线性代数第五章答案
第五章 相似矩阵及二次型
1. 试用施密特法把下列向量组正交化:
(1)???
?
??=931421111) , ,(321a a a ;
解 根据施密特正交化方法
???
? ??==11111a b , ???? ??
-=-=101]
,[],[1112122b b b a b a b ,
?
?
?
? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b
(2)???
?
? ??---=011101110111) , ,(321a a a
解 根据施密特正交化方法
???
?
?
??-==110111a b
?
?
??
? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b
?
?
??
? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b
2. 下列矩阵是不是正交阵:
(1)??????
? ??--
-1
21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.
(2)????
??
? ??----
--979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.
3 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交阵
证明 因为 H T (E 2xx T )T E
2(xx T )T E 2(xx T )T
E 2(x T )T x T E 2xx T
所以H 是对称矩阵
因为
H T H HH (E 2xx T )(E 2xx T )
E 2xx T 2xx T (2xx T )(2xx T ) E 4xx T 4x (x T x )x T E 4xx T 4xx T E
所以H 是正交矩阵
4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A B 是n 阶正交阵, 故A 1
A T B
1
B T
(AB )T (AB )B T A T AB B 1A 1AB E
故AB 也是正交阵.
5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1)???
? ??----201335212;
解 3
)1(2013352
12||+-=-------=-λλ
λλλE A
故A 的特征值为1(三重). 对于特征值
1 由
??
?
? ?????? ??----=+000110101101325213~E A
得方程(A E )x 0的基础解系p 1(1 1 1)T 向量p 1就是对应于特征值
1的
特征值向量.
(2)???
?
??633312321;
解 )
9)(1(6333123
21||-+-=---=-λλλλ
λλλE A
故A 的特征值为10 2
1
3
9.
对于特征值
1
0, 由
???
?
?????? ??=000110321633312321~A
得方程A x 0的基础解系p 1(1 1 1)T 向量p 1是对应于特征值
1
0的特征值
向量.
对于特征值
2
1, 由
??
?
? ?????? ??=+000100322733322322~E A
得方程(A E )x 0的基础解系p 2(1 1 0)T 向量p 2就是对应于特征值
2
1的
特征值向量 对于特征值
3
9, 由
????
? ??--???? ??---=-00021101113333823289~E A
得方程(A 9E )x 0的基础解系p 3(1/2 1/2 1)T 向量p 3就是对应于特征值
3
9的
特征值向量.
(3)????
?
?
?00
01001001001000
.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考） 解 22)1()1(0010100101
00||+-=----=
-λλλ
λλλλE A
故A 的特征值为121 34
1.
对于特征值
1
2
1, 由
????
? ?
??????
?
?=+00
000000
0110100110
01011001101001~E A
得方程(A E )x 0的基础解系p 1(1 0 0 1)T p 2(0 1
1 0)T 向量p 1和
p 2是对应于特征值
1
2
1的线性无关特征值向量. 对于特征值
3
4
1, 由
????
? ??--?????
?
?----=-00
00
0000
0110100110
01011001101001~E A
得方程(A E )x 0的基础解系p 3(1 0 0 1)T p 4(0 1 1 0)T 向量p 3和p 4
是对应于特征值3
4
1的线性无关特征值向量.
6 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 证明 因为
|A T
E ||(A E )T ||A E |T |A E |
所以A T 与A 的特征多项式相同 从而A T 与A 的特征值相同 7 设n 阶矩阵A 、B 满足R (A )R (B )n 证明A 与B 有公共的特征值 有公共
的特征向量
证明 设R (A )r R (B )t 则r t n
若a 1 a 2 a n r 是齐次方程组A x 0的基础解系 显然它们是A 的对应于
特征值
0的线性无关的特征向量
类似地 设b 1 b 2 b n t 是齐次方程组B x 0的基础解系 则它们是B
的对应于特征值
0的线性无关的特征向量
由于(n r )(n t )n
(n
r t )n 故a 1 a 2 a n
r
b 1 b 2
b n t 必线性相关 于是有不全为0的数k 1 k 2 k n r
l 1 l 2
l n
t
使
k 1a 1k 2a 2 k n r a n
r l 1b 1l 2b 2
l n r b n
r
记 k 1a 1k 2a 2
k n r a n r
(l 1b 1l 2b 2 l n r b n r ) 则k 1 k 2 k n r 不全为0 否则l 1 l 2
l n t 不全为0 而
l 1b 1l 2b 2
l n r b n
r
与b 1 b 2 b n t 线性无关相矛盾
因此 0
是A 的也是B 的关于
0的特征向量 所以A 与B 有公共的特
征值 有公共的特征向量
8 设A 23A 2E O 证明A 的特征值只能取1或2
证明 设是A 的任意一个特征值 x 是A 的对应于的特征向量 则
(A 23A
2E )x
2
x 3x 2x (
2
32)x 0
因为x0所以2320即是方程2320的根也就是说1或2
9设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值
证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1（需要说明）
因为|A|等于所有特征值之积又|A|1所以必有奇数个特征值为1即1是A的特征值
10设0是m阶矩阵A m n B n m的特征值证明也是n阶矩阵BA的特征值证明设x是AB的对应于0的特征向量则有
(AB)x x
于是B(AB)x B(x)
或BA(B x)(B x)
从而是BA的特征值且B x是BA的对应于的特征向量
11已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3求|A35A27A|
解令()3527则(1)3(2)2(3)3是(A)的特征值故
|A35A27A||(A)|(1)×(2)×(3)32318
12已知3阶矩阵A的特征值为1 23求|A*3A2E|
解因为|A|12(3)60所以A可逆故
A*|A|A16A1
A*3A2E6A13A2E
令()6132则(1)1(2)5(3)5是(A)的特征值故
|A*3A2E||6A13A2E||(A)|
(1)×(2)×(3)15(5)25
13设A、B都是n阶矩阵且A可逆证明AB与BA相
似
证明取P A则
P 1ABP A 1ABA BA
即AB 与BA 相似 14
设矩阵???
?
??=50413102x A 可相似对角化
求x
解 由
)6()1(504131
02||2---=---=-λλλ
λλλx E A ,
得A 的特征值为l 1=6, l 2=l 3=1.
因为A 可相似对角化, 所以对于l 2=l 3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由
???
? ??-???? ??=-00030010140403101)(~x x E A r
知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.
15. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵???
?
??---=2135212b a A 的一个特征向量.
(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; 解 设l 是特征向量p 所对应的特征值, 则
(A -lE )p =0, 即???
? ??=???? ??-???? ??------000111213521
2λλλb a ,
解之得l =-1, a =-3, b =0.
(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解 由
3
)1(2013352
12||--=-------=-λλ
λλλE A
得A 的特征值为
1
2
3
1