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点集拓扑学练习题1(第二章)

点集拓扑学练习题—第二章

一. 判断题(每小题2分)

1. 集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( )

2. 拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( )

3. 实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( )

4. T 1、T 2是X 的两个拓扑,则T 1UT 2是一个拓扑.( )

5. 平庸空间中任一个序列均收敛,且收敛于任一个点。( )

6. 从(X ,T 1)到(X ,T 2)的恒同映射必是连续的。( )

7.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )

8.设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( )

9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )

10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )

11.设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )

12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )

二.填空题:(每空格3分)

1. X=Z +, T ={Z 1,Z 2,…Z n …},其中

Z n ={n,n+1,n+2,…},

则包含3的所有开集为_____________

包含3的所有闭集为________________

包含3的所有邻域为_________________

设A={1,2,3,4,5}

则A 的导集为_____________________

A 的闭包为______________________

2. 设X 为度量空间,x ∈X,则d ({x})=______________

3、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________.

4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;

5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ; A = ;

6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ; A = ;

7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3T X φ=,

则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;

三、单项选择题(每题2分)

1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T

② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T

③ {,,{},{,}}X a a b φ=T

④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T

2、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )

①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d

3、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )

①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d

4、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数

为( )

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

5、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3

6、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( )

① φ ② Q ③ R -Q ④ R

7、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ?是( )

① φ ② Q ③ R -Q ④ R

8、在实数空间中,整数集Z 的内部Z 是( )

① φ ② Z ③ R -Z ④ R

9、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ?是( )

① φ ② Z ③ R -Z ④ R

10、在实数空间中,区间[0,1)的边界是( )

① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)

11、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是( )

① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B ?=?

③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A =

12、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )

① ()d A φ= ② ()d A X A =-

③ ()d A A = ④ ()d A X =

13、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是(

) ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-

③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠

14、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是(

① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}

② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}

③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}

④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}

15、离散空间的任一子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭

16、平庸空间的任一非空真子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭

17、实数空间R 中的任一单点集是 ( )

① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭

18、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41

,……},则A =( )

①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A

19、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )

① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集

20、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )

① 整数集Z ② 有理数集

③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '

21、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是( )

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

22、已知{,}

X a b

=,则X上的所有可能的拓扑有()

① 1个② 2个③ 3个④ 4个

23、在实数下限拓扑空间R中,区间[,)

a b是()

①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭

24、设X是一个拓扑空间,,A B X

?,且满足()

d A B A

??,则B是()

①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭

四.证明题(52分):

1.设X有拓扑T

1,T

2

,…T

n

,则∩T

i

也是拓扑.

2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的.

3.设X是一个拓扑空间,B是一个基,x∈X,则B x={B∈B |x∈B}是点x处的一个邻域基.