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2014年数学建模全国赛A题

城市土壤地质环境重金属污染

摘要：针对问题一，结合数据运用MATLAB画出该区域城区分布图和8种主要重金属元素在该城区的空间分布图，接着用单因子指数得出重金属单因子污染指数，最后用内梅罗污染指数法得出重金属在功能区的污染程度由大到小依次为：工业区、交通区、生活区、公园路地区、山区。

针对问题二，根据问题一求出的单因子污染指数，用excel分别作出各重金属在各区域所占比重的饼图，并据此分析重金属污染的原因。

针对问题三、运用SPSS软件，采用因子分析法得出重金属污染物的传播特征，并在其基础上建立灰色关联分析模型，确定重金属污染源的为（2383,3692，7）、（2708,2295，22）、（4777,4891,8）、（1647,2728,6）、（18134,10046，41）、（13797,9621,18）、（21439,11383,45）、（13694,2357,33）8个位置。

针对问题四，为了更好地反映城市地质环境变化的演变模式，考虑时间、土壤的饱和度、PH、水分等因素对污染物浓度的影响，建立三维传播模型，分析演变过程。

关键词：单因子指数法、综合指数法、因子分析、灰色关联分析

一、问题重述

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：

(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？

二、模型假设

1、重金属污染物的传播特征污染物在土壤中的运移发生在对流、弥散、吸附等过程中。排除自然现象如降水、风等的影响。

2、重金属污染源短时间不会改变。

3、取值都比较精确，且比较稳定。

4、不考虑土壤的饱和度、PH值、水分等因素的影响。

5、不考虑海拔对重金属污染物浓度的影响。

四、模型建立

4.1模型一（重金属在功能区的空间分布与污染程度）

4.1.1模型一的分析

4.1.1.1八种主要重金属元素在该城区的空间分布

由附件一给出的采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件二给出的8种主要重金属元素在采样点处的浓度。通过MATLAB软件，画出该区域城区分布图和8种主要重金属元素在该城区的空间分布图。分别为图一到图九。

图一：城区分布图

x 104

图二：As元素在城区的浓度分布

x 104图三：Cd元素在城区的浓度分布

x 104图四：Cr元素在城区的浓度分布

x 104图五：Cu元素在城区的浓度分布

x 104图六：Hg元素在城区的浓度分布

x 104图七：Ni元素在城区的浓度分布

x 104图八：Pb元素在城区的浓度分布

x 10

图九：Zn 元素在城区的浓度分布

4.1.1.2不同区域重金属的污染程度

该城区内不同区域重金属的污染程度，先通过单因子指数法求出，重金属元素的污染指数。

ij S C P = 其中ij P 为第i 个重金属元素在j 区域的污染指数；ij C 为重金属含量实测值（由于数据众多，ij C 采用平均值）；i S 为第i 重元素浓度的背景值。单因子指数污染分级标准见表4-1-1.

()

max

i i

zi P P P +=

zi P 为第i 个区域采样点的综合污染指数；max i P 为第i 采样点重金属污染物单

项污染指数中的最大值；∑==n

i ij i P n P 1

1为单因子指数平均值。

1、单因子指数法

ij ij S C P =

以As 元素为例，通过计算得到

74.16

.327

.611111===

S C P 以此类推，经过整理得到表4-1-3各区域的重金属单因子污染数值

()

max

i i

zi P P P +=

()

17.32

)74.3()47.2(22

max 12

1=+=+=P P P i

以此类推，得到表4-1-4各区域的综合指数。

金属的污染程度及水平。

4.2模型二（重金属污染成因） 4.2.1模型二的分析

根据模型一，单因子分析法和综合分析法得出的重金属污染指数。以及不同区域重金属污染程度和污染水平来分析，重金属污染的原因。 4.2.2模型二的建立与求解

对于问题二，通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

由一问所得表4-1-2中i P 数据，用excel 制作出8重元素在各区域中所占比例如下：

图十 8种元素在生活区所占比

生活区的重金属污染主要原因为：Zn 和Cu 元素在生活中的大量日用品的使用、生活垃圾等。

图十一 8种元素在工业区所占比

工业区的重金属污染主要原因为：Hg元素在工业生产中的大量使用，及工业三废的不合理处理是使工业区的重金属污染程度最高

图十二 8种元素在山区所占比

山区相比其他区域污染很少，因为山区人类活动少致使8种重金属元素在山区含量少。

图十三8种元素在交通区所占比

交通区的重金属污染主要原因为：Hg元素存在于尾气排放、有害气体和粉尘等等问题

图十四8种元素在公园绿地区所占比

公园绿地区相比其他区域污染较少，因为公园绿地区人类工业、商业和农业活动较少致使8种重金属元素在公园绿地区含量少，存在重金属污染可能人们的不合理的生活习惯引起。

4.3模型三（确定污染源的位置）

4.3.1模型三的分析

4.3.1.1重金属污染物的传播特征的分析

用因子分析法，先将各重金属数值标准化——求出各重金属之间的相关系数——画出各重金属元素聚类树状图——初等载荷矩阵——因子旋转——贡献率。得出重金属的传播特征。

设重金属的实测值和取样点位置构成的样本矩阵为：

n n p

p x x x x x x x x x X 212222111211=

其中，n 为样本实测值，p 为变量数（或称指标数）。将原始数据按下式进行标准化处理：

,2,1,/)(2'=-=i S x x x k k ik ik

其中：

∑==n

i ik k n

x x 1

/，∑=--=n

i k ik k

n x x S 122)

1/()(

标准化处理后，变量的方差为1，均值为0.。

就算出每个元素之间的相关系数，并做出聚类树状图，分析各个元素之间的相关程度的大小。为进一步确定重金属污染的传播趋势，现将每个标准化处理后的变量用)(p m m <个因子m F F F ,,,21 的线性组合来表示，即有因子分析模型：

p m F a F a X i m im i i i ≤+++=,11εμ

其中，p F F F ,,,21 为X 公共因子，是不客观的变量，它们的系数成为载荷因子。i ε是特殊因子，是不能被前m 个公共因子包含的部分。并且满足

0),(),,,()()(;

)(,0)(,0)(2

2221======εσσσεεεF Cov diag Cov D I F Cov E F E m m

通过SPSS 软件得出公共因子，并对公共因子进行解释，若因子载荷矩阵中的系数居中，则将实施因子旋转，采用方差最大正交旋转，使得旋转后的因子载荷矩阵的每一列元素方差之和达到最大，且因子载荷矩阵中所有系数接近于0或1。之后利用旋转后的因子载荷矩阵对重金属污染元素的来源进行区分，并为建立灰色关联分析模型奠定基础。 4.3.1.2重金属污染源的位置的分析

通过4.3.1.1重金属污染物的传播特征的分析结果，建立灰色关联分析模型，来确定污染源的位置。假设某地区各重金属的含量为背景值。

1、各重金属之间的变异系数

%100?=EX

V x σ

其中：

∑==n

i i x n EX 1；()∑=-=n i i x EX x n 121σ V 代表变异系数，EX 代表各重金属浓度的平均值，x σ代表各重金属浓度

的方差。

2、关联系数

()()()()()()()(){}

n X X X k X

0000?,...,2?,1??= ()()()()()()()(){}n X X X k X 0000,...,2,1=

则关联系数定义为：

()()()()()()()()()()()()()()()()k X k X k X k X

k X k X k X k X

k 00000000?max max ??max max ?min min )(-+--+-=

ρρη

其中：

)(k η关联系数；

()()()()k X k X

00?-为第k 个点，()0X 与()0?X 的绝对差； ()()()()k X k X

00?min min -为两级最小差； ()()()()k X k X

00?max max -为两级最大差； ρ称为分辨率，10<<ρ,一般取ρ=0.5；

对单位不一，初值不同的序列，在计算关联系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。

3、关联度

()()k X 0和()()k X

0?的关联度式子为： ()∑==n

k k n r 1

1η

4.3.2模型三的建立与求解

4.3.2.1重金属污染物的传播特征的建立与求解

1、计算相关系数

运用通过SPSS 软件，计算出土壤重金属之间的相关系数表。

土壤中相关元素聚类分析图

Rescaled Distance Cluster Combine

C A S E 0 5 10 15 20 25 Label Num +---------+---------+---------+---------+---------+

Cr 3 -+-----------------------+

Ni 6 -+ +---------+ Cu 4 -------------------------+ +-+ Cd 2 -------+-----------------------+ | |

Pb 7 -------+ +---+ +-----------+ Zn 8 -------------------------------+ | | Hg 5 -------------------------------------+ | As 1 -------------------------------------------------+

图十五、各重金属之间的相关系数

由图十五可知，Cd与Pb，Cr、Cu与Ni，Cu与Pb之间的相关性显著，说明这些因素间可能有同源或复合关系。

2、因子贡献率

运用通过SPSS软件，计算出各公共因子的贡献率。因为前3个主要成分可以解释总变量的70.9406%，故对前3个主要成分进行分析，则可以反映主要全部信息的大部分。

下面给出因子旋转前后的载荷矩阵表4-3-5

图十六、旋转前因子得分散点图

图十七、旋转后因子得分散点图

结论：

因子载荷矩阵旋转前每个因子在不同原始变量上的载荷没有明显差别，旋转后载荷系数有了的两极分化。其中，第一主成分的贡献率为%

22，表现为因

701

子变量在Cr，Cu，Ni上有较大的载荷，结合表4-1-3这三种元素的污染指数，三种元素的平均污染指数（见附录）分别为 1.718,、4.362、1.406，而这三种元素的变异系数相对较低，暗含了自然因子是控制它们的主要因素。该地区Cu污染较严重，这可能与该地区工业生产涉及Cr，Cu等金属混合物的催化剂的使用以及废水中富集的金属有关，同时Cu在第二主成分中也有较高载荷，暗示了Cu 来源的多源性。Ni的主要受地球化学成因的影响，主要为地址来源，因此第一

主成分基本反映了土壤母质及其风化产物而累积的重金属（自然来源）。

第二主成分的共享率为%215.20，在Cu ，Hg 和Pb 上有较大的载荷，结合表4-1-3这三种元素的污染指数，这三种重金属元素的污染指数都较高，三种元素的平均污染指数分别为4.362、7.648、2.206。其中Hg 污染最严重，可能是工业三废排放导致的，Pb 的来源与道路交通有关，因此第二主成分基本反映了工业和交通造成的环境污染（人为来源）

第三主成分的贡献率为%208.19，在As ，Cd 和Pb 上较大的载荷，结合表4-1-3这三种元素的污染指数，三种元素的平均污染指数分别为 1.64、2.27、2.206。Cd 的平均污染指数最高，可能是由于该地区石油化工企业排放的氮氧化物和硫氧化物等有害气体，形成酸雨与地面重金属发生作用，是的周围的土壤容易富含高含量的有毒重金属。Cd 一般可作为施用农药和化肥等农业活动的标识元素，因此，第三主成分的影响，如施肥、工业活动城市的重金属颗粒的干湿沉降、道路交通等对农田土壤重金属的贡献。 4.3.1.2重金属污染源的位置的建立与求解

1、运算运用excel 中的公式编辑器计算各区重金属的变异系数。以生活区As 的变异系数为例：

27.644

.6......72.516.9=+++=As EX ；

15.244

)27.647.6(.....)27.672.5()27.619.6(2

22-++-+-=As σ；

%29.34%10015

.227.6%100=?=?=As As As EX V σ；

整理后得到表4-3-2各重金属的变异系数。

在工业区、生活区、交通区的变异系数排名前三，说明这三个区域人为因素影响较大，由此可以退出，重金属污染源主要来源于这三个地区。

2、关联度

结合变异系数得出的结论，以As ，Cd ，Hg ，Pb ，Zn 五种重金属的浓度作为原始值，以背景值作为参考序列，用matlab 运算出5种重金属的关联度，整理得到表4-3-3五种重金属的关联度。

来源区找到8个污染来源。其坐标点见表4-3-4

00.51 1.52 2.5

x 104

图十八、重金属污染源

4.4模型四（对城市地质环境演变模式的分析）

4.4.1模型四分析与建立

因子分析根据原始变量的信息进行重新组合，找出影响变量的共同因子，化简数据，但只考虑了一年的污染物的浓度，没有考虑到多年污染物的扩散情况，为了更好地反映地质环境的演变模式，应该分析污染物迁移的时空关系，即从一个时间段内考虑污染物浓度的变化情况，还应分析土壤饱和度、PH值、酸碱度、水分等因素。

问题三的某个时刻0t 每个采样点地表重金属污染物的浓度),,(y x C ，在此基础上考虑重金属污染物浓度随着时间变化，得到任意时间t 每个采样点地表重金属污染物的浓度),,(t y x C ，不考虑重金属在土壤中的自我降解能力，建立三维传播模型：

y C

u x C u y

C d x C d t C y

x y x ??-??-??+??=??2222 在以上三维扩散模型中，在圆点)0,0(重金属污染物的质量为M ，对偏微分方程进行求解，可以得到任意时间t 重金属污染物的浓度),,(t y x C 表达式：

)44)(exp()(8),(23

t d t u y t d t u x d d t M

y x C y y x x y x ----=π 为了使用基于时间的三维传播模型来研究城市地质环境的演变模式，以已知

数据说对应的时间t 为界，分析前后n 年时间跨度上污染物的空间分布，并收集该地区前n 年中美一年污染物的平均迁移速率t v ，由于污染物的迁移速率与其在土壤中的聚集程度成正比，在实际计算中，模拟出该地区前后n 年各种污染物的迁移速率t v 。

另外，由于污染物浓度迁移速率收到土壤的饱和度、PH 、水分等因素的印象，因此在具体分析同一时段不同点的迁移速率时，还应该考虑不同点的个体差异，因此各点的迁移速率为：

)(εit it v v v +=

其中：)(εit v 表示速率修正系数

污染物一般是从污染源向四周传播，因此污染物浓度分不也是与取样单距污染源的距离成反比。附录所给的信息反映了一年中重金属污染物的分布情况，但是要知道此前n 年中第t 年的重金属污染物情况，就需要根据第1+t 年的数据对第t 年每个地区污染物的浓度进行计算。

已知第t 年某个采样点),(t t y x 的污染物浓度为),,(t y x C t t ，从一个低浓度点

),,(t y x C u u 迁移到该采样点的浓度为：

s u u i d i u d t y x C t y x C C u

)),,(),,((0-?

从该采样点迁移到一个高浓度点),,(t y x C r r 的浓度为：

s i i r d r r d t y x C t y x C C r

))()((0

其中：u d 表示从低浓度点到某个采样点的距离 r d 表示从高浓度点到某个采样点的距离

然后，可以得到第t 年采样点),(i i y x 的污染物浓度为),,(t y x C i i 的表达式为：

∑∑-+±=r

r u

u i i i i c c t y x C t y x C )1,,(),,(

再根据第t 年的浓度，进行时序分析得到第1±t 年的浓度，以此类推，得到前后n 年的每个地区污染物浓度，得出城市地质环境演变形式。

五、模型的评价与推广

5.1模型优点

1、采用了多种分析方法，比如单因子指数法、综合指数法、因子分析法、灰色关联法。

2、因子分析根据原始变量的信息进行重新组合，找出影响变量的共同因子，化简数据；第二，它通过旋转使得因子变量更具有可解释性，命名清晰性高。5.2模型缺点

在计算因子得分时，采用的是最小二乘法，此法有时可能会失效

六、参考文献

https://www.wendangku.net/doc/5c9383856.html,/link?url=sI3hFgP97UCo47cqjskcvessnhsJPgcVDCgwK LYU_E6IHZ8LUoYkjBjyorRgYBVlAecMKW6u372c40r4b8KOdkL5rAGEEVlLGwDEIPq0lp _

[1]陈轶楠. 晋南某钢厂及其周边农田土壤重金属含量分析与污染状况评价

[D].山西师范大学,2013

[2]李雪梅,王祖伟,汤显强,黄岁樑,赵庆香. 重金属污染因子权重的确定及其在土壤环境质量评价中的应用[J]. 农业环境科学学报,2007,06:2281-2286

[3]刘衍君,汤庆新,白振华,张秀玲,张保华. 基于地质累积与内梅罗指数的耕地重金属污染研究[J]. 中国农学通报,2009,20:174-178

[4]司守奎，孙玺菁.数学建模算法与应用,2013

七、附录

以图十八为例：

A=xlsread('fujian');

>> x=A(:,2);

>> y=A(:,3);

>> z=A(:,4);

>> scatter(x,y,5,z)%散点图

>> [X,Y,Z]=griddata(x,y,z,linspace(0,28654,200)',linspace(0,18449,200),'v4');

>> pcolor(X,Y,Z);shading interp%涂色

>> contourf(X,Y,Z)%等值线图

>> hold on

>> plot(2383,3692,'r*');%标记注释：plot里面的数字即为表格中数字附录3：区域图

A=xlsread('fujian');

>> x=A(:,2);

>> y=A(:,3);

>> z=A(:,4);

>> scatter(x,y,5,z)%散点图

>> [X,Y,Z]=griddata(x,y,z,linspace(0,28654,200)',linspace(0,18449,200),'v4'); >> pcolor(X,Y,Z);shading interp%涂色

>>mesh或surf（X,Y,Z）%三维图

>> hold on

>> plot(2383,3692,'r*');%标记注释：plot里面的数字即为表格中数字附录4：灰色关联度程序

A=xlsread('yuansu');

a=A';

for i=1:5

a(i,:)=(a(i,:)-min(a(i,:)))/(max(a(i,:))-min(a(i,:)));

end

[m,n]=size(a);

cankao=max(a')'

t=repmat(cankao,[1,n])-a;

mmin=min(min(t));

mmax=max(max(t));

rho=0.5;

xishu=(mmin+rho*mmax)./(t+rho*mmax)

guanliandu=mean(xishu)

[gsotr,ind]=sort(guanliandu,'descend')

HIMCM 2014美国中学生数学建模竞赛试题

HIMCM 2014美国中学生数学建模竞赛试题 Problem A: Unloading Commuter Trains Trains arrive often at a central Station, the nexus for many commuter trains from suburbs of larger cities on a “commuter” line. Most trains are long (perhaps 10 or more cars long). The distance a passenger has to walk to exit the train area is quite long. Each train car has only two exits, one near each end so that the cars can carry as many people as possible. Each train car has a center aisle and there are two seats on one side and three seats on the other for each row of seats.To exit a typical station of interest, passengers must exit the car, and then make their way to a stairway to get to the next level to exit the station. Usually these trains are crowded so there is a “fan” of passengers from the train trying to get up the stairway. The stairway could accommodate two columns of people exiting to the top of the stairs.Most commuter train platforms have two tracks adjacent to the platform. In the worst case, if two fully occupied trains arrived at the same time, it might take a long time for all the passengers to get up to the main level of the station.Build a mathematical model to estimate the amount of time for a passenger to reach the street level of the station to exit the complex. Assume there are n cars to a train, each car has length d. The length of the platform is p, and the number of stairs in each staircase is q. Use your model to specifically optimize (minimize) the time traveled to reach street level to exit a station for the following: 问题一:通勤列车的负载问题在中央车站,经常有许多的联系从大城市到郊区的通勤列车“通勤”线到达。大多数火车很长(也许10个或更多的汽车长)。乘客走到出口的距离也很长，有整个火车区域。每个火车车厢只有两个出口,一个靠近终端, 因此可以携带尽可能多的人。每个火车车厢有一个中心过道和过道两边的座椅，一边每排有两个座椅，另一边每排有三个座椅。走出这样一个典型车站,乘客必须先出火车车厢,然后走入楼梯再到下一个级别的出站口。通常情况下这些列车都非常拥挤,有大量的火车上的乘客试图挤向楼梯，而楼梯可以容纳两列人退出。大多数通勤列车站台有两个相邻的轨道平台。在最坏的情况下,如果两个满载的列车同时到达,所有的乘客可能需要很长时间才能到达主站台。建立一个数学模型来估计旅客退出这种复杂的状况到达出站口路上的时间。假设一列火车有n个汽车那么长,每个汽车的长度为d。站台的长度是p，每个楼梯间的楼梯数量是q。使用您的模型具体来优化(减少)前往主站台的时间，有如下要求: Requirement 1. One fully occupied train's passengers to exit the train, and ascend the stairs to reach the street access level of the station. 要求1.一个满载乘客的火车，所有乘客都要出火车。所有乘客都要出楼梯抵达出主站台的路上。 Requirement 2. Two fully occupied trains' passengers (all passengers exit onto a common platform) to exit the trains, and ascend the stairs to reach the street access level

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2011年数学建模集训小题目 1.求下列积分的数值解 ? +∞ +-?23 2 2 3x x x dx 2.已知)s i n ()()c o s (),(2h t h t h t e h t f h t ++++=+，dt h t f h g ?=10 ),()(，画出 ]10,10[-∈h 时，)(h g 的图形。 3.画出16)5(2 2=-+y x 绕x 轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。 4.画出下列曲面的图形（1）旋转单叶双曲面 14 92 22=-+z y x ；（2）马鞍面xy z =； 5.画出隐函数1cos sin =+y x 的图形。 6.（1）求函数x x y -+=12 ln 的三阶导数；法一：syms x y dy; >> y=log((x+2)/(1-x)); >> dy=diff(y,3) dy = (6/(1-x)^3+6*(x+2)/(1-x)^4)/(x+2)*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)^2*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^3*(1-x)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^2 （2）求向量]425.00[=a 的一阶向前差分。 7.求解非线性方程组（1）?????=-+=-+060622x y y x （2）???=+=++5 ln 10tan 10cos sin y x y e y x 8.求函数186)(2 3-++=x x x x f 的极值点，并画出函数的图形。 9.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m ，2.1m 和1m 的圆钢各一根。已知原料长6.9m ，问应如何下料，使用的原材料最省。 10. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：项目A ，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％；项目B ，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超过4万元；

西南大学2016年春《数学建模》作业及答案(已整理)(共5次)

西南大学2014年春《数学建模》作业及答案(已整理) 第一次作业 1：[填空题] 名词解释: 1．原型 2．模型 3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．计算机模拟 8．蛛网模型 9．群体决策 10．直觉 11．灵感 12．想象力 13．洞察力 14．类比法 15．思维模型 16．符号模型 17．直观模型 18．物理模型19．2倍周期收敛20．灵敏度分析21．TSP问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测参考答案： 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。15．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。16．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。17．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。18．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。19．2倍周期收敛：在离散模型中，如果一个数列存在两个收敛子列就称为2倍周期收敛。20．灵敏度分析：系数的每个变化都会改变线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。为制定一个应付各种偶然情况的全能方法，必须研究以求得的最优解是怎样随输入系数的变化而变化的。这叫灵敏性分析。21．TSP问题：在加权图中寻求最佳推销员回路的问题可以转化为在一个完备加权图中寻求最佳哈密顿圈的问题，称为TSP问题。22．随机存储策略：商店在订购货物时采用的一种简单的策略，是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货不小于s时就不定货；当存货少于s 时就订货，且定货量使得下周初的存量达到S，这种策略称为随机存储策略。23．随机模型：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，简称为随机模型。24．概

数学建模作业

习题 1 1. 请编写绘制以下图形的MA TLAB 命令，并展示绘得的图形. (1) 221x y +=、224x y +=分别是椭圆2241x y +=的内切圆和外切圆. (2) 指数函数x y e =和对数函数ln y x =的图像关于直线y=x 对称. (3) 黎曼函数 1, (0)(0,1) 0 , (0,1), 0,1 q x p q q x y x x x =>∈?=? ∈=?当为既约分数且当为无理数且或者的图像（要求分母q 的最大值由键盘输入）. 3. 两个人玩双骰子游戏，一个人掷骰子，另一个人打赌掷骰子者不能掷出所需点数，输赢的规则如下：如果第一次掷出3或11点，打赌者赢；如果第一次掷出2、7或12点，打赌者输；如果第一次掷出4、5、6、8、9或10点，记住这个点数，继续掷骰子，如果不能在掷出7点之前再次掷出该点数，则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏，要求写出算法和程序，估计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概率吗？请问随着试验次数的增加，这些概率收敛吗？

4. 根据表1.14的数据，完成下列数据拟合问题： (1) 如果用指数增长模型0()0()e r t t x t x -=模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 和r ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 和r . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. (2) 通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用MA TLAB 函数polyfit 进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图. (3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？ (4) 如果用阻滞增长模型00 () 00()()e r t t Nx x t x N x --= +-模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MA TLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r 和N ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 、r 和N ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 、r 和N . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890

2014年美国数学建模大赛(MCM)试题译文

2014年美国数学建模大赛（MCM）试题译文王景璟大连理工大学问题A：超车之外靠右行原则在一些开车必须靠右行驶的国家（比如：美国，中国，以及其他除了英国，澳大利亚，和一些前英国殖民地的国家），行驶在多车道高速路必须遵循一个规则，那就是要求驾驶员在超车之外的情况下，必须在最靠右的车道行驶，超车时，他们向左变道，超车，然后再回到之前行驶的车道。构建一个数学模型来分析该规则在车流量很少和很大的时候的执行情况。你最好能考察车流量与安全的之间的相互关系，过低或是过量的速度限制的作用（速度设置过低或是过高），以及/或者其他在该问题陈述中没有明确提到的因素。该原则是否能有效促进更好的车流量？如果无效，请建议和分析其他更有助于提高车流量、安全、以及其他你认为重要的因素的其他方案（可以完全不包括该原则）。在开车靠左行的国家，讨论一下你的方案在经过对方向的简单修改之后或是添加额外的要求之后是否也适用。最后，以上原则取决于人们遵循交通规则的判断力。如果道路上的车流完全在智能系统（要么是道路体系的一部分，要么是包含在使用道路的所有车辆的设计之中）的控制之下，该改变在多大程度上会影响你先前分析的结果？问题B: 大学教练联盟《体育画报》，一本体育爱好者的杂志，正在寻找上世纪“最好的大学教练”，包括男性和女性。建立一个数学模型以从诸如大学曲棍球，曲棍球，橄榄球，棒球，垒球，篮球，或足球等运动的男性或女性教练中选出最好的一个教练或几个教练（过去的或现在的）。分析中使用的时间分界线是否有影响？即在1913执教和在2013年执教有不同吗？清晰地表达你们模型中的评判标准。讨论你们的模型如何能广泛地应用于两种性别及所有可能的体育运动。分别选出你模型中3种不同运动的前5位教练。除了MCM格式及要求，准备一篇1-2页的文章给《体育画报》以解释你们的结论并包括一份能让体育迷们看懂的对你们数学模型的非技术性解释。问题C：使用网络模型测量影响力

2014年下学期数学实验与数学建模作业习题8

2014年下学期数学实验与数学建模作业习题8 1．轮船的甲板成近似半椭圆面形为了得到甲板的面积。首先测量得到横向最大相间8.534米；然后等间距地测得纵向高度，自左向右分别为：0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073，计算甲板的面积。【1】命令： x=0:0.711:8.534; y2=[0,0.914^2,5.060^2,7.772^2,8.717^2,9.083^2,9.144^2,9.083^2,8.992^2, 8.687^2,7.376^2,2.073^2,0]; %plot(x,y2,'*'); a=polyfit(x,y2,2) 【2】结果： a = -5.2832 46.5248 -16.7465 得y^2=-5.2832*x^2+46.5248*x-16.7465,即y^2/85.68+(x-4.4031)^2/16.2175=1 故面积=0.5*a*b*pi=58.56. 2．物体受水平方向外力作用，在水平直线上运动。测得位移与受力如表8.1 表8.1 X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 F 20 21 21 20 19 18.5 18.0 13.5 9 4.5 0 求(a) 物体从位移为0到0.4所做的功； (b) 位移为0.4时的速度是多少？【1】命令： x=0:0.1:1.0; f=[20,21,21,20,19,18.5,18.0,13.5,9,4.5,0]; plot(x,f,'*');hold on; a=polyfit(x,f,2) f2=-34.4988*x.*x+14.8625*x+19.5979; plot(x,f2); syms t y=-34.4988*t.*t+14.8625*t+19.5979; w=vpa(int(y,t,0,0.4),8) V=diff(y);t=2;v=eval(V)

2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题

2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题(A) 时量：180分钟满分：150分院系：专业：学号：姓名：一、选择题（2分/题×10题=20分） 1、Matlab程序设计中清除当前工作区的变量x,y的命令是( c ) A.clc x,y B.clear(x y) C.clear x y D.remove(x,y) 2、关于Matlab程序设计当中变量名和函数名的描述，下述说法正确的是( B ) A.都不区分大小写 B.都区分大小写 C.变量名区分,函数名不区分 D. 变量名区分,函数名不区分 3、MA TLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角 4、关于矩阵上下拼接和左右拼接的方式中，下列描述是正确的是（ D ） A．上下拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的列数相同； B．左右拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； C．上下拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； D．左右拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的行数相同。 5、Matlab命令a=[65 72 85 93 87 79 62 73 66 75 70];find(a>=70 & a<80)得到的结果为（C ） A.[72 79 73 75] B.[72 79 73 75 70] C.[2 6 8 10 11] D.[0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1] 6、矩阵(或向量)的范数是用来衡量矩阵(或向量)的（A）的一个量 A.维数大小 B.元素的值的绝对值大小 C.元素的值的整体差异程度 D.所有元素的和 7、计算非齐次线性方程组AX=b的解可转化为计算矩阵X=A-1b，可以用Matlab的命令（A）实现 A.左除命令x=A\b B.左除命令x=A/b C.右除命令x=A\b D.右除命令x=A/b 8、关于Matlab的矩阵命令与数组命令，下列说法正确的是（b） A.矩阵乘A*B是指对应位置元素相乘 B.矩阵乘A.*B是指对应位置元素相乘 C.数组乘A.*B是指对应位置元素相乘 D.数组乘A*B是指对应位置元素相乘 9、生成5行4列，并在区间[1:10]内服从均分布的随机矩阵的命令是（d） A.rand(5,4)*10 B.rand(5,4,1,10) C.rand(5,4)+10 D.rand(5,4)*9+1 10、关于Matlab的M文件的描述中，以下错误的是（ d ） A、Matlab的M 文件有脚本M文件和函数M文件两种； B、Matlab的函数M文件中要求首行必须以function顶格开头；

网络学院数学建模作业题

数学建模作业题注意事项：作业共十题，每题十分，全部是比较简单的建模计算题，题目既是课本上的习题，在课本304~315有参考解答，又是在线题库的题目，在题库里有更详细的解答。学员应该先自己动脑筋解决，然后才参考一下课本及题库的解答。评分高低主要是看完成作业的态度、独立程度和表达清晰程度。上传的作业必须是包括全部作业的单独一份word文档，必须自己录入，不允许扫描，不允许直接插入题库答案中的图片。严重违反者，不及格。请于有效期结束前两周提交上传作业，教师尽快批改，请学员有效期结束前一周查看成绩，不及格的学员可以在课程答疑栏目提出或者课程论坛提出重交申请，教师删除原作业后，这些学员可以在有效期结束前之前重交作业。每人只有一次重交机会。作业题与考试相关（当然不会一模一样），认真完成作业的学员，必将在考试取得好成绩。一、教材76页第1章习题1第7题（来自高中数学课本的数学探究问题，满分10分）表1.17是某地一年中10天的白昼时间（单位：小时），请选择合适的函数模型，并进行数据拟合. 日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日

白昼时间 5.59 10.23 12.38 16.39 17.26 日期 6月21日 8月14日 9月23日 10月25日 11月21日白昼时间 19.40 16.34 12.01 8.48 6.13 解：根据地理常识，某地的白昼时间是以一年为周期而变化的，以日期在一年中序号为自变量x ，以白昼时间为因变量y ，则根据表1.17的数据可知在一年（一个周期）内，随着x 的增加，y 大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）达到中间值。选择函数y=(b x A ++)3652sin(?π)作为函数值。根据表1.17的数据，推测A ，b 和?的值，作非线性拟合得385.123712.13652sin(9022.6+-=x y π，预测该地12月21日的白昼时间为5.49小时。二、教材100页第2章习题2第1题（满分10分）继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？解：“两秒准则”表明前后车距D 与车速v 成正比例关系v K D 2 =，其中s K 22 =，对于小型汽车，“一车长度准则”与“两秒准则”不一致。由)]([1 2 2 K K v K v D d --=-可以计算得到当D d h km K K K v <=-<时有/428.542 12 ，“两秒准则”足够安全，或者把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中，根据图形指出“两秒准则”足够安全的车速范围。用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需的尾随时间，并以尾随时间为依据，提出更安全的准则，如“3秒准则”、“4

数学建模一周作业题目

对作业题目的说明 1. 本次数学建模周一共提供十五道题目供大家选择。每支队伍（2-3人/队）必须从以下题目中任意选取一题（只须选择一道），并完成一篇论文，对论文的具体要求参阅《论文格式规范》。 2. 题目标注为“A ”的为有一定难度的题目，指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。（一）乒乓球赛问题 (A) A 、 B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为123,,ααα 和123,,βββ）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A 队以i α次序出场而B 队以j β次序出场，则打满5局A 队可胜 ij a 局。由此得矩阵()ij R a =如下： 12 3 1232 140345 3 1R βββααα?? = ? ? ??? （1）根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？（2）如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？（3）如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？（4）比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？（二）野兔生长问题在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下：分析该数据，得出野兔的生长规律。并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，

预测T=10 时野兔的数量。（三）停车场的设计问题在New England的一个镇上，有一位于街角处面积100 200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。请你通过建模的计算结果，来给出一个合理的设计方案。（四）奖学金的评定(A) 背景 A Better Class (ABC)学院的一些院级管理人员被学生成绩的评定问题所困）,这使得扰。平均来说，ABC的教员们一向打分较松（现在所给的平均分是A — 无法对好的和中等的学生加以区分。然而,某项十分丰厚的奖学金仅限于资助占总数10%的最优秀学生,因此,需要对学生排定名次。教务长的想法是在每一课程中将每个学生与其他学生加以比较,运用由此得到的信息构造一个排名顺序。例如,某个学生在一门课程中成绩为A,而在同一课程中所有学生都得A,那么就此课而言这个学生仅仅属于“中等”。反之，如果一个学生得到了课程中唯一的A，那么，他显然处在“中等至上”水平。综合从几门不同课程所得到的信息，使得可以把所有学院的学生按照以10%划分等级顺序（最优秀的10%，其次的10%，等等）排序。问题 , B+ ,…）这样的方式给出的,教务（1）假设学生成绩是按照（A+，A, A — 长的想法能否实现?

2015年数学建模作业题

数学模型课程期末大作业题要求: 1）选题方式：共53题，每个同学做一题，你要做的题目编号是你的学号mod52所得的值+1。(例如：你的学号为119084157，则你要做的题为mod(119084157,52)+1=50)。 2）该类题目基本为优划问题，要求提交一篇完整格式的建模论文，文字使用小四号宋体，公式用word的公式编辑器编写，正文中不得出现程序以及程序冗长的输出结果，程序以附录形式附在论文的后面，若为规划求解必须用lingo 集合形式编程，其它可用Matlab或Mathmatica编写。 3）论文以纸质文档提交，同时要交一份文章和程序电子文档，由班长统一收上来，我要验证程序。 1、生产安排问题某厂拥有4台磨床，2台立式钻床，3台卧式钻床，一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作p1至p7。工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表（表1）：表到6月底每种产品有存货50件。工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。不需要考虑排队等待加工的问题。在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是规定了月份，而是选择最合

适的月份维修。除了磨床外，每月机床在这6个月中的一个月中必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值若何？注意，可假设每月仅有24个工作日。 5、生产计划某厂有4台磨床，2台立钻，3台水平钻，1台镗床和1台刨床，用来生产7种产品，已知生产单位各种产品所需的有关设备台时以及它们的利润如表所示：台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备在当月内不能安排生产。又知从1月到6月份市场对上述7种产品最大需求量如表所示：量均不得超过100件。现在无库存，要求6月末各种产品各贮存50件。若该厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，假定不考虑产品在各种设备上的加工顺序，要求：（a）该厂如何安排计划，使总利润最大；（b）在什么价格的条件下，该厂可考虑租用或购买有关的设备。 34、瓶颈机器上的任务排序在工厂车间中，经常会出现整个车间的生产能力取决于一台机器的情况（例如，仅有一台的某型号机床，生产线上速度最慢的机器等）。这台机器就称为关键机器或瓶颈机器。此时很重要的一点就是尽可能地优化此机器将要处理的任务计划。

研究生赛E题【2014年研究生数学建模竞赛试题】

2014年全国研究生数学建模竞赛E题乘用车物流运输计划问题整车物流指的是按照客户订单对整车快速配送的全过程。随着我国汽车工业的高速发展，整车物流量，特别是乘用车的整车物流量迅速增长。图1、2、3就是乘用车整车物流实施过程中的画面。乘用车生产厂家根据全国客户的购车订单，向物流公司下达运输乘用车到全国各地的任务，物流公司则根据下达的任务制定运输计划并配送这批乘用车。为此，物流公司首先要从他们当时可以调用的“轿运车”中选择出若干辆轿运车，进而给出其中每一辆轿运车上乘用车的装载方案和目的地，以保证运输任务的完成。“轿运车”是通过公路来运输乘用车整车的专用运输车，根据型号的不同有单层和双层两种类型，由于单层轿运车实际中很少使用,本题仅考虑双层轿运车。双层轿运车又分为三种子型：上下层各装载1列乘用车，故记为1-1型（图1）；下、上层分别装载1、2列，记为1-2型（图2）；上、下层各装载2列，记为2-2型（图3），每辆轿运车可以装载乘用车的最大数量在6到27辆之间。在确保完成运输任务的前提下，物流公司追求降低运输成本。但由于轿运车、乘用车有多种规格等原因，当前很多物流公司在制定运输计划时主要依赖调度人员的经验，在面对复杂的运输任务时，往往效率低下，而且运输成本不尽理想。请你们为物流公司建立数学模型，给出通用算法和程序（评审时要查）。 1

装载具体要求如下：每种轿运车上、下层装载区域均可等价看成长方形，各列乘用车均纵向摆放，相邻乘用车之间纵向及横向的安全车距均至少为0.1米，下层力争装满，上层两列力求对称，以保证轿运车行驶平稳。受层高限制，高度超过1.7米的乘用车只能装在1-1、1-2型下层。轿运车、乘用车规格（第五问见附件）如下：乘用车型号长度(米) 宽度(米) 高度(米) Ⅰ 4.61 1.7 1.51 Ⅱ 3.615 1.605 1.394 Ⅲ 4.63 1.785 1.77 轿运车类型上下层长度(米) 上层宽度(米) 下层宽度(米) 1-1 19 2.7 2.7 1-2 24.3 3.5 2.7 表2 轿运车规格整车物流的运输成本计算较为繁杂,这里简化为：影响成本高低的首先是轿运车使用数量；其次，在轿运车使用数量相同情况下，1-1型轿运车的使用成本 2

福建师范大学课程考试《数学建模》作业考核试题参考328

《数学建模》期末考试A卷一、判断题（每题3分，共15分） 1、模型具有可转移性。 ------------------------------（√） 2、一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。------（√） 3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。 --------------------------------------------- （√） 4、力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量纲。-------（√） 5、数学模型是原型的复制品。 -------------------- （×）二、不定项选择题（每题3分，共15分） 1、下列说法正确的有 ACD 。A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。 B、模型误差是可以避免的。 C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。 D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。 2、建模能力包括 ABCD 。 A、理解实际问题的能力 B、抽象分析问题的能力 C、运用工具知识的能力 D、试验调试的能力 3、按照模型的应用领域分的模型有 CD 。 A、传染病模型 B、代数模型 C、几何模型 D、微分模型 E、生态模型 4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 ABCD 。 A、机理分析法 B、几何法 C、系统辩识法 D、代数法 5、一个理想的数学模型需满足 AB 。 A、模型的适用性 B、模型的可靠性 C、模型的复杂性 D、模型的美观性三、用框图说明数学建模的过程。（10分）四、建模题（每题15分，共60分） 1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否同时着地？一、模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设： 1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形. 2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学 1

2014 数学建模练习题

练习1 基础练习一、矩阵及数组操作： 1．利用基本矩阵产生3×3和15×8的单位矩阵、全1矩阵、全0矩阵、均匀分布随机矩阵（[-1，1]之间）、正态分布矩阵（均值为1，方差为4）。 2．利用fix及rand函数生成[0，10]上的均匀分布的10×10的整数随机矩阵a，然后统计a中大于等于5的元素个数。 3．在给定的矩阵中删除含有整行内容全为0的行，删除整列内容全为0的列。二、绘图： 4．在同一图形窗口画出下列两条曲线图像： y1=2x+5；y2=x^2-3x+1，并且用legend标注。 5．画出下列函数的曲面及等高线： z=x^2+y^2+sin(xy)．三、程序设计： 6．编写程序计算（x在[-3，3]，间隔0.01） 7．有一列分数序列：

求前15项的和。 8．用至少三种方法编写函数实现求任意整数n的阶乘。 9．将任意大于6的偶数m写成两个素数p1、p2的和（试着写出所有的m=p1+p2的可能形式）。 10．是否任意3的倍数m可以写成两个素数p1、p2、p3的和（试着写出所有的m=p1+p2+p3 的可能形式）？四、数据处理与拟合初步： 11．通过测量得到一组数据：分别采用y=c1+c2e^(-t)和y=d1+d2te^(-t)进行拟合，并画出拟合曲线进行对比。 12．计算下列定积分： 13．微分方程组当t=0时，x1(0)=1，x2(0)=-0.5，求微分方程t在[0，25]上的解，并

画出相空间轨道图像。 14．设通过测量得到时间t与变量y的数据： t=[0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]; y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.41]; 分别采用多项式：y=a0+a1t+a2t2 和指数函数y=b0+b1e^t+b2te^t 进行拟合，并计算均方误差、画出拟合效果图进行比较。 15．观察函数：y=e^x-1.5cos(2*pi*x) 在区间[-1,1]上的函数图像，完成下列两题：（1）用函数fzero求解上述函数在[-1,1]的所有根，验证你的结果；（2）用函数fminbnd求解上述函数在[-1,1]上的极小、极大、最小和最大值，在函数图像上标出你求得的最小值点作出验证。注：可以用help fzero命令查看fzero的调用格式，fzero典型的调用方法是： fzero(@myfun,x0) %返回函数myfun在x0附近的根；fminbnd典型的调用方法是： fminbnd(@myfun,x1,x2) %返回函数myfun在区间[x1,x2]上的最小值。

数学建模数学模型作业题

一、对于6.4节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1k +时段的价格1k y +由第1k +和k 时段的数量1k x +和k x 决定，如果设 1k x +仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与6.4节的结果进行比较。（2）若除了1k y +由1k x +和k x 决定之外， 1k x +也由前两个时段的价格k y 和1k y -确定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。解：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一个时段的价格，所以第k+1时段的价格1+k y 由第k+1和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，设1k y +由1k x +和k x 的平均值决定，即二者平均值 2 1k k x x ++，模型为： 110 0100(),02(),0 k k k k k x x y y x x x y y ααββ++++? -=-->?? ?-=->? 由此可以得到 22022(1)k k k x x x x αβαβαβ++++=+，其特征方程为 022=++αβαβλλ，得出其特征根： 4 8--2 2,1αβ αβαβλ）（±= * 当8>αβ时，有： 4 -48---2 2αβ αβαβαβλ<=）（由以上可算出： 2 2,1αβ λ= 即：2<αβ 所以与6.4节的结果相同，平衡点稳定的条件为2αβ<。（2）设k x 也由k y 和1k y -的平均值决定，模型为： 1100110 0(),02 (),02 k k k k k k x x y y x y y x x y ααββ++-++? -=-->??? +?-=->??

数学建模选修大作业

中华女子学院成绩2014 — 2015学年第二学期期末考试（论文类）论文题目数学建模算法之蒙特卡罗算法课程代码 01 课程名称数学建模

学号 9 姓名陈可心院系计算机系专业计算机科学与技术考试时间 2015年5月27日一、数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。接下来本文将着重介绍这一算法。 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现。这个也是我们数学

建模选修课时主要介绍的问题，所以对这方面比较熟悉，也了解了Lindo、Lingo软件的基本用法。 4、图论算法这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，上学期数据结构课程以及离散数学课程中都有介绍。它提供了对很多问题都很有效的一种简单而系统的建模方式。 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7、网格算法和穷举法网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8、一些连续离散化方法

数学建模试题及答案

数学专业（本科）《数学建模》注意事项：1、本试卷共6页，满分100分，考试时间为120分钟。 2、答卷前将密封线内的项目填写清楚。一、填空题(每题5分，共15分) 1．一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是。2．设银行的年利率为0．2，则五年后的一百万元相当于现在的万元． 3．在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N将和下列因素有关：（1）参加展览会的人数n；(2)气温T超过10℃；(3)冰淇淋的售价由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为。二、简答题：（25分） 1、建立数学模型的基本方法有哪些？写出建模的一般步骤。（5分） 2、写出优化模型的一般形式和线性规划模型的标准形式。（10分） 2、数据拟合方法在数学建模过程中有什么意义？常见的数据拟合方法有哪些？（10分）

三、（每小题15分，共60分） 1、设某产品的供给函数)(p ?与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(, 43)(+-=+=kp p f p p ? 其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。 2、1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。 3、试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什

么？4、建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的捕捞量数学建模参考答案