是数学家的游戏、最纯的数学学科、唯一不会有什么应用价值的分支。但是现在随着网络加密技术的发展，数论也找到了自己用武之地——密码学。前几年破解MD5码的王小云老师就是山大数论学派出身。而在其他理论中，数论也表现出了一些意想不到的价值。在量子理论中，Hermite算子是最基本的概念之一，它的思想起源就是19世纪Hermite为解决数论问题而创立的Hermite型。我们在代数中常见的理想、环等概念最开始是出自Dedekind的数论著作中。最近的一个例子，Grothendieck为解决Weil猜想而对代数几何进行了革命性的改造。此类例子还有很多，在此不一一列举。 在古代对数论贡献最大的当属古希腊人。最著名的一些成果大概就是Euclid在《几何原本》中提到的Euclid算法、素数无限多个，算数基本定理等内容，这些我们在初等数论中都可以见到。另一个对数论有重大贡献的古希腊人当属Diophantus，他探讨了很多不定方程，为纪念，我们现在就称这些方程为Diophantus方程，著名的费马大定理就是一个Diophantus 方程问题。当然，中国古代在数论方面也作出了一定的贡献：众所周知、大名鼎鼎的中国剩余定理，被数学界唯一承认的中国的定理。 在经过漫长的中世纪之后，数论进入了一个辉煌的发展时期。推动数论发展的第一个重要人物首推Fermat，一个在数论界享有崇高地位的法国律师、业余数学家。Wiles在1994年证明的Fermat's last theorem，即我们所说的费马大定理，就是Fermat所提出的一个猜想。另外，Fermat小定理，关于多角形数的猜想，Fermat数，Mersenne素数性质，Pell方程都有他的贡献，我们证明中常用的无穷递降法，就是费马在证明费马大定理在n=3时最先发明使用的，除了数论，他在其他方面也有一些突出贡献，比如解析几何、微积分。Fermat之后，另一个重要的人物是Euler，他对Fermat的一个猜想：Fermat数都是素数给出了反例，引进了在数论中一个非常重要的数论函数，即Euler函数，并发现了一个数论中非常重要的Euler 公式。另外，笔者在跟同学在参加大学生科技创新项目中研究整数分拆这个课题时，阅读了Geogre Andrew的《The theory of partitions》，有幸了解到Euler在数论中的整数分拆方面也做出了很大的贡献，提出了母函数法，利用幂级数来研究整数分拆，这导致圆法和指数和方法的产生。 。在Euler之后，两个法国人Lagrange、Legendre也在数论方面做出了重要贡献，比如我们熟悉的二次互反律，Euler和Legendre都曾提出猜想，而公式中的符号我们即称作Legendre符号。他们的贡献就不在此细述。而在数论史上做出贡献最大的，我想大多人会同意是Gauss，一个伟大的数

第五讲数论与组合

1是否存在实数x使得tan x+和 cot x+都是有理数。 2在1,2，…,2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数

3在由若干南方球队和北方球队参加的排球单循环赛中，已知南方队比北方队多9支，所有南方队得到的分数总和是所有北方队得到的分数总和的9倍（每场比赛胜者得一分，负者得零分）。证明：循环赛结束后，某支南方队积分最高。 4在一次考试中333个同学共答对了1000道题。答对至多3题者为不及格，答对至少6道题者为优秀。已知不是所有同学答对的题的个数的奇偶性都相同。问：成绩不及格者和

优秀者人数哪个多 5目前有n（n≥2）为乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，请问n的所有可能取值。 6将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应

边．试求这些正方形边长之和的最小值． 7对于整数n ≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m+1，…，m+n －1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素． n m D A C B A 1 D 1

8如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。

9一种密码锁的密码设置是在正n边 A A A的每个顶点处赋值0和1形12n 两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？ 10设A是一个9 3 的方格表，在每一

第1,2讲 组合与数论问题

第1，2讲组合与数论问题 一．填空题: 1.设a,b,c是互异的自然数且ab+bc+ca=abc,则a+b+c=_______. 2.从1到2013连续的2013个自然数按某种顺序排列,然后按连续三项计算和数,得到2011个和数,则这些和数中,奇数的个数最多有_________个. 3.在式子:12○22○32○…○20092的“○”中填入“+”或“?”中的一个,如果所得的数非负,那么这个非负数的最小值是________. 4.直角三角形的三边之长为正整数,其中一条直角边的长为35,那么它的周长的最大值与最小值分别是_______、_________. 5. 已知 S的最大 整数为__________. 6.末四位数为2013,且被71整除的最小的正整数为_____________. 7.用6种不同的颜色给正方体的6个面染色,各面颜色互不相同,经过适当的翻转重复的染色视为同一种染色,则不同的染色方式有__________. 8.某数学竞赛分两试进行.一试有选择题6个,答对一个得6分,填空题6个,答对一个得9分,解答题三个,每题20分,每5分一档分步计分,二试解答题有三个,每题50分,每10分一档分步计分,某同学参加竞赛,则他的得分可能有________种. 9.把1,2,3,…,2n这2n个正整数随意放置在一个圆周上,据统计,在所有相邻的三个数中,三个数全为奇数的有a组,三个数中恰有两个数奇数的有b组,三个数中恰有一个数为奇数的有c组,三个数都为偶数的有d组,如果a-d≠0,那么(b-c)/(a-d)=____________. 10.自然数k具有性质:在半径为1的圆上任取4点,都有两点的距离不大于k,则k的最小值为________. 二．解答题： 11.n是正整数,求证 537 5315 n n n ++是整数.

组合数学与数论1

第一部分：组合数学 第一章计数的基本原则 一．组合数学的历史和内容 1.历史：组合数学最早起源于中世纪的印度，在漫长的历史中，一 直发展缓慢。随着上一世纪计算机的出现，组合数学开始快速地发展。近几年，由于计算机安全领域受到重视以及组合数学在计算机安全领域的应用，组合数学受到越来越多的重视。 2.内容：组合数学主要包括以下几个内容： (1)组合分析（也称为组合计数理论） (2)组合优化（包括线性规划，整数规划等） (3)组合设计（包括区组设计等） (4)组合算法（例如：搜索算法，DFS算法与分支定界法，动态规 划等） *图论本是组合数学这个家族的一个主要成员，但它已成长壮大，独立成一门学科。 3. 本课程介绍的主要内容：组合计数理论 二．加法原则与乘法原则 1. 加法原则： 设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则“事件A 或事件B”有m+n种产生方式。 例子：大于0而小于10的偶数有4个，即：{2，4，6，8}，大于0而小于10的奇数有5个，即：{1，3，5，7，9}。则大于0而小于10

的整数有：4+5=9个，即：{1，2，3，4，5，6，7，8，9}。 *如果A1,A2,?,A n是互不相交的有穷集，那么 |A1∪A2∪?∪A n|=|A1|+|A2|+?+|A n| 2.乘法原则： 若事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则“事件A 与事件B”有mn种产生方式。 例1：设一个符号由两个字符组成，第一个字符有a,b,c,d,e五种方式，第二个字符有1,2,3三种方式。则根据乘法原则，该符号具有5×3= 15种方式，即 a1,b1,c1,d1,e1;a2,b2,c2,d2,e2;a3,b3,c3,d3,e3. 例2：从A到B有3条不同的道路，从B到C有2条不同的道路，从A经B到C共有n=3×2=6条不同的道路。 例3：求比10000小的正整数中含有数字1的数的个数。 解：先求所有4位数中不含有数字1的个数，即求由{0，2，3，4，5，6，7，8，9} 9个数字组成的4位数的个数。每一位都有9种出现方式，根据乘法原则，由9个数字组成的4位数个数为：9×9×9×9= 6561，其中包含0000不是正整数。故比10000小不含数字1的4位正整数的个数=6561?1=6560. 所以小于10000含有数字1的4位数个数=9999?6560=3439.

丘成桐大学生数学竞赛,代数与数论,考纲

Algebra,Number Theory and Combinatorics(second draft) Linear Algebra Abstract vector spaces;subspaces;dimension;matrices and linear transformations;matrix algebras and groups;determinants and traces;eigenvectors and eigenvalues,characteristic and minimal polynomials;diagonalization and triangularization of operators;invariant subspaces and canonical forms;inner products and orthogonal bases;reduction of quadratic forms; hermitian and unitary operators,bilinear forms;dual spaces;adjoints.tensor products and tensor algebras; Integers and polynomials Integers,Euclidean algorithm,unique decomposition;congruence and the Chinese Remainder theorem;Quadratic reciprocity;Indeterminate Equations.Polynomials,Euclidean algorithm, uniqueness decomposition,zeros;The fundamental theorem of algebra;Polynomials of integer coefficients,the Gauss lemma and the Eisenstein criterion;Polynomials of several variables, homogenous and symmetric polynomials,the fundamental theorem of symmetric polynomials. Group Groups and homomorphisms,Sylow theorem,finitely generated abelian groups.Examples: permutation groups,cyclic groups,dihedral groups,matrix groups,simple groups,Jordan-Holder theorem,linear groups(GL(n,F)and its subgroups),p-groups,solvable and nilpotent groups, group extensions,semi-direct products,free groups,amalgamated products and group presentations. Ring Basic properties of rings,units,ideals,homomorphisms,quotient rings,prime and maximal ideals,fields of fractions,Euclidean domains,principal ideal domains and unique factorization domains,polynomial and power series rings,Chinese Remainder Theorem,local rings and localization,Nakayama's lemma,chain conditions and Noetherian rings,Hilbert basis theorem, Artin rings,integral ring extensions,Nullstellensatz,Dedekind domains,algebraic sets,Spec(A). Module Modules and algebra Free and projective;tensor products;irreducible modules and Schur’s lemma;semisimple,simple and primitive rings;density and Wederburn theorems;the structure of finitely generated modules over principal ideal domains,with application to abelian groups and canonical forms;categories and functors;complexes,injective modues,cohomology;Tor and Ext. Field

第9讲.数论中的组合.答案

第9讲 数论中的组合 1. 下面有9个自然数：14,35，80,152，650,434,4375，9064，24125.在这些自然数中，请问： （1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？ （2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？ 答案：(1)能被2整除的数末位应是2的倍数，有：14，80，152，650，434，9064,； 能被4整除的末两位应为4的倍数，有：80,152,9064； 能被8整除的末三位应为8的倍数，有：80,152,9064； （2）能被5整除的末位应为5的倍数，有35,80,650,4375,24125； 能被25整除的末两位应为25的倍数，有：650,4375,24125； 能被125整除的末三位应为125的倍数，有：4375,24125； 2. 一个三位数64的十位数字未知.请分别根据下列要求找出“ ”中合适的取值： （1）如果要求这个三位数能被3整除，“ ”可能等于多少？ （2）如果要求这个三位数能被4整除，“”可能等于多少？ 答案：（1）数字和保证是3的倍数，则可填写2,5,8； （2）能被4整除，则末两位能被4整除，则可填写0、2、4、6、8； 3. 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？ 答案：一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4+□+3+2+□是9的倍数，而4+3+2=9, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．⑴依次填入3、6，因为4+3+3+2+6=18是9的倍数，所以43326是9的倍数；⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法． 4.从自然数1，2，3，，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？ 答案：设a ，b ，c ，d 是所取出的数中的任意4个数，则18a b c m ++=，18a b d n ++=，其中m ，n 是自然数.于是()18c d m n -=-.上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同.设这个余数为r ，则118a a r =+，118b b r =+，118c c r =+，其中1a ，1b ，1c 是整数.于是()111183a b c a b c r ++=+++.因为()18|a b c ++，所以18|3r ，即6|r ，推知0r =，6，12.因为1000551810=?+，所以，从1，2，…，1000中可取6，24，42， ，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被 18整除. 5. 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。 答案：方法一：设补上数字后的六位数是865abc ，因为这个六位数能分别被3、4、5整除，所以它应满足以下三个条件： 第一：数字和(865)a b c +++++是3的倍数；

Strongart数学笔记：代数数论入门指南

代数数论入门指南 一般代数数论都是先在具体的代数数环上出发的，常常可以在Dedekind整环上统一处理，然后通过数域的完备化发展到局部域，最后建立局部与整体类域论，本文主要科普的是局部类域论之前的代数数论基础概念。 先从迹与范的概念开始，它们实际上都源于线性代数，是特征多项式上的两个特殊的系数。设A与B是两个交换环，且B是秩为n 的自由A-模，那么任何b∈B都可以视为B的乘子L_b(x)=bx，那么这个乘子就是一个线性变换（给定基之后可以写成n×n矩阵），它的迹、范与特征多项式就是元素b对于扩张B/A的特征多项式。分别记作Tr（b），N（b）与f_b(X). 代数数论中最常见的还是域的扩张，设L/K是有限n次扩域，u∈L在K上的不可约多项式的（可能重复的）根分别为u_1,…，u_s，则u的迹与范分别为： Tr(u)=[L:K(u)]Σu_i; N(u)=(∏u_i)^[L:K(u)]

假若K是整环A的函数域，a∈L是A上的整元素，那么a对于L/K的特征多项式的系数（特别是迹与范）在A上都是整的且属于K。特别当A是整闭的，那么它们的系数搜属于A. 假若L/K是有限n次可分扩域，那么其迹形式T(u,v)=Tr(uv)是非退化的对称双线性型。可定义L的元素a_1,…,a_n对L/K的判别式为：Disc（a_1,…,a_n）=det[Tr(a_ia_j]=（det[σ_ia_j])^2，1≤ij≤n 其中σ_i是L的K-共轭。 若L=K(a),a在K上的极小多项式为f(x)=(x-a_1)…(x-a_n)，其中 a_i=σ_i(a)，则定义a对于f（x）的判别式为： Disc（1,a,…,a^(n-1)）=∏(i＜j)(a_i-a_j)^2=(-1)^n(n-1)/2Nf'(a) 这里f"(a)称为a的微分或差分（different）. 通过对三项式f（x）=x^n+bx+c的验证，这里的判别式与通常二三次多项式的判别式是一致的（见[1]). 代数数环都是Dedekind整环，其理想可以被唯一分解为素理想之积，下面我们就着重研究素理想。基本假设是这样的：A是分式域为K的Dedekind整环，L/K是n次可分扩张，B是A在L内的整闭包。

组合数学在数论中的应用实例

组合数学在数论中的应用实例 摘要：本文将组合数学中的容斥原理和递归关系应用到数论中,讨论了数组整除性的判定和整除的计数;Euler函数的计数和质数个数的计数问题。 关键词：容斥原理;递归关系;整除;Euler函数;质数 我们知道,在组合数学中,容斥原理(又称包含排斥原理)和递归关系是解决组合计数问题的一个重要工具和方法。将这一重要工具和方法应用到数论中,对于数组整除性的判定和整除的计数;Euler函数的计数和质数个数的计数,都会带来很大方便。下面,首先简要介绍容斥原理、常系数线性齐次递归关系的建立和迭代解法,然后给出几个应用实例。 1容斥原理与常系数线性齐次递归关系简介 1.1容斥原理 设S是有限集合,Ai S(i=1,2,…,n,n≥2)则 ∪ni=1Ai =( A1 + A2 +…+ An )-( A1∩A2 + A1∩A3 + …+ An-1∩An )+…+(-1)n-1 A1∩A2∩…∩An =∑nk=1(-1)k-1∑1≤i1

五、代数与数论综合问题

五、代数与数论综合问题 例1、试确定所有正整数n (3)n ≥，使得0123 n n n n n c c c c +++∣ 2. 解：由二项式定理和组合数定义，对所有正整数3n ≥，有 01232n n n n n n n c c c c c =++++?+0123n n n n c c c c ≥+++21(1)(6)6 n n n =+-+ 因此存在正整数l ，使得21(1)(6)32l n n n ++-+=? ① 这样1n +和26n n -+可以写成32αβ?的形式，其中0α=或1，N β∈ 下面分两种情况讨论： ⑴ 4β≥，这时16(1)n ?+， 将①式中的第二项改写为 226(1)3(1)8n n n n -+=+-++， 由此得 28(6)n n ?-+，且216|(6)n n -+/，则26n n -+只能为8或24. 当268n n -+=时，解得1n =-或2； 当2624n n -+=时，解得1 (12 n = ±。它们都不满足题设. ⑵ 3β≤，这时由132n αβ+=?，可以求得 1n +只能为 1、2、4、8、3、6、12、24， 相应的n 为 0、1、3、7、2、5、11、23， 26n n -+为 6、6、12、48、8、26、116、512。 再由①式及3n ≥知，满足条件的n 有三个，分别是3、7、23. 例2、是否存在无穷多个正整数对(,)m n ，使得21mn ?+，21n m ?+？ （2013年英国数学奥林匹克） 解：存在。构造数列{}n a ，12a =，25a =，213n n n a a a ++=-， 则 213n n n a a a +++= ， 等号两边同乘 2n n a a +- ， 得： 22 212133n n n n n n a a a a a a ++++-=- ① 我们说明 2 121n n n a a a +++=，采用数学归纳法 1n =时，12a =，25a =，313a =，22131a a a +=成立 假设n t =时成立，则当1n t =+时，由归纳假设 21211(3)t t t t t t a a a a a a ++++==- 即 221113t t t t a a a a ++++= ②

初中数学联赛组合数论习题汇总

组合与数论专题（一） 1.求使得31024-1能被2n整除的最大的正整数n. 2.设p是素数，且p+10,P+20也均为素数，求出所有这样的素数p. 3.从1，2，…，2n中拿走n个连续的正整数，留下来的n个数的和是1615，求满足条件的所有正整数n. 4.求所有的正整数n，使得3n2+3n+7是一个立方数.

5.已知正整数x，y满足方程x2+84x+2008=y2，求x+y的值. 6.求方程的正整数解（x,y）的组数. 7.设n为正整数，且3n+1与5n-1皆为完全平方数，求证： （1）7n+13必为合数； （2）8（17n2+3n）必为两个平方数的和. 8.是否存在一个二次函数f（x），使得对任意的正整数k，当时，都有成立？请给出结论，并加以证明.

9.已知两个三边长都是整数的等腰三角形有相同的周长，相同的面积，且两底边长之比为8:7，求公共周长的最小值. 10.将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58.求所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值. 11.设α1，α2，…，α30是从1，2，…,2011中取出的30个不同的两两互素的数,证明：其中至少有15个是素数.

12.对正整数n，记f（n）为数3n2+n+1的十进制表示的数码和. （1）求f（n）的最小值；（2）是否存在一个正整数n，使得f（n） =100？ （1）S能否等于2010？证明你的结论； （2）S能取到多少个不同的整数值？ 14.把1到n（n＞1）这n个正整数排成一行，使得任何相邻两数之和为完全平方数.问：n的最小值是多少？

数论组合及其相互影响会议-南京大学数学系

第一届“数论、组合及其相互影响”会议 The First Workshop on Number Theory, Combinatorics and their Interactions (Nanjing University, August 10-12) 会议日程（Program） 8月10日（August 10） 8:20—8:25 开幕式(The Opening Speech by Z.-W. Sun) 8:25—9:05 Cauchy, Bailey, operator methods and q-series Prof. Zhizheng Zhang from Luoyang Normal College (洛阳师范学院数学系张之正教授) 9:10-9:50On monotonicity of representative functions Prof. Min Tang from Anhui Normal University (安徽师范大学数学系汤敏副教授） [Chair: Zhi-Wei Sun] 10:00-10:40 Congruences for restricted m-ary partition and over-partition functions Prof. Qinglin Lu from Xuzhou Normal University (徐州师范大学卢青林教授) 10:45-11:25 Covers of the integers with odd moduli and their applications

Prof. Ke-Jian Wu from Zhanjiang Normal College （湛江师范学院吴克俭副教授） [Chair: Zhi-Zheng Zhang] 14:30--15:30 (Plenary talk) Zeta functions of graphs and hypergraphs Prof. Wen-Ching Winnie Li from Pennsylvania State University ( 美国宾州州立大学数学系李文卿教授) 15:40--16:40 (Plenary talk) On weighted zero-sum problems Prof. Yong-Gao Chen from Nanjing Normal University （南京师范大学数学系陈永高教授） 16:50--17:30 Improvement on parameters of algebraic-geometric codes from Hermitian curves Dr. Si-Man Yang from East-China Normal University （华东师范大学数学系杨思熳博士） [Chair: Keqin Feng] 8月11日(August 11) 8:20—9:20 (Plenary talk) Some combinatorial problems from coding and cryptography Prof. Keqin Feng from Tsinghua University （清华大学数学系冯克勤教授） 9:30—10:30 (Plenary talk)Canonical CM abelian varieties

什么是数论

什么是数论 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。 对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。 人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。 数论的发展简况 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。 自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。 到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。 在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。

关于数论研究的社会意义

关于数论研究的社会意 义王世 强 (北京师范大学数学学院,100875 北 京) 摘要:本文简述数论研究的社会意 义. 关键词:数论,社 会. [一]数论是研究数的性质的数学学科.它的一个主要领域(也是最古老的领域)是研究通常的整数.它除了对于数学本身很有用之外,也有不少实际用 处. (1.1)例如在编制密码方面就很有用.利用大素数编制的密码不易被局外人破译.我国的段学复院士,万哲先院士与丁石孙教授,冯克勤教授等都在这方面做出不少成果.(因保密而未发表).中国科学院软件研究所的陶仁骥研究员在密码的密钥方面作过不少研究.王明生研究员也用"代数几何"方法在这方面作出很多成果.[关于密码,读者可参看万哲先院士著<代数与密码>(科学出版社,2006)或冯緖宁与袁向东合著<中国近代代数史简编>(山东

教育出版社,2006)第66-68页.或万哲先院士在<数学通报>1984年第6期的文章.笔者也在一篇简介性文章中作了简单的举例介绍[已投稿到<中学数学杂志>]. (1.2)在寻找大素数方面,(素数越大对于密码越有利.在笔者上述已投稿的文章中有说明).人们常利用Mersenne数与Fermat数[它们的定义见下].我们(笔者与别荣芳,史璟,杜文静)曾证明:几乎一切(即:至多有有限个例外)Mersenne数都是素数;几乎一切Fermat数也都是素数.[见<前沿科学>2009年第3期].我们(笔者与史璟)还证明了:几乎一切Wooden数与Cullen数,Fibonnacci数也都是素数.这就为从这几种形式去找素数开辟了广阔的前景.寻找大素数是很难的问题.我们曾用数理逻辑中的"模型论"方法给出一个关于困难性的证明.已投稿.[研究素数对实际有用,所以我对此很感兴 趣]. (1.3)另外,有些应用性不明显的数论问题对社会也有间接应用.在上世纪初,世界著名的德国数学家D.Hilbert向数学界提出23个未解决问题.其中有Goldbach的两个猜想这一看来并无实际应用的难题.但Hilbert认为,为研究此问题,可能出现新的数学方

数学竞赛中的数论问题

数学竞赛中的数论问题 罗增儒 引言 数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支． 什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3，…是这样一个集合N +： （1）有一个最小的数1． （2）每一个数a 的后面都有且只有一个后继数/ a ；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数． 这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理： （3）对N +的子集M ，若1M ∈，且当a M ∈时，有后继数/ a M ∈，则M N +=． 就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想： 1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明（已解决）．“表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1． 欧拉认为这是对的，但证不出来． 1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题． 1966年陈景润证得：一个素数+素数?素数（1+2），至今仍无人超越． ●陈景润的数学教师沈元很重视利用名人、名言、名事去激励学生，他曾多次在开讲时，说过这样的话:“自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠．……”陈景润就是由此而受到了启示和激励，展开了艰苦卓绝的终生奋斗和灿烂辉煌的奋斗终生，离摘取“皇冠上的明珠”仅一步之遥． ●数论题涉及的知识不是很多，但用不多的知识来解决问题往往就需要较强的能力和精明多的技巧，有人说：用以发现数学人才，在初等数学中再也没有比数论教材更好的课程了．任何学生如能把当今一本数论教材中的练习做出，就应当受到鼓励，劝他（她）将来去从事数学方面的工作（U ．Dudley 《数论基础》前言）．下面，是一个有趣的故事． 当代最高产的数学家厄尔多斯听说一个叫波萨（匈牙利，1948）的小男孩很聪明，就问了他一个问题加以考察（1959）：如果你手头上有1n +个正整数，这些正整数小于或等于2n ，那么你一定有一对整数是互素的，你知道这是什么原因吗？ 不到12岁的波萨只用了1分半钟，就给出了问题的解答．他将1～2n 分成（1，2），（3，4），…，（21,2n n -）共n 个抽屉，手头的1n +个正整数一定有两个属于同一抽屉，这两个数是相邻的正整数，必定互素． 通过这个问题，厄尔多斯认定波萨是个难得的英才，就精心加以培养，不到两年，14岁的波萨就发表了图论中“波萨定理”． ●重视数学能力的数学竞赛，已经广泛采用数论题目，是数学竞赛四大支柱之一，四大

数论研究的三个阶段

数论研究的三个阶段 [摘要]十八世纪前数论还没有形成完整体系，十八世纪后由于代数方法和解析方法的引入，数论出现了两大分支，即代数数论和解析数论。高斯对二次互反律的研究催生了代数数论，之后经库默尔、狄利克雷、戴德金等数学家的工作而得到了进一步的发展与完善。欧拉的研究引出了解析数论，黎曼、阿达马等数学家的研究直接推动了解析数论的发展。 关键词：数论；代数数论；解析数论

The Three Stages of Number Theory Research Abstract The Number theory had not formed a complete system until it was divided into two branches in the 18th century, namely the algebraic number theory and analytic umber theory. Gauss's research on the law of quadratic reciprocity had given rise to the algebraic number theory, which obtained the further development and perfection by Kummer, Dirichlet and Dedekind’s work. Euler's researches led to analytic number theory, and Riemann and Hadamard’s studies further promote the analytic number theory. Key words:the number theory; the algebraic number theory; the analytic number theory

2011年丘成桐大学生数学竞赛——代数,数论与组合卷

S.-T.Yau College Student Mathematics Contests 2011 Algebra,Number Theory and Combinatorics Individual 2:30–5:00pm,July 10,2011 (Please select 5problems to solve) For the following problems,every example and statement must be backed up by proof.Examples and statements without proof will re-ceive no-credit.1.Let K =Q (√?3),an imaginary quadratic ?eld. (a)Does there exists a ?nite Galois extension L/Q which contains K such that Gal(L/Q )～=S 3?(Here S 3is the symmetric group in 3letters.) (b)Does there exists a ?nite Galois extension L/Q which contains K such that Gal(L/Q )～=Z /4Z ? (c)Does there exists a ?nite Galois extension L/Q which contains K such that Gal(L/Q )～=Q ?Here Q is the quaternion group with 8elements {±1,±i,±j,±k },a ?nite subgroup of the group of units H ×of the ring H of all Hamiltonian quaternions. 2.Let f be a two-dimensional (complex)representation of a ?nite group G such that 1is an eigenvalue of f (σ)for every σ∈G .Prove that f is a direct sum of two one-dimensional representations of G 3.Let F ?R be the subset of all real numbers that are roots of monic polynomials f (X )∈Q [X ]. (1)Show that F is a ?eld. (2)Show that the only ?eld automorphisms of F are the identity automorphism α(x )=x for all x ∈F . 4.Let V be a ?nite-dimensional vector space over R and T :V →V be a linear transformation such that (1)the minimal polynomial of T is irreducible; (2)there exists a vector v ∈V such that {T i v |i ≥0}spans V .Show that V contains no non-trivial proper T -invariant subspace. 5.Given a commutative diagram A → B → C → D →E ↓↓↓↓↓ A → B → C → D →E 1