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高中数学——圆锥曲线试题精选(含答案)

高中数学——圆锥曲线试题精选(含答案)
高中数学——圆锥曲线试题精选(含答案)

高考圆锥曲线试题精选

一、选择题:(每小题5分,计50分)

1、(2008海南、宁夏文)双曲线

22

1102

x y -=的焦距为( )

2.(2004全国卷Ⅰ文、理)椭圆14

22

=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交,一个交点为P ,则||2PF = ( )

A .

2

3

B .3

C .27

D .4

3.(2006辽宁文)方程2

2520x x -+=的两个根可分别作为( )

A.一椭圆和一双曲线的离心率

B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率

D.两椭圆的离心率

4.(2006四川文、理)直线y=x-3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点,过A 、B 两点向 抛物线的准线作垂线,垂足分别为P 、Q ,则梯形APQB 的面积为( ) (A )48. (B )56 (C )64 (D )72.

5.(2007福建理)以双曲线

116

92

2=-y x 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是(

)

A .

B.

C .

D.

6.(2004全国卷Ⅳ理)已知椭圆的中心在原点,离心率2

1

=

e ,且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合,则此椭圆方程为( )

A .

13422=+y x B .16822=+y x C .122

2=+y x D .1422=+y x 7.(2005湖北文、理)双曲线)0(12

2≠=-mn n

y m x 离心率为2,有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合,则mn 的值为( )

A .163

B .83

C .316

D .3

8

8. (2008重庆文)若双曲线22

21613x y p

-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为

(

)

(A)2

(B)3

(C)4

9.(2002北京文)已知椭圆

1532222=+n y m x 和双曲线1322

2

22=-n y m x 有公共的焦点,那么 双曲线的渐近线方程是( )

A .y x 215±

= B .x y 2

15±

= C .y x 43±

= D .x y 43

±=

10.(2003春招北京文、理)在同一坐标系中,方程)

0(01222

22>>=+=+b a by ax b

y a x 与的曲线大致是

( )

二、填空题:(每小题5分,计20分)

11. (2005上海文)若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是()

0,152,则椭圆的标准方程是_________________________

12.(2008江西文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为y x =,

若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为 .

13.(2007上海文)以双曲线15

42

2=-y x 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的 抛物线方程是 .

14.(2008天津理)已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称.直线

0234=--y x 与圆C 相交于B A ,两点,且6=AB ,则圆C 的方程

为 .

三、解答题:(15—18题各13分,19、20题各14分)

15.(2006北京文)椭圆C:22

221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上,

且11212414

,||,||.33

PF F F PF PF ⊥==

(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M , 交椭圆C 于,A B 两点, 且A 、B 关于点M 对称,求

直线l 的方程..

16.(2005重庆文)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为)0,3( (1)求双曲线C 的方程; (2)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ,且2>?(其中O 为原点). 求k 的取值范围.

17.(2007安徽文)设F 是抛物线G :x 2

=4y 的焦点.

(Ⅰ)过点P (0,-4)作抛物线G 的切线,求切线方程:

(Ⅱ)设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点,且满足0·

=,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点

C ,

D ,求四边形ABCD 面积的最小值.

18.(2008辽宁文) 在平面直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,(0的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C . (Ⅰ)写出C 的方程;

(Ⅱ)设直线1y kx =+与C 交于A ,B 两点.k 为何值时OA ⊥OB ?此时AB 的值是多少?

19. (2002广东、河南、江苏)A 、B 是双曲线x 2

-y

2

2

=1上的两点,点N(1,2)是线段AB 的

中点

(1)求直线AB的方程;

(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?

20.(2007福建理)如图,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且=。(1)求动点P的轨迹C的

方程;

(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,

已知,,求的值。

“圆锥曲线与方程”单元测试(参考答案)

一、选择题:(每小题5分,计50分)

11.1208022=+y x ; 12.223144

x y -= . 13.x y 122

=. 14. 22(1)10x y +-=.

三、解答题:(15—18题各13分,19、20题各14分)

15..解:(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上,所以6221=+=PF PF a ,a=3. 在Rt △PF 1F 2中,,522

1

2221=-=

PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,

从而b 2

=a 2

-c 2

=4, 所以椭圆C 的方程为4

92

2y x +=1. (Ⅱ)解法一:设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2).

已知圆的方程为(x +2)2+(y -1)2

=5,所以圆心M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1,

代入椭圆C 的方程得 (4+9k 2)x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k -27=0.

因为A ,B 关于点M 对称., 所以.29491822

221-=++-=+k

k

k x x 解得98=k , 所以直线l 的方程为,1)2(9

8

++=x y

即8x -9y +25=0. (经检验,所求直线方程符合题意)

(Ⅱ) 解法二:已知圆的方程为(x +2)2+(y -1)2=5,所以圆心M 的坐标为(-2,1). 设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且

,1492121=+y x ① ,14

92

222=+y

x ②

由①-②得.04

)

)((9))((21212121

=+-++-y y y y x x x x ③ 因为A 、B 关于点M 对称,所以x 1+ x 2=-4, y 1+ y 2=2,

代入③得

2

121x x y y --=98,即直线l 的斜率为98,所以直线l 的方程为y -1=98

(x+2), 即8x -9y +25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.)

16.(2005重庆文)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为)0,3( (1)求双曲线C 的方程; (2)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ,且2>?(其中O 为原点). 求k 的取值范围.

16.解:(Ⅰ)设双曲线方程为122

22=-b

y a x ).0,0(>>b a

由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由 故双曲线C 的方程为.13

22

=-y x (Ⅱ)将得代入13

222

=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得?????>-=-+=?≠-.

0)1(36)31(36)26(,

0312

222

k k k k

即.13

1

22<≠

k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ,则2

2319

,3126k

x x k k x x B A B A --=-=

+,,22>+>?B A B A y y x x 得由

而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x

.137

3231262319)1(222

22

-+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01

393,213732

222>-+->-+k k k k .3312

<

12

<

故k 的取值范围为).1,33

()33,1(?--

17.解:(Ⅰ)设切点,2

).

4,(2

00x

y x x Q ='由知抛物线在Q 点处的切线斜率为20x , 故所求切线方程为),(2

400

20x x x x y -=-

即.422

00x x x y -= 因为点P (0,-4)在切线上,所以.4,16,4

402

020±==-=-x x x 所以切线方程为y =±2x -4. (Ⅱ)设).,(),,(2211y x C y x A 由题设知,直线AC 的斜率k 存在,由对称性,不妨设k >0.

因直线AC 过焦点F (0,1),所以直线AC 的方程为y =kx +1.

点A ,C 的坐标满足方程组???=+=,

4,12y x kx y 消去y ,得,0442=--kx x

由根与系数的关系知???-==+.4,

42

121x x k x x

).1(44)(1)()(2212212221221k x x x x k y y x x AC +=-++=-+-= .11

1+-=-⊥x k

y BD k BD BD AC 的方程,从而的斜率为,所以因为

同理可求得.)

1(4))41(1(42

22k

k BD +=-+= .32)12(8)1(8212

2

22≥++=+==k k k k BD AC S ABCD

当k =1时,等号成立.所以,四边形ABCD 面积的最小值为32.

18.解:

(Ⅰ)设P (x ,

y ),由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以(0(0

,为焦点,

长半轴为2的椭圆.它的短半轴1b =

=,故曲线C 的方程为

2

2

14

y x +=.

(Ⅱ)设1122()()A x y B x y ,,,,其坐标满足2

214

1.y x y kx ?+

=???=+?

, 消去y 并整理得22

(4)230k x kx ++-=, 故1212222344

k x x x x k k +=-=-++,.

OA OB ⊥,即12120x x y y +=. 而2121212()1y y k x x k x x =+++,

于是22212122222

33241

14444

k k k x x y y k k k k -++=---+=++++. 所以1

2k =±时,12120x x y y +=,故OA OB ⊥.

当12k =±时,12417x x +=,1212

17

x x =-.

(AB x ==

而2

2

212112()()4x x x x x x -=+-2322

443413

4171717??=+?=,

所以465

AB =.

19.解:(1)依题意,可设直线方程为y =k(x -1)+2

代入x 2

-y 2

2

=1,整理得 (2-k)x 2-2k(2-k)x -(2-k)2

-2=0 ①

记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1、x 2是方程①的两个不同的实数根,所以2-k 2

≠0,且x 1+x 2=

2k(2-k)

2-k

2

由N(1,2)是AB 中点得1

2

(x 1+x 2)=1

∴ k(2-k)=2-k 2

,解得k =1,所易知 AB 的方程为y =x +1.

(2)将k =1代入方程①得x 2

-2x -3=0,解出 x 1=-1,x 2=3,由y =x +1得y 1=0,y 2=4

即A 、B 的坐标分别为(-1,0)和(3,4)

由CD 垂直平分AB ,得直线CD 的方程为y =-(x -1)+2,即 y =3-x ,代入双曲线方程,整理,

得 x 2

+6x -11=0 ②

记C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),以及CD 中点为M(x 0,y 0),则x 3、x 4是方程②的两个的实数根,所以 x 3+x 4=-6, x 3x 4=-11, 从而 x 0=1

2(x 3+x 4)=-3,y 0=3-x 0=6

|CD|=(x 3-x 4)2

+(y 3-y 4)2

=2(x 3-x 4)2

=2[(x 3+x 4)2

-4x 3x 4=410

∴ |MC|=|MD|=1

2|CD|=210, 又|MA|=|MB|=

(x 0-x 1)2

+(y 0-y 1)2

=4+36=210

即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等,所以A 、B 、C 、D 四点共圆.

20.(Ⅰ)解法一:设点()P x y ,,则(1

)Q y -,,由=得:

(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--,,,,,化简得2:4C y x =.

(Ⅰ)解法二:由

得:()0FQ PQ PF +=,

()()0PQ PF PQ PF ∴-+=,2

2

0PQ PF ∴-=, PQ PF ∴=.

所以点P 的轨迹C 是抛物线,由题意,轨迹C 的方程为:2

4y x =. (Ⅱ)设直线AB 的方程为:1(0)x my m =+≠.

设11()

A x y ,,22()

B x y ,,又21M m ?

?--

???

,,

联立方程组241y x x my ?=?=+?

,,消去x 得:

2440y my --=,2(4)120m ?=-+>,故12

1244y y m y y +=??=-?,

. 由1MA AF λ=,2MB BF λ=得:1112y y m λ+=-,2222

y y m

λ+=-,

整理得:1121my λ=--,22

2

1my λ=--,

∴)11(222121y y m +--λ+λ==2

12

1

·22y y y y m +--=-2-44·2-m m =0.

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ,与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 (1)求证:抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =+; (2)求证:112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F (1,0),动点P 在y 轴上运动,过点P 作PM 交x 轴于点M ,并延长MP 到点N ,且.||||,0PN PM PF PM ==? (1)动点N 的轨迹方程; (2)线l 与动点N 的轨迹交于A ,B 两点,若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且,求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图,椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ,P 为双曲线134:222=-y x C 右支上(x 轴上方)一点,连AP 交C 1于C ,连PB 并延长交C 1于D ,且△ACD 与△PCD 的面积 相等,求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -,动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . (Ⅰ)求W 的方程;

(Ⅱ)若,A B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) (Ⅰ)若曲线C 是椭圆,求k 的取值范围; (Ⅱ)若曲线C 是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程; (Ⅲ)满足(Ⅱ)的双曲线上是否存在两点P ,Q 关于直线l :y=x -1对称,若存在,求出过P ,Q 的直线方程;若不存在,说明理由。 6. 如图(21)图,M (-2,0)和N (2,0)是平面上的两点,动点P 满足: 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程; (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠=,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点,直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ,与椭圆交于点,A B . (I )若3 MON π∠= ,双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 (II )若0OM MN ?=(O 为坐标原点),1 3 FA AN =,求椭圆的离心率e 。

(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点(限考)概要: 1、椭圆: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,两定点间距离是焦距,且定长2a大于焦距2c。用集合表示为: ; ②定义二:在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数是离心 率用集合表示为: ; (2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。 (3)参数方程:(θ为参数); 3、双曲线: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线,两定点是焦点,两定点间距离是焦距。用集合表示为: ②定义二:到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数e是离心率。 用集合表示为:

(2)标准方程和性质: 注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

4、抛物线: (1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,定点是焦点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 : (2)标准方程和性质: ①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反;②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像;

二、复习点睛: 1、平面解析几何的知识结构: 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线,一个三角形”,即六点:四个顶点,两个焦点;六线:两条准线,长轴短轴,焦点线和垂线PQ;三角形:焦点三角形。则椭圆的各性质(除切线外)均可在这个图中找到。

高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案

圆锥曲线测试题及详细答案 一、选择题: 1、双曲线 22 1102x y -=的焦距为( ) 2.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交,一个交点为P ,则||2PF = ( ) A . 2 3 B .3 C .27 D .4 3.已知动点M 的坐标满足方程|12512|132 2-+=+y x y x ,则动点M 的轨迹是( ) A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 4.设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点,双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若5||1=PF ,则=||2PF ( ) A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 5、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三 角形,则椭圆的离心率是( ). A. B. C. 2 D. 1 6.双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2,有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合,则mn 的值为( ) A . 163 B .83 C .316 D .3 8 7. 若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 8.如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值,方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是( ) A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对

高三数学解答题难题突破 圆锥曲线中的三点共线问题

高三数学解答题难题突破 圆锥曲线中的三点共线问题 【题型综述】 三点共线问题证题策略一般有以下几种:①斜率法:若过任意两点的直线的斜率都存在,通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线;②距离法:计算出任意两点间的距离,若某两点间的距离等于另外两个距离之和,则这三点共线;③向量法:利用向量共线定理证明三点共线;④直线方程法:求出过其中两点的直线方程,在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法:求出过其中某两点的直线方程,计算出第三点到该直线的距离,若距离为0,则三点共线.⑥面积法:通过计算求出以这三点为三角形的面积,若面积为0,则三点共线,在处理三点共线问题,离不开解析几何的重要思想:“设而不求思想”. 【典例指引】 类型一 向量法证三点共线 例1 (2012北京理19)(本小题共14分)已知曲线C :22 (5)(2)8m x m y -+-=(m R ∈) (Ⅰ)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范围; (Ⅱ)设m =4,曲线C 与y 轴的交点为A ,B (点A 位于点B 的上方),直线4y kx =+与曲线交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G ,求证:A ,G ,N 三点共线.

MB方程为: 6 2 M M kx y x x + =-,则 3 1 6 M M x G kx ?? ? + ?? ,, ∴ 3 1 6 M M x AG x k ?? =- ? + ?? ,,()2 N N AN x x k =+ ,, 欲证A G N ,,三点共线,只需证AG,AN共线 即 3 (2) 6 M N N M x x k x x k +=- + 成立,化简得:(3)6() M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立,则A G N ,,三点共线得证。 类型二斜率法证三点共线 例2.(2017?上海模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点,设AB的中点为M,A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N. (1)求直线FN与直线AB的夹角θ的大小; (2)求证:点B、O、C三点共线.

高中数学圆锥曲线专题-理科

圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用; 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义:懂得一元二 次方程的图像是直线; 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系(方向向量、法向量); 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点; 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程; 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题; 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线(与椭圆相交的直线)BD与椭圆交于C、D两点 (1)确定直线BD斜率的取值范围 (2)若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O

二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO ,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l :22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B ,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 (1)求证:直线AB 的斜率为定值 (2)当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - (1)求点P (x, y )的轨迹C 的方程 (2)直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D (0,-1)为圆 心的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += (1)求点M (x, y )的轨迹方程 (2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由

高中数学圆锥曲线详解【免费】

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典 结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法: 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1))0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有02 020=+k b y a x 。 (2))0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x (3)y 2 =2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2 =4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2 =4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点分析:(1)A 在抛物线外,如图,连PF ,则PF PH =

(完整word版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)

椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦 点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以 长轴为直径的圆,除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点 分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆 22 22 1x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、 Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于 两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴 的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(a >

圆锥曲线练习题(附答案)

) 圆锥曲线 一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1,给出下面四个命题: ①由线C 不可能表示椭圆; ②当1<k <4时,曲线C 表示椭圆; ③若曲线C 表示双曲线,则k <1或k >4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆,则1<k <2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. ? 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ,点P 在椭圆上,且满 足021=?PF PF ,2tan 21=∠F PF ,则该椭圆的离心率为 3.若0>m ,点?? ? ??25,m P 在双曲线15422=-y x 上,则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 . 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,点A 的坐标是 (4,a ),则当||a >4时,||||PA PM +的最小值是 . 6. 在ABC 中,7 ,cos 18 AB BC B ==- .若以A ,B 为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = . 7.已知ABC ?的顶点B ()-3,0、C ()3,0,E 、F 分别为AB 、AC 的中点,AB 和AC 边上的中线交于G ,且5|GF |+|GE |=,则点G 的轨迹方程为 8.离心率3 5 = e ,一条准线为x =3的椭圆的标准方程是 .

9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =(4,-3)平移后所得抛物线的焦点坐标为 . ^ 11、抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 . 12.已知F 1、F 2是椭圆2 2 22)10(a y a x -+=1(5<a <10=的两个焦点,B 是短轴的一个端 点,则△F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点,F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点,A 是抛物线上的一点, 与x 轴正向的夹角为60°,则||为 . 14.在ABC △中,AB BC =,7 cos 18 B =-.若以A B ,为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率e = . 二.解答题 15、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1 2 -. . (Ⅰ)试求动点P 的轨迹方程C. (Ⅱ)设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点,当|MN |=3 2 4时,求直线l 的方程.

高中数学圆锥曲线解题技巧总结

高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1))0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有 020 20=+k b y a x 。 (2))0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x (3)y 2=2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析:(1)A 在抛物线外,如图,连PF ,则PF PH =现,当A 、P 、F 三点共线时,距离和最小。

高中数学备课资料 圆锥曲线基础练习题(1)

圆锥曲线基础题训练 一、选择题: 1. 已知椭圆116252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个 焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为 ( ) A .2 B .3 C .5 D .7 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为 ( ) A .11692 2 =+y x B .116252 2 =+y x C .116252 2 =+y x 或125 162 2 =+y x D .以上都不对 3.动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为 2 ,则点P 的轨迹是 ( ) A .双曲线 B .双曲线的一支 C .两条射线 D .一条射线 4.到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 ( ) A .椭圆 B .线段 C .双曲线 D .两条射

线 5.方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线,则k 的取值范 围是 ( ) A .11<<-k B .0>k C .0 ≥k D .1>k 或1 -

高考数学圆锥曲线综合题型归纳解析

圆锥曲线综合题型归纳解析 【知识点精讲】 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”,具体操作程序如下: (1)变量——选择适当的量为变量; (2)函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数; (3)定值——化简得到函数的解析式,消去变量得到定值。 求定值问题常见的方法有两种: (1)从特殊情况入手,求出定值,在证明定值与变量无关; (2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量,从而得到定值。 二、求最值问题常用的两种方法 (1)几何法:题中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用几何图形的性质来解决。 (2)代数法:题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等,这是代数法。 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” (1)重视定义在解题中的应用(优先考虑); (2)重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用; (3)重视根与系数的关系(韦达定理)在解题中的应用(涉及弦长、中点要用)。 四、求参数的取值范围 根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系,再求参数的范围。 题型一、平面向量在解析几何中的应用 【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系,并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个: (1)用向量的数量积解决有关角的问题: ①直角12120a b x x y y ?=+=r r g ; ②钝角10||||a b a b ?-<= == r r r r g r r g 。

高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题(含答案)

专题:解圆锥曲线问题常用方法(一) 【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法: 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1))0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则 有 020 20=+k b y a x 。 (2))0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)

(完整版)高中数学-圆锥曲线练习题含答案

圆锥曲线专题练习 一、选择题 1.已知椭圆116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为 ( ) A .2 B .3 C .5 D .7 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为 ( ) A .116922=+y x B .1162522=+y x C .1162522=+y x 或125 162 2=+y x D .以上都不对 3.设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于( ) A .2 B .3 C .2 D .3 4.抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 ( ) A .25 B .5 C .2 15 D .10 5.若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9,则点P 的坐标为 ( ) A .(7, B .(14, C .(7,± D .(7,-± 6.如果22 2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( ) A .()+∞,0 B .()2,0 C .()+∞,1 D .()1,0 二. 填空题 7.双曲线的渐近线方程为20x y ±=,焦距为10,这双曲线的方程为_______________。 8.设AB 是椭圆22 221x y a b +=的不垂直于对称轴的弦,M 为AB 的中点,O 为坐标原点, 则AB OM k k ?=____________。 三.解答题 9.已知顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15,求抛物线的方程。

10、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12- . (Ⅰ)试求动点P 的轨迹方程C. (Ⅱ)设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点,当|MN |= 3 24时,求直线l 的方程.

16全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线(练习题)

最新高中数学奥数竞赛试题直线和圆,圆锥曲线 课后练习 1.已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点,点B 和点C 在双曲线的右支上,ABC ?是等边三角形,则ABC ?的面积是 (A ) 33 (B )2 33 (C )33 (D )36 2.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线5 4 35+=x y 的距离中的最小值是 (A )17034 (B )8534 (C )201 (D )30 1 3.若实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142,则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 4.直线13 4=+y x 椭圆191622=+y x 相交于A ,B 两点,该圆上点P ,使得⊿PAB 面积等于3,这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5.设a ,b ∈R ,ab ≠0,那么直线ax -y +b =0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是 A B 6.过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线,若此直线与抛物线交于A 、B 两点,弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点,则线段PF 的长等于 A . 3 16 B . 3 8 C . 3 3 16 D .38 7.方程 13 cos 2cos 3sin 2sin 2 2=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线 8.在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 中,记左焦点为F ,右顶点为A ,短轴上方的端点为B 。 若该椭圆的离心率是 2 1 5-,则ABF ∠= 。 9.设F 1,F 2是椭圆14 92 2=+y x 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1| : |PF 2|=2 : 1,则 三角形?PF 1F 2的面积等于______________.

高中数学圆锥曲线综合--求轨迹方程

圆锥曲线综合--求轨迹方程 教学任务 教学流程说明 教学过程设计 圆锥曲线综合--求轨迹方程 求轨迹的常用方法: (1)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程; (2)代入求轨法(坐标平移法或转移法):若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x 1,y 1)的变化而变化,并且Q(x 1,y 1) 又在某已知曲线上,则可先用x 、y 的代数式表示x 1、y 1,再将x 1、y 1带入已知曲线得要求的轨迹方程; (3)直接法:直接通过建立x 、y 之间的关系,构成F(x,y)=0,是求轨迹的最基本的方法; (4)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程, 再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可 (5)参数法:当动点P (x,y )坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均 用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。 1、(1)一动圆过定点)0,1(A 且与定圆16)1(2 2 =++y x 相切,求动圆圆心的轨迹方程; (2)又若定点)0,2(A 定圆为4)2(22 =++y x 呢? 2、△ABC 中,B (-3,8)、C (-1,-6),另一个顶点A 在抛物线y 2=4x 上移动,求此三角形重心G 的轨迹方程.

3、在平面直角坐标系中,若}2,{},2,{-=+=y x y x 8=+。求动点),(y x M 的轨迹C 的方程; 一、填空: 1.平面内到点A (0,1)、B (1,0)距离之和为2的点的轨迹为 2.已知M (-2,0)、N (2,0),动点P 满足|PM |-|PN |=4,则动点P 的轨迹方程是____________ 3.已知lg(2),lg |2|,lg(16)x y x -成等差数列,则点(,)P x y 的轨迹方程 __ 4.P 是椭圆15 92 2=+y x 上一点,过P 作其长轴垂线,M 是垂足,则PM 中点轨迹方程为______ 5.点M 到F (3,0)的距离比它到直线x+4=0 的距离小1,则点M 的轨迹方程是 6.动点p 与定点A(-1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为-1,则p 点的轨迹方程是 。 7、动圆与x 轴相切,且被直线y=x 所截得的弦长为2,则动圆圆心的轨迹方程为 。 8、倾斜角为 4 π 的直线交椭圆42 x +y 2=1于A 、B 两点,则线段AB 中点的轨迹方程是 9、理)两条直线ax+y+1=0和x -ay -1=0(a ≠±1)的交点的轨迹方程是 二、选择: 10、,a b 为任意实数,若(,)a b 在曲线(,)0f x y =上,则(,)b a 也在曲线(,)0f x y =上,那么曲线(,)0f x y =的几何特征是( ) (A )关于x 轴对(B )关于y 轴对称 (C )关于原点对称 (D )关于直线x -y =0对称 11、方程2 2 2 2 (1)0x x y ++-=的图象是( ) (A )y 轴或圆(B )两点(0,1)与(0,-1)(C )y 轴或直线y =1±(D )答案均不对 12、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为: ( ) A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆 三、解答 17、已知动点p 到定点F (1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求p 点的轨迹方程。 18、抛物线y 2=x +1,定点A (3,1),B 是抛物线上任意一点,点P 在AB 上满足 BP :P A =1:2,当点B 在抛物线上运动时,求点P 的轨迹方程并指出轨迹是什么曲线? 19、理)过原点作直线l 和抛物线642 +-=x x y 交于A 、B 两点,求线段AB 中点M 的轨迹方程。

高二数学圆锥曲线练习题及答案超经典习题

京翰提示:圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等,解答题目相对较难,同时平面向量的介入,增加了本专题高考命题的广度圆锥曲线高考热点题型归纳。正圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等。 高二数学—圆锥曲线综合练习 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知|→ a |=|→ b |,→ a ⊥→ b ,且(→a +→b )⊥(k → a -→ b ) ,则k 的值是( ) A .1 B .-1 C .0 D .-2 2、已知3a =r ,23b =r ,3a b ?=-r r ,则a r 与b r 的夹角是( ) A 、150? B 、120? C 、60? D 、30? 3、若)()(),1,2(),4,3(b a b x a b a -⊥+-==且,则实数x=( ) A 、23 B 、223 C 、323 D 、4 23 4、已知(1,2)a =r ,(2,3)b x =-r 且a r ∥b r ,则x =( ) A 、-3 B 、34 - C 、0 D 、 34 5.椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b y a x 的离心率为 ( ) A . 45 B .2 5 C .32 D .4 5 6.抛物线顶点在原点,焦点在y 轴上,其上一点P(m ,1)到焦点距离为5,则抛物线方程为( ) A .y x 82 -= B .y x 82 = C . y x 162 -= D .y x 162 = 7.若过原点的直线与圆2 x +2 y +x 4+3=0相切,切点在第三象限,直线的方程是( ) A .x y 3= B .x y 3-= C .x y 3 3 = D .x y 3 3- =

高中数学圆锥曲线练习题

高中数学圆锥曲线练习题 注意事项: 1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前5分钟收取答题卡 一、选择题 1.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是()A.(1,1) B. C. D.(2,4) 2.以下三个命题:(1)若动点M到定点、的连线斜率之积为定值 ,则动点M的轨迹为一个椭圆。(2) 平面内到一定点的距离和到一定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线。(3)若过原点的直线与圆 相交于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹为一个圆。其中真命题的个数为() A 0 B 1 C 2 D 3 3.已知点、分别为双曲线的右焦点与右支上的一点,

为坐标原点,若,,且,则该 双曲线的离心率为() A. B. C.D. 4.已知双曲线,过其左焦点作x轴的垂线,交双曲线 于A、B两点,若双曲线右顶点在以AB为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是( ) A. B. C.D. 5.若椭圆的离心率,右焦点为,方程 的两个实数根分别是,则点到原点的距离为() A.2 B. C.D. 6.已知点P为双曲线右支上一点,分别为双曲线的左、右焦点,点I为△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心),若恒有 成立,则双曲线的离心率的取值范围为

A.(1,2] B.(1,2) C.(0,2] D.(2,3] 7.设、分别为双曲线的左、右顶点,是双曲线上异于、的任一点,设直线的斜率分别为,则取得最小值时,双曲线的离心率为()A. B. C. D. 8.设F1,F2分别为椭圆的左右两个焦点,点P为椭圆上任意一点,则使得成立的P点的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 9.已知椭圆C:,(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线相切,则C的离心率为 A. B. C. D. 10.椭圆+=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M、N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是()

圆锥曲线的综合经典例题(有答案)

经典例题精析 类型一:求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横 坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨:先确定椭圆标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、(定量). 解析: 方法一:因为有焦点为, 所以设椭圆方程为,, 由,消去得, 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二:设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以, 由得,(点差法) 所以 又

故椭圆标准方程为. 举一反三: 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直, 且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为(), 并有,解之得,, ∴椭圆标准方程为 2.根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)与双曲线有共同的渐近线,且过点; (2)与双曲线有公共焦点,且过点 解析: (1)解法一:设双曲线的方程为 由题意,得,解得, 所以双曲线的方程为 解法二:设所求双曲线方程为(),

将点代入得, 所以双曲线方程为即 (2)解法一:设双曲线方程为-=1 由题意易求 又双曲线过点,∴ 又∵,∴, 故所求双曲线的方程为. 解法二:设双曲线方程为, 将点代入得, 所以双曲线方程为. 总结升华:先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、.在第(1)小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程. 然后代点坐标求得方法简便.第(2)小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程,关键是求、,在解题过程中应熟悉各元素(、、、及 准线)之间的 关系,并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为 (). 举一反三: 【变式】求中心在原点,对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)一渐近线方程为,且双曲线过点.

高中数学圆锥曲线的知识点总结

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线: 在平面直角坐标系中,如果某曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 (,)0f x y =的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标 的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系:若曲线C 的方程是(,)0f x y =,则点000(,)P x y 在曲线C 上?00(,)0f x y =;点000(,)P x y 不在曲线C 上?00(,)0f x y ≠. 两条曲线的交点:若曲线1C ,2C 的方程分别为1(,)0f x y =,2(,)0f x y =,则点000(,)P x y 是1C ,2C 的交点 ?{ ),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没 有交点. 二、圆: 1、定义:点集{|}M OM r =,其中定点O 为圆心,定长r 为半径. 2、方程:(1)标准方程:圆心在(,)C a b ,半径为r 的圆方程是2 2 2 ()()x a y b r -+-= 圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是2 2 2x y r += (2)一般方程:①当22 40D E F +->时,一元二次方程2 20x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程,圆心为 )2 ,2(E D -- 半径是2. 配方,将方程22 0x y Dx Ey F ++++=化为 22224()()224 D E D E F x y +-+++= ②当2 2 40D E F +-=时,方程表示一个点)2 ,2(E D -- ③当2 2 40D E F +-<时,方程不表示任何图形. (3)点与圆的位置关系 已知圆心(,)C a b ,半径为r ,点M 的坐标为00(,)x y ,则||MC r < ?点M 在圆C 内,||MC r =?点M 在圆C 上,||MC r >?点M 在圆C 外,其中||MC = (4)直线和圆的位置关系:①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交?有两个公共点;直线与圆相切?有一个公共点;直线与圆相离?没有公共点. ②直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心(,)C a b 到直线0Ax By C ++=的距离 2 2 B A C Bb Aa d +++= 与半径r 的大小关系来判定.

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