第6章题解
第6章题解
6.1 计算LEO （轨道高度700-2000km ）、MEO （轨道高度8000-20000km ）和GEO （轨道高度35786）各典型高度值时的在轨速度和轨道周期。
解: 根据式(6-8)和式(6-10)可以计算各典型轨道高度值情况下卫星的在轨速度和轨道周期。 (1) 轨道高度700km 的LEO 卫星:
在轨速度 V =
27015 km/hour
轨道周期25926 sec. = 98 min. 46 sec.Ts π= (2) 轨道高度2000km 的LEO 卫星:
在轨速度 V =
24831 km/hour
轨道周期27632 sec. = 127 min. 12 sec.Ts π= (3) 轨道高度8000km 的MEO 卫星:
在轨速度 V =
18955 km/hour
轨道周期217158 sec. = 4 hr. 45 min. 58 sec.Ts π== (4) 轨道高度20000km 的MEO 卫星:
在轨速度 V =
=13994 km/hour
轨道周期242636 sec. = 11 hr. 50 min. 36 sec.Ts π= (5) 轨道高度35786km 的GEO 卫星:
在轨速度 V =
11069 km/hour
轨道周期286164 sec. = 23 hr. 56 min. 4 sec.Ts π=
6.2 在最小仰角为10o,系统工作频率为1.6GHz 时，计算LEO 、MEO 和GEO 的典型自由空间传播损耗和传播延时。
解: 为计算自由空间传播损耗和传播延时，需要知道传输距离。根据(6-23)可以计算10仰角时的最大星地距离，再根据第二章公式(2-8)计算最大自由空间传播损耗。 (1) 轨道高度700km 的LEO 卫星:
最大星地距离 Re sin(10)2155d ?=星地 km
自由空间传输损耗()92.4420lg215520lg1.6159.1101dB f L =+?+?=
传输延时/7.2d C τ==星地 ms (2) 轨道高度2000km 的LEO 卫星:
最大星地距离 Re sin(10)4437d ?=星地 km 自由空间传输损耗()92.4420lg443720lg1.6165.3813dB f L =+?+?= 传输延时/14.8d C τ==星地 ms (3) 轨道高度8000km 的MEO 卫星:
最大星地距离 Re sin(10)11826d ?=星地 km 自由空间传输损耗()92.4420lg1182620lg1.6173.8968dB f L =+?+?= 传输延时/39.4d C τ==星地 ms (4) 轨道高度20000km 的MEO 卫星:
最大星地距离 Re sin(10)24512d ?=星地 km 自由空间传输损耗()92.4420lg2451220lg1.6180.2275dB f L =+?+?= 传输延时/81.7d C τ==星地 ms (5) 轨道高度35786km 的GEO 卫星:
最大星地距离Re sin(10)40586d ?=星地 km 自由空间传输损耗()92.4420lg2451220lg1.6180.2275dB f L =+?+?=
传输延时/135.3d C τ==星地 ms
6.3全球星系统的卫星轨道高度为1414km ，在最小仰角为10o时，求单颗卫星的最大覆盖地心角，覆盖区面积和卫星天线的半视角。
解: 根据式(6-20)可以求解最大覆盖地心角；根据式(6-24)可以求解覆盖区半径，再通过球冠面积公式求解覆盖区面积；根据式(6-21)可以求解卫星天线的半视角。 最大覆盖地心角max Re 2arccos cos(10)1052.56681414Re α?
???
=??-=????
?+????
最大覆盖半径Re sin(52.5668/2)2824.3X =?=km
覆盖区面积 []2722Re 1cos(52.5668/2) 2.642610 km A π=??-=? 卫星天线的半视角Re arcsin cos(10)53.71661414Re β??
=?=???+??
6.4 某地面观察点位置为（120oE ，45oN ），卫星的瞬时位置为（105oE ，25oN ），轨道高度为2000km 。计算该时刻地面观察点对卫星的仰角。
解:由已知条件，可以根据式(6-25)求得地面观察点与卫星间所夹地心角，再通过式(6-22)可以求解仰角。 地心角[]arccos sin(45)sin(25)cos(45)cos(25)cos(120105)23.3854α=?+??-=?
仰 角(2000Re)cos(23.3854)Re arctan 21.5280(2000Re)sin (23.3854)E α??
+?-==??
?+???
6.5“铱”系统卫星的轨道高度为780 km ，在最小仰角为10o时，试计算单颗系统卫星能够提供的最长连续覆盖时间coun T 。 解: 题解过程与例6.2一样。
最大地心角max Re arccos cos101018.6582780Re α??
=??-?=???+??
卫星角速度32/110/0.0597/S T rad s s ωπ-==
≈?=?卫星 最长连续服务时间max max 2/62510min 25sec.S t s αω=≈=
6.6 某星座系统的卫星轨道高度为1450km ，每个轨道面上的卫星数量为8颗。在最小仰角为10o时，计算每个轨道面上8颗卫星形成的地面覆盖带的宽度。 解: 首先根据式(6-20)确定单颗卫星的最大覆盖地心角α，再根据式(6-26)可以直接计算覆盖带宽度。 单颗卫星最大覆盖地心角max 6378.137arccos cos101026.6414506378.137α??
=??-?=???+??
地面覆盖带的宽度cos(26.64)
22arccos[
]29.3008cos(/8)
C c π==?=?
6.7 已知全球星（Globalstar ）星座的Delta 标识为：48/8/1:1414:52，假设初始时刻星座的第一个轨道面的升交点赤经为0o，面上第一颗卫星位于（0oE, 0oN ），试确定星座各卫星的轨道参数。
解: 根据6.3.3.1中Delta 星座标识方式的描述可知： 相邻轨道面的升交点经度差：360o/8=45o； 面内卫星的相位差：360o/(48/8)=60o 相邻轨道面相邻卫星的相位差：360o×1/48=7.5o
再根据已知的第一颗卫星的初始位置，可以得到所有卫星的初始轨道参数如下表。
6.8 计算回归周期为4个恒星日，回归周期内的轨道圈数从5到21的准回归轨道的高度。 解: 根据准回归轨道的轨道周期可以确定相应的轨道高度。
对于回归周期为4个恒星日的准回归轨道，在其回归周期内的轨道圈数一定不是2的倍数。因此，从5到21范围内的所有奇数值都是可以作为轨道圈数值的。
通常，卫星在M 天内绕地球飞行N 圈时，其轨道周期T s 与地球自转周期（即恒星日）T e 之间满足关系
/s e T T M N =?
由圆轨道卫星的轨道周期与轨道高度之间的关系可以计算轨道高度
2 Re s T h ?=
＝
因此，回归周期为4个恒星日，回归周期内的轨道圈数从5到21的准回归轨道的高度如下表所示
6.9 根据式（6-35）计算：轨道面数量为3，每轨道面卫星数量为8的极轨道星座，在最小用户仰角10o，连续覆盖南北纬45o以上区域时，卫星的最大覆盖地心角α和轨道高度，以及顺行轨道面间的升交点经度差?1。
解: 式（6-35）没有解析解的，因此采用数值计算的方法，搜索近似解。
式（6-35）如下所示：
cos (1)(1)arccos cos cos(/)P P S ααπ?π??
-++=???? 在式中，令P =3，S =8，φ=45o，利用计算机程序，将不同的α值带入到式子中，得到
等式两端误差最小的最佳α值
28.3173α=?
顺行轨道面间的升交点经度差?1
1cos arccos /cos 65.0235cos(/)S αα?π?????
??=+=???????????
（注意：由于星座仅在纬度45o以上区域连续覆盖，因此计算时的参考位置是在45o纬
度圈上。而升交点经度差是在与纬度圈平行的赤道平面上计量的，因此需要进行换算。） 卫星轨道高度
cos(10)
Re Re 1627.6 km cos(28.317310)
h ?=?
-=?+?
6.10 根据式（6-38）计算：倾角为80o，轨道面数量为3，每轨道面卫星数量为5的近极轨道星座，在最小用户仰角10o时，连续覆盖全球需要的卫星的最大覆盖地心角α和轨道高度，
以及顺行轨道面间的升交点经度差1
'?。 解: 式（6-38）没有解析解的，因此采用数值计算的方法，搜索近似解。
式（6-38）如下所示：
22
sin{arccos[cos /cos(/)]}(1)arcsin sin cos{2arccos[cos /cos(/)]}cos arccos sin S P i S i i ααπαππ+??
-?+
????
???-=????
在式中，令P =3，S =5，i =80o，利用计算机程序，将不同的α值带入到式子中，得到等
式两端误差最小的最佳α值
42.2793α=? 顺行轨道面间的升交点经度差1
'? 1sin{arccos[cos /cos(/)]}arcsin 68.2240sin S i ααπ+??
'?==?????
卫星轨道高度
cos(10)
Re Re 3888.5 km cos(42.279310)
h ?=?
-=?+?
6.11 给出Delta 星座 12/3/1 和 14/7/4 的等价Rosette 星座标识。
解: （1）对于Delta 星座的参数标识法，可知星座12/3/1包括12颗卫星，分布在3个轨道平面上，每个面上4颗卫星，相位因子 F = 1。
根据（6-44）式有 mod(4,3)1m = → 431m n =+ →(31)/4m n =+
根据Rosette 星座特性，协因子m 的分子部分取值应不等于0而且小于星座卫星数量（即
03112n <+<）
，因此可以判定n 的可能取值为0、1、2和3；由于星座每个轨道面上有4颗卫星，因此协因子m 一定以4为分母，即分子不能与分母有公因子，所以，n 的取值只能为0和2。
最终，协因子为：(31)/4(1/4,7/4)m n =+=
综上，星座的Rosette 标识为：（12, 3, (1/4, 7/4)）。
（2）对于Delta 星座14/7/4，有 mod(2,7)4m = → 274m n =+ →(74)/2m n =+ 显然，根据07414n <+<且74n +为奇数，可知n 的取值只能为1。 最终，协因子为：(74)/211/2m n =+= 综上，星座的Rosette 标识为：（14, 7, 11/2）。
6.12 给出以下以Delta 星座标识描述的星座系统的等价Rosette 星座标识。 解: （1）全球星（Globalstar ）星座48/8/1
根据（6-44）式有 mod(6,8)1m = → 681m n =+ →(81)/6m n =+
根据08148n <+<且81n +不能是2或3的倍数，可知n 的可能取值为0、2、3和4。 这样，对应的协因子为：(81)/6(1/6,17/6,25/6,41/6)m n =+= 综上，全球星星座的Rosette 标识为：（48, 8, (1/6, 17/6, 25/6, 41/6)）。 （2）Celestri 星座63/7/5
根据（6-44）式有 mod(9,7)5m = → 975m n =+ →(75)/9m n =+
根据07563n <+<且75n +不能是3的倍数，可知n 的可能取值为0、2、3、5、6和8。 这样，对应的协因子为：(75)/9(1/9,19/9,26/9,40/9,47/9,61/9)m n =+= 综上，全球星星座的Rosette 标识为：（63, 7, (1/9, 19/9, 26/9, 40/9, 47/9, 61/9)）。 （3）M-star 星座72/12/5
根据（6-44）式有 mod(6,12)5m = → 6125m n =+ →(125)/6m n =+
根据012572n <+<且125n +不能是2或3的倍数，可知n 的可能取值为0、1、2、3、4和5。
这样，对应的协因子为：(125)/6(5/6,17/6,29/6,41/6,53/6,65/6)m n =+=
综上，全球星星座的Rosette 标识为：（63, 7, (5/6, 17/6, 29/6, 41/6, 53/6, 65/6)）。
6.13 以等价Delta 星座标识的方式，证明Ballard 的最优15星星座：(15,3,1/5)，(15,3,4/5)，(15,3,7/5)和(15,3,13/5)的等价性。
解: 根据（6-43）式可知相位因子F 和协因子m 满足：
mod(,)F mS P =
(15,3,1/5)玫瑰星座对应的Delta 星座的相位因子：1
mod(5,3)mod(1,3)15F =?==
(15,3,4/5)玫瑰星座对应的Delta 星座的相位因子：4
mod(5,3)mod(4,3)15F =?==
(15,3,7/5)玫瑰星座对应的Delta 星座的相位因子：7
mod(5,3)mod(7,3)15F =?==
(15,3,13/5)玫瑰星座对应的Delta 星座的相位因子：13
mod(5,3)mod(13,3)15
F =?==
可见，四个星座对应的Delta 星座具有相同形式，因此证明了它们之间的等价性。
6.14 判断以下Delta 星座：①24/4/2:8042:43；②9/9/4:10355:35；③8/8/4:10355:30；④7/7/4:13892:41是否也是共地面轨迹星座。如果是，给出其等价的共地面轨迹星座标识。
解: （1）Delta星座24/4/2:8042:43
由于不满足每轨道面1颗卫星的条件，该星座不能够等价于某个共地面轨迹星座。
（2）Delta星座9/9/4:10355:35
该Delta星座相邻轨道面升交点经度差为360o/9 = 40o，相邻轨道面相邻卫星的相位差为360o·4/9 = 160o。
高度为10355 km的轨道是1个恒星日内绕地球飞行4圈的回归轨道，因此，当相邻轨道面升交点经度差为40o，对应的卫星相位差为40o×4 = 160o。
由于该相位差与Delta星座中定义的相位差有360o互补关系，因此该Delta星座不能等价为某个共地面轨迹星座。
（3）Delta星座8/8/4:10355:30
该Delta星座相邻轨道面升交点经度差为360o/8 = 45o，相邻轨道面相邻卫星的相位差为360o·4/8 = 180o。
高度为10355 km的轨道是1个恒星日内绕地球飞行4圈的回归轨道，因此，当相邻轨道面升交点经度差为45o，对应的卫星相位差为40o×5 = 180o。
由于该相位差与Delta星座中定义的相位差成360o互补关系，因此该Delta星座能够等价为某个共地面轨迹星座。根据（6-54）式可知Delta星座8/8/4:10355:30与共地面轨迹星座8/45/4:10355:30等价。
（4）Delta星座7/7/4:13892:41
该Delta星座相邻轨道面升交点经度差为360o/7 ≈ 51.43o，相邻轨道面相邻卫星的相位差为360o·4/7 ≈ 205.71o。
高度为13893 km的轨道是1个恒星日内绕地球飞行3圈的回归轨道，因此，当相邻轨道面升交点经度差为51.43o，对应的卫星相位差为51.43o×3 = 154.29o。
由于该相位差与Delta星座中定义的相位差成360o互补关系，因此该Delta星座能够等价为某个共地面轨迹星座。根据（6-54）式可知Delta星座7/7/4:13892:41与共地面轨迹星座8/51.43/3:13892:41等价。
6.15 某极轨道星座的参数如表6.4中第5行（3×5星座）。在初始时刻，第1个轨道面上第1颗卫星位于（0oE, 0oN）。试判断初始时刻，第1个轨道面上第1颗和第3个轨道面上的第2颗卫星间是否能够建立星际链路（假定星际链路距地球表面的最近距离为100 km）。解: 根据卫星的初始轨道参数可以计算卫星在初始时刻的经纬度位置，接着便可以计算卫星间的地心角或距离，从而可以判断瞬时卫星间的星际链路是否能够建立。
由于改星座采用极轨道，因此可以根据卫星的初始弧角直接得到卫星的初始经纬度位置。
γ?==?
360/5/236
可以判断，第3个轨道面上，第1颗卫星的初始弧角为0°，第2颗卫星的初始弧角为36°。由此可知，第3个轨道面上第2颗卫星在初始时刻的经纬度位置为（132.2oE, 36oN）根据式6-25可以计算卫星间所夹地心角
[]
α=?+??-=?
arccos sin(0)sin(36)cos(0)cos(36)cos(132.20)122.92
再根据已经参数，可以确定该星座两颗卫星之间的最大地心角
max Re 1002cos 92.53Re 3888.5α+??
=?=? ?+??
因为max αα>，因此该两颗卫星之间不能建立星际链路。
6.16 全球星系统采用了如图6-29（a ）所示的网络结构，而“铱”系统则采用了如图6-29（c ）所示的网络结构。试说明这两种结构的异同点和优缺点。
解: 全球星系统和铱系统是低轨（LEO ）卫星通信系统的典型代表，系统均采用数量较多、重量较轻的卫星完成准全球/全球覆盖。
6.17 在用户最小仰角为10o，非静止轨道卫星高度1450km 时，计算图6-29（a ）和图6-29（b ）中的端对端延时（假设各链路距离最大化，并忽略各种处理延时和地面网络的传输延时）。
解: （1）对图6-29（a ），在各链路距离最大化（用户仰角最小）时，
低轨卫星与用户间的最大地心角
max Re arccos cos(10)1026.6408Re 1450α??
=??-?=???+??
最大链路距离
max 3564.3 km d ==
用户的最大端对端延时为信号经过4条链路的延时，为
max 4/47.5 ms ETE d c τ=?=
（2）与图6-29（a ）相比，图6-29（b ）结构中采用静止轨道卫星作为中继途径，因此
增加了静止轨道卫星的一个单跳延时。 静止卫星与地面信关站间的最大地心角
max Re arccos cos(10)1071.4327Re 35786α??
=??-?=???+??
静止卫星与地面信关站间最大链路距离
max 40586 km d ==
用户的最大端对端延时
max 47.52/47.5270.6318.1 ms ETE d c τ=+?=+=
6.18 试推导星下点轨迹方程（6-18）和（6-19）。
解: 假定初始时刻，卫星恰好位于其升交点S 。如图所示，在t 时刻，卫星位于轨道位置A ，此时卫星在轨道面内的瞬时弧角为θ。
为了推导星下点轨迹公式，构造如下的平面三角形： ·由A 点向赤道平面作垂线，交赤道平面于B 点；
·由B 点向地心与升交点连线OS 作垂线，交OS 直线于O'点； ·连接A O'，构造出三角形A O'B 。 图中各线条之间的夹角关系满足： · AOO θ'∠=，θ为卫星的瞬时弧角； ·()s AOB t ?∠=，即卫星的瞬时纬度；
·0()s BOO t λλ'∠=-，即卫星的瞬时经度减去初始经度；
·AO B i '∠=，即轨道面倾角，证明：由 & '''⊥⊥OO AB OO BO 可知''⊥面OO AO B ，
因此AO B '∠是轨道平面与赤道平面的夹角，即i 。
推导过程如下：
（1）纬度公式
在三角形AO'B 中，有
sin (Re )sin sin ()arcsin(sin sin )(Re )sin ()s s AB AO i h i t i AB h t θ?θ?'=?=+???
?=??=+??
（2）经度公式
在三角形BO'O 中，有
[]00tan ()//tan (Re )sin cos ()arctan(cos tan )(Re )cos s s t BO OO BO AB i h i t i OO h λλθλλθθ''
?-=?
'==+???=+???'=+??
考虑到地球以角速度e ω由东向西自转带来的影响，经度公式修正为
0()arctan(cos tan )s e t i t λλθω=+?-?
为了消除反正切函数的取值影响，进一步做如下修正
·对顺行轨道面，cos i 取值为正值：当瞬时弧角[]90,90θ?-??时，经度取值不用修正；当[]90,180θ???时，反正切函数的取值为负值，加上180o修正值后可以获得准确值；当[]180,90θ?-?-?，反正切函数的取值为正值，减去180o修正值后可以获得准确值；
·对顺行轨道面，cos i 取值为负值，其情况恰好与顺行轨道时的相反；
最终，完整的经度公式为
0180(90180)()arctan(cos tan )0(9090)180(18090)s e t i t θλλθωθθ??<≤???
=+?-±?-?≤≤???-?-?≤<-??
第六章、数理统计的基本知识解答
第五章、数理统计的基本知识 五、证明题： 1．证：因为随机变量12,,,n X X X 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布 2(,)N μσ，所以，它们的线性组合 112 22111111[, ()](,)n n i i i i n n i i X X X n n N N n n n σμσμ======??=∑∑∑∑ 即样本均值X 服从正态分布2 (, )N n σμ. 2．证：因为随机变量12,,,n X X X 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布 2(,)N μσ，所以，它们的线性组合 112 22111111[, ()](,)n n i i i i n n i i X X X n n N N n n n σμσμ======??=∑∑∑∑ 即样本均值X 服从正态分布2 (, )N n σμ。所以，将X 标准化，即得 ~(0,1 )u N = . 3．证：因为随机变量12,,,n X X X 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布 2(,)N μσ，即 2~(,),1,2,i X N i n μσ= 所以得 ~(0,1),1,2,,i X N i n μ σ -= 又因为12,,,n X X X 相互独立，所以 12,,, n X X X μ μ μ σσσ --- 也相互独立。 于是，2 2 222 1 1 1 ()( )~()n n i i i i X X n μ μσ σ ==-χ= -=χ∑∑.
4．证：由§5.4定理2知，统计量 ~(0,1) u N =； 又由§5.4定理4知，统计量 2 22 2 (1) ~(1) n S n σ - χ=χ- 因为X与2S 独立，所以统计量u= 2 2 2 (1) n S σ - χ=也是独立的。于是，根据§5.3定理2可知，统计量 ~(1) t t n ===-. 5．证：由§5.4定理1知： 22 12 12 12 ~(,),~(,) X N Y N n n σσ μμ. 因为X与Y独立，所以可知： 22 12 12 12 ~(,) X Y N n n σσ μμ --+. 于是，得 ~(0,1) U N =. 6．证：由§5.4定理6的推论知，统计量 ~(0,1) U N =. 又由§5.4定理4知： 2 22 11 11 2 2 22 22 22 2 (1) ~(1), (1) ~(1). n S n n S n σ σ - χ=χ- - χ=χ- 因为2 1 S与2 2 S独立所以2 1 χ与2 2 χ也是独立的，由2χ分布的可加性可知，统计量
第六章 数理统计的基本知识课后习题参考答案
第六章 数理统计的基本知识 1 ．10 2 21 1 () 210110(,,)i i x f x x e μσ=--∑=K ；2 2()12*10 1(),1x f x e x μσ-- -∞<<+∞=。 2．t 分布；9. 3．11,, 2.20100 4．解： 0 (0,1)0.3 i X N -~Q 10 1 22 ( )(10)0.3 i i X χ=∴~∑ {} {}1010222 2 11 1.441.44()(10)160.10.3 0.3i i i i X P X P P χ==??∴>=>=>=∑∑???? ５．解：4 (12,)5 X N : 可参考书中67P 页 （1）{ } 121210.7372P X -<=Φ-=； （2）{}125max(,,,)15P X X X (1) ()1 c c c E X x c x dx c x dx θθθθθθθθ+∞ +∞ -+-=== -? ? 令 1c X θθ=-，得θ的估计量为$X X c θ =-，θ的估计值为$1 1 11n i i n i i x n x c n θ===-∑∑ （2）极大似然估计 (1)(1)(1)11()()()n n n L c x c x c x x θθθθθθθθθθ-+-+-+==L L 1 ln ()ln()(1)ln n i i L n c x θ θθθ==-+∑ 令1 ln ln ln 0n i i L n n c x θθ=?=+-=?∑ 得θ的估计值为$1 ln ln n i i n x n c θ ==-∑，θ的估计量为$1 ln ln n i i n X n c θ ==-∑ 3．（1） 矩估计 1214 33 X ++= = 22()122(1)3(1)32E X θθθθθ=?+?-+?-=- 令()E X X = 得θ的估计值为$5 6 θ = 极大似然估计 2256112233()()()()2(1)22L P X x P X x P X x θθθθθθθ=====?-?=- 令 ln 5101L θθθ?=-=?-，得θ的估计值为$56 θ= （2）矩估计量 1 1n i i X X n λ===∑ 极大似然估计 1 111211()()()...()... ! ! !...! i n x x x n n n n n e e L P X x P X x P X x e x x x x λ λ λλλλλ---∑ ===== = 令 ln ()0i x L n λθλ ?=-+=?∑，得λ的似然估计值为$i x n λ=∑， 第六章数理统计的基本概念 一、教学要求 1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。 2．了解分布、t分布和F分布的定义和性质，了解分位数的概念并会查表计算。 3．掌握正态总体的某些常用统计量的分布。 4．了解最大次序统计量和最小次序统计量的分布。 本章重点：统计量的概念及其分布。 二、主要内容 1．总体与个体 我们把研究对象的全体称为总体(或母体)，把组成总体的每个成员称为个体。在实际问题中，通常研究对象的某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指标称为总体。设x为总体的某个数值指标，常称这个总体为总体X。X的分布函数称为总体分布函数。当X为离散型随机变量时，称X的概率函数为总体概率函数。当X为连续型随机变量时，称X的密度函数为总体密度函数。当X服从 正态分布时，称总体X为正态总体。正态总体有以下三种类型： (1)未知，但已知； (2)未知，但已知； (3)和均未知。 2．简单随机样本 数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法，即通过一些个体的特征来推断总体的特征。要作统计推断，首先要依照一定的规则抽取n个个体，然后对这些个体进行测试或观察得到一组数据，这一过程称为抽样。由于抽样前无法知道得到的数据值，因而站在抽样前的立场上，设有可能得到的值为，n维随机向量()称为样本。n称为样本容量。(）称为样本观测值。 如果样本()满足 （1）相互独立； (2) 服从相同的分布，即总体分布； 则称()为简单随机样本。简称样本。 设总体X的概率函数(密度函数)为，则样本（)的联合概率函数(联合密度函数为) 3. 统计量 完全由样本确定的量，是样本的函数。即：设是来自总体X 的 一个样本，是一个n 元函数，如果 中不含任何总体的未知参数， 则称 为一个统计量，经过抽样后得到一组样本观测值 ， 则称 为统计量观测值或统计量值。 4. 常用统计量 （1）样本均值： （2）样本方差： （3）样本标准差： 它们的观察值分别为： 这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差和样本标准差。 （4）样本（k 阶）原点矩 1 1,1,2,n k k i i A X k n ===∑ （5）样本（k 阶）中心矩 1 1(),2,3,n k k i i B X X k n ==-=∑ 其中样本二阶中心矩21 1(),n k i i B X X n ==-∑又称为未修正样本方差。 （6）顺序统计量 将样本中的各个分量由小到大的重排成 (1)(2)()n X X X ≤≤≤ 则称(1)(2)(),,n X X X 为样本顺序统计量，()(1)n X X -为样本的极差。 （7）样本相关系数： 1 ()()()() n n i i i i i xy x y x x y y x x y y r S S =----= = ∑∑其中：,x y 分别为数据{,i i x y 的样本均值，,x y S S 分别为样本a 标准差。 5、直方图与箱线图 （1）直方图 先将所有采集的数据进行整理，得到顺序统计量，找出其中的最小值(1)x ，最大值()n x ，即所有的数据都落在区间(1)(),n x x ????上，现取区间(1)(),n x k x k ? ?-+?? （其 第六章 统计量与抽样分布 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、解：易知的X 期望为μ，方差为2n σ ，则 ()0,1X N μσ-近似地 ， 所以，( ) (0.10.10.909X P X P μσ μσσ? ? - ? -<=<≈Φ= ? ? ??? 。 2、解 （1）由题意得： 2 2 2 2211111()()()()n n i i i i E X D X E X D X E X n n n σμ==??=+=+=+ ???∑∑ ()2211111111 ()()n n i i i i E X X E X X E X X n n n σμ==?=?==+∑∑ （2）1X X -服从正态分布，其中： 1()0E X X -=，22 1122111()( )()()n n n D X X D X D X n n n σ----=+= 从而 2 11~(0,)n X X N n σ-- 由于 ~(0,1)i X N μ σ -，1,2, i n =，且相互独立，因此： () ()2 22 1 ~n i i X n μχσ=-∑ ~(0,1)X N μ -，所以( ) ()2 22 ~1n X μ χσ- 由于 ()2 22 (1)~1n S n χσ--，所以 () () ()2 2 2 2 22 (1)/~1,1(1) n X n X n S F n n S μ μ σσ---=-- （3）由于 () 2 /2 2 1 ~(/2)n i i X n μχσ =-∑ ，以及 () 2 2 1/2 ~(/2)n i i n X n μχσ =+-∑ ，因此有： 1.抽样分布 2.点估计 3.区间估计 4.假设检验 统计量：是指样本的函数（不能含有其它未知数）. 常用的统计量有： 一、四大分布 1.标准正态分布N（0，1） 服从自由度为n的x2分布，记为x2（n）. 3.t－分布 （1）定义：设，且X与Y相互独立，那么称服从自 由度为n的t-分布，记为t（n）. （2）t分布的密度函数为偶函数，且当n→∞时，t（n）→N（0，1） 4.F—分布 （1）定义：设且X与Y相互独立，那么我们称服从自由度为n,m的F分布，记为F（n,m）； （2）若F～F（n,m），则（m,n）； （3）若t～t（n），则t2～F（1，n）. 【例93·填空题】设X与Y相互独立，且均为N（0，9），X1，X2，…，X9与Y1，Y2，…， Y9分别为X与Y的样本. 则 [答疑编号986306101：针对该题提问] 答案：t（9） 【例94·填空题】设X1，X2，…，X15为N（0，4）的样本，则 [答疑编号986306102：针对该题提问] 答案：F（10，5） 【例95·填空题】设X1，X2，…，X n是来自总体X～N（0,1）的简单随机样本，则统计 量 [答疑编号986306103：针对该题提问] 答案： 【例96·填空题】设X1，X2，…，X n是来自总体X～N（0，σ2）的简单随机样本，则统计量 服从＿分布. [答疑编号986306104：针对该题提问] 答案： 【例97·解答题】假设（X1，…，X10）为总体N（0，4）的样本，求系数a，b，c使Q=a （X1+X2）2+b（X3+X4+X5）2+c（X6+X7+X8+X9+X10）2服从x2分布，并求其自由度. [答疑编号986306105：针对该题提问] 习题六 1.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值 之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n =100 ~(0,1)/X Z N n σ-= 即60 ~(0,1)15/10 X Z N -= (|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-< 2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-= 2.从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？ 【解】 ~(0,1)5/X Z N n -= 2.2 4.2 6.2 4.2 (2.2 6.2)( )55 P X P n Z n --<<=<< 2(0.4)10.95,n =Φ-= 则Φ(0.4n )=0.975，故0.4n >1.96, 即n >24.01，所以n 至少应取25 3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样 本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果， 只记得样本方差为S 2=1002，试求P （X ＞1062）. 【解】μ=1000,n =9，S 2=1002 1000 ~(8)100/3/X X t t S n -= = 10621000 (1062)()( 1.86)0.05100/3 P X P t P t ->=> =>= 4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差. 【解】~(0,1)/X Z N n σ=，由P (|X -μ|>4)=0.02得 第六章.抽样与抽样分布习题解 (习题六) 1.从总体X 中抽取容量为5的样本，得数据如下：－1.5， 2.8，1.4，0，1.4，据此写出X 的样本分布函数. 解：把样本数据顺序排列为：－1.5，0，1.4，1.4，2.8，则由样本分布函数的定义，题设样本的分布函数为： ?????????≥<≤<≤<≤??<=) 8.2()8.24.1()4.10()05.1()5.1(,,,,,15/45 /25/10)(5x x x x x x F 2.从总体X 中抽取样本1x ,2x ,…,n x ，用x 表示样本均值，试证：(1).∑=?0(x x i ；(2).∑?2)(C x i 在x C =时达最小. 证明：(1).∑∑=?=?=?0)(x n x n x n x x x i i ； (2).设)(C f ＝∑?2)(C x i ＝∑+?) 2(22C Cx x i i ＝∑+?222nC x nC x i ， 求解对C 的导数方程：022)(=?=′x n nC C f ，得唯一驻点C ＝x ，而且，当x C <时，0)(<′C f ；当x C >时，0)(>′C f ，∴C ＝x 是使)(C f 取极小值的点，故∑?2)(C x i 在x C =时达最小. 3.考察幼林胸径，任意抽取10株作为样本，得数据如下(单位：厘米)： 3.0，2.0，5.5，5.0，3.0，6.5，7.0， 4.0，4.0，6.0， 试计算样本均值、方差、修正方差. 解：样本均值： x ＝6.4)0.620.40.75.60.55.50.220.3(10 1=+×++++++×；样本方差：2221x n x n S i ?= ∑＝2222222226.410)62475.655.5223(10 1×?+×++++++×＝2.49； 样本修正方差： 77.249.29 10122≈×=?=?S n n S .4.设总体X ～N (0,23.0)，从中抽取容量为15的样本1x ,2x ,…,15x ，求概率∑>)25.2(2i x P . 解：∵1x ,2x ,…,15x 是来自总体X 的样本，∴i x ～N (0,23.0)，从而有标准化随机变量：3 .0i i x y =～N (0，1)，(i ＝1,2,…,15),于是由2χ-分布定义有：∑∑====151215 12209.01i i i i x y χ～)15(2χ，∴∑>)5.2(2 i x P ＝05.0)25()25.209.0(15 1 21512≈>=>∑∑==i i I i y P y P .(注：求)25)15((22=>αχχP ,在2χ-分布上侧临界值表中，由自由度n ＝15，及2χ-分布上侧临界值25)15(2=αχ，反找概率α值，即为所求概率). 5.对10<<α，试证) ,(1),(1m n F n m F αα=?，并利用此式求)2,28(90.0F 的值.证明：设{}αα?=>?1),(),(1n m F n m F P ------------------① 及{}αα=>),(),(m n F m n F P ，则应用F -分布性质(1)有： 第六章 数理统计的基本概念 §6.1基本概念 §6.2样本数字特征 一、填空题 1. 若12,,n X X X ,为来自总体X 的容量为n 的样本，则样本均值X = ，样本方差2S = ； 解：抽样分布定义：X = ∑=n i i X n 11 ，样本方差2S = 21 1()1n i i X X n =--∑ ； 2．设总体(4,40)X N , 1210,,X X X ,是X 的简单随机样本，则X 的概率密度()f x = ； 解：因为2 (, )(4,4)X N N n σ μ= ，所以2 2 (4)(4)8 24 ()x x f x --- - ?= = . 3．某种灯泡的寿命X 服从参数为(0)λλ>的指数分布，12,,n X X X ，是取自总体X 的简单随机样本，则12(,,)n X X X ，的联合密度函数为 ； 解： 因为X 服从参数为(0)λλ>的指数分布，其密度函数为，,0()0, 0i x i i i e x f x x λλ-?>?=?≤??， 所以12(,,)n X X X ，的联合密度函数为 1121,0,(,,)()0,n i i x n n i n i i e x f x x x f x λλ=-=?∑?>==??? ∏ ，其它. 4．设总体2 (,2)X N μ ，12,,n X X X ，为取自总体的一个样本，X 为样本均值，要使2()0.1E X μ-≤成立，则样本容量n 至少应取多大 ； 解：由题设：()4 (),()D X E X D X n n μ== =，利用公式：22()()()E X D X E X =+， 2 2 4 ()()()()00.1,40E X D X E X D X n n μμμ-=-+-=+= ≤?≥. 5．设n X X X ,,21 ， 是来自总体2 (,)N μσ的随机样本，,a b 为常数，且0a b <<，则随机区间2222 11()(),n n i i i i X X b a μμ==??-- ??? ∑∑的长度的数学期望为 。 解：长度为2222222 2222 222211 11()()()(2)n n n n i i i i i i i i i X X b a b a L X X X a b a b a b μμμμμ====----=-=-=-+∑∑∑∑， 所以 2222222222 2222222211()(2)(2)()n n i i i i b a b a n E L E X X b a a b a b a b σμμσμμμμ==--=-+=+-+=-∑∑. 49 第六章 数理统计的基本概念 一.填空题 1.若n ξξξ,,,21 是取自正态总体),(2σμN 的样本， 则∑==n i i n 11ξξ服从分布 )n ,(N 2 σμ . 2.样本),,,(n X X X 21来自总体),(~2 σμN X 则~)(22 1n S n σ- )(1χ2-n ； ~)(n S n X μ- _)(1-n t __。其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 122 11)(。 3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本， =a X 4. 1(,y 122229 ~x x U y y y ++++ + 5. 设~(0,9),X Y N 为X 6. 随机变量 令T =, 则2~T F (1,n ) 分布. 解：由T =, 得22 X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ 再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得22 ~(1,).X T F n n = 50 7. 设12,, ,n X X X 是总体(0,1)N 的样本, 则统计量2 2 21 11n k k X n X =-∑服从的分布为 (1,1)F n - (需写出分布的自由度). 解：由~(0,1),1,2,,i X N i n =知22 221 2 ~(1),~(1)n k k X X n χχ=-∑, 于是 221 22 211(1) 1~(1,1)./1 1n k n k k k X n X F n X n X ==-=--∑∑ 8. 总体2 1234~(1,2),,,,X N X X X X 为总体X 的一个样本, 设 从 9. 对”) (1) 在 ， 则 样 本 对 ) (2) 若 0≠-θθ )?(E 则 称 θ为 θ 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 ) (3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在，21x x , 是X 的一个样本 ， 则统计量213 2 31x x +是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 ) (4) 若 θθθ ==)?()?(2 1 E E 且 )?()?(2 1 θθD D <则 以 θ2估 计 θ 较 以 θ1估 计 θ 有 效 。 ( 错 ) 概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案 1．已知总体X ～),(2σμN ，其中2σ已知，而μ未知，设1X ，2X ，3X 是取自总体X 的样本．试问下面哪些是统计量？(1)321X X X ++； (2)μ31-X ； (3)22 2σ+X ； (4)21σμ++X ；(5)},,max{321X X X ；(6)σ221++X X ；(7)∑=3 1 2 2 i i X σ ； (8) 2 μ -X ．解：(1)(3)(4)(5)(6)(7)是，(2)(8)不是．2．求下列各组样本值的平均值和样本差． (1)18，20，19，22，20，21，19，19，20，21；(2)54，67，68，78，70，66，67，70． 解：(1)9.19)21201919212022192018(10 1 101101=+++++++++==∑=i i x x ； 43.1)(9110 1 22 =-=∑=i i x x s ． (2)5.67)7067667078686754(10 1 8181=+++++++==∑=i i x x ； 018.292)(718 1 22 =-=∑=i i x x s ． 3．(1)设总体X ～)1,0(N ，则2X ～ ) 1(2χ． (2)设随机变量F ～),(21n n F ，则 F 1～) ,(12n n F ． (3)设总体X ～),(2 σμN ，则X ～),(2n N σμ，22 )1(S n σ -～)1(2 -n χ，n S X /μ -～)1(-n t ． (4)设总体X ～)10(2χ，Y ～)15(2χ，且X 与Y 相互独立，则=+)(Y X E 25， =+)(Y X D 50． 4．设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布，则(C ) 第六章 样本及抽样分布 1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。 解： 8293 .0)7 8( )7 12( } 6 3.68.16 3.6526 3.62.1{}8.538.50{),36 3.6, 52(~2 =-Φ-Φ=< -< - =< 第六章 数理统计的基本概念 前面五章我们讲述了概率论的基本内容，随后的五章将讲述数理统计.数理统计是以概率论为理论基础的一个数学分支.它是从实际观测的数据出发研究随机现象的规律性.在科学研究中，数理统计占据一个十分重要的位置，是多种试验数据处理的理论基础. 数理统计的内容很丰富，本书只介绍参数估计、假设检验、方差分析及回归分析的部分内容. 本章中首先讨论总体、随机样本及统计量等基本概念，然后着重介绍几个常用的统计量及抽样分布. 第一节 随机样本 假如我们要研究某厂所生产的一批电视机显像管的平均寿命.由于测试显像管寿命具有破坏性，所以我们只能从这批产品中抽取一部分进行寿命测试，并且根据这部分产品的寿命数据对整批产品的平均寿命作一统计推断. 在数理统计中，我们将研究对象的某项数量指标值的全体称为总体（Population ），总体中的每个元素称为个体(Individual).例如上述的一批显像管寿命值的全体就组成一个总体，其中每一只显像管的寿命就是一个个体.要将一个总体的性质了解得十分清楚，初看起来，最理想的办法是对每个个体逐个进行观察，但实际上这样做往往是不现实的.例如，要研究显像管的寿命，由于寿命试验是破坏性的，一旦我们获得实验的所有结果，这批显像管也全烧毁了，我们只能从整批显像管中抽取一部份显像管做寿命试验，并记录其结果，然后根据这部份数据来推断整批显像管的寿命情况.由于显像管的寿命在随机抽样中是随机变量，为了便于数学上处理，我们将总体定义为随机变量.随机变量的分布称为总体分布. 一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据所得的数据来推断总体的性质.被抽出的部分个体，叫做总体的一个样本. 所谓从总体抽取一个个体，就是对总体X 进行一次观察（即进行一次试验），并记录其结果.我们在相同的条件下对总体X 进行n 次重复的、独立的观察，将n 次观察结果按试验的次序记为X 1，X 2，…，X n .由于X 1，X 2，…，X n 是对随机变量X 观察的结果，且各次观察是在相同的条件下独立进行的，于是我们引出以下的样本定义. 定义6.1 设总体X 是具有分布函数F 的随机变量，若X 1，X 2，…，X n 是与X 具有同一分布F （x ），且相互独立的随机变量，则称X 1，X 2，…，X n 为从总体X 得到的容量为n 的简单随机样本（Random sample ），简称为样本. 当n 次观察一经完成，我们就得到一组实数x 1，x 2，…，x n .它们依次是随机变量X 1，X 2，…，X n 的观察值，称为样本值. 对于有限总体，采用放回抽样就能得到简单样本，当总体中个体的总数N 比要得到的样本的容量n 大得多时（一般当 n N ≥10时），在实际中可将不放回抽样近似地当作放回抽样来处理. 若X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，X 的分布函数为F （x ），则X 1，X 2，…，X n 的联合分布函数为 第6章 参数估计 选择题 1．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，X 的分布函数F(x;θ)中含未知参数，则 （A ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同 (B) 用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同 （C ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同 (D) 用最大似然估计法求出的θ的估计量是唯一的 2．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，EX=μ，DX=σ2 ，其中μ，σ2 均为 未知参数，X =1?μ ，12?X =μ，下面结论哪个是错误的。 （A ）X =1?μ 是μ的无偏估计 (B) 12?X =μ是μ的无偏估计 （C ）X =1?μ 比12?X =μ 有效 (D) ∑=-n i i X n 1 2)(1μ是σ2的最大似然估计量 3．设n X X X ,...,,21是来自正态分布总体N(μ,σ2 )的简单随机样本，其中数学期望μ已知，则总体方差σ2 的最大似然估计量是 （A ） ∑=--n i i X X n 12)(11 (B) ∑=-n i i X X n 1 2)(1 （C ） ∑=--n i i X n 12 )(11μ (D) ∑=-n i i X n 1 2)(1μ 4．已知总体X 在区间[0,θ]上均匀分布，其中θ是未知参数，设n X X X ,...,,21是来自X 的简单随机样本，X 是样本均值，},...,max {1)(n n X X X = 是最大观测值，则下列选项错误的是 （A ）)(n X 是θ的最大似然估计量 (B) )(n X 是θ的无偏估计量 （C ）X 2是θ的矩估计量 (D) X 2是θ的无偏估计量 5． 设总体X~N(μ1,σ2 )，总体Y~N(μ2,σ2 )，m X X X ,...,,21和n Y Y Y ,...,,21分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，样本方差分别为2X S 与2Y S ，则σ2 的无偏估计量是 （A ）22Y X S S + (B) 22)1()1(Y X S n S m -+- 第六章 数理统计的基本概念 一.填空题 1.若n ξξξ,,,21Λ是取自正态总体),(2σμN 的样本， 则∑==n i i n 11ξξ服从分布 )n ,(N 2 σμ . 2.样本),,,(n X X X Λ21来自总体),(~2 σμN X 则~)(22 1n S n σ - )(1χ2-n ； ~)(n S n X μ- _)(1-n t __。其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 122 11)(。 3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本， +-=221)2(X X a X 243)43(X X b -，则当=a 20 1=a 时，=b 1001=b 时，统计量X 服从2 X 分布，其自由度为 2 . 4. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而129(,,,) x x x L 和 129(,,,)y y y L 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量 ~U = (9)t . 5. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 129,,,X X X L 与1216 ,,,Y Y Y L 分别 为X 与Y 的一个简单随机样本, 则22 2 129222 1216 X X X Y Y Y ++++++L L 服从的分布为 (9,16).F 6. 设随机变量~(0,1)X N , 随机变量2~()Y n χ, 且随机变量X 与Y 相互独立, 令T =, 则2~T F (1,n ) 分布. 解：由T =, 得22 X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ 再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得22 ~(1,).X T F n Y n =第六章数理统计学的基本概念
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