复变函数论复习提纲
复变函数论
一、复数与复变函数
一、要求
（一）明确复数、区域、复平面、扩充复平面，逐段光滑曲线等概念。
（二）明确复变函数概念和几何意义，掌握一些简单函数的变换性质。
（三）掌握复变函数的极限和连续性的概念和基本性质。
（四）熟练掌握复数的有关计算，会作点集的图形。
二、考试内容
（一）复数概念、复数的表示法及其代数运算、复数的模与幅角、共轭复数及其简单运算。
（二）平面点集基本概念，曲线（连续曲线、约当曲线、逐段光滑曲线）、区域（单连通区域、复连通区域）、
复平面。
（三）复变函数的概念及其几何意义，复变函数的极限与连续性。
（四）无穷远点，扩充复平面。
二、解析函数
一、要求
（一）掌握导数、解析函数的概念。
（二）掌握C——R条件，并能熟练地判断复变函数的可导性和解析性。
（三）掌握复基本初等函数的定义和基本性质。
（四）掌握正整幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的变换性质，了解根式函数单值解析分支的取法。
二、考试内容
（一）导数、解析函数、C——R条件。
（二）初等函数：正整幂函数与根式函数，指数函数与对数函数，三解函数与反三角函数，双曲函数，一般
幂函数和一般指数函数。
三、复变函数的积分
一、要求
（一）明确复积分的概念及其基本性质。
（二）会证柯西积分定理和柯西积分公式；理解解析函数的无限可微性和莫勒拉定理。
（三）熟练地掌握复积分的计算方法。
（四）理解刘维尔定理，会证代数基本定理。
（五）掌握解析函数与调和函数的关系。
二、考试内容
（一）复积分的概念、基本性质及其计算方法。
（二）柯西积分定理（在f'（z）连续的条件下，用格林公式证明）。不定积分，复连通区域上的柯西积分
定理。
（三）柯西积分公式，解析函数的无限可微性。
（四）柯西不等式、刘维尔定理、代数基本定理。
（五）莫勒拉定理。
（六）解析函数与调和函数的关系。
四、解析函数的幂级数表示法
一、要求
（一）明确收敛、绝对收敛、一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、收敛半径、收敛圆、泰勒级数等概念。
（二）了解一致收敛的函数项极数的分析性质。
（三）掌握解析函数的零点孤立性定理和唯一性定理，了解最大模原理的含义。
（四）会求幂级数的收敛半径，了解幂级数的和函数在收敛圆周上必有奇点。
（五）会求简单初等函数的泰勒展开式。
二、考试内容
（一）复数项极数、收敛、绝对收敛。
（二）复变函数项级数、收敛、一致收敛、内闭一致收敛、一致收敛的函数项级数的分析性质。
（三）幂级数、阿贝尔定理、收敛半径、收敛圆、幂级数和函数的解析性。
（四）泰勒定理。基本初等函数的泰勒展开式。
（五）解析函数零点的孤立性、唯一性定理，最大模原理。
五、罗朗级数、孤立奇点
一、要求
（一）明确罗朗级数、孤立奇点、可去奇点、极点、本性奇点等概念。
（二）会求简单函数的罗朗展式。
（三）会判别孤立奇点的类型。
二、考试内容
（一）解析函数的罗朗展式。
（二）解析函数的孤立奇点的概念、分类以及函数在孤立奇点领域内的性质。
（三）解析函数在无穷远点的性质。
六、残数及其应用
一、要求
（一）掌握残数概念和残数的求法。
（二）掌握残数定理的证法并会用残数定理计算曲线积分。
（三）会用残数理论计算定积分和广义积分（三种类型）；
（四）了解幅角原理、儒歇定理，会用儒歇定理判断某些方程在指定区域内根的个数。
二、考试内容
（一）残数定义、残数求法、有限复平面上的残数定理。
（二）解析函数在无穷远点上的残数、扩充复平面上的残数定理。
（三）用残数计算曲线积分。
（四）用残数计算一些定积分和广义积分。
（五）儒歇定理及其应用。
七、保形变换
一、要求
（一）掌握导数的模和幅角的几何意义。
（二）明确保角变换和保形变换的概念。了解解析变换的保域性。掌握单叶角析变换的保形性。
（三）掌握分式线性变换的性质和几个典型的分式线性变换。
（四）会用分式线性变换和几个基本初等变换所构成的复合变换作简单区域之间的保形变换。
二、考试内容
（一）导数的模和幅角的几何意义，保角变换，保形变换。
（二）解析变换的保域性（不证），单叶解析变换的保形性。
（三）分式线性变换用其分解，分式线性变换的性质及几个典型的分式线性变换。
（四）简单复合变换。
实变函数论
一、集合及其基数
一、要求
（一）理解集合的并、交、差、余运算的含义，掌握其性质。
（二）理解集合基数的概念，掌握可数集与不可数集的定义、性质和判定。熟悉常见的一些可数集和不可数
集。
二、考试内容
（一）集合的表示和运算。狄莫根公式，上限集和下限集。
（二）集合的基数。
（三）可数集和不可数集。
二、点集
一、要求
（一）熟悉n维欧氏空间Rn中聚点、内点、界点、孤立点、开集、闭集和完备集的概念，掌握它们的性质。
（二）理解Rn空间中的聚点定理和有限覆盖定理。
（三）掌握直线上的开集、闭集和完备集的构造理论。
（四）了解Cantor集的构造和性质。
二、考试内容
（一）n维欧氏空间Rn中的领域、内点、聚点、界点、孤立点和导集、边界、闭集。
（二）开集、闭集的定义及其性质，完备集的概念，Cantor集。
（三）直线上开集、闭集和完备集的构造。
（三）理解“测度收敛”和“几乎处处收敛”的概念。它们的关系。了解F·Riesz定理。
二、考试内容
（一）可测函数及其性质。
（二）叶果洛夫（Eropob）定理和鲁津（ЛУ3ИН）定理。
（三）几乎处处收敛。测度收敛。黎斯（F·Riesz）定理。
五、积分论
一、要求
（一）掌握勒贝格（Lebesgue）积分的概念，了解勒贝格积分与黎曼积分的关系。
（二）熟悉L可积函数的积分性质。
（三）掌握Lebesgue控制收敛定理，levi定理，逐项积分定理和积分的可数可加性定理，并会运用这些定
理解决积分号与极限号的交换问题。
二、考试内容
（一）在测度有限的可测集上有界函数Lebesgue积分的定义及性质。
（二）Lebesgue积分与Riemann积分之间的关系，Riemann可积的一个充要条件。
（三）一般Lebesgue可积函数及性质。
（四）积分的极限定理：Lebesgue控制收敛定理，Levi定理，逐项积分定理，积分的可数可加性。
选用教材意见
《复变函数论》（第二版）钟玉泉编高等教育出版社出版
《实变函数论》仇惠玲单佑民主编
江苏省教育考试院
复变函数与积分变换》教学大纲
《复变函数与积分变换》教学大纲 课程名称：复变函数与积分变换 FunctionsofVariables&Transformations 课程性质：专业基础课 学分：3 总学时：48学时，其中，理论学时：48学时，实验(上机)学时：0学时， 适用专业:通信工程、电子信息工程等专业 先修课程：高等数学 一、教学目的与要求： 复变函数与积分变换是工科院校中数学要求较高专业的一门基础理论课程。复变函数以及与它密切相关的积分变换，它的理论和方法不仅在数学的其他的许多分支中，而且在其他自然科学和工程技术如电力工程、自动控制、信号分析和图像处理、材料成型等领域内获得广泛的应用，已成为不可缺少的运算工具。 通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法，傅立叶变换和拉普拉斯变换的思想与运算技巧，并在此基础上培养学生应用这些知识解决实际问题的能力，为后继专业课程的学习提供必要的数学工具。
第一章复数与复变函数（8学时） 第一节复数的概念与运算 一、复数的概念、表示法和运算 二、区域 第二节复变函数 一、复变函数的概念 二、复变函数的极限和连续 本章重点：复数的表示法、方根运算公式 本章难点：复变函数的极限与连续性 本章教学要求：掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算；熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式；了解区域的概念；理解复变数学的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。 第二章解析函数（5学时） 第一节解析函数的概念 一、复变函数的导数和解析的概念 二、复变函数解析的充要条件 三、解析函数的基本性质 第二节初等函数的解析性 一、指数函数、三角函数、对数函数 本章重点：复变函数解析的充要条件 本章难点：复变函数解析的充要条件 本章教学要求：理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；掌握复变函数解析的C-R条件，并能利用C-R条件判断复变函数的可导性和解析性；掌握解析函数的基本性质；了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。 第三章复变函数的积分（6学时） 第一节复变函数的积分 一、复变函数的积分的定义与性质 第二节柯西定理与柯西公式 一、柯西积分定理、柯西积分公式 二、解析函数的高阶导数公式 本章重点：会求复变函数的积分，理解柯西积分定理 本章难点：掌握柯西积分公式、解析函数的高阶导数公式 本章教学要求：了解复变函数积分的定义及性质，会求复变函数的积分；理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；掌握解析函数的高阶导数公式；了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用各定理计算闭路积分。 第四章级数（5学时） 第一节复级数的基本概念 一、复级数的一般概念
第二学期 复变函数论期末试卷A
黄冈师范学院 2009—2010学年度第二学期期末试卷 考试课程：复变函数论 考核类型：考试A 卷 考试形式：闭卷 出卷教师： 考试专业：数信学院数教 考试班级：数教200701-02班 一、 选择题（每小题4分，共20分） 1、复数i z 45-=，则=2Re z （ ） A 、40 B 、9 C 、-40 D 、-9 2、关于复数z ，下列不正确的是（ ） A 、||2z z z = B 、)Im()Re(iz z = C 、z Argz arg = D 、z z sin )sin(-=- 3、已知xy i y x z f 2)(22+-=，则)(z f ''是（ ） A 、2 B 、y x 22- C 、2z D 、0 4、下列等式中不正确的是（ ） A 、?==0cos 111z dz z B 、02111=?=dz e z z z C 、??=dz z f k dz z kf )()( D 、? =z z e dz e 5、下列级数收敛的是（ ） A 、∑∞ =+1)21(n n i n B 、∑∞=??????+-12)1(n n n i n C 、∑∞=02cos n n in D 、∑∞=+o n n i )251( A 卷 【第 1 页 共 2 页】
二、填空题（每小题4分，共20分） 1、=-)22(i Arg ____________； 2、函数z e z f =)(是以 _______为基本周期； 3、幂级数∑∞ =12n n n z 的收敛半径R=____________； 4、函数()z z f cos =在0=z 处的泰勒级数是_________ ； 5、计算积分?==1||1 2 z z dz e 二、 判断题（每小题2分，共10分） 1、在几何上，θi re z =与)2(πθk i re z +=表示同一个复角.（ ） 2、当复数z=0时，则有0=z 和0arg =z .（ ） 3、可导函数一定处处连续，连续函数不一定处处可导.（ ） 4、若)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内存在无穷阶导数.（ ） 5、收敛级数的各项必是有界的.（ ） 三、 计算及证明题（8+8+10+12+12，共50分） 1、若0321=z z z ，则复数321,,z z z 中至少有一个为零（8分） 2、已知解析函数iv u z f +=)(的虚部为222121y x v +- =，且0)0(=f ，求)(z f （8分） 3、已知c 为从z =0到z =2+i 的直线段，求?dz z c 2（10分） 4、将z e z -1在0=z 处展成幂级数（12分） 5、将函数2 )(+=z z z f 按1-z 的幂展开，并指出它的收敛范围.（12分） A 卷 【第 2 页 共 2 页】
(完整版)《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲 说明 1．本大纲适用数学与应用数学本科教学 2．学科性质： 复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。复变函数论主要研究解析函数。解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。保形映照是复变函数几何理论的基本概念。；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。 3．教学目的： 复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。 4．教学基本要求： 通过本课程的学习，要求学生达到： 1．握基本概念和基本理论； 2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数 的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映 照等）； 2．固和加深理解微积分学的有关知识。 5．教学时数分配： 本课程共讲授72学时（包括习题课），学时分配如下表： 教学时数分配表
以上是二年制脱产数学本科的教学时数。函授面授学时不低于脱产的40%，可安排28~30学时。 教学内容 第一章复数与复变函数 复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。 （一）教学内容
20100106复变函数B期末试题A解答
一、 判断题（2×7=14分）： 1. （W ）sin z 是一个有界函数. 2. （W ）若函数f (z ) 的实部和虚部在z 0处可微满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析. 3. （R ）若)(lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是f (z )的可去奇点. 4. （R ）设函数 )(z f 在复平面上解析，若它有界，则必)(z f 为常数. 5. （R ）若0z 是)(z f 的极点，则∞=→)(lim 0 z f z z . 6. （R ）若 )(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等，则D z z g z f ∈≡),()(. 7. （R ）如果函数()f z 在1z ≤内解析，则11m ax{()}m ax{()}.z z f z f z ≤== 二、 单项选择题(本大题共3×4＝12分) 1. 下列结论不正确的是 A . A. 函数)(z f 在扩充复平面内的孤立奇点（包括无穷远点）的留数之和为零； B. 函数)(z f “在区域D 内解析” 与“在区域D 内积分与路径无关” 等价； C. 如果)(z f 在闭曲线C 围成的闭区域D 上除极点外解析，则)(z f 在D 上只有有限个奇点； D. 函数iv u z f +=)(在区域D 内解析的充要条件是在D 内v 是u 的共轭调和函数. 2. 方程0142 5 8 =-+-z z z 在|z|<1内根的个数为 C . （A ） 8； （B ）1； （C ） 5； （D ）0. 3. 已知i z i z w 312312- +++- =将区域{} 1,11<>+=z z z D 保角地映射成区域 C . A. 3 arg 0π < 得分评卷 人 上装订线 院（系）名：班级：姓名：学号：考生类别： 考试日期： 下装订线 复变函数论（B） 题号一二三四五六七八九十总分 分数 答卷注意事项： 1、学生必须用蓝色（或黑色）钢笔、圆珠笔或签字笔直接在试题卷上答题。 2、答卷前请将密封线内的项目填写清楚。 3、字迹要清楚、工整，不宜过大，以防试卷不够使用。 4、本卷共 4 大题，总分为100分。 Ⅰ. Cloze Tests（ Points） 1. If ，then . 2. If denotes the circle centered at positively oriented and is a positive integer，then . 3. The radius of the power series is . 4. The singular points of the function are . 5. , where is a positive integer. 6. . 7. The main argument and the modulus of the number are . 8. The square roots of 1+ are . 9. The definition of is . 得分评卷人 得分评卷人 10. Log= . Ⅱ. True or False Questions ( Points) 1. If a function is differentiable at a point ，then it is continuous at .（） 2. If a point is a pole of order of ，then is a zero of order of .（） 3. An entire function which maps the plane into the unite disk must be a constant.（） 4. A function is differentiable at a point if and only if whose real and imaginary parts are differentiable at and the Cauchy Riemann conditions hold there.（） 5. If a function is continuous on the plane and 0 for every simple closed contour , then is an entire function. ( ) Ⅲ. Computations ( Points) 1. Find . 2. Find the value of . 《复变函数与积分变换》课程教学大纲 课程名称：复变函数与积分变换代码01121210 课程类型: 公共必修课学分：3 总学时：48 理论学时：48 先修课程：无适用专业:理工科各专业 一、课程性质、目的和任务 复变函数与积分变换是工科相关专业的一门重要基础课程，通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基础理论和方法，重点掌握解析函数、柯西定理与柯西积分公式、留数、共性映射等内容，以及掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的性质与方法，为有关后续课程的学习奠定必要的数学基础。 本课程的理论与方法在自然科学和工程技术中都有广泛的应用，它是研究微分方程、积分方程、数学物理方程等数学分支的必要工具，更是学习工程力学、振动力学、电工学、电磁学、热学、自动控制、电子工程、信息工程与机电工程等专业课程必要的理论基础。要学好本课程必须具备高等数学的基础。 二、教学基本要求 通过本课程的学习，要求考生系统地获得复变函数与积分变换的基本知识，切实掌握复变函数的基本理论和方法，掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的基本概念与方法，并具有比较熟练的运算能力和分析解决实际问题的能力，同时注意培养抽象思维能力与一定的逻辑推理能力，进而为学习后继课程及工程实际应用奠定良好的基础。 本课程分为九章，其中前七章为复变函数的内容，后两章为积分变换的内容。其中第七章解析函数在平面场的应用作为选讲内容。 第一个层面是考试中对各知识点的要求由低到高分为三个认知层次，其中对概念与理论用“理解”、“知道”和“了解”表述，对方法和运用由“熟练掌握”、“掌握”和“会”表述，前者为较高的要求。 第二个层面是考试中对各部分内容的掌握程度按由低到高依次为：“识记”、“领会”、“简单应用”、“综合应用”四个能力层次确定其考核要求，它们之间是递进等级的关系，后者必须建立在前者的基础上。其含义是： 识记——要求考生能够识别和记忆本大纲中规定的有关知识点的主要内容（如定义、定理、公式、法则、重要结论、方法、步骤等），并能根据考核的不同要求，做出正确的表达、选择和判断。 领会——要求考生能够领悟和理解本大纲中规定的有关知识点的内涵与外延，熟悉其内容要点和它们之间的区别与联系，并能根据考核要求，给出正确的解释、说明和论述。 简单应用——要求考生能够运用本大纲中规定的少量知识点，分析和解决一般应用问题，如简单的计算、证明和分析等。 综合应用——要求考生能够运用本大纲中规定的多个知识点经过分析、计算或推导，解决稍复杂的问题. 三、教学内容及要求 第一章复数与复变函数 （一）本章知识点 §1.1 复数 §1.2 复数的三角表示 2 3 ∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A） 1．1 -i 一．填空题（每小题3 分，共计15 分） 的幅角是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1 ）；3.f (z) =1 +z 2 ， z - sin z f (5)(0) =（）； f (z) = 1 ， 4．z = 0 是 z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）； 二．选择题（每小题3 分，共计15 分） 1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）； （A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y； （C） f '(z) =u x +iv y ； （D） f '(z) =u y +iv x. 2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ． 3 ；（B）3(z -1) ；（C） 3(z -1) ；（D） 3 . （A） z - 2 z - 2 (z - 2)2 (z - 2)2 3.如果级数∑c n z n 在z = 2 点收敛，则级数在 n=1 （A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛； （C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点一定发散．４．下列结论正确的是( ) （A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点一定解析； 得分 e (B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ? C f (z )dz = 0 （C ） 如果 ? C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内一定解析； （D ） 函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是 u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) ∞为sin 1 的可去奇点 z (B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤立奇点; ∞ 1 (C) sin 1 z (D) 为 的孤立奇点. sin z 三．按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分） （1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求 a , b , c , d . z （2）．计算 ? C z (z - 1)2 d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ； 得分 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 《复变函数与积分变换》教学大纲 英文课程名称：Functions of Complex Variable and Integral Transformation 课程代码： 课程类别：专业基础课 学时：51 学分：3 开设学期：4 适应专业：自动化、电科、电类本科专业 考核方式：考试 先修课程：高等数学 开课单位：数学科学学院 一、课程简介 复变函数是研究复变数之间的相互依赖关系的一门数学学科，而积分变换则是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。复变函数、积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。 二、教学基本要求与内容安排 （一）教学目的与要求 通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的性质、方法，为学习后续课程和扩大数学知识面打下必要的数学基础。（二）教学内容安排 （教学要求：A—熟练掌握；B—理解或掌握；C—了解或会） 三、习题课和课堂讨论内容 各章结束根据内容安排1节或2节习题课，包括知识、方法总结、典型例题等。 四、实验（实践）内容 无 五、考核方式 考核方式为笔试；平时成绩占50%，期末成绩占50%；平时成绩评定包含出勤、课堂表现、作业、讨论、期中考核等方面。 六、推荐教材和主要参考书 教材：王忠仁等. 复变函数与积分变换[M]. 北京：高等教育出版社，2006. 参考书：[1]刘建亚. 复变函数与积分变换[M]. 北京：高等教育出版社，2005. [2]华中科技大学. 复变函数与积分变换[M]. 北京：高等教育出版社, 2008. 制订人（签字）：张梅审核人（签字）：杨慧卿日期：2012年 12月 《复变函数论》试卷一 一、填空（30分） 1. 将复数()πααα≤≤+-=0sin cos 1i z 化为三角表示式，则=z 把它化为指数表示式，则=z 2.=+i e π3 ，()i i +1的辐角的主值为 3. =z 0是()44sin z z z f =的 阶零点. 4.0z 是()z f 的()1>m m 阶零点，则0z 是 () z f '1 的 阶极点. 5.已知()()2323cxy x i y bx ay z f +++=为解析函数， 则___________________===c b a 6.方程0273=+z 的根为 ， ， 二、简要回答下列各题（15分） 1. 用复数i 去乘复数i +1的几何意义是什么？ 2. 函数()z f 在0z 解析有哪几个等价条件？ 3. 设函数()z f 在单连通区域D 内处处解析，且不为零，C 是D 内的任一简 单闭曲线，问积分()() dz z f z f c ? '是否等于零，为什么？ 三、计算下列积分（16分） 1. c zdz ?，c 是从点1i -到点1i +的有向直线段 2. 20 2cos d πθ θ +? 四、（12分） 求函数() 1 1z z +在圆环112z <-<内的洛朗级数展开式. 五、（12分） 证明方程24290z z ++=在单位圆1z =内及其上无解. 六、（15分） 求映射，把带形区域0Re 2z <<共形映射成单位圆1w <，且把1z =映 射成0w =，把2z =映射成1w =. 《复变函数》试卷二 一、填空题（20分） 1. －2是 的一个平方根 2. 设2 1i z --= ，则，=z Argz ＝ =z Im 3. 若2 2z z =，则θi re z =满足条件 4. =z e e ，() =z e e Re 5. 设1≠=θi re z ，则()=-1ln Re z 6. 设变换βαβα,,+=z w 为复常数，则称此变换为 变换，它是由 等三个变换复合而成. 7. 幂级数∑∞ =1 2n n n z n 的收敛半径=R 8.函数 b az +1 在0=z 处的幂级数展开式为 ，其收敛半径为 9.变换z e W =将区域π< 复变函数论第四版答案钟玉泉 （1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 （2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 （3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 （4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极 点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和 零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 （6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。 （7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 （8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的 微分方程，以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。 注：期中考范围从第一章到第三章 第一章考核目标 掌握复数和复变函数的基本概念，理解复平面上一些点集的定义；掌握复数的三种表示；区别辐角与主辐角；熟练掌握复数的四则运算，乘方、开方运算。 第一章练习题 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg a r c t a n 8π- 3. 复数2 2) 3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 16i e θ 4. 方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点 12i -+ 和 2i - 的线段的垂直平分线 5. 设35,arg()4 z iz π ==，则=z 45i e π 6. 对于映射i z ω=，圆周||1z i -=的像曲线为连接点 (0,0) 和 (1,0) 的线段的垂直平分线 7. Im{ln(34)}i -= 4a r c t a n 3 - 8. 24 1lim (12)z i z z →+++= 72i -+ 9. 10)3131( i i -+的实部是__12- ____，虚部是___32 _____，辐角主值是_2 3 π_____. 10. 复数tan ( )2 z i π θθπ=-<<的三角表示式是 sec [cos()sin()22i ππθθθ-+-] 第二章考核目标 充分理解解析函数的定义；切实掌握柯西－黎曼条件及相关定理；充分掌握解析函数的等价刻画定理；了解若干初等解析函数，并能区分数学分析中相应初等函数间的异同 第二章练习题 1. 设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2 32 3(i f 27 (1)4 i - 2. 函数()f z 在点z 可导是()f z 在点z 解析的 必要 条件 3. 函数()Im()Re()f z z z z =-仅在点=z （0，-1） 处可导 4. 方程01=--z e 的全部解为 2,0,1,z k i k π==± 5. i i -+1)1(的值为 _______ln 224 [cos(ln 2)sin(ln 2)],0,1,44 k e k π π ππ ++-++-+=± ____ 主值为 _ln 24 [cos(ln 2)sin(ln 2)],0,1,44 e k πππ + -++-+=± _. 6. 若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a 2 7. 证明函数5 4,0, ()||0,0,z z f z z z ?≠?=??=? 在原点不可微但在原点满足C._R.条件。 8. 设23()+2f z x y i =，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值. 答：)(z f 在23x y =上可导，且()2f z x '=，无处解析。 9. 1） 叙述两点复指数函数和实指数函数不同之处。 2） 叙述刻画解析函数的等价条件（至少两个）。 3） 写出区域D 内解析函数()f z 的边界值表示其各阶导数内部值的积分公式。 复变函数 第四、五章 练习 一、 掌握复级数收敛，绝对收敛的判别 1. 判断下列级数是否收敛，是否绝对收敛。 （1）2ln n n i n ∞ =∑ （2）01cos 2n n in ∞=∑ （3）0(1)2n n n n i ∞=+∑ 2.如果级数1n n c ∞=∑收敛，且存在0,,..,|arg |,2n s t c πααα><≤证明级数1n n c ∞ =∑绝对收敛. 二、充分掌握幂级数，及解析函数的泰勒展开式 3. 证明级数11n n n z z ∞ =-∑在||1z ≥上发散；在||1z <内绝对收敛且内闭一致收敛 4. 试证：黎曼函数 11(),(ln 0)z n z n n ζ∞ ==>∑，在点2z =的邻域内可展开为泰勒级数，并求收敛半径。 5.求下列幂级数的收敛半径： （1）0()n n n n a z ∞=+∑ （2）0[3(1)](1)n n n n z ∞=+--∑ （3）(1)0()(1)n n n n i z n ∞ +=-∑ 6.设0n n n a z ∞ =∑的收敛半径为R , 证明：0[Re()]n n n a z ∞=∑的收敛半径大于等于R 。 7．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，试回答该级数在2=z 处的敛散性。 8.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，求幂级数∑∞=0 n n n z c 的收敛半径。 9. 将函数31()z f z z -= 在点1z =-展成泰勒级数。 10.证明：若1||,2z ≤则2|ln(1)|||z z z +-≤. （这里ln(1)z +取主值支） 三、充分掌握解析函数零点阶数的求法、具有零点的解析函数的表达 式、零点的孤立性、惟一性定理、最大模原理 《复变函数与积分变换》课程教学大纲 一、课程与任课教师基本信息 课程名称：复变函数与积分变换课程类别：必修课 课程英文名称：Function of Complex Variable and Integral Transform 总学时/周学时/学分：56/4/3其中实验（实训、讨论等）学时：4 先修课程：高等数学 授课时间：1-18周周一1-2，1-8周周三3-4节授课地点：6F302 授课对象：2016通信工程1-6班 开课院（系）：计算机学院高等数学课程群 任课（/助课）教师姓名/职称：刘学杰/讲师编写人姓名/职称：刘学杰/讲师 使用教材：《复变函数与积分变换》，苏变萍、陈东立，北京：高等教育出版社，2010。 教学参考资料： 1、《复变函数与积分变换》，马柏林、李丹衡、宴华辉，上海：复旦大学出版社，2007。 2、《复变函数与积分变换》，刘西民，上海：上海交通大学出版社，2010。 课程期末考核方式：开卷（）闭卷（√）课程论文（）实操（） 联系电话：1592022386/64613Email:bgliouxj@https://www.wendangku.net/doc/582348685.html, 答疑时间、地点与方式：1.每次上课的课前、课间和课后，采用一对一的问答方式；2.每次发放作业时，课前采用集中讲解方式；3.课程结束后和教学前安排集中答疑。 编写时间：2017年9月28-9月5日 二、课程简介 本课程属于电子、电气、自动化及光信息的基础必修课，其目的是为培养相关专业学生的计算能力和理性思考能力。由于针对的是非数学专业的学生，因此在兼顾理论的同时，以实际应用为主。通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的一些基本概念、基本理论与基本方法；能应用复变函数的积分理论、留数理论解决一些实际问题；使学生掌握Fourier变换、Laplace变换的性质及相关计算，并以此为工具学会分析和处理工程实际中的一些问题，为学习后续课程打好基础。培养学生应用这些概念与方法解决实际问题的基本技能，为学习相关后续专业课程奠定必要的数学基础，并为将来从事教学、科研以及其它实际工作打好基础。 三、课程教学目标（精炼概括3-5条目标，本课程教学目标须与授课对象的专 业培养目标有一定的对应关系） 结合专业培养目标，提出本课程要达到的目标。这些目标包括： 1．知识与技能目标：通过本课程的学习，使学生掌握常用的计算法则，了解该课程的后续应用。学生在学习完本课程后，至少应掌握下述技能：(1)解析函数的构造及其幂级数表示；（2）Fourier变换的性质及其应用；（3）Laplace变换及其应用；（4）离散Fourier变换、快速Fourier变换及其应用；（5）z变换及其应用。应理解复变函数的解析性、多元函数的调和性与基本的复变函数，了解函数的奇点与留数定理。 2．过程与方法目标：通过本课程的学习，使学生的基本运算能力、分析问题的能力与 复变函数论（A ） 答卷注意事项： 、学生必须用蓝色（或黑色）钢笔、圆珠笔或签字笔直接在试题卷上答题。 2、答卷前请将密封线内的项目填写清楚。 3、字迹要清楚、工整，不宜过大，以防试卷不够使用。 4、本卷共 4 大题，总分为100分。 Ⅰ. Cloze Tests （20102=? Points ） 1. If n n n n i i z ?? ? ??++??? ??-=1173，then lim =+∞ →n n z . If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is a positive integer ，then ) (1 0=-?C n dz z z . The radius of convergence of ∑∞ =++1 3 )123(n n z n n is . The singular points of the function ) 3(cos )(22+=z z z z f are . 0 ,)ex p(s Re 2=?? ? ??n z z , where n is a positive integer. =)sin (3z e dz d z . The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of i -1 are . 9. The definition of z e is . 10. Log )1(i -= . Ⅱ. True or False Questions (1553=? Points) 1. If a function f is analytic at a point 0z ，then it is differentiable at 0z .（ ） 2. If a point 0z is a pole of order k of f ，then 0z is a zero of order k of f /1.（ ） 3. A bounded entire function must be a constant.（ ） 4. A function f is analytic a point 000iy x z += if and only if whose real and imaginary parts are differentiable at ),(00y x .（ ） 5. If f is continuous on the plane and =+?C dz z f z ))((cos 0 for every simple closed path C , then z e z f z 4sin )(+ is an entire function. ( ) Ⅲ. Computations (3557=? Points) 1. Find ?=-+1||)2)(12(5z z z zdz . 2. Find the value of ??==-+22812 2) 1(sin z z z z dz z dz z z e . 《复变函数与积分变换》课程教学大纲 《复变函数与积分变换》课程教学大纲课程名称：复变函数与积分变换课程代码： 英文名称：Function of Complex Variable and Integral Transformation 课程性质：专业必修课程学分/学时：2学分/36学时开课学期：第3学期 适用专业：电气工程及其自动化先修课程：高等数学后续课程：自动控制原理、信号与系统、检测技术与仪表开课单位：机电工程学院课程负责人： 大纲执笔人： 大纲审核人： 一、课程性质和教学目标课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。 教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等 数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。 本课程的具体教学目标如下： 1. 熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。 2. 大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。 3. 基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。 2010-2011 第一 复变函数与积分变换 (A) 数理学院 自动化各专业 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效） 一、 选择题（每小题3分，共18分） 1、设z =1-i ,则Im(21z )=____________. A 、1- B 、2 1- C 、21 D 、1 2、设z=cosi ，则____________. A 、Imz=0 B 、Rez=π C 、|z|=0 D 、argz=π 3、设C 为正向圆周|z|=1，则积分?c z dz ||=____________. A 、0 B 、2πi C 、2π D 、－2π 4、幂极数∑∞ =+1n n z (2n)!1)!n （的收敛半径为____________. A 、0 B 、1 C 、2 D 、＋∞ 5、点z =0是函数) 1(sin )1()(2--=z z z e z f z 的_____________. A 、可去奇点 B 、一阶极点 C 、二阶极点 D 、本性奇点 6、函数? ??><-=0101sgn t t t 在傅氏变换下的像为_____________. A 、ωi -11 B 、 ωi 1 C 、 ωi 2 D 、 ω i +11 课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业: 二、 填空题（每小题3分，共21分） 1、当1≤z 时，a z n +的最大值为_____________. 2、i i )1(+为_________. 3、函数) 3)(2()(-+=z z z z f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为_____________. 4、若)(z f =ζζζζζd z ?=-+2 353,则()f i ''-=_____________ 5、设)1()(1 -=z e z z f ,则Res[f (z ),0]=__________. 6、已知函数t e 在拉氏变换下的像为才，则t e t 2)1(-在拉氏变换下的像为______. 7、函数z 1=ω把z 平面上的曲线x y =映射成ω平面上的像为 ______. 三、 计算题（每小题10分，共50分） 1、试讨论定义于复平面内的函数)Re()(z z z f =在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数。 2、求) 2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1《复变函数论》试题(B)
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