三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳地总结

一、手拉手模型

要点一：手拉手模型

特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点

结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：

例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ，证明

（1）DBC ABE ??? (2)DC AE =

(3)AE 与DC 之间的夹角为?

60 (4)DFB AGB ??? (5)CFB EGB ??? (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //

变式精练1：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ??? （2）DC AE =

（3）AE 与DC 之间的夹角为?

60

（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠

变式精练2：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ，

证明（1）DBC ABE ??? (2）DC AE =

(3）AE 与DC 之间的夹角为?60

(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠

例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结

CE AG ,,二者相交于点H

问：（1）CDE ADG ???是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？

例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H

问：（1）CDE ADG ???是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？

例4：两个等腰三角形ABD ?与BCE ?，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ???是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？

（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？

二、倍长与中点有关的线段

倍长中线类

?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

【例1】 已知：ABC ?中，AM 是中线．求证：1

()2

AM AB AC <+．

M

C

B

A

【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，

，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？

【练2】如图所示，在ABC ?的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +．

F E C

B

A

【例2】 如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC

于F ，AF EF =，求证：AC BE =．

F

E

D

C B

A

【练1】如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，

延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =

F

E

D

C

B

A

【练2】如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ?的角平分线．

G

F

E

D

C

B

A

【练3】如图所示，已知ABC ?中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．

求证：EF ∥AB

F

A

C

D E B

【例3】 已知AM 为ABC ?的中线，AM B ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于

F ．求证：BE CF EF +>．

F

E

M

C

B

A

【练1】在Rt ABC ?中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=?．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．

F

E

D

C

B

A

【练2】在ABC ?中，点D 为BC 的中点，点M 、N 分别为AB 、AC 上的点，且MD ND ⊥．

（1）若90A ∠=?，以线段BM 、MN 、CN 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

（2）如果2222BM CN DM DN +=+，求证()2221

4

AD AB AC =+．

M

N

D

A

B

C

【例4】 如图所示，在ABC ?中，AB AC =，延长AB 到D ，使B D A B =，E 为AB 的中点，

连接CE 、CD ，求证2CD EC =．

E

D

C

B A

【练1】已知ABC ?中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ?的AB 边上的中线．

求证：2CD CE =

E

D

C

B A

★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性

质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方

1. 如图所示，ABC ?中，0

45,90=∠=∠B C ，AD 平分BAC ∠交BC 于

D 。求证：AB=AC+CD 。

A

如图所示，在ABC ?中，0

60=∠B ，ABC ?的角平分线AD 、CE 相交于点O 。求证：AE+CD=AC 。

2. 如图所示，已知21∠=∠，P 为BN 上一点，且BC PD ⊥于D ，AB+BC=2BD ，求证：

0180=∠+∠BCP BAP 。

3. 如图所示，在ABC Rt ?中，AB=AC ，0

90=∠BAC ，CBD ABD ∠=∠，CE 垂直于

BD 的延长线于E 。求证：BD=2CE 。

5如图所示，在ABC ?中，0

90=∠ABC ，AD 为BAC ∠的平分

线，C ∠=300

，AD BE ⊥于E 点，求证：AC-AB=2BE 。

E

D

B

C

A

D

A

C

E

B

O

E

D

A B

C

2

1D M

B

C

P

N

A C

6.如图所示，已知AB //CD ，BCD ABC ∠∠,的平分线恰好交于AD 上一点E ，求证：BC=AB+CD 。

7.如图，E 是AOB ∠的平分线上一点，OA EC ⊥，OB ED ⊥，垂足为C 、D 。求证：（1）OC=OD ； （2）DF=CF 。

E

D

B

A

C

F D

C

A

O

B

E

三、截长补短

问题1：垂直平分线（性质）定理是_______________________________________________________

问题2：角平分线（性质）定理是__________________________________________________________

问题3：等腰三角形的两个底角________，简称______________；

如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称____________．

问题4：当见到线段的______________考虑截长补短，构造全等或等腰转移____、转移____，然后和_________重新组合解决问题．

三角形全等之截长补短（一）

一、单选题(共4道，每道25分)

1.已知，如图，BM平分∠ABC，P为BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+CD．

求证：∠BAP+∠BCP=180°．

请你仔细观察下列序号所代表的内容：

①；②∵∠1=∠2；③∠A=∠BEP；④AP=PE；

⑤；⑥；⑦；

⑧．

以上空缺处依次所填最恰当的是( )

A.①③⑥⑦

B.①③⑤⑧

C.②③⑥⑦

D.②④⑤⑧

2.已知，如图，BM平分∠ABC，点P为BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+DC．

求证：∠BAP+∠BCP=180°．

请你仔细观察下列序号所代表的内容：

①延长BA，过点P作PE⊥BA于点E；②延长BA到E，使AE=DC，连接PE；

③延长BA到E，使DC=AE；④；⑤；

⑥；⑦．以上空缺处依次所填最恰当的是( )

A.②④⑦

B.①⑤⑥

C.③④⑥

D.①⑤⑦

3.已知，如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，AD平分∠CDE，∠BAE=2∠CAD，求证：BC+DE=CD．

请你仔细观察下列序号所代表的内容：

①在CD上截取CF=CB，连接AF；②在DC上截取DF=DE，连接AF；

③在DC上截取DF=DE；④AE=AF；⑤AF=AE，∠4=∠3；⑥∠4=∠3；

⑦；⑧；⑨．以上空缺处依次所填最恰当的是( )

A.①④⑨

B.③⑤⑧

C.①⑥⑦

D.②⑤⑨

4.已知，如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，∠BAE=2∠CAD，∠ABC+∠AED=180°，求证：BC+DE=CD．

请你仔细观察下列序号所代表的内容：

①延长DE到F，使EF=BC，连接AF；②延长DE到F，使BC=EF；

③延长DE到F，连接AF；④；

⑤；⑥；⑦；

⑧；⑨．

以上空缺处依次所填最恰当的是( )

A.③⑤⑥⑧

B.①④⑥⑨

C.①⑤⑥⑨

D.②④⑦⑧

四、三角形全等旋转与截长补短专题

问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件)

问题二：旋转都有哪些模型？

【例1】

如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P＇BA ，则∠PBP＇的度数是( )

A．45°B．60°

C．90°D．120°

【例2】

如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于A，连接BD、CF，

求证：BD＝CF并求出∠DOH的度数。

【例3】

如图，正方形ABCD中，∠F AD＝∠F AE。求证：BE＋DF＝

AE。

1．题干中出现对图形的旋转——现成的全等

2．图形中隐藏着旋转位置关系的全等形——找到并利用

3．题干中没提到旋转，图形中也没有旋转关系存在——通过作辅助线构造旋转！

【例4】

已知：如图：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN的两边分别交CB、DC于点M、N。求证：BM＋DN＝MN。

【例5】

如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，连接对角线BD交AE于M，交AF于N，证明：DN2＋BM2＝MN2

【例6】

如图，已知△OAB和△OCD是等边三角形，连结AC和BD，相交于点E，AC和BO交于点F，连结BC。求∠AEB的大小。

【例7】

如图所示：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且AP＝3，CP＝2，BP＝1，求∠BPC的度数。

本课总结

问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件)

1．图中有相等的边(等腰三角形、等边三角形、正方形、正多边形) 2．这些相等的边中存在共端点。

3．如果旋转(将一条边和另一条边重合)，会出现特殊的角：大角夹半角、手拉手、被分割的特殊角。

问题二：旋转都有哪些模型？

构造旋转辅助线模型： 1．大角夹半角

2．手拉手(寻找旋转) 3．被分割的特殊角

测试题

1．如图，P 是正ABC ?内的一点，且BP 是∠ABC 的角平分线，若将PBC ?绕点P 旋转到

P BA '?，则PBP '∠的度数是( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°

2．如

图：△A

BC 中，AB ＝AC ，BC 为最大边，点D 、E 分别在BC 、AC 上，BD ＝CE ，F 为BA 延长线上一点，BF ＝CD ，则下列正确的是( ) A ．DF ＝DE B ．DC ＝DF C ．EC ＝EA D ．不确定 3．如图，四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，则下列正确的是( ) A ．BD 2＝AB 2＋BC 2 B ．BD 2＜AB 2＋BC 2 C ．BD 2＞AB 2＋BC 2 D ．不确定 4．已知ABC △中，90ACB ∠=°，CD AB ⊥于D ，AE 为角平分线交CD 于F ，则图中的直角三角形有( ) A ．7个 B ．6个 C ．5个 D ．4个

5．如图，DA ⊥AB ，EA ⊥AC ，AD ＝AB ，AE ＝AC ，则下列正确的是( )

P 'A B C P C B A F D E B D A C

A ．ABD ACE △≌△

B ．ADF AES △≌△

C ．BMF CMS △≌△

D ．ADC AB

E △≌△

6．如图，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上的一点(不与A 、C 重合)，PE ⊥BC 与点E ，PF ⊥CD 与点F ，若四边形PECF 绕点C 逆时针旋转，连结BE 、DF ，则

下列一定正确的是( )

A ．BP ＝DP

B ．BE 2＋E

C 2＝BC 2

C ．BP ＝DF

D ．B

E ＝DF

7．如图，等腰直角△ADB 与等腰直角△AEC 共点于A ，连结BE 、CD ，则下列一定正确的是( ) A ．BE ＝DC B ．AD ∥CE C ．BE ⊥CE D ．BE ＝CE

8．如图，等边三角形ABE 与等边三角形

AFC 共点于A ，连接BF 、CE ，则∠EOB 的度数为( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120° 9．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ==?∠∠，E 、F 分别是边BC 、CD 上

的点，且1

2

EAF BAD =∠∠。则下列一定正确的是( )

A ．EF BE FD =+

B ．EF BE FD >+

C ．EF BE F

D <+ D ．222EF B

E FD =+ 10．在正方形ABCD 中，BE ＝3，E

F ＝5，DF ＝4，则∠BAE ＋∠DCF 为( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°

F

E

D

C

B

A

O

G F

E

C

B

A F

E

D

C

B

A

S

F

E

D

C

B

A

M

D

C

B A

E

P

F

A

B

C

D O E

F

E

D C

B

A

五、寻找全等三角形的几种方法

利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等. 在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论．下面介绍寻找全等三角形的几种方法，供同学们参考． 一、利用公共角

例 1 如图 1，AB ＝ AC , AE ＝ AF . 求证: ∠B ＝∠C .

分析：要证明∠B ＝∠C ，只需证明△BOE ≌△COF 或△ABF ≌△ACE . 而由图形可知∠A 是公共角，又由已知条件 AB ＝ AC , AE ＝ AF ,所以△ABF ≌△ACE ，于是问题获证．

二、利用对顶角（题目中的隐含条件）

例 2 如图 2，B 、E 、F 、D 在同一直线上，AB ＝ CD ，BE ＝DF ，AE ＝ CF ，连接 AC 交 BD 于点 O ． 求证： AO ＝ CO ．

分析：要证明 AO ＝ CO ，只需证明△AOE ≌△COF 或△AOB ≌△COD 即可．根据现有条件都无法直接证明．而由已知条件 AB ＝CD ，BE ＝ DF , AE ＝ CF 可直接证明△ABE ≌△CDF ，则 有∠AEB ＝∠CFD ，进而有∠AEO ＝∠CFO ,再 利 用 对 顶 角 相 等，即可 证 明。

三、利用公共边（题目中的隐含条件）

例 3 如图 3，AB ＝ CD ，AC ＝ BD ．求证：∠B ＝∠C ．

分析：设 AC 与 BD 交于点 O ，此时∠B 与∠C 分别在△AOB 和△DOC 中，而用现有的已知条件是不可能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形．此时可以连接 AD ，那么 AD 是△ABD 和△DCA 的公共边，这样可以证明△ABD ≌△DCA ．

四、利用相等线段中的公共部分

例 4 如图 4，E 、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF ＝ CE . 求证：BE ∥DF .

分析：要证明 BE ∥DF , 只需证明∠BEC ＝∠DF A ，此时可以转换为证明∠AEB ＝∠CFD , 进而证明△AEB ≌△CFD .

图3

图2

图1

图4

F

C

O

A

C

E

O

B

O

E

C A

A

C

D

A

D

B

F

F

B

D

B

E

五、利用等角中的公共部分

例 5 如图 5，已知∠E ＝ 30°，AB ＝ AD ，AC ＝ AE ，∠BAE ＝∠DAC ．求∠C 的度数．

分析：已知∠E ＝ 30°，要求∠C ，可考虑证明△ABC ≌△ADE ,由∠BAE ＝∠DAC ,结合图形可知∠BAC ＝∠DAE ，于是问题获解．

六、利用互余或互补角的性质 考点：同角或等角的余角相等 例 6 如图 6，已知∠DCE ＝ 90°，∠DAC ＝ 90°，BE ⊥AC 于B , 且 DC ＝ EC , 能否找出与 AB +AD 相等的线段，并说明理由． 分析：由于 AC ＝ AB +BC ，可以猜想 AC ＝ AB +AD ，或 BE ＝AB +AD ，此时只需证明 AD ＝ BC 即可．而事实上，用同角的余角相等可得到∠DCA ＝∠E ，从而证明△ADC ≌△BCE ，问题获证．

例7，如图7—1，在正方形ABCD 中，M,N 分别是CD ，AD 上的点，BM 与CN 相交于点O,若∠BON=90°， 求证：△DNC ≌△CMB.

变式：如图7—2，在等边△ABC 中，M,N 分别是AC,AB 上的点，BM 与CN 相交于点O,若∠BON=60°， 求证:△ANC ≌△CMB

图7-2

图6

图7-1

图5

O

M

C

O

N

B

C B

E

C C

A

D

A

B

B

A E

D

D

A M

N

七、利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）构造全等三角形 考点一：利用角平分线上的点到角两边的距离相等

例8，如图8，点P 是∠ABC 的平分线BN 上一点，PE 垂直AB 所在的直线与E,PF 垂直BC 所在的直线于F,

∠PAB+∠PCB=180°。求证PA=PC.

考点二：利用截长补短法构造全等三角形

所谓截长法是指在较长得到线段上截取一条线段等于较短线段，而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段，通过截长补短可把分散的条件相对集中，以便构造全等三角形。 例9，如图9，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2. 求证：AB=AC+CD. 分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE=CD ，或在AB 上截取AF=AC.

八、利用“一线三等角”模型构造全等三角形。

所谓“一线三等角”是指一条直线上有三个相等角，如果有一条边相等则可以构造全等三角形. 类型一：直角三角形中的“一线三等角”

例10，如图10，△ABC 中，∠B=90°，CD ⊥AC ，过D 作DE ⊥AB 交BC 延长线与E 。且AC=CD ， 求证：△ABC ≌△CED 。

类型二：等腰三角形中地边上的“一线三等角”

例11，如图11，在△ABC 中， AB=AC ，点D,E 分别在AB,BC 上，作∠DEF=∠B ，射线EF 交线段AC 于F ． 若DE=EF,求证：△DBE ≌△ECF ；

2

1图 11

图 10

图 9

图 8

C

C

D

D F E

B

B

C A

B

E A

A

F

P

N

A C

B

D E

全等三角形辅助线之截长补短和倍长中线(原题+解析)

全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线 一．填空题（共1小题） 1．（2015秋?宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC 交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是．二．解答题（共10小题） 2．（2010秋?涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD． 3．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．4．（2013秋?藁城市校级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN 经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E． （1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系请你直接写出这个数量关系，不要证明． 5．已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由． 6．（2012秋?西城区校级期中）已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，F是CD中点，连BF交AC于点E，∠ABE+∠CEB=180°，判断BD与CE 的数量关系，并证明你的结论． 7．（2010秋?丰台区期末）已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明． 8．已知点M是等边△ABD中边AB上任意一点（不与A、B重合），作∠DMN=60°，交∠DBA外角平分线于点N． （1）求证：DM=MN； （2）若点M在AB的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否依然成立请你画出图形并证明你的结论． 9．（2015春?闵行区期末）如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E 是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE． 10．已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．求证：BE+DF=AE．11．（2010秋?巢湖期中）如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．

初中数学全等三角形截长补短

全等三角形——截长补短法 一、知识梳理： 截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 二、典型例题： 例1、如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数. 及时练习： 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． 例2、已知ABC ?中，60A ∠ =，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． D O E C B A

M D C B A P C B A 及时练习： 如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=，0 40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ， BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 例3、如图．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ． 求证：AE =BC +CE ． 及时练习： 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ， ∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( ) A . a B . k C . 2 k h + D . h 例4、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ． 求证：OA 平分DOE ∠．

三角形旋转全等常见模型(1)

1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋 全等遇等腰旋顶角，造旋转 ，造等腰直角 旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC （1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由．

（2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△C BN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1)如图1，当点D 在边BC 上时，求证：①BD=CF ②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 例1、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB,AD 上各存在一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求PCQ ∠的度数。 例2、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ，求证：①∠MAN=45°；② △CMN 的周长=2AB ；③AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM 。 例3、在正方形ABCD 中，已知∠MAN=45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动：①试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系；②求证：AB=AH. 例4、在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 且上，满足EF=BE+DF.求证：BAD EAF ∠= ∠2 1 。

全等三角形截长补短拔高练习(含答案)

八年级数学全等三角形辅助线添加之截长补短 （全等三角形）拔高练习 试卷简介:本讲测试题共两个大题，第一题是证明题，共7个小题，每小题10分；第二题解答题，2个小题，每小题15分。 学习建议:本讲内容是三角形全等的判定——辅助线添加之截长补短，其中通过截长补短来添加辅助线是重点，也是难点。希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线，进而构造出全等的三角形。 一、解答题(共1道，每道20分) 1.如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=（AD+AB）.问：∠1和∠2有何关系？ 答案： 解：∠1+∠2=180° 证明：过点C作CF⊥AN于点F，由于AC平分∠NAM，所以CF=CE，则在Rt△ACF和Rt△ACE 中 ∴△ACF≌△ACE（HL），∴AF=AE，由于2AE=AD+AB，所以AB-AE=AF-AD ∴DF=BE，在△CFD和△CEB中所以△CFD≌△CEB（SAS），∴∠2=∠FDC，又∠1+∠FDC=180°，∴∠1+∠2=180°。 解题思路：见到角平分线就要想到作垂直，找到全等关系是解决此类问题的关键 易错点：找到三角形全等的所有条件

试题难度：四颗星知识点：三角形 二、证明题(共8道，每道10分) 1.如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E，求证：CE=BD. 答案： 延长CE交BA的延长线于点H，由BE平分ABC，BE CE，得CE=EH=CH。 又1+H=90°,，2+H=90° 1= 2 在△ACH和△ABD中 HAC=DAB=90° AC=AB 1= 2 △ACH≌△ABD（ASA） CH=BD CE=CH=BD 解题思路： 根据题意，要证明CE=BD，延长CE与BA，由题意的垂直平分线可得CE的两倍长CH，只需证明CH=BD即可，很显然有全等可以证明出结论 易错点：不能正确利用题中已知条件BF平分∠ABC，CE⊥BD于E，做出辅助线，进而解答。试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质 2. 如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．求证：AE－BE＝DF．

a全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法

手拉手模型 要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA平分∠BOC 变形： 例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD ?，连结AE与CD，?与BCE 证明 （1）DBC ? ? ABE? (2)AE与DC之间的夹角为? 60 (3)BH平分AHC ∠ 变式精练1：如图两个等边三角形ABD ?，连结 ?与BCE AE与CD， 证明（1）DBC ? ABE? ? （2）AE与DC之间的夹角为? 60

（3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 变式精练2：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ??? (2）AE 与DC 之间的夹角为?60 (3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠ 例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠ 例4：两个等腰三角形ABD ?与BCE ?，其中 BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，

关于全等三角形的旋转难题解析

旋转 已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l 的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE， （1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证：△ADC≌△CEB； （2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD； （3）如图3，当CE在△ABC的外部时，试猜想ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想． 考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE，进而根据AAS证明△ADC≌△CEB． （2）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD． （3）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，进而得到ED=AD+BE．解答：（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． （2）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴DC=BE，AD=CE． 又∵ED=CD-CE， ∴ED=BE-AD． （3）ED=AD+BE． 证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴DC=BE，AD=CE． 又∵ED=CE+DC， ∴ED=AD+BE．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应边相等进行等量交换，证明线段

三角形全等之截长补短(整理)

三角形全等之截长补短（讲义） 一、知识点睛 截长补短： 题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________ ___________________________________________________． 二、精讲精练 1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C． 求证：AC=AB+BD． 2 1 D B A 2 1 D C B A 2 1 D B A

2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD． 求证：CD=AD+BC． 3.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB， ∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF． 求证：EF=BF+DE． E D C B A D A

4. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ， CE 交于点O ． 求证：AC =AE +CD ． D B F E D C B A

5. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ． O E D C B A

求证：CE 2 1 BD ． 【参考答案】 E D C B A E D C A

F A C 12 【知识点睛】 线段间的和差倍分； 把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系． 【精讲精练】 1. 补短法： 证明：如图，延长AB 到E ，使BE =BD ，连接DE ． ∵∠ABD 是△BDE 的一个外角 ∴∠ABD =∠E ＋∠BDE ∵BE =BD ∴∠E =∠BDE ∴∠ABD =2∠E ∵∠ABD =2∠C ∴∠E =∠C 在△ADE 和△ADC 中 12E C AD AD ∠=∠?? ∠=∠??=? ∴△ADE ≌△ADC （AAS ） ∴AE =AC ∴AC =AB ＋BE =AB ＋BD 截长法： 证明：如图，在AC 上截取AF =AB ，连接DF ． 在△ABD 和△AFD 中 12AB AF AD AD =?? ∠=∠??=? ∴△ABD ≌△AFD （SAS ） ∴∠B =∠AFD ，BD =FD ∵∠B =2∠C ∴∠AFD =2∠C ∵∠AFD 是△DFC 的一个外角 ∴∠AFD =∠C +∠FDC ∴∠FDC =∠C ∴DF =FC ∴BD =FC ∴AC =AF +FC E 2 1D C B A

全等三角形作辅助线专题一重点截长补短法可

D C B A E D F C B A 全等三角形作辅助线经典例题 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全 等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中 的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻 转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形） 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是 之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等 1：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. E D C B A 中考应用： 以ABC ?的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90, BAD CAE ∠=∠=? 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC ?为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是； （2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A沿逆时针方向旋转?θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）

截长补短与倍长中线法证明三角形全等

1.截长补短法证明三角形全等 例1已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 练习1如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 AC-AB=2BE 2.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证： 3如图，已知AD∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求 证：AD+BC=AB． P C E D B A

4在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ， MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 6.如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由 例2已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 例1. 练习已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°. A B C D 图1-1 A P 1 2 N

2、倍长中线法证三角形全等 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 练习 1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2.已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 练习2已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例3已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交 F E C A B D F E D A B C

八年级数学 全等三角形截长补短法专题

A D B C E 图2-1 截长补短法 人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， ?? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180° 例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB . 求证：CD =AD +BC . 分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2 在△FCE 与△BCE 中， ?? ? ??=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1. A B C D 图1-1 F E D C B A 图1-2 A D B C E F 1 234 图2-2

三角形全等之截长补短(讲义)

三角形全等之截长补短（讲义） ?课前预习 1.尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： >），作一条线段，使它等于a+b． （1）已知线段a，b（a b a b >），作一条线段，使它等于a-b． （2）已知线段a，b（a b a b 2.想一想，证一证 已知：如图，射线B M平分∠A B C，点P为射线B M上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+CD，过点P作PE⊥BA于点E． 求证：△P AE≌△PCD． E M A P D B C ?知识点睛 截长补短：

题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________ ___________________________________________________． ? 精讲精练 1. 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ． 求证：AC =AB +BD ． 2. 如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°，点E 为AB 边上一点，且DE 平 分∠ADC ，CE 平分∠BCD ． 求证：CD =AD +BC ． 2 1D C B A 21D A 21D A C

3.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别 为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF． 求证：EF=BF+DE．D A

4. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点 O ． 求证：AC =AE +CD ． O E D B F E D C B A

全等三角形~截长补短

1 2 截长补短 截长补短”是几何证明题中十分重要的方法， 通常用来证明几条线段的数量关系， 即若 题目条件或结论中含有 a b c ”的条件，需要添加辅助线时可以考虑 截长补短”的方法。 另外的较短线段。 补短法: ①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等 于较长线段。即延长a ，得到b ，证：a b ①延长较短线段中的一条， 使延长后的线段等于较长线段, 一条较短线段。 即延长a ，得到c ,证：b c-a 。 例1.已知：如图，在 △ ABC 中，△仁△Z, △ B=2AC .求证: 1.补短法: 证明：如图，延长 AB 到E ,使BE=BD ，连接DE . △ △ABD 是 △BDE 的一个外角 △ △ABDME + △BDE ABE=BD △ △EMBDE △ △ABD=2 △E △ △ABD=2 △C △ △EMC 在 AADE 和 AADC 中 △ △ADE △△ADC (AAS )截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段, 再设法证明较长线段的剩余线段等于 然后证明延长出来的部分等于另 AC=AB+BD . AD AD

1 2 证明：如图，在 CD 上截取CF=CB . △CE 平分△CBD 在△CFE 和 △CBE 中 △AE=AC △AC=AB + BE=AB + BD 2.截长法: 证明：如图，在 AC 上截取AF=AB ，连接DF . 在△ABD 和△AFD 中 AB AF AD AD △ △ABD △△AFD ( SAS ) △ ABMAFD , BD=FD △ △B=2 △C △ △AFD =2 △C △ △AFD 是^DFC 的一个外角 △ △AFD me + 舉DC △ AFDCmC ADF=FC ABD=FC △AC=AF+FC=AB+BD 例2.如图，在四边形 ABCD 中，△ A=AB=90，点 E 为AB 边上一点，且 DE 平分△ ADC ， CE 平分△ BCD .求证：CD=AD+BC . CF CB CE CE

完整word版,初中三角形全等之旋转和对称经典模型

初中全等三角形旋转和对称经典模型 一.旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度，就叫做 图形的旋转，定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角； 二.旋转的性质 （1）旋转前后的图形全等；即对应线段相等，对应角相等． （2）对应点到旋转中心的距离相等． （3）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角． 三.旋转对称图形 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称 图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°，小于360°）四.旋转对称图形 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°，小于360°） 五.典型模型 1、等线段共点 等边三角形共顶点

2、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转： 自旋转构造放方法： ①遇60°旋60°，构造等边三角形； ②遇90°旋90°，构造等腰直角三角形； ③遇等腰旋转顶角，构造旋转全等； ④遇中点180°，构造中心对称。共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形

（2）共旋转模型变形

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 3.中点旋转（拓展）：

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶 点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形 （或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三 角形从而得证。 4、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 5.角分线模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

全等三角形之截长补短法

例题1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD． 考点：全等三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：利用已知条件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD≌△AED（AAS），∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD． 解答：证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DE． ∵∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD， ∴∠B=∠CAB=45°，∠E=∠CDE=45°， ∴∠B=∠E． ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2 在△ABD和△AED中， ∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD， ∴△ABD≌△AED（AAS）． ∴AE=AB． ∵AE=AC+CE=AC+CD， ∴AB=AC+CD． 证法二：如答图所示，在AB上 截取AE=AC，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2． 在△ACD和△AED中， AC=AE，∠1=∠2，AD=AD， ∴△ACD≌△AED（SAS）． ∴∠AED=∠C=90，CD=ED， 又∵AC=BC，

∴∠B=45°． ∴∠EDB=∠B=45°． ∴DE=BE， ∴CD=BE． ∵AB=AE+BE， ∴AB=AC+CD． 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系． 例题2 图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）． 考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系． 专题：计算题． 分析：可延长AD到E，使AD=DE，连BE，则△ACD≌△EBD得BE=AC，进而在△ABE中利用三角形三边关系，证之． 解答：证明：如图延长AD至E，使AD=DE，连接BE． ∵BD=DC，AD=DE，∠ADC=∠EDB ∴△ACD≌△EBD∴AC=BE 在△ABE中，AE＜AB+BE，即2AD＜AB+AC∴AD＜（AB+AC） 点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握．

(精品)全等三角形——截长补短法

D C B A 全等三角形——截长补短法 一、知识梳理： 截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 二、典型例题： 例1、如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数. 及时练习： 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． 例2、已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

N E B M A D M D C B A D O E C B A 及时练习： 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系? 例3、如图．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ． 求证：AE =BC +CE ． 及时练习： 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ， ∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( ) A . a B . k C . 2 k h + D . h 例4、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ． 求证：OA 平分DOE ∠．

三角形旋转全等常见模型

1绕点型(手拉手模型) 遇60°旋60°，造等边二角形 遇900旋900，造等腰直角遇等腰 旋顶角，造旋转全等遇中点旋 1800，造中心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ (1)△ABE^A DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)△AGB2A DFB (5)△EGB2A CFB (6)BH平分/ AHC (7)GF// AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ ABD和△ BCE连接AE与CD证明: (1)△ABE^A DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC (1自旋转：自旋转构造方法 ABD和△ BCE连接AE与CD 证明: B

变式练习2、如果两个等边三角形厶ABD和厶BCE连接AE与CD,证明: (1)△ABE^A DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4)AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC (1)如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和厶 CBN，连接AN , BM .分别取BM , AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想△ CEF的 形状，并说明理由. (2)若将(1 )中的“以AC, BC为边作等边△ ACM和厶CBN'改为“以AC , BC为腰在AB的同 侧作等腰△ ACM 和厶CBN，”如图2，其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成 立，请说明理由. 例4、例题讲解： 1.已知△ ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列)，使/ DAF=60 ° ,连接CF. (1) 如图1,当点D在边BC上时，求证：① BD=CF 宓AC=CF+CD. (2) 如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； ⑶如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。 D

全等三角形专题——截长补短练习

全等三角形专题 ——截长补短 角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用，而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊的方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗。 1、 如图， AD BC //,点E 在线段AB 上，ADE CDE ∠=∠,DCE ECB ∠=∠, 求证：CD=AD+BC 2、已知如图，1=2∠∠，P 为BN 上一点，且PD BC ⊥于点D,且0 180 BAP BCP ∠+∠=， 求证：AB+BC=2BD 2、 已知，如图在ABC 中，2 C B ∠ = ∠,12∠=∠, 求证：AB=AC+CD 4、已知ABC 中，0 60A ∠=,BD ，CE 分别评分ABC ∠和ACB ∠，BD,CE 交于点O ，试判断BE,CD,BC 的数量关系，并加以证明。 5、如图所示，ABC 是边长为1的等边三角形，BDC 是顶角为0 120的等腰三角形，以D 为顶点的一个 060的MDN ∠,点M ，N 分别在AB,AC 上，求AMN 的周长。 6、如图，在ABC 中，0 60BAC ∠=,AD 是BAC ∠的平分线，且AC=AB+BD,求ABC ∠的度数。 7、已知如图，ABCD 是正方形，FAD FAE ∠=，求证：BE+DF=AF 8、在ABC 中，2B C ∠=∠，且AD BC ⊥于D ，求证：CD=AB+BD

全等三角形在中考中必考题型 1、已知，在中ABC ，0C=90∠，AC=BC ，直线ｌ绕点Ａ旋转，过点Ｂ，Ｃ分别向直线ｌ做垂线，垂足 分别是点Ｄ、点Ｅ。 （１）如图１，求证：ＢＤ＋ＣＥ＝ＡＥ； （２）当直线ｌ绕点Ａ顺时针转到如图２，则ＢＤ、ＣＥ 、ＡＥ 之间满足的数量关系 是 2、已知ABCD ，连接ＡＣ，ＡＣ＝ＡＢ，Ｅ为线段ＢＣ上的一动点，Ｆ为直线ＤＣ上一动点，且EAF B ∠=∠。 （１）如图（１） ，当060B ∠=时，求证：ＣＥ＋ＣＦ＝CA 。 3、已知ABC ，有一个以P 为顶点的角，且1 2 APE ACD ∠=∠，将此角的顶点放在边BC 上，角的一边始 终经过点A ，另一边与ACB ∠的外角的平分线交于点E 。 （1）如图1，当ABC 三角形为等边三角形时，求证：CP+CE=CA 。 4、在中Rt ABC 中，090ACB ∠=，AC=BC ，点P 为BC 所在直线上一点，分别过点B 、C 作直线AP 的垂线，垂足分别为点D ，X 。 （1）当点P 在线段BC 上时，如图1，求证：2AD BD CE -= （2）当点P 在CB 的反向延长线上时，如图2，线段AD 、BD 、CE 三者之间满足的数量关系是 B

全等三角形常见的几何模型

1绕点型(手拉手模型) 遇600旋60°,造等边三角形 遇90°旋90°，造等腰直角遇等腰旋 顶角，造旋转全等遇中点旋1800，造中 心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ (1)△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)△ AGB ◎△ DFB (5)△ EGB ◎△ CFB (6)BH 平分/ AHC (7)GF // AC 变式练习2、如果两个等边三角形△ ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明: ("△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC [D山3 Vi壮-U (I) ? 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明 (1) △ ABE ◎△ DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH 平分/ AHC (1自旋转：自旋转构造方法 ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明:

3、(1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和厶CBN ,连接AN , BM .分别取BM, AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想△ CEF的形状，并说明理由. (2)若将(1)中的“以AC , BC为边作等边△ ACM和厶CBN”改为“以AC, BC为腰在AB的同侧作等腰△ ACM和△ CBN，”如图2,其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. B 例4、例题讲解： 1.已知△ ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列)，使/ DAF=60 ° ,连接CF. (1)如图1,当点D在边BC上时，求证：① BD=CF 宓AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、 CD之间存在的数量关系，并说明理由； ⑶如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起, 成对称全等。 D A D A M x N rt B D 例1、如图，正方形ABCD的边长为1, AB,AD上各存在一点P、0,若厶APQ的周长为2, A P

全等三角形作辅助线专题一(重点_截长补短法)可打印版

全等三角形作辅助线经典例题 常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” ? 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全 等变换中的“旋转” ? 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中 的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻 转折叠”；(遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形) 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是 之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明?这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目. 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答. 一、倍长中线(线段)造全等 1:已知，如图△ ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是 _______________ . 2 :如图，△ ABC中，E、F分别在AB、AC 上, DE丄DF，D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小. 3 :如图，△ ABC中，BD=DC=AC ，E是DC的中点，求证：AD平分/ BAE. 中考应用: ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE BAD CAE 90，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点?探究：AM与DE的位 置关系及数量关系. (1 )如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系 是________________ ，线段AM与DE的数量关系是________________ ; (2 )将图①中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(0< <90)后，如图②所示，(1 )

三角形旋转全等常见模型

1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转： 自旋转构造放方法：①遇60°旋60°，构造等边三角形； ②遇90°旋90°，构造等腰直角三角形； ③遇等腰旋转顶角，构造旋转全等； ④遇中点180°，构造中心对称。 （2）共旋转（典型的手拉手模型）

例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

变式练习2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：Array (1)△ABE≌△DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 （4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC （1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN， BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰 △ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，