数学高考真题-2014湖南卷文科
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数 学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设命题p ：?x ∈R ，x 2＋1＞0，则p 为( )
A ．?x 0∈R ，x 20＋1＞0
B ．?x 0∈R ，x 20＋1≤0
C ．?x 0∈R ，x 20
＋1＜0 D ．?x ∈R ，x 2＋1≤0 2．已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝( )
A ．{x |x ＞2}
B ．{x |x ＞1}
C ．{x |2＜x ＜3}
D ．{x |1＜x ＜3}
3．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )
A ．p 1＝p 2＜p 3
B ．p 2＝p 3＜p 1
C ．p 1＝p 3＜p 2
D ．p 1＝p 2＝p 3
4．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A ．f (x )＝1x 2
B ．f (x )＝x 2＋1
C ．f (x )＝x 3
D ．f (x )＝2－
x
5．在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )
A.45
B.35
C.25
D.15
6．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )
A ．21
B ．19
C ．9
D ．－11
7．执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈
[－2，2]，则输出的S 属于( )
A ．[－6，－2]
B ．[－5，－1]
C ．[－4，5]
D ．[－3，6]
8．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，
将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球
的半径等于 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9． 若0＜x 1＜x 2＜1，则( )
A.2121ln ln x x e e x x ->-
B.2121ln ln x x e e x x -<-
C.1221x x x e x e >
D.1221x x x e x e <
10．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD
→|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )
A ．[4，6]
B ．[19－1，19＋1]
C ．[23，27]
D ．[7－1，7＋1]
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）
11．复数3＋i i 2(i 为虚数单位)的实部等于________． 12．在平面直角坐标系中，曲线C ：???x ＝2＋22t ，
y ＝1＋22t
(t 为参数)的普通方程为________． 13．若变量x ，y 满足约束条件?????y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥1，
则z ＝2x ＋y 的最大值为________．
14．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．
15．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2
，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．
17．（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．
其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．
(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平．
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．
18．（本小题满分12分）如图所示，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .
(1)证明：AB ⊥平面ODE ；
(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．
19．（本小题满分13分） 如图所示，在平面四边形ABCD 中，
DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3
. (1)求sin ∠CED 的值；
(2)求BE 的长．
20．（本小题满分13分）如图所示，O 为坐标原点，双曲线
C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2
b 22
＝1(a 2＞b 2＞0)均过
点P ???
?233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． (1)求C 1，C 2的方程．
(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|
＝|AB | ？证明你的结论.
21．（本小题满分13分）已知函数f (x )＝x cos x －sin x ＋1(x ＞0)．
(1)求f (x )的单调区间；
(2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点,证明:对一切n ∈N *，有1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n ＜23
.