《通信原理》樊昌信课后习题答案及解析

习题解答

《通信原理教程》樊昌信

第一章 概论

1.3 某个信息源由A 、B 、C 、D 等4个符号组成。这些符号分别用二进制码组00、01、10、11表示。若每个二进制码元用宽度为5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。

（1） 这4个符号等概率出现；

（2） 这4个符号出现的概率分别为1/4、1/4、3/16、5/16。 解： 每秒可传输的二进制位为：

()

20010513=?÷-

每个符号需要2位二进制，故每秒可传输的符号数为：

1002200=÷

（1） 4个符号等概率出现时每个符号包含的平均信息量为： bit 24log 2=

故平均信息速率为：

s b R b /2002100=?=

（2）每个符号包含的平均信息量为：

bit 977.11651log 1651631log 163411log 41411log 412222=+++

故平均信息速率为： s b R b /7.197977.1100=?=

1.6 设一个信号源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125s μ。试求码元速率和信

息速率。

解：码元速率为：

()

baud R B 80001012516=?÷=- 信息速率为：

s kb R R B b /16280004log 2=?==

第二章 信号

2.2 设一个随机过程X （t ）可以表示成：

()()

∞<<∞-+=t t t X θπ2cos 2

其中θ在（0，2π）之间服从均匀分布，判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：它的能量无限，功率有界，所以是一个功率信号。

`

()[]()[]()()()

πτθ

πτθππτπθπ

θπτ

πθπππ

2cos 4224cos 2cos 2

2122cos 22cos 220

20

=+++=

?

+++=?

?d t d t t

由维纳－辛钦关系有：

()()τ

τωωτd e R P j X -+∞

∞

-?=

()()[]πωδπωδπ222++-=

2.3 设有一信号可表示为：

()()??

?>≥-=00

0exp 4t t t t x

试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：

()dt t x E ?+∞

∞-=2

()[]()8

2exp 16exp 40

2

=-=-=??

∞++∞

dt t dt

t

所以()t x

是能量信号。

()ω

ωj X +=

14

()()

2

f S f G =

()2

22

24116214f f ππ+=

???

???

?

?+=

2.8 设有一随机过程()()t t m t X ωcos =，其中()t m 是一广义平稳随机过程，且其

自相关函数为：

()??

?

??<≤-<<-+=其他

0101011ττ

τττm R

试画出自相关函数()τX R 的曲线；

试求出

()t X 的功率谱密度()f P X 和功率P 。

解：

()()()[]ττ+=t X t X E R

()()()[]()[]()()[]()()()()()2

cos 2

2cos cos 1cos cos 1

cos cos cos cos 2222ωτττωωτττωωτττωωτωτωm T T m T

T m R dt t T R dt

t t T R t m t m E t t E t t m t t m E =

++?=+?=++=++?=??--

所以

()()()??????

???

??<≤-<<-+=其他

102cos 10

12cos 1τωτ

ττωτττX R

()?????<-=其他

12cos 1τωττ

由维纳－辛钦关系有：

()()τ

τωωτd e R P j X -+∞

∞

-?=

??

??????? ??-+??? ??+22410202ωωωωSa Sa ＝ 功率为：

()?

+∞

∞

-=

ωωπ

d P P X 21

2

1=

或者

()0X R P =2

1=

2.12 已知一信号

()t x 的双边带功率谱密度为

()??

?<<-=-其他0

1010102

4kHz f f f P X

试求其平均功率。 解：

()?+∞

∞-=df

f P P X

8

1010341010

2

41067.03

10104

4

4

4

?===----?

f df f

第三章 模拟调制系统

3.1 设一个载波的表示式为：()()t t c

π1000cos 5=，基带调制信号的表示式为：

()()t t m π200cos 1+=，试求出振幅调制时此已调信号的频谱，并画出频谱图。

解：已调信号

()()[]()t t t s ππ1000cos 5200cos 1?+=

()()()t t t πππ1000cos 5200cos 1000cos 5?+=

()()()[]t t t πππ800cos 1200cos 2

5

1000cos 5++

= 所以已调信号的频谱为

()()()[]

()()()()[]πωδπωδπωδπωδπ

πωδπωδπω120012008008005100010005++-+++-+++-=S

第四章 模拟信号的数字化

4.2 若语音信号的带宽在300～3400Hz 之间，试按照奈奎斯特准则计算理论上信号不失真的最小抽样频率。 解：奈奎斯特准则：

H s f f 2≥

故：最小抽样频率为：3400×2＝6800Hz

4.4 设被抽样的语音信号的带宽限制在300～3400Hz 之间，抽样频率等于8000Hz ，试画出已抽样语音信号的频谱分布图。在图上需注明各点频率坐标值。 解：

4.8 试述PCM 、DPCM 和增量调制三者之间的关系和区别。

第五章 基带数字信号的表示和传输

5.1 若消息码序列为1101001000001，试写出AMI 码和HDB 3码的相应序列。 解：消息码序列： 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 AMI 码： +1-1 0+1 0 0-1 0 0 0 0 0+1 HDB 3码： +1-1 0+1 0 0-1 0 0 0 –V0+1

5.6 设一个二进制双极性基带信号序列的码元波形g(t)为矩形脉冲，如图5.2所示，其高度等于1，持续时间τ＝T/3，T 为码元宽度；且其正极性脉冲出现的概率为3/4，负极性脉冲出现的概率为1/4。

（1） 试写出该信号序列的功率谱密度表示式，并画出其曲线； （2） 该序列中是否存在f ＝1/T 解：（1）g 1(t)=g(t) G(f) g 2(t)= -g(t) -G(f) 功率谱密度：

()()()f P f P f P v u s +=

()()()()()()[]()

∑

+∞

-∞

=--++

--=m c c c c c mf f mf G P mf PG f f G f G P P f δ2

212

2111

()()??

?

??=

=33fT Sa T f Sa f G πτπτ 双极性二进制信号的功率谱：

()()()()()()∑

+∞

-∞

=--+

-=m c c c c s mf f mf G P f f G P P f f P δ2

2

1214

∑∞

+-∞=??? ??-???

????? ?

?-?+??? ?????=m c T m f T mf Sa T T fT Sa T T δππ2

2331432133414314

()∑+∞-∞=-??

? ??+??? ??=m c mf f m Sa fT Sa T δππ336131222

??? ?

?

-??? ???=??? ??T f Sa T P v 13361212δπ

??? ??-???

? ????=T f 1

32336122

δπ 故

2

83π

=

P

5.7 设一个基带传输系统接收滤波器的输出码元波形h(t)如图5.3所示。

（1） 试求该基带传输系统的传输函数H(f)；

（2） 若其信道传输函数C(f)＝1，且发送滤波器和接收滤波器的传输函数相

同，即G T (f)=G R (f)，试求G T (f)和G R (f)的表示式。

解：（1）

()242T

j e T Sa T f H ωω-??

? ??=

（2）()()()()f G f C f G f H

R T =()f G T

2=242

T j e

T Sa T ωω-??

? ??=

故

()()4

42T

j R T e

T Sa T f G f G ωω-??

? ??==

5.8 设一个基带传输系统的传输函数H(f)如图5.4所示。

（1） 试求该系统接收滤波器输出码元波形的表示式；

（2） 若其中基带信号的码元传输R B =2f 0，试用奈奎斯特准则衡量该系统能否

保证无码间串扰传输。

解： （1）由于三角脉冲的傅立叶变换为

()??

?

??=422T Sa T H ωω

由对称性可知：

()()t f Sa f t h 020π=

（2）奈奎斯特第一准则为：

根据这个准则判断，该系统不能保证无码间串扰的传输。

5.9 设一个二进制基带传输系统的传输函数为：

()()

???≤+=其他

212cos 1000

ττπτf f f H

试确定该系统最高的码元传输速率R B 及响应的码元持续时间T 。 解： 据已知有()020τ=H

，00=????

??

τπ

H ，002ττπ=???

?

??H H(ω)为升余弦型，将H(ω)分成宽度ω0=π/τ0的小段，

然后将个小段在（-π/2τ0，

π/2τ0）上叠加，将构成等效低通（矩形）传输函数，它是理想低通特性。

等效矩形带宽为：

41

τ=

eq B

最高的码元传输速率为：

212τ=

=eq B B R

S

s s i

T w T T i w H π

π≤=+

∑,)2(

相应的码元持续时间为：

021

τ==

B

R T

5.10 若一个基带传输系统的传输函数H(f)如式（5.6-7）所示，且式中W ＝W 1。

（1） 试证明其单位冲激响应，即接收滤波器输出码元波形为：

()2

241cos sin 1T t T t T t T t T t h -??=

πππ

（2） 若（1/T ）波特率的码元在此系统中传输，在抽样时刻上是否存在码间串

扰？

解： （1）

()??????????≤??? ??+=其他。

；

22cos 1210W f f W f H π

其中：

πω2=f ；T W 21=。即：

()???

????≤???

??????

??+=其他。

；

022cos 1210T T H πωωω

()()[]()??

?

??*????????? ??++??? ??-+==-T t Sa T T t T t t H F t h πδδδω22221221211

??

??????? ??++??? ??-+??? ??=

T T t Sa T T t Sa T t Sa T πππππ22122121 2

241cos sin 1T t T t T t T t T -??=

πππ

可以画出h(t)和H(ω)的图形。 因为当t=kT 时，h(kT)=0，k 为整数，

所以当用1/T 的波特率传输数据时，在抽样时刻上不存在码间串扰。

第六章 基本的数字调制系统

6.5 设有一个2PSK 信号，其码元传输速率为1000Baud ，载波波形为 Acos(4π×106t)。

（1） 试问每个码元中包含多少个载波周期？

（2） 若发送“0”和“1”的概率分别是0.6和0.4，试求出此信号的功率谱密

度表示式。

解： （1）由已知得载波频率为：

Hz

f 60102?=

故每个码元中包含的载波周期数为：

361021000102?=÷?

（2）()()()

()()

??

?

?

???=码

－码

1104cos 0104cos 66t t A t t A t s ππ

()t nT t g a n 0cos ω??

?

???-=∑ 式中，a n 为二进制双极性随机振幅；g(t)为码元波形，在这里假设为矩形脉冲；T 为码元持续时间。若令上式中s(t)的功率谱密度为P s (f)，A(t)的功率谱密度为P A (f)，则由功率谱密度定义()()T

f S f P T T s

2

lim

∞

→=可以算出：

()()()[]004

1

f f P f f P f P A A s -+=

式中：

Hz

f 60102?=

()()()()()()()[]()

∑--++--=c c c c c A mf f mf G P mf PG f f G f G P P f f P δ2

212

2111

式中，

10001

==

T

f c ，P=0.6，()()fT fT T f G f G ππsin 21?

=-=，所以：

()()

()∑∞

-∞=-??? ??-?????

?

-?+?????????=m A m f m m f f f P 1000sin 16.0210sin 44.06.010002

23δππππ

()

()f f f δππ04.010sin 9602

3+??

????=-

故：

()(

)

()

()??

????-+???????-?-=-6

2

6

3310204.010210210sin 96041f f f f P s δπππ (

)

()

(

)

??

?

???++?

?

?????+?++-6

2

63310204.010210210sin 960f f f δπππ

6.7 设有一个2DPSK 传输系统对信号采用A 方式编码，其码元传输速率为2400Baud ，载波频率为1800Hz 。若输入码元序列为011010，试画出此2DPSK 信号序列的波形图。 解： 每个码元包含的载波周期数为

码元序列： 相对码元序列：A 波形图：

6.8 设一个2FSK 传输系统的两个载波分别等于10MHz 和10.4MHz ，码元传输速率为2×106Baud ，接收端解调器输入信号的峰值振幅A 等于40μV ，加性高斯白噪声的单边功率谱密度n 0等于6×10-18W/Hz 。试求：

（1） 采用非相干解调（包络检波）法时的误码率； （2） 采用相干解调法时的误码率。 解：2FSK 信号的频带宽度

()

MHz MHz R f f f f f f B s 4.41044.02261212=?+=+-=+-=?

（1） 接收系统带通滤波器的频带宽度为

Hz

R B B 61042?==

输入端噪声功率为：W B n n

1261802

1024104106--?=???==σ

输入端信噪比为：

()

3.3310

2421040212

2

6

22=???==--n A r σ 非相干解调时的误码率为：

821037.162

1

21--?=-==e e P r e

（2）相干解调时的误码率为：

()

91047.1621221

-?==???

? ??=erfc r erfc P e

6.9 设在一个2DPSK 传输系统中，输入信号码元序列为0111001101000，试写出其变成相对码后的码元序列，以及采用A 方式编码时发送载波的相对相位和绝对相位序列。 解： 输入信号码元序列：0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0

相对码元序列： 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 相对相位序列： 0 π 0 π π π 0 π π 0 0 0 0 绝对相位序列： 0 π π π 0 0 ππ 0 π 0 0 0

第七章 同步

7.2 设载波同步相位误差等于10o ，信噪比r 等于10dB 。试求此时2PSK 信号的误码率。 解： 信噪比为：r ＝2

()()

===o e erfc r erfc P 10cos 22

1

cos 21θ