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导数2015年高考数学试题分类汇编及答案分析(专题八)

2015年高考数学试题分类汇编及答案解析

专题八：导数及其应用

1.（2015年北京理科）已知函数1()ln

1x f x x +=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时，3

()2()3

x f x x >+；（Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ??>+ ???

对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2

【解析】（Ⅰ）212()ln ,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x

+''=∈-===--，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为02(0)20y x x y -=-?-=；

（Ⅱ）当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+，即不等式3

()2()03

x f x x -+>，对于(0,1)x ?∈ 成立，设33

()()2()ln(1)ln(1)2()33

x x F x f x x x x x =-+=+---+，则求得 4

2222

1122()222(1)1111x F x x x x x x x '=+--=-+=+---，当(0,1)x ∈时， ()0F x '>，故()F x 在(0,1)上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ?∈，

()2()3

x f x x >+成立；（Ⅲ）使3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，等价于3

()()03

x f x k x -+>对(0,1)x ?∈ 成立，设33

()()()ln(1)ln(1)()33

x x F x f x k x x x k x =-+=+---+，(0,1)x ∈，则 4222

22()(1)11kx k F x k x x x +-'=-+=--，当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在(0,1)上为增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；

当(2,)k ∈+∞时，令()0F x '=，402(0,1)k x k

-=∈，

x 0(0,)x 0x 0(,1)x ()F x '

- 0 + ()F x 极小值

()(0)F x F <，不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.

【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；

3.含参问题讨论.

2.（2015年北京文科）设函数2

()ln ,02

x f x k x k =->．（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点．

【答案】（Ⅰ）单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；极小值(1ln )()2

k k f k -=

；（Ⅱ）证明详见解析【解析】（Ⅰ）由2()ln ,02x f x k x k =->，得2()k x k f x x x x

-'=-=，由()0f x '=，解得x k =，所以()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：

x (0,)k

k (,)k +∞ ()F x ' -

0 + ()F x (1ln )2k k -

所以，()f x 的单调递减区间是)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 在

x k =处取得极小值(1ln )()2

k k f k -=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln ))2k k f k -=

，因为()f x 存在零点，所以(1ln )02

k k -≤，从而k e ≥，当k e =时，()f x 在区间e 上单调递减，且()0f e =，

所以x e =()f x 在区间]e 上的唯一零点，当k e >时，

()f x 在区间)e 上单调递减，且1(1)02f =>，(02

e k

f e -=<，

所以()f x 在区间上仅有一个零点；

综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.

【考点】1.导数的运算，2.利用导数判断函数的单调性，3.利用导数求函数的极值和最

大、最小值，4.函数零点问题.

3．（2015年安徽理科）设函数2()f x x ax b =-+.

（I ）讨论函数(sin )f x 在(,)22

ππ-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（II ）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[,]22

ππ-上的最大值D ；（III ）在（II ）中，取000a b ==，求2

a z

b =-满足1D ≤时的最大值. 【答案】（I ）极小值为2

a b -；（II ）00D a a b b =-+-；（III ）1 【解析】（I ）由2(sin )sin sin ,(,)22

f x x a x b x ππ=-+∈-，得： [(sin )]2sin cos cos (2sin )cos ,f x x x a x x a x '=-=-

而(,)cos 0,22sin 222

x x x ππ∈-?>-<<；当2,a b R ≤-∈时，函数(sin )f x 在(,)22ππ-

单调递增，无极值，当2,a b R ≥∈时，函数(sin )f x 在(,)22

ππ

-单调递减，无极值，当22,a b R -<<∈时，函数(sin )f x 在(,)22ππ-

内存在唯一的零点0x ，使得02sin x a =，且02x x π-

<≤时，函数(sin )f x 单调递减， 02x x π

<<时，函数(sin )f x 单调递增，所以22,a b R -<<∈时，

函数(sin )f x 有最小值，2

0(sin )()24

a a f x f

b ==-；（II ）当[,]22

x ππ∈-时，000(sin )(sin )()sin f x f x a a x b b -=-+- 00a a b b ≤-+-，当00()()0a a b b --≥时，取2

x π=等号成立，当00()()0a a b b --<时，取2

x π=-等号成立，可知0(sin )(sin )f x f x - 在[,]22

ππ-上的最大值为00D a a b b =-+-；

（III ）当1D ≤即1a b +≤，而201,11a b ≤≤-≤≤，得到214a z b =-≤，这是取1,0b a ==满足1a b +≤且2

a z

b =-=，由此可知，2

a z

b =-满足条件1D ≤的最大值为1. 【考点】1.函数的单调性、极值与最大（小）值；2.绝对值不等式的应用.

4.（2015年安徽文科）已知函数2

()(0,0)()ax f x a r x r =>>+，（I ）求()f x 的定义域，并讨论()f x 的单调性；

（II ）若400a r

=，求()f x 在(0,)+∞内的极值. 【答案】（I ）递增区间是(,)r r -，递减区间为(,)r -∞-和(,)r +∞；

（II ）极大值为100；无极小值

【解析】（I ）由题意可知0a r +≠即a r ≠-，所以()f x 的定义域为

(,)(,)r r -∞--+∞，又22244

()2()()()()()a x r ax x r a x r f x x r x r +-+--'==++，而0,0a r >>，令()0(,)f x x r r '>?∈-，

令()0(,)f x x r '

(,)r r -，单调递减区间为(,)r -∞-和(,)r +∞；

（II ）由（I ）可知()f x 在(0,)+∞内的极大值为2()10044ar a f r r r

===， ()f x 在(0,)+∞内无极小值；

所以()f x 在(0,)+∞内极大值为100，无极小值.

【考点】1.导数在函数单调性中的应用；2.函数的极值.

5.（2015年福建理科）若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =- ，其导函数()f x ' 满足

()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是

（A ）1

1()f k k < （B ）11()1f k k >- （C ）11()11f k k <-- （D ）1()11

k f k k >-- 【答案】C

【解析】由已知条件，必须构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->，所以()g x 在R 上单调递增，而1101k k >?>-，故1()(0)(0)1,1

g g f k >==-- 即111()1()1111

k f f k k k k ->-?>----，所以本题一定错误的是选项C ，而A 、B 、 D 选项不能确定.

【考点】函数与导数．

6.（2015年福建理科）已知函数()ln(1),(),()f x x g x kx k R =+=∈

(I)证明：当0x >时，()f x x <；

(II)证明：当1k <时，存在00x >,使得对任意0(0,)x x ∈恒有()()f x g x >；

(III)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0,)x t ∈恒有2()()f x g x x -<．

【答案】(I)详见解析；(II)详见解析；(III) 1k =

【解析】(I)令()()ln(1),(0,)F x f x x x x x =-=+-∈+∞则有

1()111x F x x x

'=-=-++，当(0,),()0x F x '∈+∞<,所以()F x 在 (0,)+∞上单调递减；故当0x >时，()(0)0F x F <=，

即当0x >时，()f x x <；

(II)令()()()ln(1),(0,)G x f x g x x kx x =-=+-∈+∞则有

1(1)()11kx k G x k x x

-+-'=-=++，当0k ≤时，()0G x '>, 所以()G x 在[0,)+∞上单调递增, ()(0)0G x G >=，即()()f x g x >，

故对任意正实数0x 均满足题意，

当01k <<时，令()0G x '=，得1110k x k k -==->，取011x k

=-，对任意0(0,)x x ∈，恒有()0G x '>,所以()G x 在0[0,)x 上单调递增,

()(0)0G x G >=,即()()f x g x >，

综上，当1k <时，总存在00x >,使得对任意的0(0,)x x ∈恒有()()f x g x >；

(III) 法一：当1k >时，由（I ）知，对于(0,),()()x g x x f x ∈+∞>>，故()(),()()()()ln(1)g x f x f x g x g x f x kx x >?-=-=-+，

令2()ln(1),(0,)M x kx x x x =-+-∈+∞，则有1()21M x k x x

'=--+

22(2)11x k x x -+--=+，故当x ∈时，

()0,()M x M x '>,在x ∈上单调递增，故()(0)0M x M >=,即2()()f x g x x ->,所以满足题意的t 不存在，

当1k <时，由（II ）知存在00x >,使得对任意的任意的0(0,)x x ∈恒有()()f x g x >，此时()()()()ln(1)f x g x f x g x x kx -=-=+-,令2()ln(1),(0,)N x x kx x x =+--∈+∞，

则有212(2)1()211x k x k N x k x x x

--+-+'=--=++，故当x ∈

时，()0,()N x N x '>在上单调递增，

故()(0)0N x N >=,即2

()()f x g x x ->,记0x 中较小的为1x ，则当1(0,)x x ∈时，恒有2()()f x g x x ->，故满足题意的t 不存在，

当1k =，由（I ）知，当(0,),()()()()ln(1)x f x g x g x f x x x ∈+∞-=-=-+，

令2

()ln(1),(0,),H x x x x x =-+-∈+∞则有212()1211x x H x x x x --'=--=++，当0x >时，()0,H x '<,所以()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H <=,

故当0x >时，恒有2()()f x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意，

综上，只有1k =.

法二：当1k >时，由（I ）知，对于(0,),()()x g x x f x ∈+∞>>，故()(),()()()()ln(1)(1)g x f x f x g x g x f x kx x kx x k x >?-=-=-+>-=-，

令2(1)k x x ->，解得01x k <<-，从而得到当1k >时，对于(0,1)x k ∈-，

恒有2()()f x g x x ->,所以满足题意的t 不存在，

当1k <时，取11112

k k k k +=?<<，由（II ）知存在00x >,使得任意 0(0,)x x ∈恒有1()()f x k x kx g x >>=，此时11()()()()()2k f x g x f x g x k k x x --=->-=

, 令212k x x ->解得102

k x -<<，此时2()()f x g x x ->, 记0x 与12

k -中较小的为1x ，则当1(0,)x x ∈时，恒有2()()f x g x x ->，故满足题意的t 不存在，

当1k =，由（I ）知，当(0,),()()()()ln(1)x f x g x g x f x x x ∈+∞-=-=-+，

令2()ln(1),(0,)M x x x x x =-+-∈+∞，则有1()121M x x x

'=--+ 221x x x

--=+，当0x >时，()0,M x '<,所以()M x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0M x M <=,故当0x >时，恒有2()()f x g x x -<,

此时，任意实数t 满足题意，综上，只有1k =.

【考点】导数的综合应用．

7.（2015年福建文科）“对任意(0,),sin cos 2x k x x x π

∈<”，是“1k <”的

（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当1k <时，sin cos sin 22k k x x x =，构造函数()sin 22

k f x x x =-，则()cos210f x k x '=-<，所以()f x 在(0,)2

x π∈单调递减，故得()(0)0f x f <=，则sin cos k x x x <成立；而当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22

x x <，构造函数1()sin 22

g x x x =-，则()cos210g x x '=-<，所以()g x 在(0,)2x π∈ 单调递减，故得()(0)0g x g <=，得到sin cos k x x x <也成立；综上“对任意

(0,),sin cos 2x k x x x π

∈<”，是“1k <”的必要不充分条件.

【考点】导数的应用．

8.（2015年福建文科）已知函数2(1)()ln 2

x f x x -=-. (I)求函数()f x 的单调递增区间；

（II ）证明：当1x >时，()1f x x <-；

（III ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()(1)f x k x >-．

【答案】(I) 15(0,)+；（II ）详见解析；（III ）(,1)-∞ 【解析】(I) 211()1,(0,)x x f x x x x x

-++'=-+=∈+∞，由2015()0010x f x x x x >?+'>??<?

故()f x 的单调递增区间是15(0,)+；（II ）令()()(1),(0,)F x f x x x =--∈+∞，则有22

11()1x x x F x x x

-++-'=-=，当(1,)x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在[1,)+∞上单调递减，

故当1x >时，()(1)0F x F <=，即当1x >时，()1f x x <-；

（III ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意，

当1k >时，对于1x >，有()1(1)f x x k x <-<-，则()(1)f x k x <-，

从而不存在01x >满足题意，

当1k <时，令()()(1),(0,)G x f x k x x =--∈+∞，则有

221(1)1()x x x k x G x k x x

-++-+-+'=-=，由()0G x '=得2(1)10x k x -+-+=，解得211(1)40k k x ---+=<，221(1)41k k x -+-+=>，当2(1,)x x ∈时，()0G x '>，故()G x 在2[1,)x 内单调递增，

从而当2(1,)x x ∈时，()(1)0G x G >=，即()(1)f x k x >-，

综上，k 的取值范围是(,1)-∞．

【考点】导数的综合应用． 9.（2015年新课标1理科）设函数()(21)x f x e x ax a =--+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是

（A ）3[,1)2e - （B ）33[,)24e - （C ）33[,)24e （D ）3[,1)2e

【答案】D

【解析】设()(21),x g x e x y ax a =-=-，

由题意可知存在唯一的整数0x ，

使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，

而()(21)x g x e x '=+，所以当12

x <-时， ()0g x '<，当12

x >-时，()0g x '>，所以当12x =-时，()0g x '=，，1

2min ()2g x e -=-，当0x =时，(0)1,(1)30g g e =-=>，直线y ax a =-恒过定点(1,0)，斜率

为a ，故(0)1a g ->=-且1(1)32g a a a e -=-?

≥--=-，解得312a e ≤<. 【考点】导数的综合应用．

10.（2015年新课标2理科）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，

当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是

（A ）(,1)

(0,1)-∞- （B ）(1,0)(1,)-+∞ （C ）(,1)

(1,0)-∞-- （D ）(0,1)(1,)+∞ 【答案】A

【解析】构造函数()()f x g x x =，则2

()()()xf x f x g x x '-'=，因为当0x >时， ()()0xf x f x '-<，故当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；

又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在

(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==，当01x <<时，()0g x >，则

()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >

成立的x 的取值范围是(,1)

(0,1)-∞-.

【考点】导数的综合应用．

11.（2015年新课标2理科）设函数2()mx f x e x mx =+-. （I ）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；

（II ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围.

【答案】（I ）见解析，（II ）(1,1)-

【解析】（I ）因为2()mx f x e x mx =+-，所以()2mx f x me x m '=+-

2()20mx f x m e ''=+≥在x R ∈时恒成立，所以()f x '在x R ∈时

单调递增，而(0)0f '=，所以0x >时()0f x '>，0x <时()0f x '<，故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；

（II ）由（I ）知()min (0)1f x f ==，当0m =时，2()1f x x =+，

在[1,1]-上的最大值为2，所以有12()()1f x f x e -≤-成立，

当0m ≠时，(1)1,(1)1m m f e m f e m --=++=+-，设关于m 的函数

()(1)(1)2m m g m f f e e m -=--=--，所以()20m m g m e e -'=+-≥，

所以()(1)(1)2m m g m f f e e m -=--=--在R 单调递增，而(0)0g =，

所以0m >时，()0g m >得(1)(1)f f >-，0m <时，()0g m <得(1)(1)f f <-，

当0m >时，12()()(1)1101m f x f x f e m e m -≤-=-≤-?<<，

当0m <时，12()()(1)1110m f x f x f e

m e m --≤--=+≤-?-<<，

综上所述m 的取值范围是(1,1)-.

【考点】导数的综合应用及均值不等式． 12.（2015年新课标2文科）已知曲线ln y x x =+在点(1,1) 处的切线与曲线

2(2)1y ax a x =+++ 相切,则a = ．

【答案】8

【解析】由11y x

'=+可得曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线斜率为2,故切线方程为 21y x =-,与2(2)1y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由

2808a a a ?=-=?=.

【考点】导数的几何意义.

13.（2015年新课标2文科）已知()ln (1)f x x a x =+-.

（I ）讨论()f x 的单调性；

（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.

【答案】（I ）0,()a f x ≤在(0,)+∞是单调递增；0,()a f x >在1(0,)a

单调递增,在 1(,)a

+∞单调递减；（II ）(0,1) 【解析】（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x

'=-，若0a ≤，则()0,()f x f x '> 在(0,)+∞单调递增，若0a >，则当1(0,)x a ∈时，()0f x '>，当1(,)x a

∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在1(0,)a 单调递增，在1(,)a

+∞单调递减；（II ）由（I ）知0a ≤时()f x 在(0,)+∞单调递增，无最大值，当0a >时()f x 在1x a =取得最大值，最大值为111()ln (1)ln 1f a a a a a a

=+-=-+-，根据题意得1()ln 122ln 10f a a a a a a =-+->-?+-<，设()ln 1g a a a =+-，则()g a 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0g =，于是当01a <<时，()0g a <，

当1a >时，()0g a >，所以满足条件的a 的取值范围是(0,1).

【考点】导数的应用.

14.（2015年陕西理科）对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给

出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是

（A ）1-是()f x 的零点（B ）1是()f x 的极值点

（C ）3是()f x 的极值（D ）点(2,8)在曲线()y f x =上

【答案】A

【解析】若选项A 错误时，选项B 、 C 、 D 正确，可得()2f x ax b '=+，因为1是()f x

的极值点，3是()f x 的极值，所以(1)0202(1)333f a b b a f a b c c a '=+==-????????=++==+???

，由于点(2,8)在曲线()y f x =上，所以42842(2)38a b c a a a ++=?+?-++=，

解得5,10,8a b c ==-=，所以2()5108f x x x =-+，这是2(1)5(1)10(1)8f -=?--?-+

230=≠，所以1-不是()f x 的零点.

【考点】1.函数的零点； 2.利用导数研究函数的极值．

15.（2015年陕西理科）设()n f x 是等比数列21,,,,n

x x x ???的各项和，其中0,,2x n N n >∈≥．（I ）证明：函数()()2n n F x f x =-在1(,1)2内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122

n n n x x +=+；（II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．

【答案】（I ）证明见解析；

（II ）当1x =时，()()n n f x g x =，当1x ≠时，()()n n f x g x <，证明见解析

【解析】（I ）2()()212n n n F x f x x x x =-=++++-，因为2n ≥则(1)10n F n =->，

1211()111112()1()()22012222212

n n n n F +-=++++-=-=-<-，所以 ()n F x 在1(,1)2内至少存在一个零点n x ，又21()1230n n F x x x nx -'=++++>，

故()n F x 在1(,1)2内单调递增，所以()n F x 在1(,1)2

内有且仅有一个零点n x ，因为n x 是()n F x 的零点，所以()0n n F x =，即1111120122

n n n n n n x x x x ++--=?=+-； (II)解法一：由题设，(1)(1)(),02

n n n x g x x ++=>，设()()()n n h x f x g x =- 2(1)(1)1,02n n

n x x x x x ++=++++->，当1x =时, ()()n n f x g x =，当1x ≠时, 1

21(1)()1232

n n n n x h x x x nx --+'=++++- ，若01x <<,

1111(1)()232

n n n n n n n x h x x x x nx -----+'>++++- 11

(1)(1)022

n n n n x n n x --++=-=，若1x >,1

1111(1)()232

n n n n n n n x h x x x x nx -----+'<++++- 11

(1)(1)022

n n n n x n n x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以()(1)0h x h <=，

即()()n n f x g x <，

综上所述，当1x =时，()()n n f x g x =，当1x ≠时，()()n n f x g x <.

解法二由题设，2()1n n f x x x x =++++，(1)(1)(),02n n n x g x x ++=> 当1x =时，()()n n f x g x =，

当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <，

当2n =时, 2221()()(1)02f x g x x -=--<所以22()()f x g x <成立，

假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <，

那么，当1n k =+时，111()()()k k k k k f x f x x g x x +++=+<+

11(1)(1)2(1)122

k k k k k x x k x k x ++++++++=+=，又1111(2)(1)2(1)1(),()22

k k k k k k x x k x k g x g x ++++++++++=- 1(1)12

k k kx k x +-++=，令1()(1)1(0)k k k h x kx k x x +=-++>，则11()(1)(1)(1)(1)k k k k h x k k x k k x k k x x --'=+-+=+-

所以当01,()0,()k

k x h x h x '<<<在(0,1)上递减，当1,()0,()k k x h x h x '>>在

(1,)+∞上递增，所以()(1)0k k h x h >=，从而112(1)1()2

k k k x k x k g x ++++++> 故11()()k k f x g x ++<对于1n k =+不等式也成立，

所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.

【考点】1.零点定理；2.利用导数研究函数的单调性.

16.（2015年陕西文科）函数x

y xe =在其极值点处的切线方程为______.

【答案】1y e =- 【解析】()()(1)x x y f x xe f x x e '==?=+，令()01f x x '=?=-，而1(1)f e

-=-，所以函数x y xe =在其极值点处的切线方程为1y e

. 【考点】导数的几何意义. 17.（2015年天津理科）已知函数(),,*,2n f x nx x x R n N n =-∈∈≥.

(I)讨论()f x 的单调性；

(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,

求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；

(III)若关于x 的方程()()f x a a R =∈有两个正实根12,x x ，求证：1221a x x n

-<+-. 【答案】(I) 当n 为奇数时，()f x 在(,1),(1,)-∞-+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递

增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.

(II)见解析； (III)见解析

【解析】 (I)由(),,*,2n

f x nx x x R n N n =-∈∈≥，得11()(1)n n f x n nx n x --'=-=- 分两种情况讨论：①当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，

当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：

所以()f x 在(,1),(1,)-∞-+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增，②当n 为偶

数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >

时，函数()f x 单调递减，所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，()f x 在(1,)+∞上

单调递减；

(II)证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则12100,()n x n f x n n -'==-，曲线

()y f x =在点P 处的切线方程为00()()()y g x f x x x '==-，

令()()()F x f x g x =-，即00()()()()F x f x f x x x '=--，

则0()()()F x f x f x '''=-，由于1()n f x nx n -'=-+在(0,)+∞上单调递减，故

()F x '在(0,)+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，

()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，

在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对

任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；

(III)证明：不妨设12x x ≤，由(II)知20()()()g x n n x x =--，设方程

()g x a =的根为2x '，可得202a x x n n

'=+-，当2n ≥时，()g x 在 (,)-∞+∞上单调递减，又由(II)知222()()()g x f x a g x '≥==可得22x x '≤，

类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，

当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()()f x h x <，

设方程()h x a =的根为1x '，可得1

a x n

'=，因为()h x nx =在(,)-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '≤，故得212101a x x x x x n ''-<-=+-，又2n ≥时，111

12(11)111n n n C n n ---=+≥+=+-=，所以11

1110(2)2n n n x n ---=≤=，所以1221a x x n

-<+-. 【考点】1.导数的运算及导数的几何意义；2.利用导数研究函数性质、证明不等式.

18.（2015年天津文科）已知函数()ln ,(0,)f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数, ()f x '为()f x

的导函数,若(1)3f '= ,则a 的值为．

【答案】3

【解析】因为()(1ln )f x a x '=+ ,所以(1)3f a '==.

【考点】导数的运算法则.

19.（2015年山东理科）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈.

（I ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；

（II ）若0,()0x f x ?>≥成立，求a 的取值范围.

【答案】（I ）当809a ≤≤时()f x 的无极值点；当0a <时()f x 有一个极值点；当89

a > 时，()f x 的有两个极值点；（II ）01a ≤≤

【解析】（I ）因为2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞，所以

211(21)(1)121()(21)111

a x x ax ax a f x a x x x x +-+++-+'=+-==+++，设2()21g x ax ax a =+-+，当0a =时，1()1,()01

g x f x x '==>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点；当0a >时，

228(1)98a a a a a ?=+-=-，若809

a <≤

时0?≤，()0,()0g x f x '≥≥，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点；若89

a >时0?>，设()0g x = 的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <，则121,(1)102

x x g +=--=>，所以12114x x -<<-<，故得当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增，当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减，当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>

单调递增，此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0?>，而

12(1)10,1g x x -=>?<-<，所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増；

当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减，所以()f x 只有一个极值点；

综上可知当809

a ≤≤时()f x 的无极值点；当0a <时()f x 有一个极值点；当

89a >时，()f x 的有两个极值点；（II ）由（I ）可知当809

a ≤≤时()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；当819a <≤时， 2(0)0,0,()g x f x ≥≤在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,)x ∈+∞时，

()0f x >，符合题意；当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x

单调递减，而(0)0f =，则当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；

当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x

'=-=>++， ()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，

于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a >-

时2(1)0ax a x +-<，此时()0f x <，不符合题意；

综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤.

【考点】导数的综合应用.

20.（2015年江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，

计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12,l l ，山区边界曲线为c ，计划修建的公路为l ，如图所示，,M N 为c 的两个端点，测得点M 到 12,l l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12,l l 的距离分别为20千米和2.5千米，以 12,l l 所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线c 符合函数

2a y x b

=+（其中,a b 为常数）模型. （I ）求,a b 的值；

（II ）设公路l 与曲线c 相切于P 点，P 的横坐标为t ，

① 请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其

定义域；

②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 【答案】（I ）求1000,0a b ==；（II ）①6

3410()2f t t t ?=+，定义域为[5,20]， A

②min 102,()153t f t ==千米

【解析】（I ）由题意知，点,M N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5)，代入函数式

2a y x b =+，得4025 2.5400a b a b ?=??+??=?+?

，解得10000a b =??=?；（II ）①由（I ）知21000(520)y x x =

≤≤，则点的坐标为2

1000(,)t t ，设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别于,A B 点，32000y x

'=-，则l 的方程为2310002000()y x t t t -=--，可得233000(,0),(0,)2t A B t ，所以6

22224330003410()()(),[5,20]22t f t t t t t

?=+=+∈； ②设62

4410()g t t t ?=+，则6

51610()2g t t t ?'=-，令()0g t '=，解得2,t =当(5,102)()0()时，，t g t g t '∈<时减函数，

当(102,20)()0()时，，t g t g t '∈>时增函数，

从而得当102()时，函数t g t =有极小值，也是最小值，min

()300g t =，这时min ()153f t = 答：当102t =l 得长度最短，最短长度为15

【考点】利用导数求函数最大（小）值，导数几何意义.

21.（2015年江苏）已知函数32()(,)f x x ax b a b R =++∈. （I ）试讨论()f x 的单调性；

（II ）若b c a =-（实数c 是a 与无关的常数），当函数()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22

-∞-+∞，求c 的值. 【答案】（I ）当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在2(,)3

a -∞-，

(0,)+∞上单调递增，在2(,0)3a -

上单调递减；当0a <时，()f x 在 (,0)-∞，2(,)3a -

+∞上单调递增，在2(0,)3

a -上单调递减；（II ）1c = 【解析】（I ）2()32f x x ax '=+，令()0f x '=，得1220,3

a x x ==-，当0a =时，2()30f x x '=≥，得到()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，

当0a >时，220(,)(0,)33

a a x -， 2(,0)()03

时，a x f x '∈-<，所以函数()f x 在2(,)3a -∞-，(0,)+∞ 上单调递增，在2(,0)3

a -上单调递减；当0a <时，220(,0)(,)33

a a x <-?∈-∞-+∞时，()0f x '>， 2(0,)()03

时，a x f x '∈-<，所以函数()f x 在2(,0),(,)3a -∞-+∞，上单调递增，在2(0,)3

a -上单调递减；（II ）由（I ）知()f x 的两个极值为(0)f

b =，

324()327a f a b -=+，则函数()f x 有三个零点等价于324(0)()()0327

a f f

b a b ?-=+<，从而得304027a a b >???-<

，又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34027

a a c -+<，

设34()27

g a a a c =-+，因为()f x 有三个零点时，a 的取值范围恰好是 33(,3)

(1,)(,)22-∞-+∞，则在(,3)-∞-上()0g a <且在33(1,)(,)22+∞上 ()0g a >均恒成立，从而3(3)10,()102

g c g c -=-≤=-≥成立，因此1c =，此时322

()1(1)[(1)(1)]f x x ax a x x a x a =++-=++---，因为有三个零点，则

2(1)(1)0x a x a +---=有两个异于1-的不等实根，所以2(1)4(1)a a ?=-+- 2230a a =+->，且2(1)(1)10a a ---+-≠，解得a 的取值范围是

33(,3)(1,)(,)22

-∞-+∞，可以确认1c =. 【考点】利用导数求函数单调性、极值、函数零点.