高中必修五数学数列讲义

高中必修五数学数列讲义

第二章数列

第一节：数列及其通项公式

一．数列的概念

1．数列的定义：；

2．表示法：；

3．数列的分类：；

4．通项公式：；

5．递推公式的概念：；

注意：①数列与集合有本质的区别；②项与项数的区别；③}

a

{

n 与

n

a的

区别；④不是每一个数列都有通项公式；⑤

n

a是n的函数。

二．数列通项公式的求法

1．根据数列的有限项，写出数列的通项公式。

练习

1．已知数列{a n }的前几项，写出数列的一个通项公式（1）1，4，9，16，……；a n = ;

（2）2468

,,,,

392781

……；a n = ;

（3）31313

1,,,,,,,

23456

L L a n = ;

（4）9，99，999，9999，……；a n = ; （5）7，77，777，7777，……；a n = ;

2

3

（6）7，-77，777，-7777，……；a n = ; （7）0.5,0.55,0.555,0.5555, ……；a n = ; （8）1．-1，1，-1，……；a n = ; （9）1，0，1，0，……；a n = ;

（10）11，101，1001，10001，……；a n = ;

（11）12341,2,3,4,2345……；a n = ;

（12）1375

,,,,24816L L ；a n = ;

（13）210172637

,1,,,,3791113

---，……；a n = ;

2．数列1，3，2，6，5，15，14，x,y,z ，122，……，中x,y,z 的值依次是（ ） A 42，41，123 B 13，39，123 C 24，23，123 D 28，27，123

3．数列1，1，2，3，5，8，……；的第7项是 。

4．数列}a {n 中，11(2)(n n n a n n n -?

?

=??-?为奇数）（为偶数）

，

则}a {n 的前5项是 。 5.已知函数x

x x f 1

-)(=

，设*))((N n n f a n ∈= (1)求证：1

（2）{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？

4

2．已知数列的前n 项和求数列的通项公式

（1） 已知数列{a n }的前n 项和为221n S n n =++，求数列{a n }的通项公式；

（2） 已知数列{a n }的前n 项和为22n S n n =+，求数列{a n }的通项公式。

注意： 1.用数列的前

n

项和n S 求通项n a 的公式

是： ；

2.什么时候运用

a n =S n -S n-1求出的公式具有通用

性： 。 练习：

(3) 已知数列{a n }的前n 项和为1(1)n n S n +=-,则通项a n = ; （4）已知数列{a n }的前n 项和为32n n S =+,则通项a n = ; （5）已知数列{a n }的前n 项和为110

log (1)n S n =+,则通项a n = ;

（6）已知数列{a n }的前n 项和为12111

222

n n n n

S +=+++L ,则通项a n = ;

注意：（1）公式表示的是数列的前n 项和与通项之间的关系。 （2）要注意不要忽视n=1的情形，这是大家易出错的地方。

5

3．用递推公式求数列的通项公式 （1）数列{}n a 中，1

11

2,(2,3,4,1n n n a a a n a --===-L ），则它的前 5 项

是 。

（2）数列{}n a 中，12211,2,,n n n a a a a a ++===+则7a = 。 （3）数列{}n a 中，满足112,2n n a a a +==+，求数列{a n }的通项公式； （4）数列{}n a 中，满足112,n n a a a n +==+，求数列{a n }的通项公式； （5）数列{}n a 中，满足112,2n n a a a +==，求数列{a n }的通项公式； （6）数列{}n a 中，满足112,1

n n n

a a a n +==

+，求数列{a n }的通项公式； 第二节：等差数列

一.1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

2.通项公式：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-

3.等差中项：,,a A b 成等差数列，A 叫a,b 的等差中项（注：任意两个数都有等差中项）2

a b

A +=

4.证明一个数列是等差数列的方法：

一般用d a a n n =-+1（常数），而不用其它等价形式，若确实无法证明

d a a n n =-+1，有时也可采用证明)2(,11≥-=--+n a a a a n n n n 来完成。

5.等差数列的性质：

6

（1）0>d ，n a 单增；0

（3）一个数列是等差数列，则通项公式可写成n a kn b =+（,)k b R ∈，反之亦然。

一个数列是等差数列，则其前n 项和可写成Bn An S n +=2（,)A B R ∈，反之亦然。

（4）数列{}n a 是等差数列，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+

（5）数列{}n a 是等差数列，项数m,p,n 成等差数列，那么,,m p n a a a 也成等差数列。

（6）数列{}n a 是等差数列，则m m m m m S S ,S S ,S 232--仍成等差数列。 二.等差数列的前n 项和：

1()2n n n a a S +=

或1(1)

2

n n n S na d -=+ 练习与应用：

通项公式、前n 项和公式的基本运算

1．

在等差数列{a n }中，a 5=10,a 12=31,求首项a 1与公差d.

2.在等差数列{a n }中，a 2=-5,a 6=a 4+6,那么a 1= .

3.在等差数列{a n }中，a 15=8,a 20=20,则a 25= .

4. 在等差数列{a n }中，a 2+a 5+a 8=9,a 3a 5a 7= -21,求通项a n .

5.在等差数列{a n }中，a 15=8,a 60=20,则a 75= .

7

m m m m m S S ,S S ,S 232--仍成等差数列

6. 在等差数列{a n }中，S 10=310，S 20=1220，求S n 与通项a n .

若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+

6．在等差数列{a n }中， a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450,则a 2+a 8= . 7.a 3,a 15是方程x 2-6x-1=0的两个根，求a 7+a 8+a 9+a 10+a 11= . 8．在等差数列}{n a 中，23=a ，则该数列的前5项和为（ ） （A ） 10 （B ） 16 （C ） 20 （D ） 32

9.在等差数列}{n a 中，n S 表示前n 项和，且58218a a a -=+，则9S 的值为 （ ）（A ） 18 （B ） 60 （C ） 54 （D ） 27 10.等差数列{a n }，)9(,30,240,1849>===-n a S S n n ，则项数n 为（ ） 11．在等差数列{a n }中， 前4项的和为21，后4项的和为67，前n 项的和为286，则项数n= .

12.在等差数列}{n a 中，n S 表示前n 项和，且0,01312<>S S ，当n S 取得最大值时的n 值为（ ）

（A ） 6 （B ） 7 （C ） 12 （D ） 不能确定 13. 若}{n a 是等差数列，首项01>a ，02423>+a a ，02423

0>n S 成立的最大自然数n 是 （ ）

（A ） 48 （B ） 47 （C ） 46 （D ） 45

8

14（04年重庆卷.文理9）若数列{}n a 是等差数列，首项

120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：（ ） A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 15.等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，且71

427n n S n T n +=+,求1111

a b . 16.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若9

5

35=a a ，则59S S 的值为（ ）

A ：2

1

B ：2

C ：1

D ：-1

17．在等差数列{a n }中，a m =n,a n =m,且m ≠n, 则 a m+n = . 18.已知等差数列}{n a ，n S 是其前n 项和，对于不相等的正整数m,n ，有

n S m S m n ==,，则n m S +的值为 .

其奇数项和、偶数项和

1、若等差数列共有偶数项n 2项（奇数项、偶数项各n 项）：即奇S 12531 -+???+++=n a a a a

偶S n a a a a 2642 +???+++=则 偶S nd S =-奇，偶S n S S 2=+奇 n

n a a S S 1

+=

奇

偶（中间一对）

2、若等差数列共有奇数项12+n 项（奇数项比偶数项多1项）： 即 奇S 1212531 +-++???+++=n n a a a a a 偶S n a a a a 2642 +???+++= 则 1+=-n a S S 偶奇（1+n a 为中间项），偶S 1

2+=+n S S 奇1

+=

n n

S S 奇

偶 （项数之比） 19. .等差数列{a n }共有2n-1项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和为120，则n= .

9

20. 如果等差数列{a n }共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 。

21．如果等差数列{a n }的项数是奇数，11=a ，{a n }的奇数项的和是175，偶数项的和是150，求这个等差数列的公差d 。

n S 的最值问题

22. 等差数列{a n }中，a n =2n-10,则n S 的最小值时n= .

23. 等差数列{a n }中，a n =2n-11,则n S 的最小值时n= .

24．在等差数列{a n }中, ,S S ,a 83125=-=则前n 项和n S 的最小值为（ ） A ：-80 B ：-76 C ：-75 D ：-74

25.已知等差数列}{n a ，n S 是其前n 项和，且877665,,S S S S S S >=<，则下列结论错误的是（ ）

（A ） d < 0 （B ） 07=a （C ） 59S S >（D ）6S 与7S 均为n S 的最大值.

第三节：等比数列

一。等比数列及其性质

10

1。定义：（略）

1

(0)n n

a q q a +=≠（有既是等差又是等比的数列吗？） 2。通项公式：11n n a a q -=；（n m n m a a q -=）

3。等比中项：a,G ,b 成等比数列，G 叫a,b 的等比中项。

注：任意两个实数都有等差中项，但不是任意两个实数都有等比中项，只有两个实数同号时才有等比中项，等差中项只有一个，但等比中项有两个。 4。证明数列是等比数列的基本方法：1

(0)n n

a q q a +=≠ 5。有关性质：

（1）数列{}n a 是等比数列，若m+n=p+q ，则m n p q a a a a ?=?

（2）正项等比数列的对数列是等差数列，等差数列的指数列是等比数列。 （3）数列{}n a 是等比数列，则12m a a a +++L ，122m m m a a a +++++L ，

21223m m m a a a +++++L

成等比数列吗？

（4）数列{}n a 是等比数列，则12m a a a L ，122m m m a a a ++L ，21223m m m a a a ++L 仍是等比数列。 练习与应用：

1。数列{}n a 是等比数列，则在①1{}n n a a +；②1{}n n a a ++；③1{}n n a a +-；④3{}n a ；⑤{}n na ；⑥{lg }n a 这

6

个数列中仍成等比数列的

是 。

11

2。数列{}n a 是等比数列，37416

,33

a a ==，求公比q 。

3。等差数列a,b,c 三项的和为12，且 a,b,c+2成等比数列，求a 的值。

4。数列{}n a 是等比数列，1357932a a a a a =，求5a

5。数列{}n a 是等比数列，19

8a =，13n a =，23

q =，则这个数列的项数为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6

6。等比数列{a n }中,a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,则a 3+a 5=( ) A:5 B:10 C:15 D:20

7。等比数列{a n },==-=1185,8,16a a a （ ） A ：-4 B ：±4 C ：-2 D ：±2

8。等比数列{a n }，512,1247483-==+a a a a ，公比q 为整数，则

=10a 。

9.等比数列{a n }中，,a a ,a a 60304321=+=+则=+65a a （ ） A ：90 B ：120 C ：15 D ：80

10。等比数列{a n }中，,b a a ),a (,a a a =+≠=+20191090则=+10099a a （ ）

A ：89a b

B ：9)a b (

C ：910a

b D ：10)a b

(

11。 {a n }是各项为正数的等比数列，965=a a ，则1032313a log a log a log +++Λ=

12

（ ）

A ：12

B ：10

C ：8

D ：523log +

12． 已知数列{a n }是各项都为正数的等比数列，设n n a log b 2=，求证数列{b n }是等差数列。

13。已知等比数列}{n a 的163=a ，且6510212=a a a Λ，求}{n a 的通项公式.

14。各项均为正数的等比数列}{n a 中，若1074=?a a ，则

=+++1021lg lg lg a a a Λ ；

15．}{n a 为等比数列，

（1）77,299==S q ，求9963a a a +++Λ

（2）前n 项的和为,48=n S 前n 2项之和602=n S ，求n S 3

13

二。等比数列的前n 项和。

11121(1)(1)11(1)n n n n a a q

a q q S a a a q q

na q ?--=≠?

=+++=--??=?

L 1．等比数列{a n }中，64216a a -=，318a a -=，40n S =，求q 和n 。

2．等比数列{a n }中，334,12a S ==，求1a 和q 。

3．等比数列{a n }中，49n S =，2112n S =，则3n S = 。 4．等比数列{a n }中，11,512,341,n n a a S ==-=-求q 。

5．求数列11,3,9,27,,3,n -L L 的前n 项和。 6．求222211,1,(1),,(1),n a a a -+++L L 的前n 项和

7．求2422222,,,,n

n y y y

L L ，求前2k 项的和。

8．求211,,,,,n a a a -L L 的前n 项和。

14

9．等比数列{a n },前n 项和为48,前2n 项和为60,前3n 项的和为( )

A:183 B:108 C:75 D:63

10．{a n }成等差数列，1351a ,a ,a 成等比数列，则该等比数列的公比为（ ） A ：21 B ：2 C ：41 D ：3

1

11． {a n }成等差数列，{b n }成等比数列，)n ,,,i (b ,q i Λ2101=>≠，若11b a =，

1111b a =，则（ ）

A ：66b a =

B ：66b a >

C ：66b a <

D ：66b a >或66b a <

12．y ,a ,a ,x 21成等差数列，y ,b ,b ,x 21成等比数列，则2

12

21b b )a a (+的取值范围是

（ ）

A ：),[+∞4

B ：（0，4）

C ：),[],(+∞-∞40Y

D ：),[),(+∞-∞40Y 13．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它

的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为 （ ）

A ．12

B ．10

C ．8

D ．6

第四节 数列的综合应用

一、数列求和

15

（一）．公式法

1． 求1，4，7，10，…，（3n-2）,…的前n 项和。

2． 求数列2422222,,,,n

n y y y

L L ，求前2k 项的和.

3． 求21n S a a a =++++L

（二）．分项求和

1．求和（1+2）+（3+4）+…+（2n-1+2n ）

2． (x-2)+(x 2-2)+…+（x n -2）

3. 2(1)(2)()n a a a n -+-++-L

16

4.求和22111()()()n

n x x x y y y

++++++L

5.122334(1)n n ?+?+?+++L

6.1325(21)n n ?+?+++L

（三）．裂项求和 1.求和1111223(1)

n S n n =+++??+L 2.

1111335(21)(21)

n n +++??-+L 3..数列{a n }成等比数列,各项都为正数，且q ≠1,求证

1223111111

lg lg lg lg lg lg lg lg n n n

n a a a a a a a a --+++=L

4.)1(1

431321+++?+?n n Λ 5.

)32)(12(1

751531++++?+?n n Λ 6．

)

13)(23(1

741411+-++?+?n n Λ

17

7.)2(1531421311+++?+?+?n n Λ 8.

)

3(1

631521411+++?+?+?n n Λ 9．求n

++++

++++++

ΛΛ211

32112111 （四）．错位相减、其它 1．2313521

2222

n

n -++++L

2.n n 223222132?++?+?+?Λ

3.n

n 2

1

225232++++Λ

4．求和2335(21)n x x x n x ++++-L

5．1+2×3+3×7+…+n(2n -1)

18

6.已知数列{a n +1}是等比数列，11=a ，2=q ，求n na a a a ++++Λ32132

放缩及其他

1．222222123499100-+-++-L

2．数列1

41

413131212222222－＋，－＋，－＋，……的前

10项和为（ ）。

（A ）55

17 （B ）1112

11 （C ）11

13243

（D ）11132

89 3.求和12

23

1

n S n n =+

++

++++L

4. 求1

21213

511

311-+++

+++

++=n n S Λ

5. 求值设244(+=x x x f ），求)1999

1998

()19992()19991(f f f +++Λ:

6.求证：222111

1223n

++++

7.2

1(1)(1)1223(1)22

n n n n n ++

19

8．n n

n 213

12

11)11(2<+

++

+<-+Λ

二、用已知数列的前n 项和求数列的通项公式（前文已有） 三、用递推公式求通项

1．已知数列{a n }，满足，a 1=2,a n+1=a n +2,求{a n }的通项公式。

2。已知数列{a n }，满足，a 1=2,a n+1=a n +2n,求{a n }的通项公式。

3。已知数列{a n }，满足，a 1=2,a n+1=a n +2n ,求{a n }的通项公式。

4． 已知数列{a n }，满足，a 1=2, a n+1=a n +)

1(1

+n n ，求{a n }的通项公式。

点击：凡是具有a n+1=a n +)(n f 形式都可运用此法，其中)(n f 表示可求和的数列。

5．已知数列{a n }，满足，a 1=2,a n =3a n-1,（n ≥2）求{a n }的通项公式。

6． 已知数列{a n }，满足，a 1=1,11

n n n

a a n +=

+求{a n }的通项公式。 7．已知数列{a n }满足，)2,(2 , 1111≥∈==--n N n a a a n n n ，求{a n }的通项公式。

20

规律： 。 8．已知数列{a n }，满足，a 1=2,a n+1=2a n +1,求{a n }的通项公式。

9．已知数列{a n }，满足，a 1=1,a n+1=3a n +1,求{a n }的通项公式。

点击：1n n a ka b +=+型通项公式可用此法。 10*．115,25n n a a a n +==++，求{a n }的通项公式。

11*. 已知数列{a n }n n n a a a 22,111+==+，求{a n }的通项公式。

12*.已知数列{a n }n n n a a a 23,111+==+，求{a n }的通项公式。

13*.115,25n n a a a n +==++，求{a n }的通项公式。

点击：115,()n n a a ka f n +==+型通项公式可用此法。 递推公式的变形

1．已知数列{a n }，满足，a 1=2

1,0211=-+++n n n n a a a a ，求{a n }的通项公式。

2．已知数列{a n }，满足，a 1=1,

n

n

n a a a +=

+551求{a n }的通项公式。

高一必修五数学数列全章知识点(完整版)

高一数学数列知识总结 知识网络

二、知识梳理 ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) 三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值

的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项. （2）利用公式法求数列的通项：①???≥-==-) 2()111n S S n S a n n n （；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式. （3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+ （4）造等差、等比数列求通项： ① q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12. 第一节通项公式常用方法 题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=n n S . 总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：???≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适 合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ?=2 ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ?=+“；⑵迭加法、迭乘法公式： ① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 11 22332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ??????= ----- . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法：

人教版高中数学必修5《数列》教案

m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --=--= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1 111变式：推广：通项公式：递推关系：必修5 数列 二、等差数列 知识要点 1．数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系 ∑==++++=n i i n n a a a a a S 1321 ?? ?≥-==-2 11 1 n S S n S a n n n 2．递推关系与通项公式 () 1(),(), ,n n a dn a d a f n kn b k b =+-==+特征：即：为常数 (),,n a kn b k b =+为常数?数列{}n a 成等差数列． 3．等差中项： 若c b a ,,成等差数列，则b 叫做c a 与的等差中项，且2 c a b += ；c b a ,,是等差数列?c a b +=2． 4．前n 项和公式：2 )(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= 221(),()22 n n d d S n a n S f n An Bn = +-==+特征：即 2,(,)n S An Bn A B =+为常数?数列{}n a 成等差数列． 5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(* ∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，反之不成立； ⑵d m n a a m n )(-=-； ⑶m n m n n a a a +-+=2； ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列． 6．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：( )() 1n n a a d n N * +-=∈常数 ?{}n a 是等差数列

最新人教版高中数学必修五 等差数列通项公式优质教案

2.2.2 从容说课 本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认 知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果 教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 教具准备多媒体及课件 三维目标 一、知识与技能 1.明确等差中项的概念 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质 3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题 二、过程与方法

1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想 2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性 三、情感态度与价值观 1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点 2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣 教学过程 导入新课 师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的 数列叫等差数列？ 生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n -a n -1=d (n ≥2，n ∈N *)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d ”表示 师 对，我再找同学说一说等差数列{a n }的通项公式的内容是什么？ 生1 等差数列{a n }的通项公式应是a n =a 1+(n -1)d 生2 等差数列{a n }还有两种通项公式：a n =a m +(n -m)d 或a n =p n +q(p 、q 是常数 师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的公式：①d =a n -a n -1；② 11--= n a a d n ；③m n a a d m n --=.你能理解与记忆它们吗？ 生3 公式②11--=n a a d n 与③m n a a d m n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差 ［合作探究］ 探究内容：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？

高中数学必修五数列知识点

一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列 数列的通项公式：?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适 合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列 {}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 等差数列的通项公式： 如果等差数列 {}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。 等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 等差中项： 如果a ， A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A += 或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有 d m n a a m n )(-+=

(完整word版)高中数学必修五等差数列测试题

等差数列测试题 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的 ( ) A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 2.在-1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，则 ( ) A. a =2，b =5 B. a =-2，b =5 C. a =2，b =-5 D. a =-2，b =-5 3.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83 ＜d ≤3 4．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( ) A ．3 B ．-3 C ．-2 D ．-1 5．在等差数列}{n a 中，,0,01110>，则在n S 中最大的负数为 ( ) A ．17S B ．18S C ．19S D ．20S 6.等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是: ( ) A.a 11 B.a 10 C.a 9 D.a 8 7.设函数f (x )满足f (n +1)= 2)(2n n f +(n ∈N *)且f (1)=2,则f (20)为 ( ) A.95 B.97 C.105 D.192 8．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6S 8 ,则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7最大 B ．在数列{a n }中,a 3或a 4最大 C ．前三项之和S 3必与前11项之和S 11相等 D ．当n ≥8时，a n <0 二、填空题（每小题6分，共30分） 9．集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________. 10．在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=-记123n n S a a a a =++++L ，则13S =_____

(完整版)数学必修五数列练习题(含答案)

○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 1．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 2．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，则1a = ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于（ ） A ．18 B ． 24 C ．60 D ． 90 4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a =( ) A ． 2 1 B ．22 C ．2 D ．2 5．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且854,18S a a 则-==（ ） A ．18 B ．36 C ．54 D ．72 6．等比数列{}n a 中，44=a ，则=?62a a （ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 7．数列{}n a 中,1 160,3n n a a a +=-=+，则此数列前30项的绝对值的和为 ( ) A.720 B.765 C.600 D.630 8．已知等比数列前n 项和为n S ，若42=S ,164=S ，则=8S （ ） A.160 B.64 C.64- D.160- 9．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且311=16a a ?，则6a = （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 10．数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，51a =，则10a =（ ） A ．5 B ．1- C ．0 D ．1 11．已知等比数列{}n a 中，121a a +=， 458a a +=-，则公比q =（ ） （A ）2- （B ）2 （C ）12- （D ）12 12．观察下列数的特点，1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,…中，其中x 是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 13．若n n n a a a a a -===++1221,6,3，则33a = （ ） A. -3 B. 3 C. -6 D. 6 14．已知数列{a n }满足 ，那么 的值是（ ） A ．20112 B ．2012×2011 C ． 2009×2010 D ．2010×2011 15． 数列 K ,4 31,321,211???的一个通项公式是

高中数学必修5数列知识点总结

数列 1. 等差数列 通项公式：1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项：如果2 a b A += ，那么A 是a 与b 的等差中项 前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列，且k l m n +=+，则k l m n a a a a +=+ ? 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ，或是利用特殊项。 ? 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。 例1.{}n a 是等差数列，538,6a S ==，则9a =_________ 解析：513113248,33362 a a d S a d a d ?=+==+ =+=，解得10,2a d ==，916a = 例2.{}n a 是等差数列，13110,a S S >=，则当n 为多少时，n S 最大？ 解析：由311S S =得1213 d a =- ，从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+?-=--+，又10a >所以1013 a -< 故7n = 2. 等比数列 通项公式：11(0)n n a a q q -=≠ 等比中项：2G ab = 前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? 若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=? 例.{}n a 是由正数组成的等比数列，2431,7a a S ==，则5S =__________

高一数学必修五数列知识点

高一数学必修五数列知识点 1.数列的函数理解： ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。②用函数的 观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解 析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。 ③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 2.通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用 一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不唯一)。 数列通项公式的特点： (1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一。 (2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。 3.递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 数列递推公式特点： (1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。 (2)有些数列没有递推公式。 有递推公式不一定有通项公式。 注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。 1、ABC的三边a，b，c既成等比数列又成等差数列，则三角 形的形状是()

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 2、在等比数列{an}中，a6a5a7a548，则S10等于() A.1023 B.1024 C.511 D.512 3、三个数成等比数列，其积为1728，其和为38，则此三数为() A.3，12，48 B.4，16，27 C.8，12，18 D.4，12，36 4、一个三角形的三内角既成等差数列，又成等比数列，则三内角的公差等于() A.0 B.15 C.30 D.60 5、等差数列{an}中，a1，a2，a4恰好成等比数列，则a1的值是()a4 A.1 B.2 C.3 D.4 6、某种电讯产品自投放市场以来，经过三年降价，单价由原来的174元降到58元，这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是() A.29% B.30% C.31% D.32% 7、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则∣x∣-∣y∣的最小值是。 (1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 (2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 (3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

高中数学必修五：等差数列的前n项和(解析版)

高中数学必修五：等差数列的前n 项和（解析版） 1．(2014·广东七校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 答案：B 解析：由S 2＝4，S 4＝20，得????? a 1＋a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20. ∴????? 4a 1＋2d ＝8，4a 1＋6d ＝20. ∴d ＝3. 2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12 ＝( ) A.310 B.13 C.18 D.19 答案：A 解析：设{a n }的公差为d ，则 S 3S 6＝3a 1＋3×22d 6a 1＋6×52d ＝a 1＋d 2a 1＋5d ＝13， ∴a 1＝2d . ∴S 6S 12＝6a 1＋6×52d 12a 1＋12×112d ＝2a 1＋5d 4a 1＋22d ＝9d 30d ＝310. 故应选A. 3．设{a n }(a ∈N ＋)是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 11S 14，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 13＝0 C ．S 15>S 11 D ．S 12和S 13均为S n 的最大值 答案：C

解析：由已知条件得，S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n (n ∈N ＋，d <0)的图像是开口向下的抛物线上的分散点，其对称轴是x ＝6.5. 故应选C. 4．(2014·漳州模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．n －1 B ．n C ．2n －1 D ．2n 答案：C 解析：由已知可得S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)，又S n ＋S n －1＞0，故S n －S n －1＝1，所以数列{S n }是等差数列，其公差为1，首项S 1＝1，故S n ＝n ，即S n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时也适合上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，故应选C. 5．(2014·济南三模)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010 ＝2，则S 2 012的值等于( ) A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 010 D ．－2 013 答案：B 解析：∵S 1212－S 1010 ＝2， ∴12(a 1＋a 12)212－10(a 1＋a 10)210 ＝2， 故a 12－a 10＝4， ∴2d ＝4，d ＝2， ∴S 2 012＝2 012×(－2 012)＋ 2 012×(2 012－1)×22 ＝－2 012. 6．在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是________． 答案：5或6 解析：∵d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3＝－a 9， ∴a 1＋2d ＝－a 1－8d ， ∴a 1＋5d ＝0，∴a 6＝0， ∴a n >0，(1≤n ≤5)

高中数学必修五数列测试题

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．数列 ,16 1 ,81,41,21--的一个通项公式可能是（ ） A ．n n 21)1(- B ．n n 2 1)1(- C ．n n 21 )1(1-- D ．n n 2 1)1(1 -- 2．在等差数列{}n a 中， 22a =，3104,a a =则＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 3．如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=( ) （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 4.设数列{}n a 的前n 项和3 S n n =，则4a 的值为( ) （A ） 15 (B) 37 (C) 27 （D ）64 5.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则 4 2 S a =（ ） A ．2 B ．4 C ． 2 15 D ． 2 17 6.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 7. 已知 ,2 31,2 31-= += b a 则b a ,的等差中项为（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D ． 2 8．已知}{n a 是等比数列，22a =，51 4 a = ，则12231n n a a a a a a ++++=（ ） A ． 32(12)3n -- B ．16(14)n -- C ．16(12)n -- D ．32 (14)3 n -- 9.若数列}{ n a 的通项公式是(1)(32)n n a n =--，则1220a a a ++???+= ( ) （A ）30 （B ）29 （C ）-30 （D ）-29 10.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++=（ ） A. (21)n n - B. 2(1)n + C. 2 n D. 2 (1)n -

数学必修五数列知识点解题技巧

数列部分知识点梳理 一数列的概念 1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ???≥-==-)2() 1(11 n S S n S a n n n 2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。前n 项和公式2 ) (1n n a a n S +=或 d n n na S n )1(2 1 1-+=. 2）等差中项：b a A +=2。 3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）?{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列. 4）等差数列的性质： ⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd . ⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a ) ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+； ⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则? ?? ???n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则n n a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶； 当项数为)(12+∈-N n n ，则n n S S a S S n 1 , -==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则 （是常数）是公差为 的等差数列； (8)设 ， ， ，则有 ； (9) 是等差数列的前项和，则； (10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为 ，则 ①．为等差数列，公差为 ； ②． （即 ）为等差数

(word完整版)高中数学必修五数列测试题

必修五阶段测试二(第二章 数列) 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2017·山西朔州期末)在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，且a 3a 7＝4a 4，则a 8等于( ) A ．16 B ．32 C ．－16 D ．－32 2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝????? 3n ＋1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2·a 3等于( ) A ．8 B ．20 C ．28 D ．30 3．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 3＝b 3，2b 3－b 2b 4＝0，则数列{a n }的前5项和S 5为( ) A ．5 B ．10 C ．20 D ．40 4．(2017·山西忻州一中期末)在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．102 B.9658 C.9178 D ．108 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．等差数列{a n }中，a 10<0, a 11>0, 且a 11>|a 10|, S n 是前n 项的和，则( ) A ．S 1, S 2, S 3, …， S 10都小于零，S 11，S 12，S 13，…都大于零 B ．S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零 C ．S 1，S 2，…，S 5都大于零，S 6，S 7，…都小于零 D ．S 1，S 2，…，S 20都大于零，S 21，S 22，…都小于零 7．(2017·桐城八中月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．不确定 8．(2017·莆田六中期末)设{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5 D ．S 6和S 7均为S n 的最大值 9．设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是前n 项和，则( ) A ．S 4＜S 5 B ．S 6＜S 5 C ．S 4＝S 5 D ．S 6＝S 5 10．(2017·西安庆安中学月考)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n (n ∈N *，n ≥2)，则a 6等于( )

人教版高中数学必修五数列知识点及习题详解

人教版数学高中必修5数列习题及知识点 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2005，则序号n 等于()． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝()． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则()． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于()． A ．1 B ．43 C ．21 D ．8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为(). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是()． A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝()． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝()． A ．1 B ．－1C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是()． A ．21B ．－21C ．－21或2 1D ．41 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝()． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 二、填空题

人教A版数学必修五《等差数列》教学设计

人教A版数学《等差数列》 一、教材的地位与作用 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教A版）第二章数列第二节等差数列第一课时．数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数也为今后学习等比数列提供了联想、类 比的思想方法。 教学目标： ⑴知识与技能目标 理解等差数列、等差中项的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题灵活运用。 ⑵过程与方法目标 通过对等差数通项公式的推导培养学生的观察力和归纳推理能力并通过对等差数列通项公式的变形培养学生思维的深刻性和灵活性。 ⑶情态与价值目标 通过对等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察能力，积极思维、追求新知的创新意识。 2、重点难点： 重点：理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 二、教法与学法： 教法：探究、启发式以及讲练结合的教学模式，教师为主导，设置情境、问题诱导，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师引导下发现和解决问题。 学法：在引导分析时，给学生提供观察、思考的机会，让学生尝试去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 三、教学过程： 1、复习上一节课的内容：数列的概念，会求简单数列的通公式。 （出示幻灯片2，提问学生回答）

。 2、问题引入：观察下列数列，找出它们的共同点： （1）5，5，5，5，5，5 （2）4，5，6，7，8，9，10 （3）2，0，-2，-4，-6 （出示幻灯片 3，让学生合作学习，共同讨论这些数列有哪些共同的特点，然后提问学生有 怎样的讨论结果，对回答不正确的同学，再指定另一同学给予指正，至到学生能找到等数列的共 同特点）。 3．探究新知： （1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。 （教师板书本节课的课题：等差数列。同时由学生自己总结等差数列的定义，教师应重点强 调定义中需注意 2 点：从第 2 项起和后一项减前一项为公差，而不是前一项减后一项） 练习 1：数列是否是等差数列? 如果是等差数列公差是多少？ （1）1，2，4，6，8， （2）2，4，6，8， （3）1，-1，1，-1 （4）0，0，0，0， （5）1，1/2，1/3，1/4 （6）-5，-4，-3 （7）1， √2，√3，√4 （8）1，2，4，7，11 （每一题让一位学生回答，并询问理由） （2）等差中项：若三个数 a, A, b 组成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，即 2 A = a+b 或 A = a+b/2。 （创设这样的问题：要构成一个等差数列，至少须几个数，由学生思考1 分钟，提问，然后 引入第二个概念：等差中项） （3）等差数列 的通项公式： （出示幻灯片 7，教师：既然等差数列是一个数列，那么它有通项公式吗？大家先观察前四 项，然后总结出第 n 项应为？培养学生的观察能力）。

(完整版)数学必修五数列知识总结

数列知识总结 一.知识网络: 二. 1.数列的定义:按一定次序排列的一列数. 数列是定义在正整数集或其有限子集｛1，2，3，…，n ｝上的函数当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值． 2.数列的通项公式和前n 项和:对于任意数列{}n a ,其通项是a n 和它的前n 项和n S 之间的关系是:???-=-11 n n n S S S a ,*) ,2()1(N n n n ∈≥=. 3.求数列通项公式的方法: ①观察法:找项与项数的关系,然后猜想检验,即得通项公式a n ,注意利用前几项得出的通项公式不一定唯一. ②利用通项a n 和它的前n 项和n S 之间的关系是:, ③公式法:利用等差数列,等比数列的通项公式求解. ④其它方法:迭加,迭乘,待定系数等. 4.证明一个数列是等差数列或等比数列,常用的两种基本方法．．．．:一是利用定义;二是利用等差中项（或等比中项）来进行证明.(注意:通项的特点与前n 项和的特点只用于判断) 5.等差数列的性质: (1)数列{}n a 为等差数列，则a m = a n ＋（m －n ）d ,或m n a a d m n --= (2)数列{}n a 为等差数列的充要．．条．件．是:其通项公式可以写成a n = an ＋b (a,b 为实常数). (3)数列 {} n a 为等差数列的充要．．条．件．112+-+=n n n a a a ,推广 k n k n n a a a +-+=2(n>k.>0)

(4)数列{}n a 为等差数列:若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+. (5)数列{}n a 为等差数列,去掉前m 项,剩下的项构成等差数列. 推广：数列{}n a 为等差数列,则每隔k 项取m 项的和仍构成等差数列. (6)数列{}n a 是公差为d 的等差数列,则奇(偶)数项构成公差为2d 的等差数列. 推广①:数列{}n a 为公差为d 等差数列:则在数列中每隔k 项取一项构成的数列是公差为d k )1(+的等差数列.项数成等差数列的项成等差数列. 推广②:数列{}n a 是公差为d 的等差数列,则项下标成等差数列的项也成等差数列. (7)数列{}n a ,{}n b 项数相同的等差数列:则{}n ka ,{}n n qb pa +,{}q p q pa n ,(+为常数)仍为等差数列. (8)数列{}n a 为等差数列,其前n 项和n S 可以写成b a bn an S n ,(,2+=为常数). (9)数列{}n a 为等差数列:则数列中依次每连续k 项之和构成的数列也是等差数列. (10)数列{}n a 为等差数列:奇S 表示奇数项的和,偶S 表示偶数项的和, 若项数为n 2项时, 则有奇S －偶S = nd , 奇S /偶S = a n / a n+1; 若项数为n 2－1项时,则有奇S －偶S = a n , 奇S /偶S = n / (n －1),n n a n S )12(12-=-. 6.等比数列的性质: (1)数列{}n a 为等比数列:m n m n n n m n m n n a a a q a a q a a +---?===2 11,,. (2)数列{}n a 为等比数列: 112 +-?=n n n a a a ,推广m n m n n a a a +-?=2 (n>m >0) (3)数列{}n a 为等比数列:k p n m +=+,则k p n m a a a a ?=?. (4)数列{}n a 为等比数列,取掉前若干项,剩余的项也构成等比数列. 推广：数列{}n a 为等比数列,则每隔k 项取m 项的和(积)仍构成等比数列.

高中数学必修5数列题目精选精编

金太阳教育网 高中数学必修5数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312 n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312 n n n a ---+=++++= ， 所以证得 312 n n a -= . 例题2. 数列{} n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{ } n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{} n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{} n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2 (1) 3222 n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{ } n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 1 2 8n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ } n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）21 12322 (2) 8n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{} 1 2 n n a -前n 项和的形式， 可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.