五年级奥数第14讲-组合图形的面积(教)

例 1、已知图 12－1 中，三角形 ABC 的面积为 8 平方厘米，AE ＝ED ，BD= BC ，求阴影部分的面积。

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学科教师辅导讲义

年 级：五年级

辅导科目：奥数

课 时 数：3

学科教师：

授课主题

授课类型

T 同步课堂 第 14 讲——组合图形的面积 P 实战演练 S 归纳总结

教学目标

① 掌握三角形的面积计算公式；

② 学会使用拆补法求解三角形面积； ③ 通过题目中给定比例关系求解面积比。

授课日期及时段

T （Textbook-Based ）——同步课堂

知识梳理

计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无

从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知

识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥” 就会使你顺利达到目的。有些平面图形的

面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合

理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。

典例分析

2

3

【解析】阴影部分为两个三角形，但三角形 AEF 的面积无法直接计算。

由于 AE=ED,连接 DF ，可知 S △AEF =S △EDF （等底等高），采用移补的方法，

将所求阴影部分转化为求三角形 BDF 的面积。

2

因为 BD=3 BC ，所以 S △BDF ＝2S △DCF 。又因为 AE ＝ED ，所以 S △ABF ＝S △

A

E

F

BDF ＝2S △DCF 。因此，S △ABC ＝5S △DCF 。由于 S △ABC ＝8 平方厘米，所以 S △ DCF

＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为：

B

D

12－1

C

1.6×2＝3.2（平方厘米）。

例 △2、在 ABC 中（图 12-2），BD=DE=EC ，CF ：AC=1：△3。若

ADH 的面积比△HEF 的面积多 24 平方厘

米，求三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？

F

【解析】△ADH 的面积比△HEF 的面积多 24 平方厘米，

则三角形 ADE 的面积比三角形 FDE 的面积多 24 平方厘米，

又因三角形 FDE 和三角形 FEC 的面积相等，

也就是说三角形 AEC 比三角形 FEC 的面积多 24 平方厘米，

又因多出的 24 平方厘米,是三角形 AEC 的面积的 23，

12-2

所以三角形 AEC 的面积是 24÷2/3=36 平方厘米，

则三角形 ABC 的面积是 36÷1/3=108(平方厘米)，

答：三角形 ABC 的面积是 108 平方厘米。

例 3、两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形，如图 12－3 所示，已知两个三角形的面积，求另两个三

角形的面积各是多少？

A

D

【解析】已知 △S BOC 是 S △DOC 的 2 倍，且高相等，可知：BO ＝2DO ；

从 S △ABD 与 S △ACD 相等（等底等高）可知：S △ABO 等于 △6，而

ABO

O

12

6

与△AOD 的高相等，底是△AOD 的 2 倍。所以△AOD 的面积为：

6÷2＝3。

B

12-3

C

答：△AOD 的面积是 3。

例 4、四边形 ABCD 的对角线 BD 被 E 、 两点三等分，且四边形 AECF 的面积为 15 平方厘米。求四边形 ABCD 的面积（如图 12－4 所示）。

【解析】由于 E 、F 三等分 BD ，所以三角形 ABE 、AEF 、AFD 是等底

等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC 、CEF 、CFD 的面

积也相等。由此可知，三角形 ABD 的面积是三角形 AEF 面积的 3 倍，

三角形 BCD 的面积是三角形 CEF 面积的 3 倍，从而得出四边形 ABCD

的面积是四边形 AECF 面积的 3 倍。

15×3＝45（平方厘米）

答：四边形 ABCD 的面积为 45 平方厘米。

例 5、如图 12－5 所示，BO ＝2DO ，阴影部分的面积是 4 平方厘米。

那么，梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？

【解析】因为 BO ＝2DO ，取 BO 中点 E ，连接 AE 。根据三角形等底 等高面积相等的性质，可知 S △DBC ＝S △CDA ；S △COB ＝S △DOA ＝4，类推可

B

B

D

A

F

E

12－4

A D

O

E

12－5

C

C

利用面积公式： BO g h = 2 ， DO g h = 3 ，得 BO ：DO=2：3，

即 DO = BO ，

2 2

2

又 BO g h = 1

2

得 DO g h = g BO g h = g BO g h = 。

2 2 2

3 2

得每个三角形的面积。所以：

S △CDO ＝4÷2＝2（平方厘米）

S △DAB ＝4×3＝12 平方厘米

S 梯形 ABCD ＝12+4+2＝18（平方厘米）

答：梯形 ABCD 的面积是 18 平方厘米。

例 6、如图 18－17 所示，长方形 ADEF 的面积是 16，三角形 ADB 的面积是 3，三角形 ACF 的面积是 4，求

三角形 ABC 的面积。

【解析】连接 AE 。仔细观察添加辅助线 AE 后，使问题可有如下解法。

由图上看出：三角形 ADE 的面积等于长方形面积的

一半（16÷2）＝8。用 8 减去 3 得到三角形 ABE 的面积为

5。同理，用 8 减去 4 得到三角形 AEC 的面积也为 4。因

此可知三角形 AEC 与三角形 ACF 等底等高，C 为 EF 的中

点，而三角形 ABE 与三角形 BEC 等底，高是三角形 BEC

12－6

的 2 倍，三角形 BEC 的面积为 5÷2＝2.5，所以，三角形 ABC 的面积为 16－3－4－2.5＝6.5。

例 7、如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD ，被对角线 AC 、BD 分成四个部分。△AOB 的面积是 2 平方千

米，△COD 的面积是 3 平方千米，公园陆地面积为 6.92 平方千米，那么人工湖的面积是多少平方千米？

【解析】由△BOC 与△DOC 等高 h △1

， BOA 与△DOA 等高 h 2，

1 1

3 1 1

1 2

1 1 3

2 3

2 2

C

则湖的面积为：1 + 2 + 3 + 3 2

- 6.92 = 0.58 （平方千米）

B

O

D

A

P

(Practice-Oriented)

——实战演练

实战演练

5×3÷ ＝22 平方厘米

（

课堂狙击

1、如图所示，AE ＝ED ，BC=3BD ，△S ABC ＝30 平方厘米。求阴影部分的面积。

【解析】阴影部分为两个三角形，但三角形 AEF 的面积无法直接计算。

A

由于 AE=ED,连接 DF ，可知 S △AEF =S △EDF （等底等高），采用移补的方法，

将所求阴影部分转化为求三角形 BDF 的面积。

30÷5×2＝12 平方厘米

F

E

B

D

C

1

2、如图所示，DE ＝2 AE ，BD ＝2DC ，S △EBD ＝5 平方厘米。求三角形 ABC

的面积。

【解析】

A

E F

2 1

3 2

B

D

C

3、两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形， 如图所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面

积是多少？

A

D

【解析】

4÷2＝2

4

O

8÷2＝4

B

8

C

4、如图所示，已知四边形 ABCD 的对角线被 E 、F 、G 三点四等分，且阴影部分面积为 15 平方厘米。求四边

形 ABCD 的面积。

【解析】

A

D

15×4＝60 平方厘米

E

F

· G

B

C

5、如图所示， AD=6，CG=4；求阴影部分的面积。（ABCD 为正方形）

【解析】

A 6 D

E

6×6÷2－6×4÷2＝6 平方厘米

6×2÷4＝3 平方厘米

（6+3）×6÷2＝27 平方厘米

B

G 4

C

3× ＝1.5

6、如图所示，阴影部分面积是 4 平方厘米，OC ＝2AO 。求梯形面积。

【解析】

4×2＝8 平方厘米

A

D

8×2＝16 平方厘米

16+8+8+4＝36 平方厘米

O

B

C

7、如图 18－18 所示，长方形 ABCD 的面积是 20 平方厘米，三角形 ADF 的面积为 5 平方厘米，三角形 ABE

的面积为 7 平方厘米，求三角形 AEF 的面积。

【解析】

20÷2－7＝3 A

D

F

1 2

20－7－5－1.5＝6.5

B E C

课后反击

1

1、如图所示，AE=ED ，DC ＝3 BD ，△S ABC ＝21 平方厘米。求阴影部分的面积。

【解析】阴影部分为两个三角形，但三角形 AEF 的面积无法直接计算。

由于 AE=ED,连接 DF ，可知 S △AEF =S △EDF （等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形 BDF 的面积。

A

21÷7×3＝9 平方厘米

E

F

B

D

C

2、已知三角形 AOB 的面积为 15 平方厘米，线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍。

求梯形 ABCD 的面积。

【解析】

15×3＝45

A

D

15+5+15+45＝80

O

B C

（10－4）× ＝2

20－6－4－2 ＝7

3、已知 S △AOB ＝6 平方厘米。OC ＝3AO ，求梯形的面积（如图所示）

。 【解析】

6×（3+1）＝24

6÷3＝2

24+6+2＝32

A D

O

B

C

4、如图 18－19 所示，长方形 ABCD 的面积为 20 平方厘米，S △ABE ＝4 平方厘米，S △AFD ＝6 平方厘米，求三

角形 AEF 的面积。

【解析】

A

D

20÷2＝10

10－6 2

10 5

B

E

F

C

2 3

5 5

5、底边长为 6 厘米，高为 9 厘米的等腰三角形 20 个，迭放如下图：

每两个等腰三角形有等距离的间隔，底边迭合在一起的长度是 44 厘米．回答下列问题：

（1）两个三角形的间隔距离；

（2）三个三角形重迭（两次）部分的面积之和；

（3）只有两个三角形重迭（一次）部分的面积之和；

（4）迭到一起的总面积．

【解析】

（1）从图中可看出，有（20-1=）19 个间隔，每个间隔距离是（44-6）÷19=2（厘米）．

（2）观察三个三角形的迭合．画横行的两个三角形重叠画井线是三个三角形重叠

9

6

2 2

2

44

部分，

6

1 1

它是与原来的三角形一般模样，但底边是原来三角形底的 （2 厘米），高也是原来三角形高的 （3 厘米），

3 3 所以面积为 1 2

? 3 ? 2 = 3 （cm 2）．每三个连着的三角形重叠产生这样的一个小三角形，每增加一个大三角形，

2 2 ，因此面积是 ? 6 ? ? ? 9 ? ? = 12 (cm 2). （ 因此 BE = EC ，又 S

V FEC .

V DEC = S

7∴ S

V ABE = ? 5 = 3.5

（平方厘米）.

V AEF

= 24 - 5 - 3.5 - 6 = 9.5 （平方厘米）

就多产生个一个三次重叠的三角形，而且与前一个不重叠．因此这样的小三角形共

有 20-2=18（个），面积之和是 3×18=54（cm 2）。

A

（3）每两个连着的三角形重叠分，也是原来的三角形一般模样的三角形，底边是

D

F

原来三角形的

，高是原高的

3 3

1 ?

2 ? ? 2 ? 2 ?

3 ? ? 3 ? B

E C

每增加一个大三角形就产生一个小三角形．共产生 20-1=19（个），面积 19×12=228 cm 2）．所求面积 228-54×2=120

（cm 2）

（4）20 个三角形面积之和，减去重叠分，其中 120cm 2 重叠次，54cm 2 重叠次．

1

2

? 6 ? 9 ? 20 - 120 - 54 ? 2 = 312 (

cm 2)

直击赛场

1、图中 ABCD 是梯形，AECD 是平行四边形，则阴影部分的面积是( )平方厘米（图中单位：厘米）。

【解析】

阴影部分的面积等于以 12 为底以 10 为高的平行四边形面积的一半，

即 12×10÷2=60（平方厘米）

2、如图，已知长方形 ABCD 的面积是 24 平方厘米，三角形 ABE 的面积是 5 平方厘米，三角形 AFD 的面积

是 6 平方厘米，那么三角形 AEF 的面积是（

）平方厘米。

【解析】 连结长方形对角线 AC ，可知 S △ABC=S △ACD=12（平方厘米）．

因为 S △AFD=6（平方厘米），所以 S △ACF=6（平方厘米），由此可知 F 是 DC 边的中点． 因为 △S ABE=5（平方厘米），所以 S △AEC=7（平方厘米），由此可知 BE ∶EC=5∶7．

5 7

12

A

D

S 7

S

10 10

10

B

E C

S(Summary-Embedded)——归纳总结

名师点拨

计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合

理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。

学霸经验

本节课我学到了

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