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§1 矢量的基本知识和运算法则

1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A

矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。

两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。

2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。

对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。

10N

图5－1

A /A

A /A A =

/A A ≠

/A A =-

图5－ 2

C A

B A B

C +=

C A B ()A B A B C -=+-= C

B A B

C += A B C A B C -= 图5－ 3 A B C

E A B C D E +++= A B C D E B D A C E +++=

图5－4

3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反

如动量()

mV 、冲量()

F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量()

m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。

矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量

1K ，如加速度1

F a F m m

=?，方向与F 相同。

4．矢量A 与矢量B 相乘

一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用A B ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：cos A B AB θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。cos W F S FS θ=?=

另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。

sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积，

矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。

注意：A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。

如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为

sin M Fr θ=。带电粒子所受的磁场力（即洛仑兹力）F q V B =?，大小为

sin F q vB θ=?（若是负电荷受力方向与此相反）

例5－1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运动过程中合外力是否做功？

解：因为速度和加速度都是矢量，在图5－6所示的

圆周上任意取两点A 、B ，虽然,A B A B v v a a ==，但方向不同，由矢量相等的条件可知：A B v v ≠，A B a a ≠，因此匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。

由功的定义得：cos W F S FS θ=?=，因为作用于匀速园周运动的物体上的合外力F 始终沿着半径指向圆心，与位移S 的方向垂直。故cos

W FS π

==，所以

物体在做匀速园周运动的过程中，合外力（即向心力不做功）

例5－2判断图5－7所示的带电粒子受力的方向。

解：根据F qv B =?，用右手螺旋法则得出带电粒子的受力方向竖直向上（如图5－8）

例5－3空间某处O ，有互相垂直的两个水平磁场1B 和2B ，

55121.7310, 1.0010B T B T --=?=?，现在该处有一段载流直导线，问导线应如何放

置，才能使两磁场作用在它上面的合力为零。

解：以O 为坐标原点，建立直角坐标系oxyz ，令2B 沿x 轴方向，1B 沿y 轴方向（如图5－9）

根据安培定律：F Il B =?

磁场作用于载流导线上的力F 垂直于l 和B 所决定的平面，

并依右手螺旋定则规

图5-6

定其方向。为使两磁场作用于载流导线的合力为零，则导线l 必须置于oxy 平面内，设它与y 轴的夹角为θ，则有：

11sin F B Il θ=方向沿z 轴向上。

()0222sin 90cos F B Il B Il θθ=-=，方向

沿z 轴向下。

平衡时：12sin cos 0B Il B Il θθ-=

cot 1.73,30B B θθ=

=∴= 即导线与1B 所成的角度为300，与2B 所成的角度为600。

例5－4图5－10是一张斜碰的闪光照片。大球的质量m 1=201.1g 小球的质量m 2=85.4g 。两球都是从下向上运动，碰撞后左、右分开，闪光的快慢是每秒30次，照片和实物的线度比例大约是1：10，试作出它们的动量分析图，并求出两球的动量的改变量12P P ??和，由此可得出什么结论？

解：由照片所示的两球位置和线段的比例，分别量出两球碰撞前后。在1

秒内所通过的距离。

大球：/1110 6.0 6.010 5.0 5.0S mm cm S mm cm =?==?=

小球：/22107.07.0,109.09.0S mm cm S mm cm =?==?=

由此计算出两球碰撞前后的速度：大球：

()()

21/

6.030 1.810(/) 1.8(/)5.0 1.5/ 1.5/v cm s m s v cm s m s =?=?==?=

小球：

()()()()

22/2

730 2.110/ 2.1/930 2.710/ 2.7/v cm s m s v cm s m s =?=?==?=?=

根据动量P mv =算出两球碰撞前后的动量：

大球：碰撞前：1110.2011 1.80.36(/)P m v kg m s ==?=?，方向与V 1相同。

碰撞后：//1110.2011 1.50.30(/)P m v kg m s ==?=?，方向与/1V 相同。小球：碰撞前：22228.54 2.1100.18(/)P m v kg m s -==??=?，方向与2V 相同。碰撞后：//22228.54 2.710

0.23(/)P m v kg m s -==??=?，方向与/2V 相同。两球碰撞前后动量的变化量：大球：()

11111P P P P P ?=-=+- 小球：()

22222P P P P P ?=-=+-

选取比例线段，根据平行四边形法则，作动量分析图（图5－11），从图中可以量得：10.13(/)P kg m s ?=? 20.13(/)P k g m s ?=

?两者方向相反。所以：12P P ?=-?

即两球碰撞前后动量的改变量是大小相等，方向相反的。

常用地一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209）将矢量作重新排列又有：()()() a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（ a ? ） ? 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ ，即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍，即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ，则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍，既为速度矢量的全微分() dv dr v =? 应用三重矢量积公式（ 1-209 ） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??

平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理突破点(一)平面向量的有关概念知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量考点平面向量的有关概念［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算：加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理：向量b 与a(a ^ o )共线的充要条件是有且只有一个实数人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到］三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二平面向量共线定理的应用［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.

矢量计算题

矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反如动量()mV 、冲量()F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量()m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1F a F m m ==?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用AB ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：c o s A B A B θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。c o s W F S F S θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积，矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。 A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为sin M Fr θ=。带电粒子所受的磁场力（即洛仑兹力）F qV B =?，大小为sin F q vB θ=?（若是负电荷受力方向与此相反）例5－1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运动过程中合外力是否做功？解：因为速度和加速度都是矢量，在图5－6所示的圆周上任意取两点A 、B ，虽然,A B A B v v a a ==，但方向不同，由矢量相等的条件可知：A B v v ≠，A B a a ≠，因此匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。

矢量的基本代数运算

其中) 3,2,1(=-i x y i i 就是该矢量在σ里的分量。各分量均为0的矢量称为零矢。在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。矢量3 3221 1e e e αa a a ++=的长为 23 2 2 21a a a ++=α 若1=α，α为单位矢量（幺矢）。0≠α，则 α/i a 叫做α在σ里的方向余弦，它们是α和1 e 间的角] ,0[π之间的余弦。零矢没有方向余弦。 1.2 矢量的基本代数运算现有矢量3 3221 1e e e αa a a ++=和3 3221 1e e e βb b b ++=，则 1）矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则。 3 33222111)()()(e e e βαb a b a b a +++++=+ 2）矢量差：矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算。 3 3 3 2 2 2 1 1 1 )()()(e e e βαb a b a b a -+-+-=- 3）纯量（或数量）乘矢量：若λ为纯量，则 3 32 21 1e e e αa a a λλλλ++= 4）数积（点乘）：矢量α，β的数积是纯量 θcos 3 32 21 1βαβα=++=?b a b a b a

向量及向量的基本运算

向量及向量的基本运算 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -, 零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）。注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 4)实数与向量的积 ①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ?=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则

向量和向量的基本运算

向量及向量的基本运算一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则．三、教学过程：（一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。<注意与0的区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则a +b =+=。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。说明：（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）。注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

§1 矢量的基本知识和运算法则

§1 矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 10N F 图5－1 A /A /A A /A A /A A = /A A ≠ /A A =- 图5－ 2 C A B A B C += C A B ()A B A B C -=+-= C A B A B C += A B C A B C -= 图5－ 3 A B C D E A B C D E +++= A B C D E B D A C E +++= 图5－4

3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反如动量() mV 、冲量() F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量() m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1 F a F m m = =?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用A B ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：cos A B AB θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。cos W F S FS θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。 sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积，矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。注意：A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为

平面向量基本概念与运算法则(含基础练习题)

平面向量1 1.数量和向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母b a ,等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB ；向量AB 的大小——长度称为向量的模，记作|AB |。 3.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。向量与有向线段的区别： ⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； ⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。 4.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0。 ②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 5.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。说明：⑴向量a 与b 相等，记作a =b ； ⑵零向量与零向量相等； ⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。 6.平行向量的定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行。说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义； ⑵向量c b a 、、平行，记作c b a ////。二、向量的运算法则 1.向量的加法某人从A 到B ，再从B 到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+； ⑴向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 ⑵三角形法则：AC BC AB b a =+=+ ⑶四边形法则：OC AC OA OB OA b a =+=+=+ 三角形法则四边形法则

矢量的基本代数运算

《微分几何简介》笔记 Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1 矢量代数定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量在三维空间中，取任意一点O 和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量1e ，2e ，3e ，构成一个直角坐标系（或标架）。用],,;[321e e e O =σ表示；O 称为σ的原点，1e ，2e ，3e 称为σ的基矢(或底矢)。若P 为空间任意一点，以O 为始点，P 为终点的矢量OP =r 称为P 点在标架σ里的径矢。P 点在σ里的坐标1x ，2x ，3x 就是r 径矢在σ里的分量： 332211e e e r x x x ++= 若P 、Q 为空间两点，它们在σ里的径矢依次为 332211e e e r x x x ++=，332211e e e s y y y ++= 则矢量 333222111)()()(e e e r s x y x y x y OP OQ PQ -+-+-=-=-= 其中)3,2,1(=-i x y i i 就是该矢量在σ里的分量。各分量均为0的矢量称为零矢。在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。矢量332211e e e αa a a ++=的长为 2 32221a a a ++=α 若1=α，α为单位矢量（幺矢）。0≠α，则 α/i a 叫做α在σ里的方向余弦，它们是α和1e 间的角],0[π之间的余弦。零矢没有方向余弦。 1.2 矢量的基本代数运算现有矢量332211e e e αa a a ++=和332211e e e βb b b ++=，则

矢量的基本代数运算

矢量的基本代数运算《微分几何简介》笔记 Ch.1矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1矢量代数定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1直角坐标系-点的坐标与矢的分量在三维空间中，取任意一点O和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量e i，e2， e3，构成一个直角坐标系（或标架）。用[O；e,e2,e3]表示；O称为的原点，e i，e2，e3称为的基矢（或底矢）。若P为空间任意一点，以0为始点，P为终点的矢量r OP称为P点在标架里的径矢。P 点在里的坐

标x i, X2，X3就是r径矢在里的分量： r X i e i X2e2 X a e a 若P、Q为空间两点，它们在里的径矢依次为 r X i e i X2e2 X a e a，s y i e i y z e? y a e a 则矢量 PQ OQ OP s r （y i xje i （y? X2）e2 （y a X a）e a

其中y i X i （i 1,2,3）就是该矢量在里的分量。各分量均为0的矢量称为零矢。在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等若|a 1 , a 为单位矢量（幺矢）。|a 0，则 a i / a 叫做a 在里的方向余弦，它们是a 和e i 间的角［0, 之间的余弦。零矢没有方向余弦。 i ）矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则。 a B (a i b i )e i (a 2 b 2 )e 2 (a 3 b 3 )e 3 2）矢量差：矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算。 a B （a i b i ）e i （a ? b 2）e 2 （a 3 b 3）e 3 3）纯量（或数量）乘矢量：若为纯量，则况 a 〔e i a 2e 2 a 3e 3 4）数积（点乘）：矢量a , B 的数积是纯量 a B a i b i a 2b 2 a 3b 3 a Bcos 矢量a a ?e 2 a 3e 3 的长为 1.2矢量的基本代数运算现有矢量a a i e i a 2e 2 a 3e 3 和 B b i e i b 2e 2 b 3e 3 a 2 2 a ? a 3

常用的一些矢量运算公式

将矢量作重新排列又有：()()( )a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（a ? ） ?是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ，即()a φ?是φ 在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向d r 的变化率的d r 倍，即d φ。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将()dr ?作用于矢量v ，则()dr v ?就是v 再位移方向d r 变化率的d r 倍，既为速度矢量的全微分()dv dr v =? 应用三重矢量积公式（1-209） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+?? 应用三重矢量积公式（1-210）又有 ()()() 00()()()()a b a b a b a b a b b a b a ??=??+??=???+?+???+?? 将以上两式结合（相减）后可得 () {() }1 ()()()()()2 a b a b a b b a a b b a a b ?= ??-???-???-???-??+?? 一个重要的特例，令 a b v ==，因 () v v ???=则有 21 ()() 2v v v v v ?=?-??? 4.算子? 的应用令φ是标量，a 是矢量，;a b 为并矢量，则有

向量及向量的基本运算

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 向量及向量的基本运算一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则．三、教学过程：（一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。<注意与0的区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为 b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则a +b =+=。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。说明：（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ；

平面向量基本概念与运算法则及相对应练习题(含答案)

平面向量1 一、向量的基本概念思考：生活中有哪些量是既有大小又有方向的？哪些量只有大小没有方向？向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。回答下列问题： (1).数量与向量有何区别？ (2).如何表示向量？ (3).有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ (4).长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？ 1.数量和向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母a 、b(黑体)等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB ；向量AB 的大小——长度称为向量的模，记作|AB |。 3.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。向量与有向线段的区别： ⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； ⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。 4.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0。 ②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 5.满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量？相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。说明：⑴向量a 与b 相等，记作a =b ； ⑵零向量与零向量相等； ⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。 6.平行向量的定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行。说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义； ⑵向量c b a 、、平行，记作c b a ////。二、向量的运算法则 1.向量的加法问题：数可进行加法运算：1+2=3，那么向量的加法是怎样定义的？长度是1的向量与长度是2的向量相加是一定是长度为3的向量呢？ ①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+；

高中物理模型组合27讲(Word) 矢量运算模型

模型组合讲解——矢量运算模型［模型概述］矢量及运算是高中物理的重点和难点之一，常见的矢量有位移、速度、加速度、力、动量、电场强度、磁感应强度等，由于其运算贯穿整个中学物理，所以在进行模块讲解之前，我们有必要熟练掌握矢量的运算规律。［模型讲解］例. （2005年安丘市统考）如图1所示，平行四边形ABCD 的两条对角线的交点为G 。在平行四边形内任取一点O ，作矢量OA 、OB 、OC 、OD ，则这四个矢量所代表的四个共点力的合力等于（）图1 A. 4OG B. 2AB C. 4GB D. 2CB 解析：如图2所示，延长OG 至P ，使GP ＝OG ，连结PA 、PB 、PC 、PD ，得平行四边形AODP 和平行四边形COBP 。由力的平行四边形定则知道，矢量OA 、OD 所代表的两个共点力F F A D 、的合力F AD 可用矢量OP 表示，即F OP OG AD ==2。图2 同理，矢量OB 、OC 所代表的两个共点力F F B C 、的合力F BC 也可用矢量OP 表示，即F OP OG BC ==2。从而，F F F F A B C D 、、、四个共点力的合力F F F OG AD BC =+=4。所以A 项正确。评点：由于题中的O 点是任取的，各力的大小和方向无法确定，通过直接计算肯定行不通。但考虑到平行四边形的对角线互相平分这一特点问题就解决了。其实对该部分的考查往往是从特殊的角度进行的，如θ＝0°，90°，120°，180°等。总结：（1）当两分力F 1和F 2大小一定时，合力F 随着θ角的增大而减小。当两分力间的夹角θ＝0°时，合力最大，等于F F F max =+12；当两分力间的夹角θ＝180°时，合力

空间矢量算法计算

啊一直以来对SVPWM原理和实现方法困惑颇多，无奈现有资料或是模糊不清，或是错误百出。经查阅众多书籍论文，长期积累总结，去伪存真，总算对其略窥门径。未敢私藏，故公之于众。其中难免有误，请大家指正，谢谢！此文的讲解是非常清楚，但是还是存在一些错误，本人做了一些修正，为了更好的理解整个推导过程，对部分过程进行分解，并加入加入7段和5段时调制区别。 1 空间电压矢量调制 SVPWM 技术 SVPWM是近年发展的一种比较新颖的控制方法，是由三相功率逆变器的六个功率开关元件组成的特定开关模式产生的脉宽调制波，能够使输出电流波形尽可能接近于理想的正弦波形。空间电压矢量PWM与传统的正弦PWM不同，它是从三相输出电压的整体效果出发，着眼于如何使电机获得理想圆形磁链轨迹。 SVPWM技术与SPWM相比较，绕组电流波形的谐波成分小，使得电机转矩脉动降低，旋转磁场更逼近圆形，而且使直流母线电压的利用率有了很大提高，且更易于实现数字化。下面将对该算法进行详细分析阐述。 SVPWM基本原理 SVPWM 的理论基础是平均值等效原理，即在一个开关周期内通过对基本电压矢量加以组合，使其平均值与给定电压矢量相等。在某个时刻，电压矢量旋转到某个区域中，可由组成这个区域的两个相邻的非零矢量和零矢量在时间上的不同组合来得到。两个矢量的作用时间在一个采样周期内分多次施加，从而控制各个电压矢量的作用时间，使电压空间矢量接近按圆轨迹旋转，通过逆变器的不同开关状态所产生的实际磁通去逼近理想磁通圆，并由两者的比较结果来决定逆变器的开关状态，从而形成PWM 波形。逆变电路如图 2-8 示。设直流母线侧电压为Udc，逆变器输出的三相相电压为UA、UB、UC，其分别加在空间上互差120°的三相平面静止坐标系上，可以定义三个电压空间矢量 UA(t)、UB(t)、UC(t)，它们的方向始终在各相的轴线上，而大小则随时间按正弦规律做变化，时间相位互差120°。假设Um为相电压有效值，f为电源频率，则有：（2-27）其中，，则三相电压空间矢量相加的合成空间矢量 U(t)就可以表示为：（2-28）可见 U(t)是一个旋转的空间矢量，它的幅值为相电压峰值的倍，Um为相电压峰值，且以角频率ω=2πf按逆时针方向匀速旋转的空间矢量，而空间矢量 U(t)在三相坐标轴（a，b，c）上的投影就是对称的三相正弦量。图 2-8 逆变电路由于逆变器三相桥臂共有6个开关管，为了研究各相上下桥臂不同开关组合时逆变器输出的空间电压矢量，特定义开关函数 Sx ( x = a、b、c) 为：（2-30） (Sa、Sb、Sc)的全部可能组合共有八个，包括6个非零矢量 Ul(001)、U2(010)、U3(011)、U4(100)、U5(101)、U6(110)、和两个零矢量U0(000)、U7(111)，下面以其中一种开关组合为例分析，假设Sx ( x= a、b、c)= (100)，此时（2-30）求解上述方程可得：Uan=2Ud /3、UbN=-U d/3、UcN=-Ud /3。同理可计算出其它各种组合下的空间电压矢量，列表如下：

矢量的基本代数运算

Ch.2 曲线论 §1曲线与矢函数一般地说，若一个矢量r 决定于一个（纯量）变数t ，我们就把它叫做变量t 的矢函数，写成)(t r 。在标架],,;[321e e e O =σ中，曲线的（分量式）参数矢方程为： 332211)()()()(e e e r r t x t x t x t ++== §2矢函数的导矢与曲线的切线某矢函数在某点连续的充要条件是其各分量在该点都连续。若矢函数 332211)()()()(e e e r t x t x t x t ++= 在t 0连续，则其导矢为 3032021010 0)()()()()(e e e r r t x t x t x t t dt d t '+'+'== ' 导矢函数 332211 )()()()(e e e r t x t x t x t '+'+'= 有时也简称为导矢。设 21)(t t t t ≤≤=Γ，：r r 为任意空间曲线。若矢函数在闭节],[21t t 里每一个t 值连续，则曲线Γ成为连续曲线。导矢的几何意义：0)(0≠'t r 保证曲线Γ在t 0值对应点的切线存在而且)(0t r '代表这条切线的方向。)(0t r '就叫做Γ在该点的一个切（线）矢（量）。若在闭节],[21t t 里，0)(≠'t r 而且连续，则Γ的切线随着切点的移动而连续变动位置，这样的曲线叫做光滑曲线。矢函数的微分 dt t d )(r r '=，)(t dt d r r '= 这个定义在形式上和纯量函数一样。若1r ，2r ，3r 是含纯量变数t 的矢函数，λ 为t 的纯量函数，则 r r r '+'=λλλ)(dt d

向量代数的基本运算解读

向量代数的基本运算为了便于学习，我们把有关知识结合图形计算器做一简要总结。向量代数的基本运算包括： 1.向量的表示：向量有两种表示方法，即和AB 。如果A(a1，a2，a3)(二维情形时A(a1，a2)，我们一般都指的是三维情形)，B(b1，b2，b3)，那么AB =[b1-a1，b2-a2，b3-a3]。在TI ?92中代数和几何都可以给出向量的表示。(参阅案例二中的图6.1. 2.1和6.1.2.2) 2.向量的加法和减法：有关这方面的基本知识不再重复。主要掌握平行四边形法则和三角形法则。TI -92图形计算器能够在代数运算和几何直观上双重实现。但要注意的是，在图形计算器中，向量被看成是特殊的矩阵，也就是行阵或列阵。 3.向量的数乘：设=[a1，a2，a3]，λ是一个实数，那么λ与的乘积λa 等于[λa1，λa2，λa3]。其几何意义是把向量a 沿同向(当)0时>λ放大λ倍，或把向量a 沿反向(当)0时<λ放大λ倍。 4.向量的数量积(点积，内积)：向量a 与向量的点积是一个数量，其值等于向量的长度(模)与向量的长度(模)的乘积再乘以它们夹角θ的余弦，即 θb a =?，其中θ是向量与b 的交角。向量点积的坐标表示为332211b a b a b a b a ++=?，其中=[a1，a2，a3]，=[b1，b2，b3]。两个向量垂直的充分必要条件是它们的点积等于零。 b a b a ⊥?=?0即。在计算器中键入dotp(a,b)可以计算向量的点积。由两个向量的点积可以计算出在两个向量的夹角，也就是 =θcos 运算符为，然后输入dotp(a,b)/(norm(a)*norm(b))，具体和6.1.3.2。

矢量计算

如图I-1，a×b是a和b垂直的矢量，其数值等于absinφ,即等于由a和b构成的平行四边形的面积。但ccosθ等于图中所示的平行六面体的高，因此c?(a×b)等于由这三个矢量构成的平行六面体的体积。同理a?(b×c)和b?(c×a)都等于同一个体积。又因为a×b = ? b×a，所以c?(b×a) = ? c?(a×b)。总括起来，混合积有如下性质：（I.1）上式表明，把三个矢量按循环次序轮换，其积不变；若只把两矢量对调，其积差一负号。（2）三矢量的矢积 a×b是与a和b都垂直的一个矢量d，而c×d是与d垂直的一个矢量f，因此f必在a和b构成的平面上，即可表为a和b的线性组合。用矢积的分量表示可以直接算出结果。令先算f的x分量f1：同样可算出f2和f3，结果是

（I.2）把c和(a×b)对调，矢积差一负号，由上式得（I.3）由公式和可得规则：把括号外的矢量与括号内较远的矢量点乘起来，所得的项为正号，另一项为符号。 2. 散度、旋度和梯度（1）矢量场f (x,y,z)的散度设闭合曲面S围着体积ΔV。当ΔV→0时，f对S的通量与ΔV之比的极限称f为的散度（I.4）（2）矢量场f (x,y,z)的旋度设闭合曲线L围着面积ΔS。当ΔS→0时，f对L的通量与ΔS之比的极限称f为的散度（I.5）上式可以写作，当ΔS→0时，（I.5a）（3）标量场φ(x,y,z)的梯度设沿线元dl上，标量场φ(x,y,z)的数值改变dφ.dφ/dl称为φ(x,y,z)的梯度沿dl方向的分量（I.6）上式可以写作，（I.6a）（4）积分变换式由上述定义可得积分变换式（I.7）