数学二2015年考研真题及答案解析

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一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．下列反常积分收敛的是（ ）

（A ） （B ） （C ） （D

）2?

2ln x dx x +∞?21ln dx x x +∞?2x x dx e +∞?【详解】当且仅当时才收敛，所以（A ）是发散的；21p dx x +∞?

1p

>2+∞?（B ）是发散的；22212ln (ln )|x dx x x +∞+∞==+∞?

（C ）是发散的；221ln ln ln dx x x x

+∞+∞==+∞?事实上，对于（D ），应该选（D ）．22213()|x x x dx x e e e

+∞

-+∞-=-+=?2．函数在内（ ）2

01sin ()lim x t t t f x x →??=+ ???

(,)-∞+∞（A ）连续 （B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 （D ）有无穷间断点

【详解】220010

sin lim sin ()lim ,t x t x t x x t t t f x e e x x →?→??=+==≠ ???函数在处没有定义，而，所以应该选（B ）．0x =00

1lim ()lim x x x f x e →→==3．设函数 ，若在处连续，则（ ）100000cos ,(),(,),x x f x x x αβαβ?>?=>>??≤?

()f x '0x =（A ） （B ） （C ） （D ）1αβ->01αβ<-≤2αβ->02

αβ<-≤【详解】当时，，当时，，0x >1111()cos sin f x x

x x x

ααβββαβ---'=+0x <0()f x '=10011000cos (),()lim lim cos x x x x f f x x x αβαβ

++--+→→''===