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专升本高数大纲

上海第二工业大学专升本考试大纲

《高等数学一》

《高等数学》专升本入学考试注重考察学生基础知识、基本技能和思维能力、运算能力、以及分析问题和解决问题的能力,考试时间2小时,满分150分。

考试内容

一、函数、极限与连续

(一)考试内容

函数的概念与基本特性;数列、函数极限;极限的运算法则;两个重要极限;无穷小的概念与阶的比较;函数的连续性和间断点;闭区间上连续函数的性质。

(二)考试要求

1.理解函数的概念,了解函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。了解反函数的概念;理解复合函数的概念。理解初等函数的概念。会建立简单实际问题的函数关系。

2.理解数列极限、函数极限的概念(不要求做给出ε,求N或δ的习题);了解极限性质(唯一性、有界性、保号性)和极限的两个存在准则(夹逼准则和单调有界准则)。

3.掌握函数极限的运算法则;熟练掌握极限计算方法。掌握两个重要极限,并会用两个重要极限求极限。

4.了解无穷小、无穷大、高阶无穷小、等价无穷小的概念,会用等价无穷小求极限。

5.理解函数连续的概念;了解函数间断点的概念,会判别间断点的类型(第一类可去、跳跃间断点与第二类间断点)。

6.了解初等函数的连续性;了解闭区间上连续函数的性质,会用性质证明一些简单结论。二、导数与微分

(一)考试内容

导数概念及求导法则;隐函数与参数方程所确定函数的导数;高阶导数;微分的概念与运算法则。

(二)考试要求

1.理解导数的概念及几何意义,了解函数可导与连续的关系,会求平面曲线的切、法线方程;

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;掌握基本初等函数的求导公式,会熟练求函数的导数。

3.掌握隐函数与参数方程所确定函数的求导方法(一阶);掌握取对数求导法。

4.了解高阶导数的概念,掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法。会求简单函数的n 阶导数。

5.理解微分的概念,了解微分的运算法则和一阶微分形式不变性,会求函数的微分。

三、中值定理与导数应用

(一)考试内容

罗尔中值定理、拉格朗日中值定理;洛必达法则;函数单调性与极值、曲线凹凸性与拐点。

(二)考试要求

1.理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理(对定理的分析证明不作要求);会用中值定理证明一些简单的结论。

2.掌握用洛必达法则求00,∞

∞,0?∞,∞-∞,∞1,0∞,∞0等不定式极限的方法。 3.理解函数极值概念,掌握用导数判定函数的单调性和求函数极值的方法;会利用函数单调性证明不等式;会求较简单的最大值和最小值的应用问题。

4.会用导数判断曲线的凹凸性,会求曲线的拐点。

四、不定积分

(一)考试内容

原函数与不定积分概念,不定积分换元法,不定积分分部积分法。

(二)考试要求

1.理解原函数与不定积分的概念和性质。

2.掌握不定积分的基本公式、换元积分法和分部积分法(淡化特殊积分技巧的训练,对于有理函数积分的一般方法不作要求,对于一些简单有理函数可作为两类积分法的例题作适当训练)。

五、定积分及其应用

(一)考试内容

定积分的概念和性质,积分变上限函数,牛顿-莱布尼兹公式,定积分的换元积分法和分部积分法,无穷区间上的广义积分;定积分的应用——求平面图形的面积与旋转体体积。

(二)考试要求

1.理解定积分的概念,了解定积分的性质和积分中值定理。

2.理解积分变上限函数的概念和性质,掌握牛顿-莱布尼兹公式,能正确运用该公式计算定积分。

3.掌握定积分的换元法和分部积分法。

4.了解定积分的元素法,会计算平面图形的面积和旋转体的体积。

5.理解无穷区间上广义积分的概念,并会求无穷区间上的广义积分。

六、微分方程

(一)考试内容

微分方程的基本概念,可分离变量微分方程与齐次方程,一阶线性微分方程,二阶常系数线性微分方程。

(二)考试要求

1.了解微分方程以及微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2.掌握可分离变量微分方程的解法。

3.会解齐次方程(可转化为可分离变量微分方程的方法)。

4.了解一阶线性微分方程的常数变异法,掌握一阶线性微分方程的解法。

5.了解二阶线性微分方程解的结构,掌握二阶常系数齐次线性微分方程求解方法。

6.会用待定系数法求自由项为简单函数(())x

P x e 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

n

方法。

七、空间解析几何向量代数

(一)考试内容

空间直角坐标系、向量及其运算、空间平面及其方程、空间直线及其方程、二次曲面。(二)考试要求

1.理解空间直角坐标系的概念,理解向量的概念及其表示;会求空间两点的距离。

2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积),了解两个向量垂直、平行的条件。3.会求平面方程、直线方程。

4.掌握平面与平面、直线与平面、直线与直线平行与垂直的条件,会求点到平面的距离。5.了解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形。

八、多元函数微分学

(一)考试内容

二元函数概念、二元函数极限、连续,偏导数、全微分、多元函数的求导法则,隐函数求导公式,多元函数微分学的几何应用,多元函数极值。

(二)考试要求

1.理解二元函数的概念,了解多元函数的概念。

2.了解二元函数的极限和连续的概念,会求一些简单二元函数的极限。

3.理解二元函数偏导数与全微分的概念,了解全微分存在的必要条件与充分条件。掌握多元函数偏导数与全微分的计算方法。

4.掌握多元复合函数一阶偏导数的求法。

5.会求解隐函数的一阶偏导数。

6.了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线等概念,并会求它们的方程;

7.理解二元函数极值与条件极值的概念,会求简单的二元函数的极值。了解拉格朗日乘数法,会求一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。

九、多元函数积分学

(一)考试内容

二重积分与三重积分的概念与性质、二重积分与三重积分的计算。曲线积分、格林公式。(二)考试要求

1.理解二重积分的概念与性质。

2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。

3.了解三重积分的概念。会计算简单的三重积分(直角坐标、柱面坐标)。

4.理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系,掌握两类曲线积分的计算方法。

6.掌握格林公式,掌握平面曲线积分与路径无关的条件及应用。

十、无穷级数

(一)考试内容

常数项级数的概念和性质,常数项级数敛散性的判别;幂级数的概念和性质,函数的幂级数展开。

(二)考试要求

1.理解无穷级数以及收敛、发散、和的概念,了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。2.掌握几何级数和p-级数的收敛性。

3.掌握正项级数的比值审敛法,了解正项级数的比较审敛法。

4.掌握交错级数的莱布尼兹定理,理解绝对收敛与条件收敛的概念,会判断交错级数的绝对收敛与条件收敛。

5.理解幂级数的概念,掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域及和函数的求法。

6.会利用,sin ,cos ,ln(1),(1)x e x x x x α++的麦克劳林展开式将一些简单函数展开成幂级数。

四、教材

1.新世纪高级应用型人才培养系列教材

2.高等数学(上、下册),同济大学应用数学系主编,高等教育出版社

五、参考书

高等数学(第六版,上、下册),同济大学应用数学系主编同济大学出版社

高等数学习题全解指南,上海第二工业大学应用数学系主编(与教材配套)

六、考试细则

《高等数学》各部分内容在试卷中所占比率为:一元函数微积分50%左右,空间解析几何与多元函数微积分30%左右,微分方程10%左右,级数10%左右。

试卷包括选择题、填空题和解答题三种题型。选择题和填空题占总分的40%左右,解答题占总分的60%左右。

考试不允许携带计算器。考试形式为闭卷书面。

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