3-05,一轮回扣,2018高考数学,两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β， cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β，
tan(α±β)＝tan α±tan β
1?tan αtan β
.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α，
cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，
tan 2α＝2tan α
1－tan 2α
.
3．有关公式的逆用、变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)；
(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α
2
；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ???
?α±π
4. 4．半角公式
(1)用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α
2
.
sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α
1＋cos α. (2)用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.
sin α
2＝± 1－cos α2；cos α
2＝± 1＋cos α
2
； tan α2
＝± 1－cos α
1＋cos α
.
(3)用sin α，cos α表示tan α
2.
tan α2＝sin α
1＋cos α＝1－cos αsin α. 5．形如a sin x ＋b cos x 的化简
a sin x＋
b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sin φ＝
b
a2＋b2
，cos φ＝
a
a2＋b2
.
1．两角和与差的正弦、余弦公式对任意角α，β都成立吗？
提示：都成立．
2．两角和与差的正切公式对任意角α，β都成立吗？其适用条件是什么？
提示：在公式T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋
π
2(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋
π
2(k∈Z)，可利用诱导公式化简．3．函数f(x)＝a sin x＋b cos x的最大值和最小值各是什么？
提示：最大值为a
2＋b2，最小值为－a2＋b2.
1．(2013·江西高考)若sin
α
2＝
3
3，则cos α＝()
A．－
2
3B．－
1
3 C.
1
3 D.
2
3
解析：选C因为sin
α
2＝
3
3，所以cos α＝1－2sin
2
α
2＝1－2×?
?
?
?3
3
2＝1
3.
2．(教材习题改编)sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是()
A.
1
2 B.
3
2C．－
1
2D．－
3
2
解析：选C sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°)
＝－cos(34°＋26°)＝－cos 60°＝－
1
2.
3．已知tan????
α－
π
6＝
3
7，tan?
?
?
?
π
6＋β＝
2
5，则tan(α＋β)的值为()
A.
29
41 B.
1
29 C.
1
41D．1
解析：选D tan(α＋β)＝tan????
?
?
?
?
α－
π
6＋?
?
?
?
π
6＋β
＝
tan????
α－
π
6＋tan?
?
?
?
π
6＋β
1－tan????
α－
π
6·tan?
?
?
?
π
6＋β
＝
3
7＋
2
5
1－
3
7×
2
5
＝1.
4．(2013·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈????
π
2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－
1
2，又α∈?
?
?
?
π
2，π，∴sin α＝
3
2，tan α＝－3，∴tan 2α＝
2tan α
1－tan2α
＝
－23
1－(－3)2
＝ 3.
答案： 3
5．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________.
解析：∵tan (20°＋40°)＝
tan 20°＋tan 40°
1－tan 20°tan 40°
，∴3－3tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°，即tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.
答案： 3
[例1] (1)(2013·重庆高考)4cos 50°－tan 40°＝( )
A.2
B.2＋3
2
C. 3 D ．22－1
(2)化简：(1＋sin θ＋cos θ)????sin θ2
－cos θ22＋2cos θ
(0＜θ＜π)．
[自主解答] (1)4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°
cos 40°
＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°
＝2sin (120°－40°)－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°
＝3cos 40°cos 40°
＝ 3.
(2)原式＝????2sin θ2cos θ2
＋2cos 2θ2????sin θ2－cos θ24cos 2
θ2
＝cos θ2????sin 2θ2－cos 2θ2????cos θ2＝－cos θ2·cos θ????cos θ2.
因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ
2
＞0，故原式＝－cos θ.
[答案] (1)C
【方法规律】
1．三角函数式化简的原则
三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征． 2．解决给角求值问题的基本思路
对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： (1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正、负相消的项，消去求值；
(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值．
化简： (1)sin 50°(1＋3tan 10°)；
(2)2cos 4x －2cos 2x ＋
1
2
2tan ????π4－x sin 2????x ＋π4.
解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)
cos 60°cos 10°
＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°
＝1.
(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋
1
22tan ????π4－x ·cos 2????π4－x ＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ????π4－x sin ????π4－x ＝1－sin 22x 2sin ???
?π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝1
2cos 2x .
[例2] (1)(2013·浙江高考)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10
2
，则tan 2α＝( )
A.43
B.34 C ．－34 D ．－43
(2)(2013·广东高考)已知函数f (x )＝2cos ???
?x －π
12，x ∈R . ①求f ???
?－π
6的值； ②若cos θ＝3
5
，θ∈????3π2，2π，求f ????2θ＋π3. [自主解答] (1)法一：(直接法)两边平方，再同时除以cos 2α，得3tan 2α－8tan α－3＝0，
tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan 2α
，得tan 2α＝－3
4. 法二：(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性，记sin α＝310，cos α＝1
10
，这时sin α
＋2cos α＝10
2符合要求，此时tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C.
(2)①f ????－π6＝2cos ????－π6－π12＝2cos ????－π4＝2cos π4＝1. ②f ????2θ＋π3＝ 2 cos ????2θ＋π3－π12＝2cos ?
???2θ＋π
4＝cos 2θ－sin 2θ. 因为cos θ＝35，θ∈????3π2，2π，所以sin θ＝－45
. 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－7
25
.
所以f ????2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－7
25－????－2425＝1725. [答案] (1)C
【互动探究】
保持本例(2)②条件不变，求f ???
?θ－π
6的值． 解：因为θ∈????3π2，2π，cos θ＝35，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－ 1－????352＝－45
. 所以f ????θ－π6＝2cos ????θ－π6－π12＝2cos ????θ－π4＝2×???
?22cos θ＋2
2sin θ ＝cos θ＋sin θ＝35－45＝－1
5.
【方法规律】
三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ????θ＋π4＝1
2
，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：法一：由θ在第二象限，且tan ????θ＋π4＝12，因而sin ????θ＋π4＝－5
5
，因而sin θ＋cos θ＝ 2 sin ????θ＋π4＝－105
. 法二：如果将tan ????θ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，则tan θ＋11－tan θ＝12
，求得tan θ＝－13.又因为θ在第二象限，则sin θ＝110，cos θ＝－310，从而sin θ＋cos θ＝－210
＝－105. 答案：－10
5
2．已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ????α－β2＝－19
，sin ????α2－β＝2
3，求cos(α＋β)的值． 解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β
2
＜π，
∴cos ????α2－β＝ 1－sin 2????α2－β＝53，sin ????α－β2＝ 1－cos 2????α－β2＝459， ∴cos α＋β2＝cos ????????α－β2－????α2－β＝cos ????α－β2cos ????α2－β＋sin ????α－β2sin ????α2－β ＝????－19×53＋459×23＝7527
， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239
729
.
1．三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的主要依据．高考常与三角函数的其他知识相结合命题，题目难度适中，为中档题．
2．高考对三角恒等变换综合问题的考查常有以下几个命题角度： (1)与三角函数的图像和性质相结合命题； (2)与向量相结合命题；
(3)与解三角形相结合命题(见本章第六节)．
[例3] (1)(2013·天津高考)已知函数f (x )＝－2sin ?
???2x ＋π
4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R .
①求f (x )的最小正周期；
②求f (x )在区间???
?0，π
2上的最大值和最小值． (2)(2013·辽宁高考)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈???
?0，π2. ①若|a |＝|b |，求x 的值； ②设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．
[自主解答] (1)①f (x )＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π
4
＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －
2cos 2x ＝22sin ????2x －π4.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π.
②因为f (x )在区间????0，3π8上是增函数，在区间?? 3π8，
??π2上是减函数，又f (0)＝－2，f ???
?3π8＝22，f ????π2＝2，故函数f (x )在???
?0，π2上的最大值为22，最小值为－2. (2)①由|a |2＝(3sin x )2＋sin 2x ＝4sin 2x ，|b |2＝cos 2x ＋sin 2x ＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.
又x ∈????0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6
.②f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ????2x －π6＋12，当x ＝π
3∈???
?0，π2时，sin ????2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为3
2.
三角恒等变换综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)与三角函数的图像与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图像解决．
(2)与向量相结合的综合问题．此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题，然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图像与性质等问题解决．
1．已知平面向量a ＝(sin 2
x ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，－cos 2x )，R 是实数集，f (x )＝a ·b ＋4cos 2x ＋23sin x cos x ，如果存在m ∈R ，任意的x ∈R ，f (x )≥f (m )，那么f (m )＝( )
A ．2＋23
B ．3
C ．0
D ．2－2 3
解析：选C 依题意得f (x )＝sin 4x －cos 4x ＋4cos 2x ＋3sin 2x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＋3sin 2x
＝cos 2x ＋3sin 2x ＋2＝2sin ?
???2x ＋π
6＋2，因此函数f (x )的最小值是－2＋2＝0，即有f (m )＝0.
2．已知x 0，x 0＋π
2
是函数f (x )＝cos 2????ωx －π6－sin 2ωx (ω＞0)的两个相邻的零点． (1)求f ????π12的值；
(2)若对?x ∈???
?－7π
12，0，都有|f (x )－m |≤1，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝1＋cos ????2ωx －π32－1－cos 2ωx 2＝12????cos ????2ωx －π
3＋cos 2ωx ＝12????????12cos 2ωx ＋32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝12???
?32sin 2ωx ＋3
2cos 2ωx ＝32????12sin 2ωx ＋3
2cos 2ωx ＝32sin ?
???2ωx ＋π3. 由题意可知，f (x )的最小正周期T ＝π，∴2π|2ω|＝π，又∵ω＞0，∴ω＝1，∴f (x )＝
3
2
sin ?
???2x ＋π3. ∴f ????π12＝32sin ????2×π12＋π3＝32sin π2＝3
2
. (2)|f (x )－m |≤1，即f (x )－1≤m ≤f (x )＋1，∵对?x ∈???
?－7π
12，0，都有|f (x )－m |≤1， ∴m ≥f (x )max －1且m ≤f (x )min ＋1，∵－7π12≤x ≤0，∴－5π6≤2x ＋π3≤π
3
，
∴－1≤sin ????2x ＋π3≤32，∴－32≤32sin ????2x ＋π3≤34，即f (x )max ＝34，f (x )min ＝－32
，
∴－14≤m ≤1－32.故实数m 的取值范围为????－14
，1－32.
————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
1组关系——两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角 公式的关系
2个技巧——拼角、凑角的技巧 (1)用已知角表示未知角
2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；
α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝????α＋β2－????α2＋β等． (2)互余与互补关系
????π4＋α＋????π4－α＝π2；????π3＋α＋????π6－α＝π2；????3π4－α＋????π4＋α＝π；????π6＋α＋????5π6－α＝π； …
3个变换——应用公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．
易误警示(五)
三角函数求角中的易误点
[典例] (2013·北京高考)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋1
2
cos 4x .
(1)求f (x )的最小正周期及最大值；
(2)若α∈????π2，π，且f (α)＝2
2
，求α的值． [解题指导] 先利用倍角公式化简f (x )的解析式，然后求解．
[解] (1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋1
2cos 4x
＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ????4x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22
. (2)因为f (α)＝22，所以sin ????4α＋π4＝1.因为α∈????π2，π，所以4α＋π4∈????9π4
，17π4， 即4α＋π4＝5π2.故α＝9π
16
.
[名师点评] 1.解决本题易忽视α∈????π2，π，由sin ????4α＋π4＝1，得出4α＋π4＝π
2
，从而得到α＝π
16
的错误结论．
2．在解决三角函数求角中的问题时，要牢记：当求出某角的三角函数值，如果要求这角的取值时，一定要考虑角的范围，只有同时满足三角函数值及角的范围的角才是正确的．
已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7
，求2α－β的值．
解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β
＝12－171＋12×17
＝13>0，∴0<α<π
2.
又tan 2α＝2tan α1－tan 2α
＝2×131－???
?132＝34>0，∴0<2α<π
2. ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β
＝34＋171－34×17
＝1.∵tan β＝－17<0，∴π
2<β<π，－π<2α－β<0.
∴2α－β＝－3π
4
.
[全盘巩固]
1．(2013·浙江高考)函数f (x )＝sin x cos x ＋3
2
cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )
A ．π，1
B ．π，2
C ．2π，1
D ．2π，2
解析：选A 由f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋3
2
cos 2x ＝sin ????2x ＋π3，得最小正周期为π，振幅为1.
2．(2014·嘉兴模拟)2cos 10°－sin 20°
sin 70°
的值是( )
A.12
B.3
2
C. 3
D. 2 解析：选C 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°
sin 70°
＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°
＝ 3.
3．若0＜α＜π2，－π2
＜β＜0，cos ????π4＋α＝13，cos ????π4－β2＝3
3，则cos ????α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69
解析：选C cos ????α＋β2＝cos ???
?????π4＋α－????π4－β2 ＝cos ????π4＋αcos ????π4－β2＋sin ????π4＋αsin ???
?π4－β2， ∵0＜α＜π2，则π4＜π4＋α＜3π4
，∴sin ????π4＋α＝223. 又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2
，∴sin ????π2－β2＝63. 故cos ????α＋β2＝13×33＋223×63＝539
. 4．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝310
10
，则α＋β等于( )
A.3π4
B.π4或3π4
C.π4 D ．2k π＋π
4
(k ∈Z ) 解析：选C 由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝10
10
，
故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝2
2
，
又0＜α＋β＜π，故α＋β＝π
4
.
5．已知α＋β＝π
4
，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．4
解析：选C ∵α＋β＝π
4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β
＝1，
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.
6．已知sin ????α＋π3＋sin α＝－435
，则cos ????α＋2π3等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45
解析：选D 由sin ????α＋π3＋sin α＝－435，得12sin α＋32cos α＋sin α＝－435
， 所以32sin α＋32cos α＝－435，故3sin ????α＋π6＝－435
， 于是sin ????α＋π6＝－4
5，所以cos ????α＋2π3＝cos ????π2＋?
???α＋π6＝－sin ????α＋π6＝45. 7．已知tan ????x ＋π4＝2，则tan x tan 2x
的值为________． 解析：由tan ????x ＋π4＝2，得tan x ＋11－tan x
＝2，∴tan x ＝13， ∴tan x tan 2x ＝tan x
2tan x 1－tan 2
x ＝1－tan 2x 2＝12????1－19＝49
. 答案：49
8．已知sin ????π6－α＝1
3，则cos ????2π3＋2α＝________. 解析：cos ????2π3＋2α＝2cos 2????π3＋α－1，又cos ????π3＋α＝sin ????π6－α＝13， 所以cos ????2π3＋2α＝－79. 答案：－7
9
9．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.
解析：f (x )＝sin x －2cos x ＝ 5 ???
?55sin x －255cos x ＝5sin (x －φ)，其中sin φ＝255，
cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π
2
＋φ时函数f (x )取
到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－25
5
.
答案：－25
5
10．已知α∈????0，π2，β∈????π2，π，cos 2β＝－79，sin(α＋β)＝79
. (1)求cos β的值； (2)求sin α的值．
解：(1)cos 2
β＝1＋cos 2β2＝1＋????－792＝19，又∵β∈????π2，π，∴cos β＝－13
. (2)由(1)知sin β＝1－cos 2β＝ 1－????－132＝223
. 由α∈????0，π2，β∈????π2，π，得(α＋β)∈???
?π2，3π2. cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－ 1－????792＝－42
9. sin α＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝79×????－13－???
?－429×223＝13. 11．将函数y ＝sin x 的图像向右平移π
3
个单位长度，再将所得的图像上各点的横坐标不
变，纵坐标伸长为原来的4倍，这样就得到函数f (x )的图像，若g (x )＝f (x )cos x ＋ 3.
(1)将函数g (x )化成A sin(ωx ＋φ)＋B 其中A 、ω＞0，φ∈???
?－π2，π
2的形式； (2)若函数g (x )在区间???
?－π
12，θ0上的最大值为2，试求θ0的最小值． 解：(1)由题意可得f (x )＝4sin ???x －π3， ∴g (x )＝4sin ????x －π3cos x ＋3＝4???
?12sin x －3
2cos x cos x ＋ 3 ＝2()sin x cos x －3cos 2
x ＋3＝2sin ?
???2x －π3. (2)∵x ∈????－π12，θ0，∴2x －π
3∈????－π2
，2θ0－π3. 要使函数g (x )在????－π12，θ0上的最大值为2，当且仅当2θ0－π3≥π2，解得θ0≥5π12， 故θ0的最小值为5π
12
.
12．已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)，函数f (x )＝a·b ???
?ω＞0，π
3＜φ＜π的最小正周期为2π，其图像经过点M ???
?π6，3
2.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)已知α，β∈????0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝12
13
，求f (2α－β)的值． 解：(1)依题意有f (x )＝a·b ＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)．
∵函数f (x )的最小正周期为2π，∴2π＝T ＝2π
ω
，解得ω＝1.
将点M ???
?π6，3
2代入函数f (x )的解析式，得sin ????π6＋φ＝32. ∵π3＜φ＜π，∴π6＋φ＝2π3，∴φ＝π
2
.故f (x )＝sin ????x ＋π2＝cos x . (2)依题意有cos α＝35，cos β＝12
13
，而α，β∈????0，π2，
∴sin α＝
1－????352＝45，sin β＝
1－????12132＝513，
∴sin 2α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝925－1625＝－7
25
，
∴f (2α－β)＝cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝－725×1213＋2425×513＝36
325
.
[冲击名校]
1．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－1
3
，且α、β∈????0，π2，则cos(α－β)的值等于( ) A ．－12 B.12 C ．－13 D.2327
解析：选D ∵α、β∈???
?0，π
2，∴α＋β∈(0，π)， ∴sin α＝1－cos 2α＝ 1－????132＝223
，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝ 1－????－132＝22
3
.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝????－13×13＋223×223＝79， ∴sin β＝1－cos 2β＝ 1－????792＝429，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝13×7
9＋223×429＝23
27
. 2．设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤???
?f ????π6对一切x ∈R 恒成立，则
①f ????11π12＝0；②????f ????7π10＜????f ????π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是?
???k π＋π6，k π＋2π
3(k ∈Z )；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
解析：f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)????其中tan φ＝b
a ，因为对一切x ∈R ，f (x )≤????f ???π6恒成立，所以sin ????π3＋φ＝±1，可得φ＝k π＋π6
(k ∈Z )，故f (x )＝±a 2＋b 2sin ????2x ＋π6.而f ????11π12＝±a 2＋b 2·sin ????2×11π12＋π6＝0，所以①正确；????f ????7π10＝?
???a 2＋b 2sin 47π30＝????a 2＋b 2sin 17π30，????f ????π5＝????a 2＋b 2sin 17π30，所以????f ????7π10＝???
?f ????π5，故②错误；③明显正
确；④错误；由函数f (x )＝a 2＋b 2sin ????2x ＋π6和f (x )＝－a 2＋b 2sin ?
???2x ＋π
6的图像可知(图略)，不存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交，故⑤错误．
答案：①③
[高频滚动]
1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图像如图所示，为了得到g (x )＝－A cos ωx 的图像，可以将f (x )的图像( )
A ．向右平移π12个单位长度
B ．向右平移5π
12个单位长度
C ．向左平移π12个单位长度
D ．向左平移5π
12
个单位长度
解析：选B 由图像可知A ＝1；∵14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2π
π
＝2；由f ????7π12＝
sin ????7π6＋φ＝－1，|φ|＜π知φ＝π3
，∴函数f (x )＝sin ????2x ＋π3＝sin 2????x ＋π6的图像要平移得到函数g (x )＝－cos 2x ＝sin(2x －π2)＝sin 2????x －π4的图像，需要将f (x )的图像向右平移π6－????－π4＝5π12
个单位长度．
2．已知函数f (x )＝3sin ?
???ωx －π
6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x ∈????0，π
2，则f (x )的取值范围是________． 解析：∵f (x )与g (x )的图像的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等．∵ω＞0，
∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ????2x －π6.∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－1
2≤sin ????2x －π6≤1， ∴－3
2
≤3sin ????2x －π6≤3，即f (x )的取值范围为????－32，3. 答案：???
?－3
2，3
2018浙江高考数学知识点
2018高考数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是； 1212a a a n n ， 22,12,12---n n n 非空真子集个数是真子集个数是非空子集个数是 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值围。 ()），，·∴ ，∵·∴ ，∵（259351055 55035 332 2 ?? ? ???∈?≥--?<--∈a a a M a a M 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().? 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 至少有一个为真、为真，当且仅当若q p q p ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能 构成映射？ （一对一，多对一，A 中元素不可剩余，允许B 中有元素剩余。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题 知识梳理 1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin_a cos B±cos_osin 3 cos(a? 3 = cos _ocos_3sin 一 o (sin 3 tan a±a n 3 tan (a±3 = . 1?tan a an 3 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin_ a os_a 2 ■ 2 2 ■ 2 cos 2a= cos a — sin a= 2cos a — 1 = 1 一 2sin a 3. 有关公式的逆用、变形等 (1)ta n a±an 3= tan( a±3(1 ?tan_ a an_ 3. 4. 函数 f(M = asin a+ bcos o(a, b 为常数)，可以化为 f( a = a 2 + b 2 sin(a+ ?，其中 tan 一、选择题 1.给出如下四个命题 ②存在实数a,3 ,使等式 cos( ) cos cos sin sin 能成立； ③公式tan( ) tan an 成立的条件是 k —(k Z)且 k —(k Z)； 1 tan tan 2 2 ④不存在无穷多个 a 和3,使 sin( )sin cos co s ，sin ； 其中假命题是 ( ) A.①② B.②③ C. ③④ D. ②③④ 2 .函数 y 2sin x(sin x cosx)的最大值是 ( ) A. 1 . 2 B. .. 2 1 C. 、2 D. 2 ①对于任意的实数a 和3,等式cos( )cos cos sin sin 恒成立； tan 2 2ta n a 1 tan 2 a 2 (2)cos a= 1 + cos 2a 2 sin 2 a= 1 — COS 2a 2 - 2 (3)1 + sin 2 a= (sin a+ cos c), 1 — sin 2 a= (sin a — cos a )2 , sin a±cos a= 2sin a±4t .
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题
两角和差的正弦余弦正切公式练习题 知 识 梳 理 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(αβ)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β 1tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝ 1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2 . (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝ 2sin ? ?? ?? α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a 一、选择题 1．给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβ αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2 Z k k ∈+≠ππα且)(2 Z k k ∈+≠ππβ； ④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是 （ ） A ．21+ B ．12- C ．2 D ． 2
(整理)《两角和与差的余弦公式》教学设计.
《两角和与差的余弦公式》教学设计 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标： ①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 三、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法： 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的
和谐统一。 由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 五、教学过程
2018浙江高考数学知识点
1 2018高考数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是； 1212a a a n n ， 22,12,12---n n n 非空真子集个数是真子集个数是非空子集个数是 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 ()） ，，·∴ ，∵·∴ ，∵（259351055 55035 332 2 ?? ? ???∈?≥--?<--∈a a a M a a M 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().? 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 至少有一个为真、为真，当且仅当若q p q p ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能 构成映射？ （一对一，多对一，A 中元素不可剩余，允许B 中有元素剩余。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式 ①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β(T (α－β)) ⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β(T (α＋β)) (2)公式变形 ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式 ①sin 2α＝2sin_αcos_α， ②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝ 2tan α 1－tan 2α . (2)公式变形 ①cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2 α＝1－cos 2α2 ； ②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(π α±. 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β 可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意
二倍角的正弦、余弦和正切公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础) 【学习目标】 1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系. 2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用． 3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用. 【要点梳理】 要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin 22sin cos ()S αααα=? 22222cos 2cos sin () 2cos 112sin C αααααα =-=-=- 22 2tan tan 2()1tan T αα αα = - 要点诠释： (1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当 2 k π απ≠ +及()4 2 k k Z π π α≠ + ∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、 2α是4 α 的二倍、3α是 32 α 的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2 cos 2 sin 2sin α α α=； 1 1 sin 2sin cos ()2 2 2 n n n n Z α α α ++=∈ 2．和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
2018高考数学常用公式精华总结
高中数学常用公式精华总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
二倍角正弦、余弦、正切公式教案
二倍角的正弦、余弦、正切 王业奇
α 1tan tan 二、提出问题：若β = α 让学生板演得下述二倍角公式：
一、例题： 例一、（公式巩固性练习）求值： 1．sin22 30’cos22 30’=4 2 45sin 21= 2．=-π 18 cos 22 224cos = π 3．=π -π8 cos 8sin 22 224cos - =π- 4．=ππππ12 cos 24cos 48 cos 48 sin 8 2 16sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例二、 1．5555(sin cos )(sin cos )12121212ππππ +- 2 25553 sin cos cos 121262 πππ=-=-=
2．=α-α2sin 2cos 44 α=α -αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3． =α+-α-tan 11tan 11α=α -α 2tan tan 1tan 22 4．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例三、若tan = 3，求sin2 cos2 的值。 解：sin2 cos2 = 57 tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 22 22222=θ +-θ+θ=θ+θθ-θ+θ 例四、 条件甲：a =θ+sin 1，条件乙：a =θ +θ2 cos 2sin ， 那么甲是乙的什么条件？ 解：= θ+sin 1a =θ +θ2)2 cos 2(sin 即a =θ +θ|2 cos 2sin | 当 在第三象限时，甲 乙；当a > 0时，乙 甲 ∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 例五、（P43 例一） 已知),2 (,135sin ππ ∈α= α，求sin2，cos2，tan2的值。 解：∵),2 (,135sin ππ ∈α=α ∴1312 sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2 = 2sin cos = 169 120 -
两角和与差的正弦、余弦公式及其应用
一、知识回顾 1、填表:(表一） 角α ?0 ?30 ?45 ?60 ?90 ?120 ?135 ?150 ?180 角α的弧度制 αsin αcos 2、两角和与差的正余弦公式 （ 1 ） 差 角 的 正 余 弦 : ｓ ｉ ｎ ( = ;)cos(βα-= ; (２）和角的正余弦 ：s ｉn(（ = ；ｃｏs ( = ; 3、牛刀小试(不查表求下列式子的值) (1）sin15; (２)cos 75； (3)sin 75 问题１:你能由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式吗? [] cos()cos ()cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ +=--=-+-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=- C αβ+ 问题2 ：你能由两角和与差的余弦公式推出两角和与差的正弦公式吗？ sin()cos ()cos ()22cos( )cos sin()sin 22sin cos cos sin ππαβαβαβππ αβαβ αβαβ ???? +=-+=-+???? ???? =-+-=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴+=+ S αβ+
[]sin()sin ()sin cos()cos sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴-=- S αβ- 二、知识应用 1． 已知3cos 5α=-，(,)2παπ∈,求cos()4 π α-的值。 2. 已知sin α=＼f(2,3)，α∈(错误!,π)，cos β=－错误!，β∈(π，错误!)．求si ｎ(α－β），cos(α＋β），t ａn(α＋β）. ３． 已知 4π<α<4π3，0＜β<4π，cos(4π+α)＝-53,s ｉn （4π3+β）=13 5， 求si ｎ(α+β）的值． ４． 已知2π<α<β＜4π3，cos(α－β)=1312，si ｎ（α+β）＝-5 3,求sin2α的值.
正弦 余弦 正切二倍角公式及变形升降幂公式(完全版)
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ++=-． （二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα =+=+=； ()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+= =--． 升降幂公式 2 )cos (sin 2sin 1ααα±=±
αα2cos 22cos 1=+αα2sin 22cos 1=-2 2cos 1cos 2α α+=22cos 1sin 2α α-=}}升幂降角公式 降幂升角公式
2018年高考理科数学三角函数100题(含答案解析)
2018年高考理科数学三角函数100题（含答案解析） 1. 己知x 0=﹣ 是函数f （x ）=sin （2x+φ）的一个极小值点，则f （x ）的一个单调递减区 间是（ ） A ．（， ） B ．（ ， ） C ．（ ，π） D ．（ ，π） 2. 已知△ABC 是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC 的面积为，则AB=（ ） A ． B ． C ． D ．3 3. 已知1(,2)2 P 是函数()sin()(0)f x A x ω?ω=+>图象的一个最高点,,B C 是与P 相邻的两个最低点．若7 cos 25 BPC ∠= ，则()f x 的图象对称中心可以是 （A ）()0,0 （B ）()1,0 （C ） ()2,0 （D ）()3,0 4. 已知函数()sin()f x A x ω?=+（A ，ω，?均为正的常数）的最小正周期为π，当2π 3 x =时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）． A ．(2)(2)(0)f f f <-< B ．(0)(2)(2)f f f <<- C ．(2)(0)(2)f f f -<< D ．(2)(0)(2)f f f <<- 5. 设函数π2sin 23y x ? ?=+ ?? ?的图象为C ，下面结论中正确的是（ ）． A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象 C 关于点π,06?? ??? 对称 C ．图象C 向右平移 π 2 个单位后关于原点对称 D ．函数()f x 的区间ππ,122?? - ??? 上是增函数 6.
已知函数π()sin (0)4f x x ωω? ?=> ?? ?+的最小正周期为π，刚该函数的图象（ ）． A ．关于点π,04?? ???对称 B ．关于直线π 8 x = 对称 C ．关于点π,08?? ??? 对称 D ．关于直线π 4 x = 对称 7. 为了得到函数sin cos y x x =+的图像，只需把sin cos y x x =-的图像上所有的点（ ）． A ．向左平移π 4 个单位长度 B ．向右平移π 4 个单位长度 C ．向左平移 π 2 个单位长度 D ．向右平移 π 2 个单位长度 8. 已知(0,π)α∈，3 cos 5 α=-，则tan α=（ ）． A ． 34 B ．34 - C ． 43 D ．43 - 9. 已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ω?ω?? ?=+>>< ?? ?图象如图所示，则下列关于函数()f x 的 说法中正确的是（ ）． A ．对称轴方程是π π()6 x k k =+∈Z B ．对称中心坐标是 ππ,0()3k k ?? +∈ ??? Z C ．在区间ππ,22?? - ??? 上单调递增 D ．在区间2ππ,3? ?-- ?? ?上单调递增 10.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式word版本
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案 自主梳理1．(1)两角和与差的余弦 cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________. (3)两角和与差的正切(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π 2，k∈Z) tan(α＋β)＝_____________________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________________. 其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中 ?? ? ??cos φ＝， sin φ＝， tan φ＝ b a， 角φ称为辅助角（考试只要求特殊角）． 【基础自测】 1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 () A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 2．已知cos???? α－ π 6＋sin α＝ 43 5，则sin? ? ? ? α＋ 7π 6的值是 () A．－ 23 5 B. 23 5C．－ 4 5 D. 4 5 3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是 () A. π 2B．πC．2πD．4π4．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 () A.???? π 3， π 2 B.? ? ? ? π 3，π C.???? π 3， 4π 3 D.? ? ? ? π 3， 3π 2 5．已知向量a r ＝(sin x，cos x)，向量b r ＝(1，3)，则|a r ＋b r |的最大值为() A．1 B. 3 C．3 D．9 【考点巩固】 探究点1给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
半角的正弦余弦正切公式
半角的正弦、余弦和正切 学习目标： 1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程； 2. 掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式. 学习重点： 掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点，灵活用公式． 学习难点：半角与倍角公式之间的内在联系及运用公式时正负号的选取． 知识链接： 1. 复习二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α= ； cos 2α= = = ； tan 2α= . 一、预习案： 问题1：若7cos 25α=，且α为锐角，则sin 2 α= ， cos 2α = ，tan 2α = . 1?在α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α即得2sin 2 α= 2?在1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α即得2cos 2 α= 3?以上结果相除得2tan 2α= 半角公式：sin 2 α= （1） cos 2α= （2） tan 2α = = = （3） 问题2：半角公式的特点及使用公式时应该注意什么问题？
问题3：你能根据上面的公式解答下列问题吗？ 1、求值：（1）sin15 （2）cos15 （3）tan 8π 二、学习案： 例1：已知sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2 的值． 跟踪训练：已知sin φcos φ＝60169，且π4＜φ＜π2 ，求sin φ，cos φ的值． 例2：化简： 1. (1＋sin α＋cos α)? ????sin α2－cos α22＋2cos α (180°＜α＜360°) 2.cot tan 1tan tan .222αααα????-+? ??????? 跟踪训练： 化简： 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin αααααααα +---+--+-
(二倍角的正弦·余弦·正切公式)教学设计方案
“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计 设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展可以分为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的认知结构、发展新的认知结构。发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一阶段的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。 教学内容：《普通高中课程标准实验教科书（数学）》必修4（人教A版），第三章、第一节、第145－148页。 “二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。 教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为： 1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。 2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。 3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。 学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。
两角和与差的正弦、余弦函数(答案)
课时跟踪检测（二十四） 两角差的余弦函数两角和与差的正弦、 余弦函数 一、基本能力达标 1．已知α∈? ????0，π2，cos α＝3 3，则cos ? ????α＋π6＝( ) A.12－66 B ．1－66 C ．－12＋66 D ．－1＋6 6 解析：选A ∵α∈? ????0，π2，cos α＝33，∴sin α＝63， ∴cos ? ????α＋π6＝cos αcos π6－sin αsin π 6 ＝33×32－63×12＝12－66 . 2．满足cos αcos β＝3 2 －sin αsin β的一组α，β的值是 ( ) A ．α＝13π12，β＝3π4 B ．α＝π2，β＝π 3 C ．α＝π2，β＝π6 D ．α＝π3，β＝π 4 解析：选B ∵cos αcos β＝3 2 －sin αsin β， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝32，即cos(α－β)＝3 2， 经验证可知选项B 正确． 3．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．三者都有可能 解析：选C ∵sin A sin B ＜cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B ＞0，∴cos(A ＋B )＞0，
∴A ＋B ＜90°，∴C ＞90°，∴△ABC 是钝角三角形． 4．已知3cos x －sin x ＝－6 5，则sin ? ?? ??π3－x ＝ ( ) A.45 B ．－45 C.35 D ．－3 5 解析：选D 3cos x －sin x ＝2? ?? ??sin π3cos x －cos π 3sin x ＝2sin ? ????π3－x ＝－65，故sin ? ?? ??π3－x ＝－3 5. 5．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，sin(α＋β)＝3 5，则sin β 等于( ) A ．0 B ．0或2425 C.2425 D ．±24 25 解析：选C 由0<α<π2<β<π得，π2<α＋β<3π 2 ， 又sin α＝35，sin(α＋β)＝35，∴cos α＝45，cos(α＋β)＝－4 5， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×45－? ????－45×35＝24 25. 6．sin 15°＋cos 165°的值是________． 解析：原式＝sin(45°－30°)＋cos(120°＋45°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 120°cos 45°－sin 120°sin 45° ＝22×32－22×12－12×22－32×22＝－22.答案：－22 7．设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66°
二倍角的正弦余弦和正切公式教案
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）教案 珠海市田家炳中学：温世明 一、知识与技能 1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。 2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； 3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力. 4.结合三角函数值域求函数值域问题。 二、过程与方法 1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质. 四、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 五、学法与教学用具 学法：研讨式教学，多媒体教学； 六、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和（差）的正弦、余弦和正切公式， ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±；()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±； ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±． (二) 复习练习： （三）公式推导： 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢 ？
两角和与差的正弦余弦公式
《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计 商州区中学秦明伟 一、学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。 二、教学内容分析 本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。 由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。 从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。 基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。
三、教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 四、教学重点、难点 重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。 难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。 五、教学过程 导入新课
(完整)2018年上海高考考纲数学学科
2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷） 数学科目考试说明 一、考试性质、目的和对象 普通高等学校招生数学科目全国统一考试（上海卷）是为普通高等学校招生提供依据的选拔性考试。选拔性考试是高利害考试，考试结果应该具有高信度，考试结果的解释和使用应该具有高效度。考试命题的指导思想是坚持立德树人，有利于促进每一个学生的终身发展，有利于科学选拔和培养人才，有利于维护社会公平、公正。 考试对象是符合2018年上海市高考报名条件的考生。 二、考试目标 依据《上海市中小学数学课程标准（试行稿)》及其调整意见和高校人才选拔要求，结合中学教学实际，本考试旨在考查考生的数学素养，包括数学基础知识与基本技能、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力、数学应用与探宄能力。具体为： I.数学基础知识与基本技能 1.1理解或掌握初等数学中有关数与运算、方程与代数、函数与分析、数据 整理与概率统计、图形与几何的基础知识。 1,2理解集合、对应、函数、算法、数学建模、极限、概率、统计、化归、数形结合、分类讨论、分解与组合等基本数学思想；掌握比较、分析、类比、归纳、 坐标法、参数法、逻辑划分、等价转换等基本数学方法。 I. 3 能按照一定的规则和步骤进行计算、作图和推理；掌握数学阅读、表达 以及 文字语言、图形语言、符号语言之间进行转换的基本技能；会使用函数型计算 器进行有关计算。 II.逻辑推理能力 II.1能正确判断因果关系。 II.2会进行演绎、归纳和类比推理，并能正确而简明地表述推理过程。 III.运算能力 III.1能根据要求处理、解释数据。 ni.2能根据条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径。 IV.空丨司想象能^3 IV. 1 正确地分析图形中的基本元素及其相互关系。 IV.2能对图形进行分解、组合和变形。 V.数学应用与探究能力 V.1能运用基础知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有 关数 学问题。 V.2能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际中的问题，并能解释其
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题 一、选择题 1．给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβ αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2 Z k k ∈+≠ππα且)(2 Z k k ∈+≠ππβ； ④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是 （ ） A ．21+ B ．12- C ．2 D ． 2 3．当]2 ,2[π π- ∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ ） A ．最大值为1，最小值为－1 B ．最大值为1，最小值为2 1- C ．最大值为2，最小值为－2 D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,3 2 tan tan ,7)tan(βαβαβα-= ?=+则的值 （ ） A ．2 1 B ． 2 2 C ．2 2- D ．2 2± 5．已知 =-=+=-<<<αβαβαπαβπ 2sin ,53 )sin(,1312)cos(,432则 （ ） A ．6556 B ．－6556 C ．5665 D ．－56 65 6． 75sin 30sin 15sin ??的值等于 （ ） A ． 4 3 B ． 8 3 C ．8 1 D ． 4 1 7．函数)4 cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+= +=π π其中为相同函数的是 （ ） A ．)()(x g x f 与 B ．)()(x h x g 与 C ．)()(x f x h 与 D ．)()()(x h x g x f 及与 8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++=== 则,8 1 tan ,51tan ,21tan 等于 （ ）
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