多面体截面的画法

多面体截面的画法

在学习立体几何时，常要遇到画具有特定条件的截面图的习题.如棱柱、棱锥、棱台等多面体的对角面，当然是很容易画出的，但有些截面图是不容易画出的，一不小心，往往会画错.

用一个平面截面截割多面体，所得的公共平面图形称为多面体的截面，这个平面称为截平面.在立体几何中，简称截面.多面体的表面是由多边形所组成，因此，它被平面所截的截面一定也是一个平面多边形，这个平面多边形的各边是多面体与截面的交线（称为截交线），其顶点是多面体的棱与截面的交点，所以F面体的截面的边数，最多不

会超过F，最少当然是3.例如四棱柱有六个面，所以截面可能是六边形、五边

形、四边形或三角形，决不可能是七边形.

画多面体截面的关键在于根据确定截面的条件，作出截面与棱的交点（截

面的顶点）.确定多面体截面的条件，而确定平面的条件是以过不在一直线的任

意三点为基础的，所以多面体截面的画法，是以过不在一直线的任意三点所确

定截面的画法为最基本，下面我们通过一些例子，介绍多面体截面的几种画法.

一、直接法

由直接连接不在一直线的三点，或根据多面体的性质作平行线画出截面的方法，我们将它称为直接法. 图1 例1.求作过立方体棱上三个已知点A、B、C（图1）的截面.

画法：连接AB、BC、CA便得所求截面ABC.

从本例可看出，同一个面上的两个已知点的连线才是截交线，如果本例的三

个已知点A、B和C的位置如图2所示，这时AC就不是截交线.因为面EF∥面

GH，所以只要过C作CD∥BA交EI于D，连AD，便得所求截面ABCD.

二、三面共点法

利用截面与多面体相邻两面交于一点的原理来画截面的方法称为三面共点法.

例2.求作过正四棱锥棱上的三个已知点A、B和C（图3）的截面. 图2

我们采用三面共点法作出截面.首先利用截平面与面SKM、面LM交于一点，然后采用截平面与面SMN、面LM交于一点作出截面.具体画法如下：

（1）作直线AB，交MK的延长线于F，连接FC交LK于E，交MN的延长线于Q.

（2）连接QB，交SN于D，又连接CD、AE便得所求截面ABDCE.

图3 图4

例3.求作过正四棱台棱上的三个已知点A、B和C（图4）的截面.

画法：（1）作直线AB与MM1和MN的延长线分别交于点M2和P.

（2）作直线PC交棱LK于D，交MK的延长线于Q.

（3）连接QM2与棱KK1和K1M1分别交于点E和F.

（4）连结BC、DE和F A，则ABCDEF为所求作的截面.

图5 图6

几何体中的截面问题复习课程

F E 1Q 1 几何体中的的截面问题 1．定义及相关要素 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点． 2．作多面体的截面方法(交线法)：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面． 题型一、截面的形状 1．P 、Q 、R 三点分别在直四棱柱AC 1的棱BB 1、CC 1和DD 1上，试画出过P 、Q 、R 三点的截面． 1解答：(1)连接QP 、QR 并延长，分别交CB 、CD (2)连接EF 交AB 于Ｔ，交AD 于S ． (3)连接RS 、TP 。则多边形PQRST 即为所求截面。 2．已知P 、Q 、R 分别是四棱柱ABCD ―A 1B 1C 1D 1的棱CD 、DD 1和AA 1上的点，且QR 与AD 不平行，求作过这三点的截面． 2解答： (1)连接QP 并延长交DA 延长线于点I 。 (2)在平面ABCD 内连接PI 交AB 于点 M 。 (3) 连接QP 、RM 。则四边形PQRM 即为所求。 注：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。 ②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。 ③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。 3．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是

3答案：D 解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D 。 题型二、截面面积、长度等计算 4．过正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则 m in m ax S S 的值为 ( ) A ． 23 B ． 2 6 C ． 3 3 2 D ． 3 6 2 4答案：C 解析：设M 、N 分别为AA 1、CC 1的中点.易证截面BMD 1N 是边长为 5 2 的菱形(正方体棱长设为1),其面积S(min)= 6 2 . 而截面BB 1D 1D 是矩形,其面积S(max)=2． 5. 如图，已知球O 是棱长为1 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为 ． 5答案： 解析：平面ACD 1是边长为 的正三角形，且球与以点D 为公共 点的三个面的切点恰为三角形ACD 1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD 1内切圆的半径是 ×tan30°= ，则所求的截面圆的面积是π× × = ． 6．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 6答案：C 解析：1O 与2O 的公共弦为AB ，球心为Ｏ，AB 中点为C ， 则四边形C OO O 21为矩形，12||||,O O OC =||2,OA =Q 所以2 2 ||1,||||||3AC AC OC OC OA AC =⊥∴=-= 7．已知正四棱锥P —ABCD 的棱长都等于a ,侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成二面角大小的正切值为 ． 7答案： 1 2 Ｏ２ Ｏ Ｃ Ｏ2

机械制图三视图的第三角法和第一角如何区分

三视图的第三角法和第一角法划分： 一、第一角投影法 1.凡将物体置於第一象限内，以「视点(观察者)」→「物体」→「投影面」关系而投影视图的画法，即称为第一角法。亦称第一象限法 2.第一角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由近而远之方向翻转展开。 3.第一角法展开后之视图排列如下，以常用之三视图(前视、俯视、右侧视图)而言，其右侧视图位於前视图之左侧，俯视固则位於前视图之正下方。 二.、第三角投影法 1.凡将物体置於第三象限内，以「视点(观察者)」→「投影面」→「物体」关系而投影视图的画法，即称为第三角法。亦称第三象限法。

2.第三角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由远而近之方向翻转展开。 3．第三角法展开后之六个视固排列如下，以常用之三视图而言，其右侧视图位於前视图之右侧，而俯视图则位於前视图之正上方。 CNS 相关规定 CNS中国国家标准之象限投影符号，系将一截头圆锥之前视图与左侧视图，依投影之排列而得。主要之区别为第一角法符号(左侧视图排在右边)，而第三角法符号(左侧视图位在左边)。 对於正投影方法之使用，CNS规定第一角法或第三角法同等适用。但在同一张图纸上不可混合使用，且须在标题概内或其他明显处绘制符号或加注「第一角法」或「第三角法」字样。以作为读图之识别。 由於第二象限投影与第四象限投影因水平投影面旋转后与直立投影面重叠，致使投影视图线条混淆不清，增加绘固及识图不便，故不予采用。 欧洲各国盛行第一角法投影制，所以第一角法投影亦有「欧式投影制」之称呼。例如德国(DIN)、瑞士(VSM)、法国(NF).挪威(NS)等国家使用之。 美国采用第三角投影制，故有「美式投影制」之称呼。除美国(ANSI)外，尚盛行於美洲地区。而中华民国(CNS)、国际标准化机构(ISO)与日本[JIS]则采第一角法及第三角两制并行。 视图之排列，应依投影原理上下左右对齐排列，不得任意更换或未依据投影方式排置。 六种视图中最常用之三视图组合为:前视图、上视圆及右侧视图，一般均以L字形或逆向L字形之方式排列於图纸上。 我们国内用的是第一角画法，国外用第三角画法的比较多 第一角画法和第三角画法的区别是视图放的位置 第一角画法：左视图放右边，右视图放左边，上视图放下面，依此类推 第三角画法：左视图放左边，右视图放右边，上视图放上面，依此类推 在我们国家有关制图方面的国家标准中规定，我国采用第一角投影法。但有些国家（如美国、日本）则采用第三角投影法。伴随着我国的对外开放和WTO的加入及对外贸易和国际间技术交流的日趋增多，我们会越来越多的接触到采用第三角投影法绘制的图纸。为了更好地进行国际间的技术交流和发展国际贸易的需要，我们应该了解和掌握第三角投影法。 如图

第一角与第角投影法

第一角投影法,,与第三角投影法 一、第一角投影法 1.凡将物体置於第一象限内，以「视点(观察者)」→「物体」→「投影面」关系 而投影视图的画法，即称为第一角法。亦称第一象限法。， 2.第一角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由近而远之方向翻转展开。 3.第一角法展开后之视图排列如下，以常用之三视图(前视、俯视、右侧视图)而 言，其右侧视图位於前视图之左侧，俯视固则位於前视图之正下方。 二、第三角投影法 1.凡将物体置於第三象限内，以「视点(观察者)」→「投影面」→「物体」关系 而投影视图的画法，即称为第三角法。亦称第三象限法。 2.第三角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由远而近之方向翻转展开。 3．第三角法展开后之六个视固排列如下，以常用之三视图而言，其右侧视图位於前视图之右侧，而俯视图则位於前视图之正上方。 在工程图的配置文件修改,如图示： 附件 2005-5-15 20:52

06.jpg(22.62 KB) 自改革开放以来，我引进了不少国外设备、图纸和其它技术资料，有不少发达国家的机械图样投影方法与我国所采用的投影方法不同。为了更好地学习发达国家的先进技术，故快速看懂国外机械图纸很有必要。 1 概述 当今世界上，ISO国际标准规定，第一角和第三角投影同等有效。各国根据国情均有所侧重，其中俄罗斯、乌克兰、德国、罗马尼亚、捷克、斯洛伐克以及东欧等国均主要用第一角投影，而美国、日本、法国、英国、加拿大、瑞士、澳大利业、荷兰和墨西哥等国均主要用第三角投影。解放前我国也采用第三角投影，新中国成立后改用第一角投影。在引进的国外机械图样和科技书刊中经常会遇到第三角投影。ISO 国际标准规定了第一角和第三角的投影标记（图1和图2）。在标题栏中，画有标记符号，根据些符号可识别图样画法，但有的图纸无投影标记。

2017多面体的截面的作法

多面体的截面 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集（交线）叫做截线．此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点． 作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面． 作截线与截点的主要根据有： （1）确定平面的条件．（2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线． （3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． （4）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.（5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行． 主要画法是交线法．即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，再找出各有关截线（或其延长线）与此交线的交点． 例1 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，G F E 、、分别在 1DD BC AB 、、上，求作过G F E 、、三点的截面． 作法：（1）在底面AC 内，过F E 、作直线EF 分别与DC DA 、的延长线 交于M L 、． （2）在侧面D A 1内，连结LG 交1AA 于K ． （3）在侧面C D 1内，连结GM 交1CC 于H ． （4）连结KE 、FH ．则五边形EFHGK 即为所求的截面．有时为了便于作截面，还须引进辅助面作为作图的中介． 例2 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、在两条棱上，G 在底面1 1C A 内，求过G F E 、、的截面． 作法：（1）在底面11C A 内，过G 作11//C B PQ ，交棱于Q P 、两点． （2）作辅助面PC ，在此面内，过F G 、作直线交BP 的延长线于M ． （3）在侧面B A 1内，连结ME ，交11B A 于K ． （4）在底面11C A 内，连结KG ，延长交11C B 于H ．（5）连结HF ． （6）在底面AC 内，作HK FL //，交AB 于L ． （7）连结EL ．则五边形ELFHK 为所求的截面．此外，对于面数较多 的多面体，可以把其中一些表面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解． 例 3 如图，五棱锥ABCD P -中，三条侧棱上各有一已知点 H G F 、、，求作过H G F 、、的截面． 作法：（1）将侧面PDE PBC PAB 、、伸展得到三棱锥BST P -． （2）在侧面PBS 内，连结并延长GF ，交PS 于K ． （3）在侧面PBT 内，连结并延长GH 交PT 于L ． 图

多面体的截面的作法

多面体的截面 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集（交线）叫做截线．此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点． 作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面． 作截线与截点的主要根据有： （1）确定平面的条件． （2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线． （3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． （4）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． （5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行． 主要画法是交线法．即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，再找出各有关截线（或其延长线）与此交线的交点． 例1 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，G F E 、、分别在1DD BC AB 、、上，求作过G F E 、、三点的截面． 作法：（1）在底面AC 内，过F E 、作直线EF 分别与DC DA 、的延长线 交于M L 、． （2）在侧面D A 1内，连结LG 交1AA 于K ． （3）在侧面C D 1内，连结GM 交1CC 于H ． （4）连结KE 、FH ．则五边形EFHGK 即为所求的截面．有时为了便于作截面，还须引进辅助面作为作图的中介． 例2 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、在两条棱上，G 在底面11C A 内，求过G F E 、、的 截面． 作法：（1）在底面11C A 内，过G 作11//C B PQ ，交棱于Q P 、两点． （2）作辅助面PC ，在此面内，过F G 、作直线交BP 的延长线于M ． （3）在侧面B A 1内，连结ME ，交11B A 于K ． （4）在底面11C A 内，连结KG ，延长交11C B 于H ． （5）连结HF ． （6）在底面AC 内，作HK FL //，交AB 于L ． （7）连结EL ．则五边形ELFHK 为所求的截面．此外，对于面数较多的多面体，可以把其中一些表面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解． 例 3 如图，五棱锥A B C D P -中，三条侧棱上各有一已知点 H G F 、、，求作过H G F 、、的截面． 作法：（1）将侧面PDE PBC PAB 、、伸展得到三棱锥BST P -． （2）在侧面PBS 内，连结并延长GF ，交PS 于K ． （3）在侧面PBT 内，连结并延长GH 交PT 于L ． （4）在侧面PST 内，连结KL 分别交PE PD 、于N M 、． 图

高二数学最新教案-多面体截面的画法 精品

多面体截面的画法 在学习立体几何时，常要遇到画具有特定条件的截面图的习题.如棱柱、棱锥、棱台等多面体的对角面，当然是很容易画出的，但有些截面图是不容易画出的，一不小心，往往会画错. 用一个平面截面截割多面体，所得的公共平面图形称为多面体的截面，这个平面称为截平面.在立体几何中，简称截面.多面体的表面是由多边形所组成，因此，它被平面所截的截面一定也是一个平面多边形，这个平面多边形的各边是多面体与截面的交线（称为截交线），其顶点是多面体的棱与截面的交点，所以F 面体的截面的边数，最多不会超过 F ，最少当然是3.例如四棱柱有六个面，所以截面可能是六边形、五边形、四边 形或三角形，决不可能是七边形. 画多面体截面的关键在于根据确定截面的条件，作出截面与棱的交点（截 面的顶点）.确定多面体截面的条件，而确定平面的条件是以过不在一直线的任 意三点为基础的，所以多面体截面的画法，是以过不在一直线的任意三点所确 定截面的画法为最基本，下面我们通过一些例子，介绍多面体截面的几种画法. 一、直接法 由直接连接不在一直线的三点，或根据多面体的性质作平行线画出截面的方法，我们将它称为直接法. 图1 例1.求作过立方体棱上三个已知点A 、B 、C （图1）的截面. 画法：连接AB 、BC 、CA 便得所求截面ABC . 从本例可看出，同一个面上的两个已知点的连线才是截交线，如果本例的三 个已知点A 、B 和C 的位置如图2所示，这时AC 就不是截交线.因为面EF ∥面 GH ，所以只要过C 作CD ∥BA 交EI 于D ，连AD ，便得所求截面ABCD . 二、三面共点法 利用截面与多面体相邻两面交于一点的原理来画截面的方法称为三面共点 法. 例2.求作过正四棱锥棱上的三个已知点A 、B 和C （图3）的截面. 图2 我们采用三面共点法作出截面.首先利用截平面与面SKM 、面LM 交于一点，然后采用截平面与面SMN 、面LM 交于一点作出截面.具体画法如下： （1）作直线AB ，交MK 的延长线于F ，连接FC 交LK 于E ，交MN 的延长线于Q . （2）连接QB ，交SN 于D ，又连接CD 、AE 便得所求截面ABDCE . 图3 图4 例3.求作过正四棱台棱上的三个已知点A 、B 和C （图4）的截面 .

第三角法和第一角法

第三角法和第一角法 第三角法和第一角法划分： 一、第一角投影法 1.凡将物体置于第一象限内，以「视点(观察者)」→「物体」→「投影面」关系而投影视图的画法，即称为第一角法。亦称第一象限法。 2.第一角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由近而远之方向翻转展开。 3.第一角法展开后之视图排列如下，以常用之三视图(前视、俯视、右侧视图)而言，其右侧视图位于前视图之左侧，俯视固则位于前视图之正下方。 二.、第三角投影法 1.凡将物体置于第三象限内，以「视点(观察者)」→「投影面」→「物体」关系而投影视图的画法，即称为第三角法。亦称第三象限法。 2.第三角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由远而近之方向翻转展开。 3．第三角法展开后之视固排列如下，以常用之三视图而言，其右侧视图位于前视图之右侧，而俯视图则位于前视图之正上方。

CNS 相关规定 CNS中国国家标准之象限投影符号，系将一截头圆锥之前视图与左侧视图，依投影之排列而得。主要之区别为第一角法符号(左侧视图排在右边)，而第三角法符号(左侧视图位在左边)。 对于正投影方法之使用，CNS规定第一角法或第三角法同等适用。但在同一张图纸上不可混合使用，且须在标题概内或其它明显处绘制符号或加注「第一角法」或「第三角法」字样。以作为读图之识别。 由于第二象限投影与第四象限投影因水平投影面旋转后与直立投影面重叠，致使投影视图线条混淆不清，增加绘固及识图不便，故不予采用。 欧洲各国盛行第一角法投影制，所以第一角法投影亦有「欧式投影制」之称呼。例如德国(DIN)、瑞士(VSM)、法国(NF).挪威(NS)等国家使用之。 美国采用第三角投影制，故有「美式投影制」之称呼。除美国(ANSI)外，尚盛行于美洲地区。而中华民国(CNS)、国际标准化机构(ISO)与日本[JIS]则采第一角法及第三角两制并行。 视图之排列，应依投影原理上下左右对齐排列，不得任意更换或未依据投影方式排置。六种视图中最常用之三视图组合为:前视图、上视圆及右侧视图，一般均以L字形或逆向L字形之方式排列于图纸上。 我们国内用的是第一角画法，国外用第三角画法的比较多 第一角画法和第三角画法的区别是视图放的位置 第一角画法：左视图放右边，右视图放左边，上视图放下面，依此类推 第三角画法：左视图放左边，右视图放右边，上视图放上面，依此类推 来自https://www.wendangku.net/doc/584198737.html,/hiautocad/blog/item/9464e903671ca088d43f7c97.html 第一角法与第三角法的区别 该贴对于那些对于对第一角法与第三角法不很清楚的同行有帮助! 1. 任何物体在空间位置都有八个位置，即所谓视角。因此就产生了不同的投影视图。第一角画法又叫“苏联”画法，也就是先见视图——再见实物。第三角画法又叫“ 美国”画法，其特点就是先见实物——再见视图。就其投影规律来讲第三角画法较为合理，因为它的视图名字就是它的视图位置，正象有的朋友讲的那样画轴侧图好象容易些。其实只要你熟练掌握了投影规律，两种画法都是一样的。目前以美国为代表的画法有日本，德国，加拿大等先进的资本主义国家，但英国除外。以前以苏联为首的东欧前社会主义国家都采用第一角视图画法，我们国家的整个工业体系，在五六十年代是全盘照搬前苏联那一套，当然采用的是第一角画法了。目前台湾翔虹CAD的画法属于美国画法，所以说了如上的话。 2. 简单地说，第一视角就是：图纸－实物－你的眼睛，即实物放在图纸和你的眼睛中间，从眼睛方向投影到图纸上；第三视角就是：实物－图纸－你的眼睛，即图纸放在实物和你的眼睛中间，实物往你的眼睛方向投影到图纸上．还有不能像以上所说的：简单说就是左视图在左边,右视图在右边! 3. 一角法又称投影法，而三角发又称镜象法

多面体截面的画法

多面体截面的画法 在学习立体几何时，常要遇到画具有特定条件的截面图的习题.如棱柱、棱锥、棱台等多面体的对角面，当然是很容易画出的，但有些截面图是不容易画出的，一不小心，往往会画错. 用一个平面截面截割多面体，所得的公共平面图形称为多面体的截面，这个平面称为截平面.在立体几何中，简称截面.多面体的表面是由多边形所组成，因此，它被平面所截的截面一定也是一个平面多边形，这个平面多边形的各边是多面体与截面的交线（称为截交线），其顶点是多面体的棱与截面的交点，所以F面体的截面的边数，最多不 会超过F，最少当然是3.例如四棱柱有六个面，所以截面可能是六边形、五边 形、四边形或三角形，决不可能是七边形. 画多面体截面的关键在于根据确定截面的条件，作出截面与棱的交点（截 面的顶点）.确定多面体截面的条件，而确定平面的条件是以过不在一直线的任 意三点为基础的，所以多面体截面的画法，是以过不在一直线的任意三点所确 定截面的画法为最基本，下面我们通过一些例子，介绍多面体截面的几种画法. 一、直接法 由直接连接不在一直线的三点，或根据多面体的性质作平行线画出截面的方法，我们将它称为直接法. 图1 例1.求作过立方体棱上三个已知点A、B、C（图1）的截面. 画法：连接AB、BC、CA便得所求截面ABC. 从本例可看出，同一个面上的两个已知点的连线才是截交线，如果本例的三 个已知点A、B和C的位置如图2所示，这时AC就不是截交线.因为面EF∥面 GH，所以只要过C作CD∥BA交EI于D，连AD，便得所求截面ABCD. 二、三面共点法 利用截面与多面体相邻两面交于一点的原理来画截面的方法称为三面共点法. 例2.求作过正四棱锥棱上的三个已知点A、B和C（图3）的截面. 图2 我们采用三面共点法作出截面.首先利用截平面与面SKM、面LM交于一点，然后采用截平面与面SMN、面LM交于一点作出截面.具体画法如下： （1）作直线AB，交MK的延长线于F，连接FC交LK于E，交MN的延长线于Q. （2）连接QB，交SN于D，又连接CD、AE便得所求截面ABDCE. 图3 图4 例3.求作过正四棱台棱上的三个已知点A、B和C（图4）的截面.

平面截多面体的截面

平面截多面体的截面 上海市崇明中学杨春耀 【教学目标】 1. 通过从具体到抽象的过程，逐步形成并理解平面截多面体的截面概念. 2. 通过多面体截面作法的探究，体会作多面体截面的基本方法一一“连延交” 3. 经历作多面体截面的过程，体会转化思想，培养空间想象力. 【教学重点】截面的概念及作法. 【教学难点】截面的作法. 【教学过程】 一、复习引入： 1. 通过实例说明作截面的现实需要性（课件显示）. 2. 公理与性质回顾： 公理1 :如果直线I上有两个点在平面上，那么直线I在平面上. 公理2如果不同的两个平面、有一个公共点A,那么、的交集是经过点 A的直线I. 公理3:不在同一直线上的三点确定一个平面. 若平面与平面相互平行，平面与、的交线分别为直线a、b,则a//b. 二、概念形成：

例题：在正方体ABCD-/BGD中， (1) 作出由点A、G、D确定的平面与正方体表面的所有交线； (2) 若点P位于棱DD±，作出由点A、C、P确定的平面与正方体表面的交线. ★体会：确定“平面与正方体表面的交线”的尖键是“找到正方体的表面与平面的两个公共点”. ⑶点P位于面AADD±，作出由点AGP确定的平面与正方体表面的交 线； ⑷作出由点A、Q A确定的平面与正方体表面的交线. ★体会：⑶初步体会“延”的必要性，“寻找平面与正方体另一个表面的公共点” 的尖键是“找到正方体的棱与平面的公共点”. ⑷“平面与正方体两平行平面的交线”也可以由“平行线法”获得. 平面截多面体的截面概念：当一个平面截多面体时，多面体的表面与平面的交线围成的平 面图形叫做平面截多面体的截面? 思考：截面多边形的边与顶点在多面体上的位置如何 1 ■截面多边形的各边都在多面体的表面上； (截面多边形的两邻边在多面体的两个相邻面上?) 2.截面多边形的各顶点都在多面体的棱上. 三、概念巩固： 例题：在正方体ABCD-/BCD中，若点E、F、G分别为AB BG CD的中点. (5)作出由点E、F、G确定的平面截正方体ABCD■屈GD的截面；

多面体的截面(一)

多面体的截面（一） 黄继红 一、教学分析 按课标，“多面体的截面”要求学生会作长方体的截面（如截面过已知不共线的、位于棱上的三点，且仅以平面的基本性质为画图依据）。 按教材，“多面体的截面”是对点、线、面的位置关系在认识上的深化和提高，又是为后继几何体的体积学习作准备。“多面体的截面”定义在课本中仅以“小字”形式作为注意点呈现，例题的截面作法也仅用“交线法”。 我认为：我们松江二中的学生对这个内容的学习不应该仅停留在理解概念、巩固练习的层面，更应该把它上升为探究性理解水平的层次。 基于以上认识，我确立“正确理解多面体的截面概念，体会作多面体截面的基本方法——连延交”作为本课的主要目标。在设计思路上我以“明线”和“暗线”同时进行、不断贯穿“转化”思想来组织教学，这样可以进一步体验概念学习的过程，还能在各个环节上逐步体会“连延交”的基本方法。在问题设计上我采取“反复变式”、“层层递进”、“制造认知冲突”等手段突出本课重点、突破本课难点。又考虑到我校学生已经较好地掌握公理4和面面平行的有关知识，所以本课我在重点突出“连延交”基本方法的同时，适当渗透“平行线法”，这样可以更好地完善学生的认知结构。 明线：形成概念理解概念巩固应用 →→ 暗线：

关于课时安排。“多面体的截面”分为2课时完成，本课为第1课，仅以“正方体”为载体设计教学目标、重点和难点。第2课安排以棱锥、三棱柱、长方体为例，进一步巩固多面体的截面作法，并说明截面分多面体为怎样的两个多面体、画出这两个多面体的直观图。 二、教学目标 ⑴通过从具体到抽象的过程，逐步形成并理解平面截多面体的截面概念。 ⑵通过正方体的截面作法的探究，体会作多面体截面的基本方法——“连延交”。 ⑶经历作正方体截面的过程，体会转化思想，培养空间想象力。 三、教学重点 截面的概念及作法 教学难点 如何“连” 四、教学过程 1、形成概念 引例 如图正方体ABCD A B C D ''''-，请画出由点 A '、、确定的平面C 'D α与正方体表面的交线。 变式1 点位于棱P DD '上，请画出由点A '、 C '、 确定的平面P α与正方体表面的交线。 变式2 点位于正方体的面P AA D D ''上，请画出由点 A '、、确定的平面C 'P α与正方体表面的交线。

15.2.2空间多面体的截面的作法

空间多面体截面的作法 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集（交线）叫做截线．此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点． 作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面． 作截线与截点的主要根据有： （1）确定平面的条件． （2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线． （3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． （4）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． （5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行． 主要画法是交线法．即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，再找出各有关截线（或其延长线）与此交线的交点． 例1 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，G F E 、、分别在1DD BC AB 、、上，求作过G F E 、、三点的截面． 作法：（1）在底面AC 内，过F E 、作直线EF 分别与DC DA 、的延长线交于M L 、． （2）在侧面D A 1内，连结LG 交1AA 于K ． （3）在侧面C D 1内，连结GM 交1CC 于H ． （4）连结KE 、FH ．则五边形EFHGK 即为所求的截面．有时为了便于作截面，还须引进辅助面作为作图的中介． 例2 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、在两条棱上，G 在底面11C A 内，求过G F E 、、的截面． 作法：（1）在底面11C A 内，过G 作11//C B PQ ，交棱于Q P 、两点． （2）作辅助面PC ，在此面内，过F G 、作直线交BP 的延长线于M ． （3）在侧面B A 1内，连结ME ，交11B A 于K ． （4）在底面11C A 内，连结KG ，延长交11C B 于H ． （5）连结HF ． （6）在底面AC 内，作HK FL //，交AB 于L ． （7）连结EL ．则五边形ELFHK 为所求的截面．此外，对于面数较多的多面体，可以把其中一些表面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解． 例 3 如图，五棱锥A B CD P -中，三条侧棱上各有一已知点H G F 、、，求作过H G F 、、的截面． 作法：（1）将侧面PDE PBC PAB 、、伸展得到三棱锥BST P -． 图

三视图的第三角法和第一角法

三视图的第三角法和第一角法 2006年12月18日星期一 22:49 三视图的第三角法和第一角法划分： 一、第一角投影法 1.凡将物体置於第一象限内，以「视点(观察者)」→「物体」→「投影面」关系而投影视图的画法，即称为第一角法。亦称第一象限法。， 2.第一角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由近而远之方向翻转展开。 3.第一角法展开后之视图排列如下，以常用之三视图(前视、俯视、右侧视图)而言，其右侧视图位於前视图之左侧，俯视固则位於前视图之正下方。 二.、第三角投影法 1.凡将物体置於第三象限内，以「视点(观察者)」→「投影面」→「物体」关系而投影视图的画法，即称为第三角法。亦称第三象限法。 2.第三角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由远而近之方向翻转展开。3．第三角法展开后之六个视固排列如下，以常用之三视图而言，其右侧视图位於前视图之右侧，而俯视图则位於前视图之正上方。 CNS 相关规定 CNS中国国家标准之象限投影符号，系将一截头圆锥之前视图与左侧视图，依投影之排列而得。主要之区别为第一角法符号(左侧视图排在右边)，而第三角法符号(左侧视图位在左边)。 对於正投影方法之使用，CNS规定第一角法或第三角法同等适用。但在同一张图纸上不可混合使用，且须在标题概内或其他明显处绘制符号或加注「第一角法」或「第三角法」字样。以作为读图之识别。 由於第二象限投影与第四象限投影因水平投影面旋转后与直立投影面重叠，致使投影视图线条混淆不清，增加绘固及识图不便，故不予采用。 欧洲各国盛行第一角法投影制，所以第一角法投影亦有「欧式投影制」之称呼。例如德国(DIN)、瑞士(VSM)、法国(NF).挪威(NS)等国家使用之。 美国采用第三角投影制，故有「美式投影制」之称呼。除美国(ANSI)外，尚盛行於美洲地区。而中华民国(CNS)、国际标准化机构(ISO)与日本[JIS]则采第一角法及第三角两制并行。 视图之排列，应依投影原理上下左右对齐排列，不得任意更换或未依据投影方式排置。 六种视图中最常用之三视图组合为:前视图、上视圆及右侧视图，一般均以L字形或逆向L字形之方式排列於图纸上。 我们国内用的是第一角画法，国外用第三角画法的比较多 第一角画法和第三角画法的区别是视图放的位置 第一角画法：左视图放右边，右视图放左边，上视图放下面，依此类推 第三角画法：左视图放左边，右视图放右边，上视图放上面，依此类推 类别：机械制图 | 添加到搜藏 | 浏览(3783) | 评论 (5)

《几何体的截面形状》研究性学习活动教学设计

《几何体的截面形状》研究性学习活动 教学设计 一、课题研究的背景 按《课标》要求，在高中阶段至少要有一次小组合作或独立数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展是要有一个渐进的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识自主探究、合作学习的过程，所以在本模块设计该课题，是为实施更为完整的数学探究、数学建模活动做准备。 二、课题研究的目的和意义 帮助学生认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力；通过课题研究给学生提供一个施展所学的舞台，促进学生对所学知识的应用和反思，加深对空间图形的认识和理解。此外，该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系，鼓励学生发挥自己的想象力和创造力。 三、课题研究的目标 体会转化、降维、类比等数学思想，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，提高交流表达能力，提高独立、合作小组探究学习获取知识的能力，培养学生把握空间图形的能力，学会欣赏空间图形所反映的数学美。 1、知识与能力：通过用一个平面去截一个正方体的切截活动过程，掌握空间图形与截面的关系，发展学生的空间观念，发展几何直觉。使学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程，发展学生的动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳能力。 2、过程与方法及解决的问题：采用多种途径查阅资料（图书馆查阅、网页查阅、调查访问教师、专家、学者等）；能对各种资源

进行整合、筛选、整理、分析；经历发现问题、分析问题、解决问题的研究过程，初步学会探究学习的方法；经过小组合作学习，能写出调查报告。 丰富对空间图形的认识和感受，发展空间观念和形象思维，通过总结，归纳，获得经验。 3、情感态度与价值观：通过以教师为主导，引导学生观察发现、大胆猜想、动手操作、自主探究、合作交流，使学生在合作学习中体验到：数学活动充满着探索和创造。通过小组的合作，加强自己与同学之间的人际关系，了解团队的力量。使学生获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。同时培养学生积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识，激发学生对空间与图形学习的好奇心。 四、重点与难点 重点：引导学生经历用一个平面去截一个正方体的切截活动过程，体会截面和几何体的关系，充分让学生动手操作、自主探索、合作交流。 难点：1. 从切截活动中发现规律，并能用自己的语言合理清晰地来表达出自己的思维过程。 2. 能应用规律来解决问题，从理论上理解截出五边形、六边形的可能性，以及七边形的不可能性。 五、学生起点分析 所有高中学生在新世纪版北师大教材《数学》七年级上册第一章已经学习了《截一个几何体》知识，它是初中新课程改革中的新增内容，学生已经简单经历了切截几何体的实际操作活动，发展了学生的空间观念，激发了学生学习兴趣。学生已经具备了基本的观察、操作、推理、交流的能力。也就是说学生在研究性学习前，已经掌握了长方体，正方体，圆柱体，圆锥体和球体等常见的几何体的特点，理解了各种生活中所熟悉的几何体的表面组成；掌握了点，线，面，体四者之间的动态与静态的关系，再加之学生好奇心强，喜欢探索、解剖身边的事物，对出现在自己周围的物品进行实际的动手切截，热情势必较高，再配合创设一系列合理的问题情景，组织学生进行一些生动有趣的数学活动，本节课会极大地调动学生参与的积极性。

三视图的第一角法和第三角法划分

机械制图：三视图的第一角法和第三角法划分 2009-05-10 1:29 三视图的第一角法和第三角法划分： 一、第一角投影法 1.凡将物体置於第一象限内，以「视点(观察者)」→「物体」→「投影面」关系而投影视图的画法，即称为第一角法。亦称第一象限法。， 2.第一角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由近而远之方向翻转展开。 3.第一角法展开后之视图排列如下，以常用之三视图(前视、俯视、右侧视图)而言，其右侧视图位於前视图之左侧，俯视固则位於前视图之正下方。 二.、第三角投影法 1.凡将物体置於第三象限内，以「视点(观察者)」→「投影面」→「物体」关系而投影视图的画法，即称为第三角法。亦称第三象限法。 2.第三角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由远而近之方向翻转展开。3．第三角法展开后之六个视固排列如下，以常用之三视图而言，其右侧视图位於前视图之右侧，而俯视图则位於前视图之正上方。 中华民国(CNS)相关规定 CNS中国国家标准之象限投影符号，系将一截头圆锥之前视图与左侧视图，依投影之排列而得。主要之区别为第一角法符号(左侧视图排在右边)，而第三角法符号(左侧视图位在左边)。 对於正投影方法之使用，CNS规定第一角法或第三角法同等适用。但在同一张图纸上不可混合使用，且须在标题概内或其他明显处绘制符号或加注「第一角法」或「第三角法」字样。以作为读图之识别。 由於第二象限投影与第四象限投影因水平投影面旋转后与直立投影面重叠，致使投影视图线条混淆不清，增加绘固及识图不便，故不予采用。 欧洲各国盛行第一角法投影制，所以第一角法投影亦有「欧式投影制」之称呼。例如德国(DIN)、瑞士(VSM)、法国(NF).挪威(NS)等国家使用之。

机械制图 第一角法与第三角法区别

6.8 第三角画法简介 当前位置：机械制图》第6章机械图样的表示法》6.8 第三角画法简介 返回目录 ★6.8 第三角画法简介 ★6.8.1 第三角投影法的概念 如图所示，由三个互相垂直相交 的投影面组成的投影体系，把空间 分成了八各部分，每一部分为一个 分角，依次为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ……Ⅶ、 Ⅷ分角。将机件放在第一分进行投 影，称为第一角画法。而将机件放在 第三分角进行投影，称为第三角画 法。 ★6.8.2 第三角画法与第一角画法的区别 在于人（观察者）、物（机件）、图（投影面）的位置关系不同。 采用第一角画法时，是把投影面放在观察者与物体之间，从投影方向看是“人、图、物”的关系，如图所示。

★6.8.3 第三角画法与第一角画法的区别 采用第三角画法时，是把物体放在观察者与投影面之间，从投方向看是“人、物、图”的关系，如图所示。投影时就好象隔着“玻璃”看物体，将物体的轮廓形状印在“玻璃”（投影面）上。 ★6.8.3 第三角投影图的形成

采用第三角画法时，从前面观察物体在V面上得到的视图称为前视图从上面观察物体在H面上得到的视图称为顶视图；从右面观察物体在W 面上得到的视图称为右视图。各投影面的展开方法是：V面不动，H面向上旋转90°，W面向右旋转90°，使三投影面处于同一平面内。 采用第三角画法时也可以将物体放在正六面体中，分别从物体的六个方向向各投影面进行投影，得到六个基本视图，即在三视图的基础上增加了后视图（从后往前看）、左视图（从左往右看）、底视图（从下往上看）。 第三角画法投影面展开 第三角画法视图的配置

★6.8.4 第一角和第三角画法的识别符号 在国际标准中规定，可以采用第一角画法，也可以采用第三角画法。为了区别这两种画法，规定在标题栏中专设的格内用规定的识别符号表示。

第一角画法与第三角画法

第一角画法与第三角画法 国家标准GB/T14692-1993中规定，我国的机械图样“应按第一角画法布置六个基本视图，必要时（如按合同规定等），才允许使用第三角画法”。因此，除按合同规定外我国均采用第一角画法。但在国际间的技术交流中，常常会遇到第三角画法的图纸，下面对第三角画法作一简要介绍：三个互相垂直的平面将空间分为八个分角，分别称为第Ⅰ角、第Ⅱ角、第Ⅲ角……，如下图所示。 第一角画法是将机件置于第Ⅰ角内，使机件处于观察者与投影面之间（即保持人→物→面的位置关系）而得到正投影的方法。我们以前讨论的投影画法都是第一角画法。 第三角画法是将机件置于第Ⅲ角内，使投影面处于观察者与机件之间（即保持人→面→物的位置关系）而得到正投影的方法，如图所示。从图可以看出，这种画法是把投影面假想成透明的来处理的。顶视图是从机件的上方往下看所得的视图，把所得的视图就画在机件上方的投影面（水平面）上。前视图是从机件的前方往后看所得的视图，把所得的视图就画在机件前方的投影面（正平面）上。其余类推，见下图所示。 第一角画法与第三角画法的投影面展开方式及视图配置如下图所示。仔细比较两种画法便可看出，虽然两组基本视图配制位置有所不同，但各组视图都表达了机件各个方向的结构和形状，每组视图间都存在

着长、宽、高三个方向尺寸的内在联系和机件上各结构的上下、左右、前后的方位关系。这里将两种画法的投影规律总结如下： (1) 两种画法都保持“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。 (2) 两种画法的方位关系是：“上下、左右”的方位关系判断方法一样，比较简单，容易判断。不同的是“前后”的方位关系判断，第一角画法，以“主视图”为准，除后视图以外的其它基本视图，远离主视图的一方为机件的前方，反之为机件的后方，简称“远离主视是前方”；第三角画法，以“前视图”为准，除后视图以外的其它基本视图，远离前视图的一方为机件的后方，反之为机件的前方，简称“远离主视是后方”。可见两种画法的前后方位关系刚好相反。 (3) 根据前面两条规律，可得出两种画法的相互转化规律：主视图（或前视图）不动，将主视图（或前视图）周围上和下、左和右的视图对调位置（包括后视图），即可将一种画法转化成（或称翻译成）另一种画法。 第一角画法 第三角画法 另外，ISO国际标准中规定，应在标题栏附近画出所采用画法的识别符号。第一角画法的识别符号为下图（a）所示，第三角画法的识别符号为下图（b）所示。我国国家标准规定，由于我国采用第一角画法，因此，当采用第一角画法时无须标出画法的识别符号。当采用第三角画法时，必须在图样的标题栏附近画出第三角画法的识别符号（如下图（b）所示）。

第一角和第三角解释

国家标准GB/T14692-1993中规定，我国的机械图样“应按第一角画法布置六个基本视图，……必要时（如按合同规定等），才允许使用第三角画法”。因此，除按合同规定外我国均采用第一角画法。但在国际间的技术交流中，常常会遇到第三角画法的图纸，下面对第三角画法作一简要介绍： 我们曾在第四章中介绍过，三个互相垂直的平面将空间分为八个分角，分别称为第Ⅰ角、第Ⅱ角、第Ⅲ角……，如下图所示。 第一角画法是将机件置于第Ⅰ角内，使机件处于观察者与投影面之间（即保持人→物→面的位置关系）而得到正投影的方法。我们以前讨论的投影画法都是第一角画法。 第三角画法是将机件置于第Ⅲ角内，使投影面处于观察者与机件之间（即保持人→面→物的位置关系）而得到正投影的方法，如图所示。从图可以看出，这种画法是把投影面假想成透明的来处理的。顶视图是从机件的上方往下看所得的视图，把所得的视图就画在机件上方的投影面（水平面）上。前视图是从机件的前方往后看所得的视图，把所得的视图就画在机件前方的投影面（正平面）上。其余类推，见下图所示。

第一角画法与第三角画法的投影面展开方式及视图配置如下图所示。仔细比较两种画法便可看出，虽然两组基本视图配制位置有所不同，但各组视图都表达了机件各个方向的结构和形状，每组视图间都存在着长、宽、高三个方向尺寸的内在联系和机件上各结构的上下、左右、前后的方位关系。这里将两种画法的投影规律总结如下： (1) 两种画法都保持“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。 (2) 两种画法的方位关系是：“上下、左右”的方位关系判断方法一样，比较简单，容易判断。不同的是“前后”的方位关系判断，第一角画法，以“主视图”为准，除后视图以外的其它基本视图，远离主视图的一方为机件的前方，反之为机件的后方，简称“远离主视是前方”；第三角画法，以“前视图”为准，除后视图以外的其它基本视图，远离前视图的一方为机件的后方，反之为机件的前方，简称“远离主视是后方”。可见两种画法的前后方位关系刚好相反。 (3) 根据前面两条规律，可得出两种画法的相互转化规律：主视图（或前视图）不动，将主视图（或前视图）周围上和下、左和右的视图对调位置（包括后视图），即可将一种画法转化成（或称翻译成）另一种画法。 第一角画法 第三角画法