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排列组合21个经典教案

排列组合21个经典教案
排列组合21个经典教案

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法

复习巩固

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有:

12n N m m m =+++

种不同的方法.

2.分步计数原理(乘法原理)

完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有:

12n N m m m =???

种不同的方法.

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,

以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位共有1

3C 然后排首位共有14C

最后排其它位置共有34A

由分步计数原理得113

434288C C A =

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有

多少不同的种法?

二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元

素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522

522480A A A =种不同的

排法

甲丁

练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略

C 1

4

A 3

4

C 1

3

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多

少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种,

第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54

56A A

练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后

用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:73

73/A A

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4

7A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有

1种坐法,则共有4

7A 种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

(插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法

练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?

5

10C

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有6

7种不同的排法

练习题:

1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插

入原节目单中,那么不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法8

7

六.环排问题线排策略

例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人,并从此位置把圆形

展成直线其余7人共有(8-1)!种排法即7!

H

F

D C A

A B C D E A

B

E G

H G F

练习题:6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n

m 种 一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有m n A m 1

七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A 种,再排后4

个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有5

5A 种,则共有

2

1

5

445A A A 种

前 排后 排

练习题:有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座规定前排中间的3个座位不

能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有2

5C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装

入4个不同的盒内有44A 种方法,根据分步计数原理装球的方法共有24

54C A

练习题:一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任

务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹在1,5两个奇数之间,这样的五位

数有多少个?

解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有22A 种排法,再排小集团内部共有22

22A A 种排法,

由分步计数原理共有222

222A A A 种排法.

练习题:

1.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一种画的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为2

5

4

254A A A 2. 5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有2

5

5255A A A 种

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?

解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6

个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法

共有6

9C 种分法。

班二班三班四班五班六班七班

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。

将n 个相同的元素分成m 份(n ,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,

插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为1

m -

练习题:

1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个球有多少装法? 4

9C

2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种?

解:这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5

个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有12

55C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +。再淘汰和小于10的偶数共9种,符合条件的取法共有123

5559C C C +-

练习题:我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略

例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?

解: 分三步取书得222

642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ,若第一

步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则222

642C C C 中还有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅

是(AB,CD,EF)一种分法,故共有2223

6423/C C C A 种分法。

练习题:

1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法?(5442

13842/C C C A )

2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 (1540)

3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名,则不同的安排方案种数为______(2222

4262/90C C A A =)

十三. 合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞

的节目,有多少选派方法

解:10演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究

只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有22

33C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员

112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有22

55C C 种,由分类计数原理共有

2211222

3353455C C C C C C C ++种。

练习题:

1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n

n A (n 为均分的组数)避免重复计数。 解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做到标准明确。分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

选法共有34

2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. (27)

十四.构造模型策略

例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2

盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种?

解:把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有3

5C 种

练习题:某排共有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种?(120) 十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

解:从5个球中取出2个与盒子对号有2

5C 种还剩下3球3盒序号不能对应,利用实际操作法,如

果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时,则4,5号球有只有1种装法,同理3号

球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2

52C 种

534

3号盒 4号盒 5号盒

练习题:

1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种? (9)

2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种

5

4

3

21

十六. 分解与合成策略

例16. 30030能被多少个不同的偶数整除

分析:先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13

依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,

所有的偶因数为:12345

55555C C C C C ++++

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

解:我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共4

81258C -=,每个四面体有

3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成358174?=对异面直线

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

十七.化归策略 例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?

解:将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如

此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有111

321C C C 种。

再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有3355C C 选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在

同一列的3人有33111

55321C C C C C 选法。

练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从A 走到B 的最短路径有多少

种?(3

735C =)

B

A

十八.数字排序问题查字典策略

例18.由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数?

解:297221

122334455=++++=A A A A A N

练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数

是 3140 十九.树图策略

例19.3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同

的传球方式有______ 10=N

练习: 分别编有1,2,3,4,5号码的人与椅,其中i 号人不坐i 号椅(54321,,,,i =)的不同坐法有

多少种?44=N

二十.复杂分类问题表格策略

例20.有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取5只,要求各字母均

有且三色齐备,则共有多少种不同的取法 解:

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题,通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法,从而进下一步解决原来的问题

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用 公式进行运算,树图会收到意想不到的结果 红 1 1 1 2 2 3

黄 1 2 3 1 2 1 兰 3 2 1 2 1 1 取法 1415C C 2415C C 3415C C 1325C C 2325C C 1

235C C

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效

二十一:住店法策略

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解.

例21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数有 .

分析:因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将七名学生看作7家“店”,五项冠军看作5名“客”,每个“客”有7种住宿法,由乘法原理得75种.

计数原理与排列组合经典题型

计数原理与排列组合题型解题方法总结 计数原理 一、知识精讲 1、分类计数原理: 2、分步计数原理: 特别注意:两个原理的共同点:把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。 不同点:如果完成一件事情共有n类办法,这n类办法彼此之间相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情,求完成这件事情的方法种数,就用分类计数原理。分类时应不重不漏(即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类) 如果完成一件事情需要分成n个步骤,各个步骤都是不可缺少的,需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后,相互依存,缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4.组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3)组合数的性质 二、.典例解析 题型1:计数原理 例1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;

③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。 例2(1)如图为一电路图,从A 到B 共有 条不同的线路可通电。 例3: 把一个圆分成3块扇形,现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色,要求相邻扇形的颜色互不相同,问有多少钟不同的涂法?若分割成4块扇形呢? 例4、某城在中心广场造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答) 例5、 四面体的顶点和各棱的中点共10个,在其中取4个不共面的点,问共有多少种不同的取法? 例6、(1)电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? (2)三边均为整数,且最大边长为11的三角形的个数是 D C B A

排列组合教案

数学广角 《课题一排列组合》教学设计 教学内容: 《义务教育课程标准实验教科书·数学(二年级上册)》第99页的的内容---排列、组合。 教材分析: 课标中指出数学不仅是人们生活和劳动必不可少的工具,通过学习数学还能提高人的推理能力和抽象能力。排列与组合的思想方法不仅应用广泛,而且是后面学习概率统计知识的基础,同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。本节课我试图在渗透数学思想方法方面探索和研究,通过学生日常生活中简单的事例呈现出来,并运用操作、演示等直观手段解决问题。在向学生渗透这些数学思想和方法的同时,初步培养学生有顺序地、全面地思考解决问题的意识。教学目标: 1使学生通过观察、猜测实验等活动,找出最简单的事物排列数和组合数。 2培养学生初步的观察能力、分析能力及推理能力 3初步培养学生有序的全面思考问题的意识。 情感态度与价值观:通过解决生活中的一些实际问题,感受数学与生活的密切联系培养学生积极思维的品质。 教学重点:有序排列的思想和方法 过程与方法:通过实践活动,经历找排列数与组合数的过程,体验排

列与组合的思想方法。 课时:1课时 教学设计 情景导入 师:同学们喜欢去广场吗?为什么? 走进新课 师:今天我们也要到一个有意思的地方,哪呢?课件(数学广角)对,那里没有好吃的,好玩的,但是那里有趣的数学问题等待我们开动我们聪明的小脑袋瓜儿解决他们,想去吗? 在去之前,我们先打扮一下自己,穿上漂亮的衣服,老师这有四件衣服(课件)你喜欢那套衣服,同学们有这么多的选择。那到底能搭配多少套呢?拿出手中的学具摆摆看。 学生分组讨论 汇报交流 同学们表现的真不错,你喜欢那一套,我们就在心理穿上你喜欢的衣服去数学广角了。 展开活动 1、开启大门 数学广角的大门是由1和2 这两个数字摆成的两位数,这道 门的密码可能是那些数? 生;12、21。 师:这两个数字有什么不同?

高中数学排列组合难题十一种方法

高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 12n N m m m =+++ 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 12n N m m m =??? 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = C 14A 34C 13 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有 m种不同的方法,在第 1 2类办法中有 m种不同的方法,…,在第n类办法中有n m种不同的 2 方法, 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有 m种不同的方法,做第 1 2步有 m种不同的方法,…,做第n步有n m种不同的方法,那么完2 成这件事共有: 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略

一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 占了这两个位置 . 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34 A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间, 也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也 看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能 连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种,第二步将4 舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 443

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定: 组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集, 所有各类的并集为全集。 (3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分 类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (43.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑; (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 (5)、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插 解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排,再除以定序元素的全排列。 解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;若不要求,则有2种排法; (6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列。 (7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。 (8).数字问题(组成无重复数字的整数) ① 能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数。②能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数; ③能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75。 ⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数。 4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2). “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3.分组问题: 均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组:分步取,得组合数相乘。即组合处理。 混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。 4.分配问题: 定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。

排列组合题型分析还有21种常用方法的整理

排列组合应用题的类型及解题策略一.处理排列组合应用题的一般步骤为:①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类。 二.处理排列组合应用题的规律 (1)两种思路:直接法,间接法。 (2)两种途径:元素分析法,位置分析法。 解决问题的入手点是:特殊元素优先考虑;特殊位置优先考虑。 特殊优先法 列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。 例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示). 解:分二步:首尾必须播放公益广告的有A22种;中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填A22·A44=48. 从而应填48. (3)对排列组合的混合题,一般先选再排,即先组合再排列。弄清要“完成什么样的事件”是前提。三.基本题型及方法: 1.相邻问题 (1)、全相邻问题,捆邦法 例2、6名同学排成一排,其中甲,乙两人必须排在一起的不同排法有(C )种。 A)720 B)360 C)240 D)120

说明:从上述解法可以看出,所谓“捆邦法”,就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时,可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。 (2)、全不相邻问题,插空法 例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少不同的排法, 解:先将6个歌唱节目排好,其中不同的排法有6!,这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有4 7 A种排法,由乘法原理可知,任何两个舞蹈节目 不得相邻的排法为46 76 A A种 例4高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是 (A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)5040 解:不同排法的种数为52 56 A A=3600,故选B 说明:从解题过程可以看出,不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它隔开,此类问题可以先将其它元素排好,再将特殊元素插入,故叫插空法。(3).不全相邻排除法,排除处理 例5.五个人站成一排,其中甲、乙、丙三人有两人相 邻,有多少排法?解:53323 53323 72 A A A A A --= 222 232 或3A A A 例6.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不.左右相邻,那么不同排法的种数是

解排列组合难题二十一方法

解排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 12n N m m m =+++ 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 12n N m m m =??? 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

排列组合典型例题(带详细答案)

例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数? 例2三个女生和五个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法? 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种? (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种? 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法. 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员,每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种? 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法? 例77名同学排队照相. (1)若分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法?

(2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法? (3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法? (4)若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法? 例8计算下列各题: (1) 215 A ; (2) 66 A ; (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ; 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队,限定a 要排在b 的前面(a 与b 可以相邻,也可以不相邻),求共有几种排法. 例10 八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排办法? 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端,那么不同陈列方式有 例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数的个数共有( ). 例13 用5,4,3,2,1,这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ). 例14 用543210、、、、、共六个数字,组成无重复数字的自然数,(1)可以组成多少个无重 复数字的3位偶数?(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数?

排列组合教案

排列组合教案 教材分析 间隔排列在日常生活中经常能够看到,几乎每个学生都曾经接触过,但一般不会关注和研究它。两种物体一一间隔排列,是最简单的间隔排列,其中的要素不多,规律比较明显,适合三年级学生探索。 教材中首先引导学生观察有趣的现象,通过“看”“数”“比”“圈”等活动,由表及里逐步体验现象里的规律。首先观察现象,了解其中的物体是怎样排列的。然后数出各种物体的个数,比较每组两种物体的个数,初步发现它们的共同点。再通过动手把同组的两种物体“一对一”地圈出来,体验“相差1个”是合理的。最后放大情境,增加物体数量,体会“相差1个”是稳定的。 然后创设摆学具的操作情境:如果把正方形与圆一个隔一个地排成一行,正方形有10个,圆最少有几个?最多有几个?这是一个开放的操作情境,其中正方形的个数是规定的,圆的个数是不确定的。通过摆学具、找规律、想原因,比较全面地探索了两种物体一一间隔排列的规律。这些规律以形象思维的方式保存在学生的经验里,既有比较充分的体验,又不需要刻意去记忆。 最后回顾探索规律的活动过程,交流体会、享受喜悦、保持兴趣、积累经验。 教学目标 知识与技能 使学生经历探索规律的过程,初步体会和认识一一间隔排列的两种事物数量之间的规律,建立“两个物体一一间隔排列时,在两端相同的情况下两端的物体比中间的物体多一个;在两端不同的情况下,两种物体一样多”这一规律模型,初步学会利用发现的规律解决一些简单的实际问题。 问题解决与数学思考 使学生在探索活动中初步发展分析、比较、综合、归纳和抽象等思维能力,使学生在学习过程中感受数学与生活的联系,培养学生用数学观点分析生活现象的初步意识及初步能力。 情感态度与价值观 培养学生产生对数学的好奇心,形成与人合作的意识,增强学习的自信心。 教学重点、难点

高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法10页

高中数学轻松搞定排列组合难页10题二十一种方法. 高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排 列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理。 教学目标

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。能运用解题策略解决简单的综合应用掌握解决排列组合问题的常用策略; 2. 题。提高学生解决问题分析问题的能力. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 3. 复习巩固) 加法原理1.分类计数原理(2种不同的方法,在第完成一件事,有类办法,在第1类办法中有mn1种不同的方法,类办法中有类办法中有种不同的方法,…,在第mmn n2那么完成这件事共有2种不同的方法.分步计数原理(乘法原理)2.2种不同的方法,做第个步骤,做第1步有完成一件事,需要分成mn1种不同的方法,那么完成这件步有步有种不同的方法,…,做第mmn n2事共有2种不同的方法.分类计数原理分步计数原理区别3. 分类计数原理方法相互独立,任何

一种方法都可以独立地完成这件事。 不能完每步中的方法完成事件的一个阶段,分步计数原理各步相互依存,成整个事件.: 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 1. 认真审题弄清要做什么事或是分步与分类同时即采取分步还是分 类,2.怎样做才能完成所要做的事, ,确定分多少步及多少类。进行元素总数是,无序)问题确定每一步或每一类是排列问题3.(有序)还是组合(. 多少及取出多少个元素因此必须掌握一些常用的解往往类与步交叉,4.解决排列组合综合性问题,题策略 .特殊元素和特殊位置优先策略一. 可以组成多少个没有重复数字五位奇数1.例由0,1,2,3,4,5以免不合要求的元素占了这应该优先安排,,解:由于末位和首位有特殊要求2 131CAC344. . 两个位置先排末位共有1C3然后排首位共有1C4最后排其它位置共有3A4由分步计数原理得311C288CA?434

高考排列组合典型例题

高考排列组合典型例题 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

排列组合典型例题 例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数 分析:这一问题的限制条件是:①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8、,从限制条件入手,可划分如下: 如果从个位数入手,四位偶数可分为:个位数是“0”的四位偶做,个位数是 2、4、6、8的四位偶数(这是因为零不能放在千位数上).由此解法一与二. 如果从千位数入手.四位偶数可分为:千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类,由此得解法三. 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类,先求出四位个数的个数,用排除法,得解法四. 解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有39A 个; 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有281814A A A ??(个). ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439 =+=??+A A A A 个. 解法2:当个位数上排“0”时,同解一有39A 个;当个位数上排2、4、6、8中之一时,千位,百位,十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千 位数是“0”排列数得:)(283914 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 22961792504)(28391439 =+=-?+A A A A 个.

简单的排列组合教案

二年级上册数学广角《简单的排列问题》教案 课时:第一课时 教材:人教版义务教育课程标准试验教科书二年级上册数学广角《排列和组合》,课本例1。 教学目标: 1、知识与能力:培养学生学习初步的观察、分析能力和有序全面思考问题的意识。 2、过程与方法:通过摆一摆、玩一玩等实践活动,了解有关简单的排列组合的知识。 3、情感、态度与价值观:培养学生大胆猜想、积极思维的学习方法,进一步激发学生学习数学的兴趣。 教学重点: 1、了解简单的排列知识。 2、能应用排列组合的知识解决实际生活中的问题。 教学难点:掌握简单的逻辑推理。 教学准备:数字卡片、课件。 一、创设情境,导入新课 孩子们,你们喜欢看《喜羊羊与灰太狼》吗? (边出示课件2和3边讲解故事内容) 师:在这一天,灰太狼抓住了美羊羊,把她关在了狼堡里。灰太狼为了阻止喜羊羊去救美羊羊,他设计一扇“超级密码门”,装在自己的狼堡里。喜羊羊

为了进大门,非常着急。正在这时,喜羊羊发现了大门上有一排小字,我们把它放大看看吧!(点击电脑,出示图中云注标志) 二、动手操作、探究新知 1、初步感知排列(出示课件4) (1)师:大门的密码是由数字1和2组成的两位数中较大的数,请同学们利用自己手边的数字卡片1和2来摆一摆吧! 学生活动:用数字1和2摆出两位数。 师总结:原来把这两个数字的十位与个位交换也成了不同的两位数啊!(板书课题) 师:刚刚同学们说了可以摆成12和21两个两位数。所以密码是12、21中的较大的数。 生:密码是21。 2、合作探究排列(出示课件5) 师:虽然狼堡的大门开了,但还要进行闯关游戏。 (1)过关前我们先来做个游戏吧,请三个同学上台来演示。 游戏规则:先确定十位,再将个位变动。(板书:固定十位) 十位:1,个位就可以是2,3.(板书:12,13,对齐竖着写)组成的两位数分别是:12,13. 十位:2,个位就可以是1,3. (板书:21,23,对齐竖着写)组成的两位数分别是:21,23. 十位:3,个位就可以是1,2. (板书:31,32,对齐竖着写)组成的两位数分别是:31,32.

排列组合的21种例题

高考数学复习 解排列组合应用题的21种策略 排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有 A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法. 例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法种数是 A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. 例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. 例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是 A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 (2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有 A 、44412 8 4 C C C 种 B 、44412 8 4 3C C C 种 C 、44312 8 3 C C A 种 D 、4441284 3 3 C C C A 种 6.全员分配问题分组法: 例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种? (2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7.10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案? 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?

高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法(含答案)

高中数学轻松搞定排列组合难) 含答案(题二十一种方法. 高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排 列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理。 教学目标

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。能运用解题策略解决简单的综合应用掌握解决排列组合问题的常用策略; 2. 题。提高学生解决问题分析问题的能力. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 3. 复习巩固) 加法原理1.分类计数原理(2种不同的方法,在第完成一件事,有类办法,在第1类办法中有mn1种不同的方法,类办法中有类办法中有种不同的方法,…,在第mmn n2那么完成这件事共有2种不同的方法.分步计数原理(乘法原理)2.2种不同的方法,做第个步骤,做第1步有完成一件事,需要分成mn1种不同的方法,那么完成这件步有步有种不同的方法,…,做第mmn n2事共有2种不同的方法.分类计数原理分步计数原理区别3. 分类计数原理方法相互独立,任何

一种方法都可以独立地完成这件事。 不能完每步中的方法完成事件的一个阶段,分步计数原理各步相互依存,成整个事件.: 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 1. 认真审题弄清要做什么事或是分步与分类同时即采取分步还是分 类,2.怎样做才能完成所要做的事, ,确定分多少步及多少类。进行元素总数是,无序)问题确定每一步或每一类是排列问题3.(有序)还是组合(. 多少及取出多少个元素因此必须掌握一些常用的解往往类与步交叉,4.解决排列组合综合性问题,题策略 .特殊元素和特殊位置优先策略一. 可以组成多少个没有重复数字五位奇数1.例由0,1,2,3,4,5以免不合要求的元素占了这应该优先安排,,解:由于末位和首位有特殊要求2 131CAC344. . 两个位置先排末位共有1C3然后排首位共有1C4最后排其它位置共有3A4由分步计数原理得311C288CA?434

排列组合典型例题

排列组合典型例题

典型例题一 例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数? 分析:这一问题的限制条件是:①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8、,从限制条件入手,可划分如下: 如果从个位数入手,四位偶数可分为:个位数是“0”的四位偶做,个位数是 2、4、6、8的四位偶数(这是因为零不能放在千位数上).由此解法一与二. 如果从千位数入手.四位偶数可分为:千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类,由此得解法三. 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类,先求出四位个数的个数,用排除法,得解法四. 解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有3 A个; 9 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,

则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有2 8181 4 A A A ??(个). ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 179250428181439=+=??+A A A A 个. 解法2:当个位数上排“0”时,同解一有3 9 A 个;当个位数上排2、4、6、8中之一时,千位,百位,十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得:) (28391 4 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 1792504)(28391439=+=-?+A A A A 个. 解法3:千位数上从1、3、5、7、9中任选一个,个位数上从0、2、4、6、8中任选一个,百位,十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 2 81 515A A A ??个 干位上从2、4、6、8中任选一个,个位数上从余下的四个偶数中任意选一个(包括0在内),百位,十位从余下的八个数字中任意选两个作排列,有 2 81414A A A ??个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有

人教版的高中的数学《排列组合的》教案设计

排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标:正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标:能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标:发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点:加法原理,乘法原理。解决方法:利用简单的举例得到一般的结论. 2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同. 三、活动设计 1.活动:思考,讨论,对比,练习. 2.教具:多媒体课件. 四、教学过程正 1.新课导入 随着社会发展,先进技术,使得各种问题解决方法多样化,高标准严要求,使得商品生产工序复杂化,解决一件事常常有多种方法完成,或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题,而排列、组合的基础就是基本原理,用好基本原理是排列组合的关键.

2.新课 我们先看下面两个问题. (l)从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4班,汽车有 2班,轮船有 3班,问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 板书:图 因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每一种走法都可以从甲地到达乙地,因此,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法.一般地,有如下原理: 加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1十m2十…十m n种不同的方法. (2) 我们再看下面的问题: 由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条.从A 村经B村去C村,共有多少种不同的走法? 板书:图 这里,从A村到B村有3种不同的走法,按这3种走法中的每一

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 (一)典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种, 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是: 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

数学竞赛教案讲义排列组合与概率

第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1.加法原理:做一件事有n 类办法,在第1类办法中有m 1种不同的方法,在第2类办法中有m 2种不同的方法,……,在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。2 乘法原理:做一件事,完成它需要分n 个步骤,第1步有m 1种不同的方法,第2步有m 2种不同的方法,……,第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。3.排列与排列数:从n 个不同元素中,任取m(m ≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用m n A 表示,m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注:一般地0 n A =1,0!=1,n n A =n!。 4.N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5.组合与组合数:一般地,从n 个不同元素中,任取m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合,即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用m n C 表示: .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6.组合数的基本性质:(1)m n n m n C C -=;(2)1 1--+=n n m n m n C C C ;(3) k n k n C C k n =--11;(4)n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ;(5)111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ;(6) k n m n m k k n C C C --=。 7.定理1:不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。

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