中职数学幂函数教学教案
2.3幂函数
一．教学目标：
1．知识技能
（1）理解幂函数的概念；
（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.
2．过程与方法
类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.
3．情感、态度、价值观
（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；
（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
二．重点、难点
重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质
难点：从幂函数的图象中概括其性质
5．学法与教具
（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质;
（2）教学用具：多媒体
三．教学过程：
引入新知
阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.
（1）它们的对应法则分别是什么？
（2）以上问题中的函数有什么共同特征？
让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论
答：1、（1）乘以1（2）求平方（3）求立方
（4）求算术平方根（5）求－1次方
2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y=xα，其中x是自变量，α是常数.
探究新知
1．幂函数的定义
一般地，形如y=xα（x∈R）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常数.
- 1
让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注
-10
1 如 y = x
2 , y = x 3
, y = x 4 等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都
是基本初等函数 .
2．研究函数的图像
（1） y = x
（2） y = x
（4） y = x -1
（5） y = x 3
1 2
（3） y = x 2
一．提问：如何画出以上五个函数图像
引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，
最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像 .
y = x 2
y = x
4
2
1 y = x
2
y =x 3 y =x -1
-5
5
10 15
-2
-4
-6
-8
意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质 . 通过观察图像，填 P 91 探究中的表格
y = x
y = x
2
y = x
3
y = x
1 2
y = x -1
定义域
奇偶性
R
奇
R
奇
R
奇 {x | x ≥ 0} {x | x ≠ 0}
非奇非偶 奇
在 第 Ⅰ 象 限在 第 Ⅰ 象 限在 第 Ⅰ 象 限在 第 Ⅰ 象 限在 第 Ⅰ 象 限在 第 Ⅰ 象 限 单调增减性 单调递增 单调递增 单调递增 单调递增 单调递减 定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1）
+ 1 ；
f ( x )
3．幂函数性质
（1）所有的幂函数在（0， ∞）都有定义，并且图象都过点（1， ）（原因
：1x = 1） （2） x ＞0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在 [0，+∞]上，是增函数（从左
往右看，函数图象逐渐上升） .
特别地，当 x ＞1， x ＞1 时， x ∈（0，1）， y = x 2 的图象都在 y = x 图象的下方，
形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）
当∠α ＜1 时， x ∈（0，1）， y = x 2 的图象都在 y = x 的图象上方，形状向上凸， α 越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）
（3）α ＜0 时，幂函数的图象在区间（ 0，+∞）上是减函数 .
在第一家限内，当 x 向原点靠近时，图象在 y 轴的右方无限逼近 y 轴正半轴，当 x
慢慢地变大时，图象在 x 轴上方并无限逼近 x 轴的正半轴.
例题：
1．证明幂函数 f ( x ) =
x 在[0, +∞ ] 上是增函数
证：任取 x , x ∈ [0, +∞), 且x ＜ x 则
1 2
1
2
f ( x ) - f ( x ) = x - x
1 2
1
2
=
( x - x )( x + x )
1 2 1 2
x + x
1 2
= x 1 - x 2
x + x
1 2
因 x - x ＜0， x + x ＞0
1 2
1
2
所以 f ( x ) < f ( x ) ，即 f ( x ) =
1
2
x 在[0, + ∞ ] 上是增函数.
思考：
我们知道，若 y = f ( x ) > 0, 若 f ( x 1 )
< 1 得 f ( x ) < f ( x ) ，你能否用这种作比的
1 2 2
2
- 2
, 4
方法来证明 f ( x ) =
x 在[0, +∞ ] 上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？
2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小
1 （1）
2 6 ,
3
1 6
3 （2） ( x + 1)2 , x
3 2
( x > 0) （3） (a + 4) 4 - 2
4 分析：利用幂函数的单调性来比较大小 .
5．课堂练习
2
画出 y = x
3 的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性 .
6．归纳小结：提问方式
（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？
（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？
作业：P 92 习题 2.3 第 2、3 题