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立体几何基础题题库二

立体几何基础题题库二（有详细答案）

101. C B A '''?是△ABC 在平面α上的射影，那么C B A '''∠和∠ABC 的大小关系是 ( ) (A) C B A '''∠<∠ABC (B) C B A '''∠>∠ABC

(D) 不能确定

解析：D

一个直角，当有一条直角边平行于平面时，则射影角可以等于原角大小，但一般情况不等．

102. 已知: 如图, △ABC 中, ∠ACB = 90?, CD ⊥平面α, AD , BD 和平面α所成的角分别为30?和45?, CD = h , 求: D 点到直线AB 的距离。

解析：1、先找出点D 到直线AB 的距离, 即过D 点作 DE ⊥AB , 从图形以及条件可知, 若把DE 放在△ABD 中不易求解。

2、由于CD ⊥平面α, 把DE 转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求DE 在平面α内的射影长。

解: 连AC , BC , 过D 作DE ⊥AB , 连CE , 则DE 为D 到直线AB 的距离。 ∵CD ⊥α

∴AC , BC 分别是AD , BD 在α内的射影。

∴∠DAC , ∠DBC 分别是AD 和BD 与平面α所成的角 ∴∠DAC = 30?, ∠DBC = 45? 在Rt △ACD 中, ∵CD = h , ∠DAC = 30? ∴AC =

在Rt △BCD 中

∵CD = h , ∠DBC = 45?

∴BC = h ∵CD ⊥α, DE ⊥AB ∴CE ⊥AB 在Rt △ACB 中

AB AC BC h =+=222

S AC BC AB CE =

?=121

· ∴CE AC BC

h h h h =

?==323

∴在Rt △DCE 中,

DE DC CE h h h =+=+=2222327

) ∴点D 到直线AB 的距离为

h 。 103. 已知a 、b 、c 是平面α内相交于一点O 的三条直线，而直线l 和α相交，并且和a 、b 、c 三条直线成等角．求证：l ⊥α

证法一：分别在a 、b 、c 上取点A 、B 、C 并使AO = BO = CO ．设l 经过O ，在l 上取一点P ，在△POA 、△POB 、△POC 中，

∵ PO 公用，AO = BO = CO ，∠POA =∠POB =∠POC ， ∴ △POA ≌△POB ≌△POC

∴ P A = PB = PC ．取AB 中点D ．连结OD 、PD ，则OD ⊥AB ，PD ⊥AB ， ∵ D OD PD = ∴ AB ⊥平面POD ∵ PO ?平面POD ． ∴ PO ⊥AB ．同理可证 PO ⊥BC

∵ α?AB ，α?BC ，B BC AB = ∴ PO ⊥α，即l ⊥α

若l 不经过O 时，可经过O 作l '∥l ．用上述方法证明l '⊥α， ∴ l ⊥α．

证法二：采用反证法

假设l 不和α垂直，则l 和α斜交于O ．同证法一，得到P A = PB = PC ．

过P 作α⊥'O P 于O '，则O C O B O A '='='，O 是△ABC 的外心．因为O 也是△ABC 的外心，这样，△ABC 有两个外心，这是不可能的． ∴ 假设l 不和α垂直是不成立的． ∴ l ⊥α

若l 不经过O 点时，过O 作l '∥l ，用上述同样的方法可证l '⊥α， ∴ l ⊥α

评述：（1）证明线面垂直时，一般都采用直接证法（如证法一），有时也采用反证法（如证法二）或同一法．

104. P 是△ABC 所在平面外一点，O 是点P 在平面α上的射影．（1）若P A = PB = PC ，则O 是△ABC 的____________心．

（2）若点P 到△ABC 的三边的距离相等，则O 是△ABC _________心．（3）若P A 、PB 、PC 两两垂直，则O 是△ABC _________心．

（4）若△ABC 是直角三角形，且P A = PB = PC 则O 是△ABC 的____________心．（5）若△ABC 是等腰三角形，且P A = PB = PC ，则O 是△ABC 的____________心．（6）若P A 、PB 、PC 与平面ABC 所成的角相等，则O 是△ABC 的________心；解析：（1）外心．∵ P A =PB =PC ，∴ OA =OB =OC ，∴ O 是△ABC 的外心．

（2）内心（或旁心）．作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，连结PD 、PE 、PF ．∵ PO ⊥平面ABC ，∴ OD 、OE 、OF 分别为PD 、PE 、PF 在平面ABC 内的射影，由三垂线定理可知，PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，PF ⊥AC ．由已知PD =PE =PF ，得OD =OE =OF ，∴ O 是△ABC 的内心．（如图答9-23）（3）垂心．

（4）外心．（5）外心

（6）外心．P A 与平面ABC 所成的角为∠P AO ，在△P AO 、△PBO 、△PCO 中，PO 是公共边，∠POA =∠POB =∠POC =90°，∠P AO =∠PBO =∠PCO ，∴ △P AO ≌△PBO ≌△PCO ，∴ OA =OB =OC ，∴ O 为△ABC 的外心．

（此外心又在等腰三角形的底边高线上）．

105. 将矩形ABCD 沿对角线BD 折起来，使点C 的新位置C '在面ABC 上的射影E 恰在AB 上．求证：C B C A '⊥'

分析：欲证C B C A '⊥'，只须证C B '与C A '所在平面D C A '垂直；而要证C B '⊥平面D C A '，只须证C B '⊥D C '且C B '⊥AD ．因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了．证明：由题意，C B '⊥D C '，又斜线C B '在平面ABCD 上的射影是BA ， ∵ BA ⊥AD ，由三垂线定理，得AD B C ⊥'，D DA D C =' ． ∴ C B '⊥平面AD C '，而A C '?平面AD C ' ∴ C B '⊥C A '

106. 已知异面直线l 1和l 2，l 1⊥l 2，MN 是l 1和l 2的公垂线，MN = 4，A ∈l 1，B ∈l 2，AM = BN = 2，O 是MN 中点．① 求l 1与OB 的成角．②求A 点到OB 距离．分析：本题若将条件放入立方体的“原型”中，抓住“一个平面四条

线”的图形特征及“直线平面垂直”的关键性条件，问题就显得简单

明了．

解析：（1）如图，画两个相连的正方体，将题目条件一一标在图中． OB 在底面上射影NB ⊥CD ，由三垂线定理，OB ⊥CD ，又

CD ∥MA ，

∴ OB ⊥MA 即OB 与l 1成90° （2）连结BO 并延长交上底面于E 点． ME = BN ，∴ ME = 2，又 ON = 2 ∴ 22==OE OB ．作AQ ⊥BE ，连结MQ ．

对于平面EMO 而言，AM 、AQ 、MQ 分别为垂线、斜线、斜线在平面内的射影，由三垂线逆定理得MQ ⊥EO ．

在Rt △MEO 中，22

2=?=?=

EO MO ME MQ ．评述：又在Rt △AMQ 中，62422=+=+=MQ AM AQ ，本题通过补形法使较困难的问题变得明显易解；求点到直线的距离，仍然是利用直线与平面

垂直的

关键条件，抓住“一个面四条线”的图形特征来解决的． 107. 已知各棱长均为a 的正四面体ABCD ，E 是AD 边的中

点，连结CE ．求CE 与底面BCD 所成角的正弦值．解析：作AH ⊥底面BCD ，垂足H 是正△BCD 中心，连DH 延长交BC 于F ，则平面AHD ⊥平面BCD ，作EO ⊥HD 于O ，连结EC ，则∠ECO 是EC 与底面BCD 所成的角则EO ⊥底面BCD ．

a a DF HD 3

3233232=?==

a a a HD AD AH 36322

=-=-=

a a AH EO 66362121=?==

，a CE 2

= ∥

∴ 322

366sin ===∠a a EC EO ECO 108. 已知四面体S －ABC 中，SA ⊥底面ABC ，△ABC 是锐角三角形，H 是点A 在面SBC 上的射影．求证：H 不可能是△SBC 的垂心．

分析：本题因不易直接证明，故采用反证法．

证明：假设H 是△SBC 的垂心，连结BH ，并延长交SC 于D 点，则BH ⊥SC ∵ AH ⊥平面SBC ，

∴ BH 是AB 在平面SBC 内的射影 ∴ SC ⊥AB （三垂线定理）

又∵ SA ⊥底面ABC ，AC 是SC 在面内的射影 ∴ AB ⊥AC （三垂线定理的逆定理）

∴ △ABC 是Rt △与已知△ABC 是锐角三角形相矛盾，于是假设不成立．故H 不可能是△SBC 的垂心．

109. 已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2．求点B 到平面EFG 的距离．

解析：如图，连结EG 、FG 、EF 、BD 、AC 、EF 、BD 分别交AC 于H 、O ．因为ABCD 是正方形，E 、F 分别为AB 和AD 的中点，故EF ∥BD ，H 为AO 的中点．

BD 不在平面EFG 上．否则，平面EFG 和平面ABCD 重合，从而点G 在平面的ABCD 上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD ∥平面EFG ，所以BD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离． ——4分 ∵ BD ⊥AC ， ∴ EF ⊥HC ． ∵ GC ⊥平面ABCD ， ∴ EF ⊥GC ， ∴ EF ⊥平面HCG ．

∴ 平面EFG ⊥平面HCG ，HG 是这两个垂直平面的交线． ——6分

作OK ⊥HG 交HG 于点K ，由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ，所以线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离． ——8分 ∵ 正方形ABCD 的边长为4，GC =2， ∴ AC=42，HO =2，HC =32． ∴ 在Rt △HCG 中，HG =

()

2222322

=+．

由于Rt △HKO 和Rt △HCG 有一个锐角是公共的，故Rt △HKO ∽△HCG ．

∴ OK =

1111

222

22=

?=?HG GC HO ．即点B 到平面EFG 的距离为

2． ——10分注：未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分．

110. 已知：AB 与CD 为异面直线，

AC ＝BC ，AD ＝BD ．求证：AB ⊥CD ．

说明：（1）应用判定定理，掌握线线垂直的一般思路．

（2）思路：欲证线线垂直，只需证线面垂直，再证线线垂直，而由已知构造线线垂直是关键．（3）教学方法，引导学生分析等腰三角形三线合一的性质构造图形，找到证明方法．证明：如图，取AB 中点E ，连结CE 、DE ∵AC ＝BC ，E 为AB 中点．

∴CE ⊥AB

同理DE ⊥AB ，又CE ∩DE ＝E ，

且CE ?平面CDE ，DE ?平面CDE ． ∴AB ⊥平面CDE

又CD ?平面CDE ∴AB ⊥CD ．

111. 两个相交平面α、β 都垂直于第三个平面γ ，那么它们的交线a 一定和第三个平面垂直．证明：在γ 内取一点P ，过P 作P A 垂直α 与γ 的交线；过

P 作PB 垂直β 与γ 的交线． ∵ α⊥γ 且β⊥γ ∴ P A ⊥α且PB ⊥β ∴ P A ⊥a 且PB ⊥a ∴ a ⊥γ

112. 在立体图形P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ，Q 是PC 中点． AC ，BD 交于O 点．

（Ⅰ）求二面角Q －BD －C 的大小：（Ⅱ）求二面角B －QD －C 的大小．解析：（Ⅰ）解：连QO ，则QO ∥P A 且QO ＝2

P A ＝

1AB ∵ P A ⊥面ABCD ∴ QO ⊥面ABCD 面QBD 过QO ， ∴ 面QBD ⊥面ABCD

故二面角Q －BD －C 等于90°．

（Ⅱ）解：过O 作OH ⊥QD ，垂足为H ，连CH ．

∵ 面QBD ⊥面BCD ，

又∵ CO ⊥BD CO ⊥面QBD

CH 在面QBD 内的射影是OH

∵ OH ⊥QD ∴ CH ⊥QD

于是∠OHC 是二面角的平面角．设正方形ABCD 边长2，

则OQ ＝1，OD ＝2，QD ＝3． ∵ OH ·QD ＝OQ ·OD

∴ OH ＝

2．

又OC ＝2

在Rt △COH 中：tan ∠OHC ＝

OH OC ＝2·3

＝3 ∴ ∠OHC ＝60°

故二面角B －QD －C 等于60°．

113. 如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ，过E 作FG ∥BC ，且将ΔAFG 沿FG 折起，

使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC

解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解： ∵FG ∥BC ，AD ⊥BC ∴A 'E ⊥FG ∴A 'E ⊥BC 设A 'E=a ，则ED=2a 由余弦定理得：

A 'D 2

=A 'E 2

+ED 2

-2?A 'E ?EDcos60° =3a

C D

E G

A '

∴ED 2=A 'D 2+A 'E 2

∴A 'D ⊥A 'E

∴A 'E ⊥平面A 'BC

114. α、β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ，②α⊥β，③n ⊥β，④m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它．

解析：m ⊥α，n ⊥β，α⊥β?m ⊥n （或m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β?α⊥β）证明如下：过不在α、β内的任一点P ，作PM ∥m ，PN ∥n

过PM 、PN 作平面r 交α于MQ ，交β于NQ ．

MQ PM PM m PM m ⊥?⊥??

⊥αα//，

同理PN ⊥NQ ．

因此∠MPN ＋∠MQN = 180°，故∠MQN = 90°?∠MPN = 90° 即α⊥β?m ⊥n ．

115. 已知：a =βα ，α⊥γ，β⊥γ，b ∥α，b ∥β．求证：a ⊥γ且b ⊥γ．

解析：在a 上任取一点P ，过P 作PQ ⊥r ． ∵ β⊥r ， ∴ β?PQ ， ∵ α⊥r ， ∴ α?PQ ， ∴ PQ 与a 重合，故a ⊥r ．过b 和点P 作平面S ，

则S 和α交于PQ 1，S 和β交于PQ 2， ∵ b ∥α，b ∥β

∴ b ∥PQ 1，且b ∥PQ 2．

于是PQ 1和PQ 2与a 重合，故b ∥a ，而a ⊥r ， ∴ b ⊥r ．

116. 已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，且AB ＝3，BC ＝4，P A ＝3，求点P 到

CD 和BD 的距离．

解析：∵ P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，且CD ?平面ABCD ． ∴ PD ⊥CD （三垂线定理）．在Rt △P AD 中，PD ＝2

2AD PA +＝2243+＝5．

又作PH ⊥BD 于H ，连结AH ，由三垂线定理的逆定理，有AH ⊥BD ．这里，PH 为点P 到BD 的距离．在Rt △ABD 中，AH ＝

BD AD AB ?＝5

在Rt △P AH 中，PH ＝22AH PA +＝2

5123??

??+＝5369

117. 点P 在平面ABC 的射影为O ，且P A 、PB 、PC 两两垂直，那么O 是△ABC 的( )

(A) 内心 (B) 外心 (C) 垂心

(D) 重心

解析：由于PC ⊥P A ，PC ⊥PB ，所以PC ⊥平面P AB ，

∴ PC ⊥AB ．

又P 在平面ABC 的射影为O ，连CO ，则CO 是PC 在平面ABC

的射影，根

据三垂线定理的逆定理，得：CO ⊥AB ，

同理可证AO ⊥BC ，O 是△ABC 的垂心，答案选C ．

118. 如图02，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是棱AA 1、BB 1、BC 上的点，PQ ∥AB ，C 1Q ⊥PR ，求证：∠D 1QR =90°．

证明：∵ PQ ∥AB ，AB ⊥平面BC 1，

∴ PQ ⊥平面BC 1，QR 是PR 在平面BC 1的射影．根据三垂线定理的逆定理，由C 1Q ⊥PR 得C 1Q ⊥QR ．

又因D 1C 1⊥平面BC 1，则C 1Q 是D 1Q 在平面B 1C 的射影，根据三垂线定理，由C 1Q ⊥QR 得QR ⊥D 1Q ．

∴∠D1QR=90°

119.在空间四边形ABCD中, 已知AC⊥BD, AD⊥BC, 求证: AB⊥CD。

解析：1、条件AC⊥BD, AD⊥BC, 可以看作斜线AD, AC与平面BCD内的直线的位置关系, 从而联想到用三垂线定理或其逆定理证明命题。

2、如何找斜线在平面内的射影, 显然是过A点作直线垂直于平面BCD, 这样斜线与直线的位置关系, 通过射影与直线的位置关系判定。

证明:过A点作AO垂直于平面BCD于O

连BO, CO, DO

∵AO⊥平面BCD, AC⊥BD

∴CO⊥BD

∵AO⊥平面BCD, AD⊥BC

∴DO⊥BC

∴O为△BCD的垂心

∴BO⊥CD

∴AB⊥CD

120.如图, 在空间四边形SABC中,

SA⊥平面ABC, ∠ABC = 90?,

AN⊥SB于N, AM⊥SC于M。

求证: ①AN⊥BC;②SC⊥平面ANM

解析：①要证AN⊥BC, 转证, BC⊥平面SAB。

②要证SC⊥平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SC⊥AM, SC⊥AN。要证SC⊥AN, 转证AN⊥平面SBC, 就可以了。

证明:

①∵SA⊥平面ABC

∴SA⊥BC

又∵BC⊥AB, 且AB SA = A

∴BC⊥平面SAB

∵AN?平面SAB

∴AN⊥BC

②∵AN⊥BC, AN⊥SB, 且SB BC = B

∴AN⊥平面SBC

∵SCC平面SBC

∴AN⊥SC

又∵AM⊥SC, 且AM AN = A

∴SC⊥平面ANM

121.已知如图，P?平面ABC，PA=PB=PC，

∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°

求证：平面ABC⊥平面PBC

解析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC 中点D，证明AD垂直平PBC即可

证明：取BC中点D 连结AD、PD

∵PA=PB；∠APB=60°

∴ΔPAB 为正三角形

同理ΔPAC 为正三角形设PA=a

在RT ΔBPC 中，PB=PC=a BC=2a

∴PD=2

2a 在ΔABC 中 AD=

22BD AB - =

2a ∵AD 2+PD 2

2222???

? ??+???? ??a a

=a 2

=AP

∴ΔAPD 为直角三角形即AD ⊥DP 又∵AD ⊥BC ∴AD ⊥平面PBC ∴平面ABC ⊥平面PBC

122. 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面。

已知：β⊥α，γ⊥α，β γ=a

求证：a ⊥α

解析：利用线面垂直的性质定理证明：设α β=AB ，α γ=CD

在平面β内作L1⊥AB ，在平面γ内作L1⊥CD ， ∵α⊥β∴L1⊥α 同理L2⊥α ∴L1//L2 ∴L1//β ∴L1//a ∴a ⊥α

113. 已知SA 、SB 、SC 是共点于S 的且不共面的三条射线，∠BSA=∠ASC=45°,∠BSC=60°，求证：平面BSA ⊥平面SAC 解析：先作二面角B-SA-C 的平面角，根据给定的条件，在棱S 上

取一点P ，分别是在两个平面内作直线与棱垂直证明：在SA 上取一点P 过P 作PR ⊥SA 交SC 于R 过P 作PQ ⊥SA 交SB 于Q

∴∠QPR 为二面角B-SA-C 的平面角设PS=a ∵∠PSQ=45°，∠SPQ=90° ∴PQ=a ，SQ=2a 同理PR= a ，SR= 2a ∵∠PSQ=60°，SR=SQ=2 a ∴ΔRSQ 为正三角形则RQ=2 a ∵PR 2

+PQ 2

=2a 2

=QR 2

∴∠QPQ=90°

∴二面角B-SA-C 为90° ∴平面BSA ⊥平面SAC

114. 设S 为ABC ?平面外的一点，SA=SB=SC ，γβα2,2,2=∠=∠=∠ASC BSC ASB ，若

γβα222sin sin sin =+，求证：平面ASC ⊥平面ABC 。

解析：（1）把角的关系转化为边的关系

（2）利用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心）证明：设D 为AB 的中点

SB SA = α=∠∴A S D SA

SA AD 2sin ==

α 同理SC

SB BC 2sin ,2sin ==γβ

SC SB SA == 且γβα222sin sin sin =+

222AC BC AB =+∴

即ABC ?为ABC Rt ?且S 在平面上的射影O 为ABC ?的外心则O 在斜边AC 的中点。

⊥∴SO 平面ABC

?SO 平面SAC

∴平面ASC ⊥平面ABC

115. 两个正方形ABCD 和ABEF 所在的平面互相垂直，求异面直线AC 和BF 所成角的大小．解析：作BP ∥AC 交DC 延长线于P ，则∠FBP (或补角)就是异面直线BF 和AC 所成的角，设正方形边长为a ，a PF 6=

在△BPF 中，由余弦定理得2

cos =

∠FBP ，异面直线AC 和BF 成60°角． 116. 二面角α－a －β的值为θ(0°<θ<180°)，直线l ⊥α，判断直线l 与平面β的位置关系，并证明你的结论．

解析：分两种情况，θ=90°，θ≠90°．

当θ=90°时，l ∥β或l ?β，这个结论可用反证法证明；当θ≠90°时，l 必与β相交，也可用反证法证明．

117. 已知平面α⊥平面β，交线为AB ，C ∈α，D ∈β，34===BC AC AB ，E 为BC 的中点，AC ⊥BD ，BD =8． ①求证：BD ⊥平面α； ②求证：平面AED ⊥平面BCD ； ③求二面角B －AC －D 的正切值．

解析：①AB 是AC 在平面β上的射影，由AC ⊥BD 得AB ⊥BD ．∵ α⊥β．∴ DB ⊥α． ②由AB =AC ，且E 是BC 中点，得AE ⊥BC ，又AE ⊥DB ，故AE ⊥平面BCD ，因此可证得平面AED ⊥平面BCD ．

③设F 是AC 中点，连BF ，DF ．由于△ABC 是正三角形，故BF ⊥AC ．又由DB ⊥平面α，则DF ⊥AC ，∠BFD 是二面角B －AC －D 的平面角，在Rt △BFD 中，3

tg ==

∠BF BD BFD ． 118. 如图，△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC = ∠DBC =120°，求

(1) A 、D 连线和直线BC 所成角的大小； (2) 二面角A －BD －C 的大小

解析：在平面ADC 内作AH ⊥BC ，H 是垂足，连HD ．因为平面ABC ⊥平面BDC ．所以AH ⊥平面BDC ．HD 是AD 在平面BDC 的射影．依题设条件可证得HD ⊥BC ，由三垂线定理得AD ⊥BC ，即异面直线AD 和BC 形成的角为90°．

在平面BDC 内作HR ⊥BD ，R 是垂足，连AR ．HR 是AR 在平面BDC 的射影，∴ AR ⊥BD ，∠ARH 是二面角A －BD －C 的平面角的补角，设AB =a ，可得，

a AH 2

，a BH HR 4323==， ∴ 2tg ==

∠HR

ARH ． ∴ 二面角A －BD －C 的大小为π－arctg2．

119. 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CC 1的中点，求异面直线AE 和BF 所成角的大小．

解析：取DD 1的中点G ，可证四边形ABFG 是平行四边形，得出BF ∥AG ，则∠GAE 是异面直线AE 与BF 所成的角．连GF ，设正方体棱长为a ，

a D B GE 211==，a AG AE 2

5==．在△AEG 中，由余弦定理得

5252245452cos 2

22=??-+=??-+=∠AE AG GE AE AG GAE

∴ 5

1arccos

=∠GAE ． 120. 矩形ABCD ，AB=3，BC=4，沿对角线BD 把△ABD 折起，使点A 在平面BCD 上的射影A ′落在BC 上，求二面角A-BD-C 的大小的余弦值．

在Rt △AA ′O 中，∠AA ′O=90°，

G A

A 1

C 1

D 1

B 1E

121.已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．

分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．解：因为 AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．

所以 AB∥平面CPD．

又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，

因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．

因为 AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，

所以 AB∥l．

过P作PE⊥AB，PE⊥CD．

因为 l∥AB∥CD，

因此 PE⊥l，PF⊥l，

所以∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，

因为 E ，F 分别是AB ，CD 的中点，所以 EF=BC=a ．在△EFP 中，

122. 在四面体ABCD 中，AB ＝AD ＝BD ＝2，BC ＝DC ＝4，二面角A －BD －C 的大小为60°，求AC 的长．

解析：作出二面角A －BD －C 的平面角

在棱BD 上选取恰当的点

AB ＝AD ，BC ＝DC

解：取BD 中点E ，连结AE ，EC ∵ AB ＝AD ，BC ＝DC ∴ AE ⊥BD ，EC ⊥BD

∴ ∠AEC 为二面角A －BD －C 的平面角 ∴ ∠AEC ＝60° ∵ AD ＝2，DC ＝4 ∴ AE ＝3，EC ＝15

∴ 据余弦定理得：AC ＝5318 ．

立体几何初步-单元测试

第一章立体几何初步测试题选择题答题表一、选择题(每小题5分，共60分．) 1．下列说法准确的是( ) A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．平面α与平面β有不同在一条直线上的三个交点 2．两条异面直线不可能( ) A．同垂直于一条直线B．同平行于一条直线 C．同平行于一个平面D．与一条直线成等角 3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( ) A．b⊥αB．b∥α C．b⊥α或b∥αD．b与α相交或b⊥α或b∥α 4．设长方体的长、宽、高分别为2a, a, a,其顶点都在一个球面上，该球的表面积为( ) A．3π2a B．2 6aπ C．2 2a πD．2 24aπ 5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( ) 6．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是( ) A．①②B．②③ C．①④D．③④ 7．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则有( ) A．面ABC⊥面DBC B．面ABC⊥面ADC C．面ABC⊥面ADB D．面ADC⊥面DBC 8．在正四面体P-ABC中，D,E,F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不成立的是( ) A．BC//平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

(完整版)高三数学立体几何历年高考题(2011年-2017年)

高三数学立体几何高考题 1.（2012年7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18 2.（2012年8）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______． 5.(2014年8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 7.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A ）14斛（B ）22斛（C ）36斛（D ）66斛 8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 9（2016年7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3 ，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 10（2016年11）平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面, ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）1 3 11．(2017年6)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是 12．（2017年16）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。

小学六年级总复习之立体几何

一、习题精选。 1、一堆小麦堆成圆锥形，底面周长是18. 84米，高1.8米，这堆小麦的体积是（）。 2、用边长为1分米的小正方体，拼成一个较大的正方体，至少需要（）个这样的小正方体，把这些小正方体排成一行，它的长度是（）分米。 3、一个圆柱体比和它等底等高的圆锥体体积大18立方厘米，那么圆柱体和圆锥体体积的和是（）。 4、一根长3米，底面半径5厘米的圆柱形木料锯成两段，表面积增加（）平方厘米或（）平方厘米。 5、一个长方形长15厘米，宽10厘米，以长边为轴旋转一周，会得到一个圆柱形，它的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。 6、一个用立方块搭成的立体图形，淘气从前面看到的图形是，从上面看是，那么搭成这样一个立体图形最少要（）个小立方块。 7、一个半圆的周长是12.56厘米，将这个半圆扩大2倍，它的面积是（）平方厘米。 8、把一个棱长是0.5米的正方体钢坯，锻成横截面面积是10平方分米的长方体钢材。锻成的钢材长度为（）。 9、把一个高为18厘米的圆锥形容器盛满水，将这些水全部倒入和这个圆锥形容器等底的圆柱形容器里，水的高度是（）厘米。二、判断题 1、圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍。（） 2、一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比2：1. （） 3、一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米（） 4、正方体的棱长缩小一半后,体积比原来少一半。（） 5、一个长方体和一个圆柱，它们的体积和高都相等，那么，它们的底面积也相等。（）三、选择题。 1、甲圆柱形容器底面半径是乙圆柱形容器底面半径的2倍(容器直立放置)。现以相同的流量同时向这两个容器内注入水，经过一定的时间，甲、乙两个容器内水面的高度的比是？(容器内的水都未加满) （） A.1∶2 B.2∶1 C.4∶1 D.1∶4 2、.如果一个长方体的长、宽、高都扩大3倍，则它的体积扩大( )倍。 A.3 B.9 C.27 3、一个长方体油箱，里面长60厘米，宽50厘米，高40厘米，这个油箱可以装油（） A.120升 B. 12升 C. 1.2升

立体几何初步测试题1209

精品文档15周周末自主测试高一第立体几何初步测试题（一）分，在每小题给出的四个选项中，只分，共6012小题，每小题5一、选择题：（本题共有一项是符合题目要求的））1、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个（俯视图左视图主视图、都不对 D C、棱柱B、棱锥A、棱台）2、已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是（D、都不对、16或64 C、64 B A、16 ）3、下面表述正确的是（ B、分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面A、空间任意三点确定一个平面 D、不共线的四点确定一个平面、直线上的两点和直线外的一点确定一个平面 C ）4、两条异面直线是指（ B、分别位于两个不同平面内的两条直线A、在空间内不相交的两条直线 D、不同在任一平面内的两条直线C、某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线下列命题中：①平行于同一直线的两平面平行②平行于同一平面的两平面平行③垂直5、）于同一直线的两平面平行④与同一直线成等角的两平面平行；正确的命题是（、②③④ D C、③④A、①②B、②③ ）6、下列命题中正确命题的个数是（ ①一条直线和另一条直线平行，那么它和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行。3 、D C、2 A、0 B、1 、一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是7 ）（A'C'、不确定 D C B、相交、平行、异

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

（一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。： `

} （一） 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=，由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- < 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0, {n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 - <

（二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ \ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 《

立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?，求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F

（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分（2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分又平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。（1）求证：BC 1//平面CA 1D ；（2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．

六年级立体几何

六年级第三讲——立体几何 A卷 1. 圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米。(结果用π表示) 2. 如图，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少? 3. 如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米? 4. 如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?

5. 有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？ 6. 有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？ 7. 把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？

8. 把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方厘米？ 9.有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？ 10.一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数且都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？

《立体几何初步》测试题及答案

《立体几何初步》测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 若a ∥b ，A c b =?，则c a ,的位置关系是（） A.异面直线 B.相交直线 C.平行直线 D.相交直线或异面直线 3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．顶角为30°的等腰三角形 D ．其他等腰三角形 4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（） A 48 B 64 C 96 D 192 5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 6. 已知正方体外接球的体积是323 π，那么正方体的棱长等于（） A 3 C 3 3 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（） A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n B ．若,l αβα⊥?，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m

8. 如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，E F G H ，，，分别为1A A ，A B ，1B B ，11B C 的中点，则异面直线E F 与 G H 所成的角等于（）Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120° 9. 已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（） A.3 B.2 C.1 D.0 10. 平面α与平面β平行的条件可以是（） A.α内有无穷多条直线与β平行； B.直线a//α,a//β C.直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α D.α内的任何直线都与β平行二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 直观图（如右图）中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2cm ，则在xoy 坐标中四边形ABCD 为 _ ____，面积为______cm 2． 12. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是． 13. 已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 . 14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿ 15. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=?90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有个直角三角形 16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：（1）AC ⊥BD ；（2）△ACD 是等边三角形（3）AB 与平面BCD 所成的角为60°；（4）AB 与CD 所成的角为60°。其中正确结论的序号为＿＿＿＿三、解答题（本大题共4小题，共60分） 17.（10分）如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC A F D B C G E 1B H 1C 1D 1 A A B C P D'C' B' A'O' Y'X'

历年江苏高考数学立体几何真题汇编含详解

历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解）（2008年第16题）在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点，求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ? ??? ?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）??????? ?? ?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ，所以平面EFC ⊥平面BCD （2009年第16题）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上， A 1D ⊥ B 1 C . 求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ，因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1，又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ，又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ，故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题）

空间立体几何练习题(含答案)

第一章空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的主视图左视图俯视图

立体几何专题训练(附答案)

立体几何 G5 空间中的垂直关系 18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D- AF- E的余弦值．图1-4 19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1. 由(1)知，O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角．

不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7. 在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2 ＝ 1＋12 7 ＝ 197 . 故cos ∠C 1HO 1＝O 1H C 1H ＝ 23 7197 ＝25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)， B 1(3，0，2)， C 1(0，1，2)．易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量．设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则?????n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即???3x ＋2z ＝0， y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)．设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是 cos θ＝|cos 〈，〉|＝??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19．、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证：AB ⊥PD .

专题一立体几何经典练习题

2 专题一立体几何班级： _____ 姓名： _____ 学号： _____ 一、选择题(4 分×10=40 分) 1．直线 l , l 和 α ， l // l ， a 与 l 平行，则 a 与 l 的关系是 1 2 1 2 1 2 A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．以上都可能 2．若线段 AB 的长等于它在平面内射影长的 3 倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A ． 1 3 B ． 2 2 2 2 C ． D ． 3 3 3．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，B 1C 与平面 DD 1B 1B 所成的角的大小为 A ．15 B ． 30 C ． 45 D ． 60 4．有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是 A ．②③ B ．①②③ C ．①③ D ．②③④ 5．有一山坡，倾斜度为 300，若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成 450 角的直线前进 1 公里，则升高了 A ． 250 2 米 B ． 250 3 米 C ． 250 6 米 D ． 500 米 6．已知三条直线 a , b , l 及平面 α , β ，则下列命题中正确的是 A ．若b ? α , a // b , 则a // α B ．若 a ⊥ α , b ⊥ α ，则 a // b C ．若 a ? α ,α β = b ，则 a // b D ．若 a ? α , b ? α , l ⊥ a , l ⊥ b , 则 l ⊥ α 7．已知 P 是△EFG 所在平面外一点，且 PE=PG ，则点 P 在平面 EFG 内的射影一定在△EFG 的 A ．∠FEG 的平分线上 B ．边 EG 的垂直平分线上 C ．边 EG 的中线上 D ．边 EG 的高上 8．若一正四面体的体积是18 2 cm 3，则该四面体的棱长是 A ． 6cm B ． 6 3 cm C ．12cm D ． 3 3 cm 9．P 是△ABC 所在平面α 外一点，PA ，PB ，PC 与α 所成的角都相等，且 PA ⊥BC ，则 △ABC 是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 3 10．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF//AB ，EF= ，EF 2 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为 E F A ．2 B ．4 C ． 2 2 D ． 4 2 D C 二、填空题(4 分×4=16 分) A B 11．空间四边形 ABCD 中，AB=6，CD=8，E 、F 、G 分别是 BD ，AC ，BC 的中点，若异面直

2014年六年级数学思维训练：立体几何

2014年六年级数学思维训练：立体几何一、兴趣篇 1．一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米．若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？ 2．如图，将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3 厘米的正方形呢？ 3．用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米？ 4．（1）如图1，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的长方体，剩余部分的表面积是多少？（2）如图2，将一个棱长为5的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体，它的表面积减少了百分之几？ 5．（2013?北京模拟）如图是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？

6．（2012?北京模拟）（1）如图，将4块棱长为1的正方体木块排成一排，拼成一个长方体．那么拼合后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了多少？（2）一个正方体形状的木块，棱长为1，如图所示，将其切成两个长方体，这两部分的表面积总和是多少？如果在此基础上再切4刀，将其切成大大小小共18块长方体．这18块长方体表面积总和又是多少？ 7．这里有一个圆柱和一个圆锥（如图），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？ 8．如图，一块三层蛋糕，由三个高都为1分米，底面半径分别为1.5分米、1分米和0.5分米的圆柱体组成．请问：（1）这个蛋糕的表面积是多少平方分米？（л取3.14）（2）如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少？ 9．有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是6米、3米、2米，三个池子都装了半池水．现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？（结果精确到小数点后两位） 10．有一个高24厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水，现有一根长30厘米，底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触，这时水面升高了多少厘米？二、拓展篇

立体几何初步练习题及答案

立体几何初步测试题 1.如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论，其中错误的是( ) A ．有10个顶点 B ．体对角线AC 1垂直于截面 C ．截面平行于平面CB 1 D 1 D ．此多面体的表面积为47 8 a 2 解析此多面体的表面积S ＝6a 2－3×12×12a ×12a ＋12×22a ×22a ×32＝45 8a 2 ＋ 38a 2＝45＋38 a 2 .故选D 2．(2012·福建宁德二模)如图是一个多面体的三视图，则其全面积为( ) A.3 B.3 2＋6 C.3＋6 D.3＋4 解析由几何体的三视图可得，此几何体是正三棱柱，其全面积为S ＝3×(2)2 ＋2×1 2×(2)2×sin60°＝6＋ 3.故选C. 3．(2012·江西抚州一中模拟)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( ) A ．22π B ．12C ．4π＋24 D ．4π＋32 解析由几何体的三视图可得，此几何体是上面一个球、下面一个长方体组成的几何体，此几何体的表面积S ＝4π×12＋2×2×2＋8×3＝4π＋32.故选D. 5．(2012·江苏启东中学模拟)一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的体积为( ) A.82π 3 B.8π3 C.32π3 D ．8π

解析由题意，球的半径为R ＝12＋12＝2，故其体积V ＝4 3π(2)3＝82π 3，选A. 6．(2012·福建福鼎一中模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E 是AD 的中点，则异面直线C 1E 与BC 所成的角的余弦值是( ) A.105 B.1010 C.13 D.223 解析因为BC ∥B 1C 1，故∠EC 1B 1即为异面直线C 1E 与BC 所成的角，在△EB 1C 1中，由余弦定理可得结果，选C. 8.(2012·安徽皖南八校联考)设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ① ???? ?α∥βα∥γ?β∥γ；② ???? ?α⊥β m ∥α?m ⊥β；③ ? ??? ?m ⊥αm ∥β?α⊥β；④ ? ??? ?m ∥n n ?α?m ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④

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2015 年高考立体几何大题试卷 1.【 2015 高考新课标2，理 19】如图，长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=16，BC =10， AA18 ，点E，F分别在 A1 B1，C1D1上， A1 E D1F 4 ．过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． D F C A E B D C A B （ 1 题图）（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF 与平面所成角的正弦值． 2. 【 2015 江苏高考， 16】如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中，已知AC BC ， BC CC1，设 AB1的中点为D， B1C BC1 E .求证：（1） DE // 平面 AA1C1C ；（2）BC1AB1. A C B E D A C B （ 2 题图）（3 题图） 3. 【2015 高考安徽，理19】如图所示，在多面体A1 B1 D1 DCBA ，四边形 AA1B1 B ， ADD A , ABCD 均为正方形， E 为 B D 的中点，过 A1 , D , E 的平面交CD于F. 1 1 1 1 1 （Ⅰ）证明：EF / / B1C ；（Ⅱ）求二面角 E A1 D B1余弦值.

4.【2015江苏高考，22】如图，在四棱锥P ABCD 中，已知 PA平面ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，ABC BAD,PA AD 2, AB BC 12 （ 1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（ 2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ 与 DP 所成角最小时，求线段BQ 的长 A P D Q B F A D G B C E C （ 4 题图）（ 5 题图） 5 .【 2015 高考福建，理 17】如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形， AB ^平面 BEC， BE^ EC，AB=BE=EC=2 ， G，F 分别是线段 BE， DC 的中点 . ( Ⅰ ) 求证：GF / /平面ADE； ( Ⅱ ) 求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值． 6. 【 2015 高考浙江，理17】如图，在三棱柱ABC A1B1C1 - 中，BAC 90o， AB AC 2 ，A1A 4 ，A1在底面ABC的射影为BC的中点， D 为B1C1的中点. （1）证明：A1D平面A1B C；（2）求二面角A1-BD- B1的平面角的余弦值.

高一必修二立体几何练习题(含答案)

《立体几何初步》练习题一、选择题 1、一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ） A 、垂直 B 、平行Ｃ、相交不垂直 D 、不确定２. 在正方体1111ABCD A B C D -中, 与1A C 垂直的是( ） A ． BD Ｂ. CD C. BC D. 1CC 3、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是( ) A.βα//n ,//m ,n m ⊥ B.m ⊥n ,α∩β=m ,n ?α Ｃ.αβ?⊥m n n m ,,// D.βα⊥⊥n m n m ,,// 4、平面α与平面β平行的条件可以是( ) Ａ.α内有无穷多条直线与β平行； B ．直线a/／α，a ／/β C.直线ａα?,直线b β?,且a ／／β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 5、设m 、n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α,n //α，则m n ⊥ ②若αβ//,βγ//，m ⊥α,则m ⊥γ ③若m //α,n //α,则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是( ） A ．①和② B.②和③ C.③和④ D ．①和④ 6.点P 为ΔABC 所在平面外一点,P Ｏ⊥平面A ＢC ，垂足为O,若PA=PB=ＰC, 则点Ｏ是ΔＡBC 的( ) A.内心 B ．外心Ｃ.重心 D.垂心 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面,

则下列命题中为真命题的是（）Ａ．若//,,l n αβαβ??,则//l n B.若,l αβα⊥?,则l β⊥ C ．若,//l l αβ⊥,则αβ⊥ D.若,l n m n ⊥⊥，则//l m 8．已知两个平面垂直,下列命题中正确的个数是（ ) ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. Ａ.3 B.２Ｃ.１ D ．0 9．（２013浙江卷)设ｍ.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面，?( ) A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ? B.若ｍ∥α，m ∥β,则α∥β C ．若m ∥n,ｍ⊥α，则n ⊥α D.若m ∥α,α⊥β,则ｍ⊥β 10.(２013广东卷）设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是?( ) A ．若//l α，//l β,则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥,则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D.若αβ⊥，//l α,则l β⊥ 二、填空题 11、在棱长为2的正方体ABCD —A 1B １C 1D 1中,E,Ｆ分别是棱AB,BC 中点,则三棱锥Ｂ—B 1EF 的体积为 . 12．对于空间四边形ＡBCD,给出下列四个命题:①若ＡＢ=ＡC ，B Ｄ=CD 则BC ⊥AD;②若AB=CD ，AC=B Ｄ则BC ⊥A Ｄ；③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD 则BC ⊥AD ；④若ＡＢ⊥CD, BD ⊥AC 则BC ⊥ＡD ；其中真命题序号是． 13．已知直线b ／／平面α,平面α//平面β,则直线b 与β的位置关系为． P

高一立体几何初步练习题

高一立体几何初步练习题 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8

立体几何训练题一、选择题：每题4分，共40分. 1．下列图形中，不是正方体的展开图的是----------------------------- （） A B C D 2.已知直线//m α平面，直线n 在α内，则m n 与的关系为（） A 平行 B 相交 C 相交或异面 D 平行或异面 3．设A 1A 是正方体的一条棱，这个正方体中与A 1A 平行的棱共有（） A 1条 B 2条 C 3 条 D 4条 4 , 则长方体的对角线的长等于（） A 5．如图，如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面，那么MA 与BD 的位置关系是（） A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 C A B M 6．下列条件中，能判断两个平面平行的是（） A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面； B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面； C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 7.已知直线m ⊥平面α，直线n 平面β，下列说法正确的是( ) A 若 a ⊥⊥⊥ ⊥ 4π380cm 3112cm 356cm 3 336cm 1 2 5310 3 2acm 12.已知直线a ，b ，平面α，β，有下列命题：（1）若a ⊥⊥⊥⊥ 在公路旁有一条河，河对岸有高为24m 的塔AB ，当公路与塔底点B 都在水平面上时，如果只有测角器和皮尺作测量工具，塔顶与道路的距离________

全国卷历年高考立体几何真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考立体几何真题归类分析（含答案）类型一：直建系——条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z轴或与z轴平行，底面垂直关系直接给出或容易得出（如等腰三角形的三线合一）。这类题入手比较容易，第（Ⅰ）小问的证明就可以用向量法，第（Ⅱ）小问往往有未知量，如平行坐标轴的某边长未知，或线上动点等问题，以增加难度。该类问题的突破点是通过条件建立方程求解，对于向上动点问题这主意共线向量的应用。 1.（2014年全国Ⅱ卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC； (Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积. 2.（2015年全国Ⅰ卷）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC；(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 3.（2015年全国Ⅱ卷）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.

4.（2016年全国Ⅲ卷）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥底面面ABCD ，AD ∥BC ， 3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN 平面PAB ；（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 5.（2017全国Ⅱ卷）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，1 2 AB BC AD == ，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）求证：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45，求二面角M AB D --的余弦值. E M D C B A P 类型二：证建系（1）——条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z 轴或与z 轴平行，但底面垂直关系需要证明才可以建系（如勾股定理逆定理等证明平面线线垂直定理）。这类题，第（Ⅰ）小问的证明用几何法证明，其证明过程中的结论通常是第（Ⅱ）问证明的条件。第（Ⅱ）小问开始需要证明底面上两条直线垂直，然后才能建立空间直角坐标系。 6.（2011年全国卷）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD ，PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：P A ⊥BD ； (Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值.