可降为一阶的二阶微分方程的解法

第7-2节 可降为一阶的二阶微分方程的解法

含有最高阶导数为二阶导数的微分方程，称为二阶微分方程.有一些特殊的二阶微分方程，通过适当的变换，可以化为一阶微分方程.求出解后，再积分一次，就可得到原方程的解.

(,)y f x y '''= (右端不显含y )

在这种情形下，只要令z y '=，则它就变成一阶微分方程(,)z f x z '=. 例如方程

()()y p x y q x '''+=

令z y '=，就变成一阶线性微分方程 ()()z p x z q x '+=. 求出1(,)z z x c =后，再积分得

1

2

(,)d y z x c x c

=

+?

例如在方程2x y y x y ''''=-中，令z y '=，则它就变成一阶微分方程

2

x z z x z '=-(※) 或2

1z z z x

'-

=-(※※)

右边的方程(※※)是伯努利方程(见第13-1节)，可按伯努利方程求解.不过，不如直接求解左边的方程(※).先将2x z z x z '=-移项，变成2z xz xz '-=；然后两端同除以2z [注意丢掉平凡解．．．．．．．

()0z x ≡]，则得

2

z xz x z

'-=，即x x z '

??

= ???

于是，

2

2

1

121d 2

2

x c x x x x c z +=

=

+=

?

或 2

1

22x z x c =

+

因此，

2

122

1

2d d ln 22x

y z x x x c c x

c =

=

=+++?

?

或 ()y x c ≡(常数，因为上面的解法中丢掉了解()()0z x y x '≡≡)

),(y y f y '='' (右端不显含自变量x ) 在这种情形下，可令d d y u y x

'==

[并把()u u y =看作y 的函数].注意，由于

d d d d ()d d d d u u y u y y u x

y x

y ''''==

==

所以方程 (,)y f y y '''=就变成 d (,)

d u u f y u y

= (暂时把y 看作自变量).求出),(c y u u =后，再用

分离变量方法，求解

d (,)

d y u y c x

=

例如求解0)(2='-''y y y ，令d ()

d y y u y x

'==，则d d d d d d d d d d d d y u u y u

y u x x x y x y

??''=

=

== ???，且原方程

变成

d 0d u u y u y ??-= ???

于是，或者()0u y =；或者d 0d u

y

u y ??

-= ??

?

，分离变量后为

d d u y u y

=. 因此得

d ()0d y u y x

=≡ 或

d ()d y u y cy

x

==

左边方程的解为≡)(x y 常数；右边方程的解为x c c y e 1=. 显然，后者包括了前者(0)c =.因此，原方程的一般解为x c c y e 1=(其中c 和1c 为任意常数).

【注】 在方程0)(2='-''y y y 两端同除以2y ，则得

2

2

()0yy y y '''-=， 即y y '

'??

???

= 0

因此，

y c

y

'= 或

d d y c x y

=. 解得x

c c y e

1=

像上注那样，若原方程可以写成

d (,,)0d x y y x

?'≡

则(,,)x y y c ?'≡(变成一阶微分方程．．．．．．．．

).例如微分方程 2

()0yy y '''+=. 它可以写成 ()0

yy ''=，所以

yy c '=或d d y y c x

=. 因此，原方程的一般解为2

1y cx c =+（解被表示成隐函数）.

根据提示做习题

1.求下列二阶微分方程的一般解或特解(先看属于哪种情形)： ⑴ sin 2y x ''=； ⑵ e x y x ''=； ⑶ x y y '''=； ⑷ 2()

0y y '''-=； ⑸ 0y ''+=； ⑹ y

y x '''=+； ⑺ 2

()y y y ''''+=

⑻ 2)0(,1)0(,0)(2='=='+

''y y y y y ；

⑼ (0)1,(0)2y y y '''===.

答案：⑴212sin 4

1c x c x y ++-

=；⑵21e

2e

c x c x y x

x

++-=；

⑶22

1c x c y +=；⑷23

112

)

(c c x y ++=；⑸21)cos(c x c y +-=；⑹22

12

1e

c x x

c y x

+--

=；

⑺222

1212

)]1ln(2

112

[

2c x x x x c x c y +++

+

++=；⑻142

+=x y

；⑼16

)2(4

+=

x y .

2.一个物体只受地球引力作用，自无穷远处落向地球.求它落到地面时的速度.

(地球半径约为km 6400,重力加速度2m/s 8.9=g ). 答案:km /s)(2.11(第二宇宙速度) 【分析】 设物体的质量为m ，地球的质量为M .根据引力定律，地球对物体的引力为

2

m M f k

r

=（其中r 为物体到地球中心的距离）

当物体落到地面时，r R =（地球半径），f m g =（g 为重力加速度）.于是，

2

m M k m g R =，即2k M g R = 因此，地球对物体的引力为2

m M

f k

r

=22

m g R r

=

根据牛顿第二定律，22

d d r f m a m

t

==-（负号表示引力f 与

2

2

d d r t

的方向相反），即

2

2

2

2

d d m g r R m

r

t

=-，化简后为()2

2

2

22

d 6400d r k k gR

g t

r

=

=-=-

因为d d r v t

=

，而

2

2

d d d d d d d d d d d d d d r r v v r v

v t

t t t r t r

??==== ?

??，因此，方程就变为 2d d v k v r r

= 3.在上半平面求一条向上凹的曲线)(x y y =，其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与O x 轴的交点)，且曲线)(x y y =在点)1,1(处的切线平行于x O 轴.[1991年考研试题(一)第九题]

提示：曲线)(x y y =在点(,)P x y 处的曲率为

()

32

2

1y K y ''

=

'+

另一方面，如下图示，

sec PQ y

α=,

()()2

222222sec 1tan 1PQ

y y y y αα'==+=

+

根据题设，则有

()

32

2

1y y ''

=

'+ 或(化简)21yy y '''=+

因此，可列出初始值问题：2

1(1)1,(1)0yy y y y '''=+??'==?

.请你求出它的解.

答案：()1(1)1

e e 2

x x y ---=

+.

第3题图