2014年山东省日照市中考数学试卷

山东省日照市2014年中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共大题共12小题，其中1-8题每小题3分，9-12题每小题3分，满分40分.每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（3分）（2014?日照）在已知实数：﹣1，0，，﹣2中，最小的一个实数是（）

A．﹣1 B．0C．D．﹣2

考点：实数大小比较．

分析：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，由此可得出答案．

解答：解：﹣2、﹣1、0、1中，最小的实数是﹣2．

故选：D．

点评：本题考查了实数的大小比较，属于基础题，掌握实数的大小比较法则是关键．

2．（3分）（2014?日照）下列运算正确的是（）

A．3a3?2a2=6a6B．（a2）3=a6C．a8÷a2=a4D．x3+x3=2x6

考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．

分析：根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．

解答：解：A、3a3?2a2=6a5，故A选项错误；

B、（a2）3=a6，故B选项正确；

C、a8÷a2=a6，故C选项错误；

D、x3+x3=2x3，故D选项错误．

故选：B．

点评：此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．

3．（3分）（2014?日照）在下列图案中，是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

考点：中心对称图形．

分析：根据中心对称图形的概念求解．

解答：解：A、不是中心对称图形．故本选项错误；

B、不是中心对称图形．故本选项错误；

C 、是中心对称图形．故本选项正确；

D 、不是中心对称图形．故本选项错误． 故选C ． 点评： 本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重

合． 4．（3分）（2014?日照）某养殖场2013年底的生猪出栏价格是每千克a 元，受市场影响，2014年第一季度出栏价格平均每千克下降了15%，到了第二季度平均没千克比第一季度又上升了20%，则第三季度初这家养殖场的生猪出栏价格是每千克（ ） A ． （1﹣15%）（1+20%）a 元 B ． （1﹣15%）20%a 元 C ． （1+15%）（1﹣20%）a 元 D ． （1+20%）15%a 元

考点： 列代数式． 分析： 由题意可知：2014年第一季度出栏价格为2013年底的生猪出栏价格的（1﹣15%），第二季度

平均价格每千克是第一季度的（1+20%），由此列出代数式即可． 解答： 解：第三季度初这家养殖场的生猪出栏价格是每千克（1﹣15%）（1+20%）a 元．

故选：A ． 点评： 此题考查列代数式，注意题目蕴含的数量关系，找准标准是解决问题的关键． 5．（3分）（2014?日照）已知△ABC 的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC 有（ ） A ． 5个 B ． 4个 C ． 3个 D ． 2个

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系． 分析： 由已知条件，根据三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，

结合边长是整数进行分析． 解答： 解：周长为13，边长为整数的等腰三角形的边长只能为：3，5，5；或4，4，5；或6，6，1，

共3个． 故选：C ． 点评： 本题考查了等腰三角形的判定；所构成的等腰三角形的三边必须满足任意两边之和大于第三

边，任意两边之差小于第三边．解答本题时要进行多次的尝试验证． 6．（3分）（2014?日照）李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，收获时，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量（单位：千克）如下表： 序 号 1 2 3 4 5 6 产量量 17 21 19 18 20 19

这组数据的中位数为m ，樱桃的总产量约为n ，则m ，n 分别是（ ） A ． 18，2000 B ． 19，1900 C ． **，1900

D ． 19，1850

考点： 中位数；用样本估计总体． 分析： 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中

位数；根据已知数据利用平均数的计算公式求出6棵树上的樱桃的平均产量，然后利用样本估计总体的思想即可求出樱桃的总产量． 解答： 解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：17，18，19，19，20，21．

位于最中间的数是19，19，

所以这组数的中位数是m=（19+19）÷2=19；

从100棵樱桃中抽样6棵，

每颗的平均产量为（17+18+19+19+20+21）=19（千克），

所以估计樱桃的总产量n=19×100=1900（千克）；

故选B．

点评：此题考查了中位数、平均数、样本估计总体等知识，综合性比较强，要求学生熟练掌握定义并且能够运用这些知识才能很好解决问题．

7．（3分）（2014?日照）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（）

A．B．

C．D．

考点：在数轴上表示不等式的解集；根的判别式；根与系数的关系．

分析：根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集．

解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0有两个实根，

∴△≥0，

∴4﹣4（k+1）≥0，

解得k≤0，

∵x1+x2=﹣2，x1?x2=k+1，

∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1，

解得k＞﹣2，

不等式组的解集为﹣2＜k≤0，

在数轴上表示为：

，

故选D．

点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，在数轴上找到公共部分是解题的关键．

8．（3分）（2014?日照）如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A、P之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为（）

A．13πcm B．14πcm C．15πcm D．16πcm

考点：弧长的计算；正多边形和圆．

分析：根据如图所示可知点P运动的路线就是图中六条扇形的弧长，扇形的圆心角为60度，半径从12cm，依次减2cm，求得六条弧的长的和即可．

解答：

解：点P运动的路径长为：+++++

=（12+10+8+6+4+2）

=14π（cm）．

故选B．

点评：本题的关键是理解点P运动的路线是六条弧，理解每条弧的圆心角和半径是关键．

9．（4分）（2014?日照）当k＞时，直线kx﹣y=k与直线ky+x=2k的交点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

考点：两条直线相交或平行问题．

分析：

解方程组得两直线的交点坐标，由k＞，求出交点的横坐标、纵坐标的符号，得出

结论．

解答：

解：解方程组得，两直线的交点坐标为（，），

因为k＞，

所以＞0，=＞0，

所以交点在第一象限．

故选：A．

点评：本题考查求两直线的交点的方法，以及各个象限内的点的坐标的特征．

10．（4分）（2014?日照）如图，已知△ABC的面积是12，点E、I分别在边AB、AC上，在BC边上依次作了n个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为（）

A．B．C．D．

考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．

分析：设正方形的边长为x，根据正方形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质，可以求出

有两个正方形的边长和有三个正方形的边长，从中得到规律就可得到n个正方形的边长规律即可得到问题答案．

解答：解：过C作CM⊥AB，垂足为M，交GH于点N．

∴∠CMB=90°，

∵四边形EFGH是正方形，

∴GH∥AB，GH=GF，GF⊥AB，

∴∠CGH=∠A，∠CNH=∠CMB=90°．

∵∠GCH=∠ACB，

∴△CGH∽△CAB．

∴，

∵GF=MN=GH，设GH=x，三角形ABC的底为a，高为h，

∴CN=CM﹣MN=CM﹣GH=CM﹣x．

∴，

…以此类推，

由此，当为n个正方形时以x=，

故选D．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要对正方形的性质、直角三角形的勾股定理和相似三角形的判定和性质熟练地掌握．并把它运用到实际的题目中去．

11．（4分）（2014?日照）如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：

①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．

其中正确的是（）

A．①②③B．②④⑤C．①③④D．③④⑤

考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：①先根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号，再根据有理数乘法法则即可判断；

②把x=﹣2代入函数关系式，结合图象即可判断；

③根据对称轴求出b=﹣4a，即可判断；

④根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可判断；

⑤先求出点（﹣3，y1）关于直线x=2的对称点的坐标，根据抛物线的增减性即可判断y1和

y2的大小．

解答：解：①∵二次函数的图象开口向上，

∴a＞0，

∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，

∴c＜0，

∵对称轴是直线x=2，

∴﹣=2，

∴b=﹣4a＜0，

∴abc＞0．

故①正确；

②把x=﹣2代入y=ax2+bx+c得：y=4a﹣2b+c，

由图象可知，当x=﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0．

故②错误；

③∵b=﹣4a，

∴4a+b=0．

故③正确；

④∵抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）．

故④正确；

⑤∵（﹣3，y1）关于直线x=2的对称点的坐标是（7，y1），

又∵当x＞2时，y随x的增大而增大，7＞6，

∴y1＞y2．

故⑤错误；

综上所述，正确的结论是①③④．

故选：C．

点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线的

开口方向决定；b的符号由对称轴的位置与a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴有交点时，两交点关于对称轴对称，此外还要根据图象判断x=﹣2时对应函数值的正负及二次函数的增减性．

12．（4分）（2014?日照）下面是按照一定规律排列的一列数：

第1个数：﹣（1+）；

第2个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）；

第3个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×（1+）；

…

依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（）

A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个数

考点：规律型：数字的变化类．

分析：

通过计算可以发现，第一个数﹣，第二个数为﹣，第三个数为﹣，…第n个数为﹣，由此求第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的得数，通过比较得出答案．

解答：

解：第1个数：﹣（1+）；

第2个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）；

第3个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×（1+）；

…

∴第n个数为﹣（1+）[1+][1+]…[1+]=﹣，∴第10个数、第11个数、第12个数、第13个数分别为﹣，﹣，﹣，﹣，其中最大的数为﹣，即第10个数最大．

故选A．

点评：本题考查的是数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应的位置上）

13．（4分）（2014?日照）分解因式：x3﹣xy2=x（x+y）（x﹣y）．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

分析：首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．

解答：解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y）．

故答案为：x（x+y）（x﹣y）．

点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．

14．（4分）（2014?日照）小明从市环境监测网随机查阅了若干天的空气质量数据作为样本进行统计，分别绘制了如图的条形统计图和扇形统计图，根据图中提供的信息，可知扇形统计图中表示空气质量为优的扇形的圆心角的度数为108°．

考点：条形统计图；扇形统计图．

分析：根据空气质量为良的天数和所占的百分比求出总的天数，再用总天数减去空气质量为良和轻度污染的天数求出优的天数，再用360°乘以优的天数所占的百分比即可．

解答：解：根据题意得：

随机查阅的总天数是：=30（天），

优的天数是：30﹣18﹣3=9（天），

则空气质量为优的扇形的圆心角的度数为：×360°=108°；

故答案为：108°．

点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

15．（4分）（2014?日照）已知a＞b，如果+=，ab=2，那么a﹣b的值为1．

考点：完全平方公式；分式的加减法．

专题：计算题．

分析：已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，将ab的值代入求出a+b的值，再利用完全平方公式即可求出a﹣b的值．

解答：

解：+==，

将ab=2代入得：a+b=3，

∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=9﹣8=1，

∵a＞b，∴a﹣b＞0，

则a﹣b=1．

故答案为：1

点评：此题考查了完全平方公式，以及分式的加减法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

16．（4分）（2014?日照）如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k=．

考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．

专题：计算题．

分析：设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，用面积法可求出⊙P的半径，然后通过三角形相似可求出CD，从而得到点P的坐标，就可求出k的值．

解答：解：设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，如图所示．则有PD⊥OA，PE⊥AB．

设⊙P的半径为r，

∵AB=5，AC=1，

∴S△APB=AB?PE=r，S△APC=AC?PD=r．

∵∠OAB=90°，OA=4，AB=5，

∴OB=3．

∴S△ABC=AC?OB=×1×3=．

∵S△ABC=S△APB+S△APC，

∴=r+r．

∴r=．

∴PD=．

∵PD⊥OA，∠AOB=90°，

∴∠PDC=∠BOC=90°．

∴PD∥BO．

∴△PDC∽△BOC．

∴=．

∴PD?OC=CD?BO．

∴×（4﹣1）=3CD．

∴CD=．

∴OD=OC﹣CD=3﹣=．

∴点P的坐标为（，）．

∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，

∴k=×=．

故答案为：．

点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理等知识，有一定的综合性．

三、解答题（本大题共6小题，满分64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8分）（2014?日照）为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200平方米的“外墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务．问甲队每天完成多少平方米？

考点：分式方程的应用．

分析：设甲队每天完成x米2，乙队每天完成1.5 x米2．则依据“乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务”列出方程．

解答：解：设甲队每天完成x米2，乙队每天完成1.5 x米2，根据题意得．

﹣=15，

解得x=160，

经检验，x=160，是所列方程的解．

答：甲队每天完成160米2．

点评：本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

18．（8分）（2014?日照）在某班“讲故事”比赛中有一个抽奖活动，活动规则是：只有进入最后决赛的甲、乙、丙三位同学，每人才能获得一次抽奖机会．在如图所示的翻奖牌正面的4个数字中选一个数字，选中后就可以得到该数字后面的相应奖品：前面的人选中的数字，后面的人就不能再选择

数字了．

（1）请用树状图（或列表）的方法求甲、乙二人得到的奖品都是计算器的概率．

（2）有的同学认为，如果甲先翻奖牌，那么他得到篮球的概率会大些，这种说法正确吗？请说明理由．

考点：列表法与树状图法．

分析：（1）首先画树形图可知：一共有24种情况，甲、乙二人都得到计算器共有4种情况除以总情况数即为所求概率；

（2）根据（1）中的树形图，分别求出甲、乙、丙得到篮球的概率即可．

解答：解：（1）所有获奖情况的树状图如下：

共有24种可能的情况，其中甲、乙二人都得到计算器共有4种情况，

所以，甲、乙二人都得计算器的概率为：P=；

（2）这种说法是不正确的．由上面的树状图可知共有24种可能情况：

甲得到篮球有六种可能情况：P（甲）==，

乙得到篮球有六种可能情况：P（乙）==，

丙得到篮球有六种可能情况：P（丙）==，

所以甲、乙、丙三人不管谁先翻奖牌得到篮球的概率都相等．

点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19．（10分）（2014?日照）如图，在正方形ABCD中，边长AB=3，点E（与B，C不重合）是BC 边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．

（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；

（2）当∠BAE=30°时，求CF的长．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．

分析：（1）过点F作FG⊥BC于点G，易证△ABE≌△EGF，所以可得到AB=EG，BE=FG，由此可得到∠FCG=∠45°，即CF平分∠DCG，所以CF是正方形ABCD外角的平分线；

（2）首先可求出BE的长，即FG的长，再在Rt△CFG中，利用cos45°即可求出CF的长．解答：（1）证明：过点F作FG⊥BC于点G．

∵∠AEF=∠B=∠90°，

∴∠1=∠2．

在△ABE和△EGF中，

∴△ABE≌△EGF（AAS）．

∴AB=EG，BE=FG．

又∵AB=BC，

∴BE=CG，

∴FG=CG，

∴∠FCG=∠45°，

即CF平分∠DCG，

∴CF是正方形ABCD外角的平分线．

（2）∵AB=3，∠BAE=30°，∠tan30°=，

BE=AB?tan30°=3×，即CG=．

在Rt△CFG中，cos45°=，

∴CF=．

点评：主要考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值的运用，题目的综合性较强，难度中等．

20．（10分）（2014?日照）如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH．已知：PH∥AE，PK∥BC，DE=100米，EA=60米，BC=70米，CD=80米．以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O．

（Ⅰ）求直线AB的解析式．

（Ⅱ）若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S．

（1）用x表示S；

（2）当x为何值时，S取最大值，并求出这个最大值．

考点：一次函数综合题．

分析：（Ⅰ）根据题意易求A、B的坐标为（0，20）、（30，0）．利用待定系数法可以求得直线AB 的解析式；

（Ⅱ）（1）点P的坐标可以表示为（x，﹣x+20），则PK=100﹣x，PH=80﹣（﹣x+20）=60+x，所以根据矩形的面积公式可以求得函数解析式为：S=（100﹣x）（60+x）；

（2）利用（1）中的二次函数的性质来求S的最大值．

解答：解：（Ⅰ）如图所示，∵OE=80米，OC=ED=100米，AE=60米，BC=70米，∴OA=20米，OB=30米，

即A、B的坐标为（0，20）、（30，0）．

设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），则

，

解得，，

则直线AB的解析式为y=﹣x+20；

（Ⅱ）（1）设点P的坐标为P（x，y）．

∵点P在直线AB上，所以点P的坐标可以表示为（x，﹣x+20），

∴PK=100﹣x，PH=80﹣（﹣x+20）=60+x，

∴S=（100﹣x）（60+x）；

（2）由S=（100﹣x）（60+x）=﹣（x﹣10）2+，

所以，当x=10时，矩形面积的最大值为：S最大=平方米．

点评：本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了用解析法解决平面问题，矩形面积公式，二次函数法求最值，以及数形结合的思想．

21．（14分）（2014?日照）阅读资料：小明是一个爱动脑筋的学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：

如图1，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、OC．因为PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠B=∠2．

在△PAC与△PCB中，又因为：∠P=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以=，即PC2=PA?PB．

问题拓展：

（Ⅰ）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2）等式PC2=PA?PB，还成立吗？请证明你的结论；

综合应用：

（Ⅱ）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P；（1）当AB=PA，且PC=12时，求PA的值；

（2）D是BC的中点，PD交AC于点E．求证：=．

考点：圆的综合题．

分析：（Ⅰ）证法一：如图2﹣1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，易证得△PBD∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得PA?PB=PD?PE，由图1知，PC 2=PD?PE，即可证得结论；

证法二：如图2﹣2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，由PC是⊙O的切线，易证得△PBC∽△PCA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；

（Ⅱ）（1）由（1）得，PC 2=PA?PB，PC=12，AB=PA，即可求得PC 2=PA?PB=PA（PA+AB）=2PA2，继而求得答案；

（2）证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，由平行线分线段成比例定理即可求得=，=，又由PC 2=PA?PB，即可证得结论；

证法二：过点A作AG∥BC，交BC于点G，由平行线分线段成比例定理即可求得=，=，又由PC 2=PA?PB，即可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）当PB不经过⊙O的圆心O时，等式PC 2=PA?PB仍然成立．

证法一：如图2﹣1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，

∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE，

∴△PBD∽△PEA，

∴，

即PA?PB=PD?PE，

由图1知，PC2=PD?PE，

∴PC2=PA?PB．

证法二：如图2﹣2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，

∵PC是⊙O的切线，

∴PC⊥CD，

∴∠CAD=∠PCD=90°，

即∠1+∠2=90°，∠D+∠1=90°，

∴∠D=∠2．

∵∠D=∠B，

∴∠B=∠2，

∠P=∠P，

∴△PBC∽△PCA，

所以，

即PC 2=PA?PB．

（Ⅱ）由（1）得，PC2=PA?PB，PC=12，AB=PA，∴PC2=PA?PB=PA（PA+AB）=2PA2，

∴2PA2=144，

∴PA=±6（负值无意义，舍去）．

∴PA=6．

（2）证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，∴=，=．

∵D为BC的中点，

∴BD=CD，

∴=，

∴=．

∵PC 2=PA?PB，

∴===，

即=．

证法二：过点A作AG∥BC，交BC于点G，

∴=，=．

∵D为BC的中点，

∴BD=CD，

∴=，

∴=．

∵PC 2=PA?PB，

∴===，

即=．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

22．（14分）（2014?日照）如图1，在菱形OABC中，已知OA=2，∠AOC=60°，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）经过O，C，B三点．

（Ⅰ）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．

（Ⅱ）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线AG 上．

（1）当OP+PC的最小值时，求出点P的坐标；

（2）在（1）的条件下，连接PE、PF、EF得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C为顶点的三角形与△PEF相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．

分析：（Ⅰ）作CH⊥OA于点H，通过解三角函数求得A、C的坐标，由菱形的性质得出B点的坐标，然后应用待定系数法即可求得解析式．

（Ⅱ）（1）先求得抛物线的顶点坐标和与x轴的另一个交点坐标，当OP+PC最小时，由对称性可知，OP+PC=OB．由于OB是菱形ABCO的对角线，即可求得

∠AOB=30°，然后通过解直角三角函数即可求得AP的长，进而求得P点的坐标；

（2）先求得△PEF是底角为30°的等腰三角形，根据OC=BC=BD=2，∠BOC=∠BDC=30°，求得△OBC∽△BCD∽△PEF，又因为AQ=4，AG=3，BC=2，

所以GQ=1，BG=，所以，tan∠BGQ==，即∠BGQ=30°，得出△BQC也是底角为

30°的等腰三角形，即可求得符合条件的点M的坐标．

解答：解：（Ⅰ）如图1，作CH⊥OA于点H，

四边形OABC是菱形，OA=2，∠AOC=60°，

OC=2，OH=sin60°2=，CH=cos60°2=3，

A点坐标为（2，0），C 点的坐标为（，3），

由菱形的性质得B点的坐标为（3，3）．

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得

，

解得a=﹣，b=，c=0，

所以，y=﹣x2+x．

（Ⅱ）（1）如图2，由（Ⅰ）知抛物线的解析式为：y=﹣x2+x，

所以对称轴为x=2，顶点为Q（2，4）．

设抛物线与x轴的另一个交点为D，令y=0，得，x2﹣4x=0，

解得x1=0，x2=4，

所以点D的坐标为（4，0），

∵点A的坐标为（2，0），对称轴为x=2，

且AG⊥BC，

直线AG为抛物线的对称轴．

∵B、C两点关于直线AG对称，

当OP+PC最小时，

由对称性可知，OP+PC=OB．

即OB，AG的交点为点P，

∵∠AOC=60°，OB为菱形OABC的对角线，

∴∠AOB=30°，

即AP=OAtan30°=2×=2，

所以点P的坐标为（2，2）．

（2）连接OB，CD，CQ，BQ，

由（1）知直线AG为抛物线的对称轴，

则四边形ODBC是关于AG成轴对称的图形．

∵点E是OB中点，点F是AB的中点，点P在抛物

线的对称轴上，

∴PE=PF，EF∥OD，CQ=BQ

∠PEF=∠BOA=30°，

即△PEF是底角为30°的等腰三角形．

在△OBC、△BCD中，

OC=BC=BD=2，∠BOC=∠BDC=30°，

所以△OBC∽△BCD∽△PEF，

所以，符合条件的点的坐标为（0，0），（4，0）．

又因为AQ=4，AG=3，BC=2，

所以GQ=1，BG=，

所以，tan∠BGQ==，

即∠BGQ=30°，

△BQC也是底角为30°的等腰三角形，

Q点的（2，4），

所以符合条件的点M的坐标为（0，0），（4，0），（2，4）．

点评：本题考查了直角三角函数的应用，待定系数法求解析式，菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定等；连接OB，CD，CQ，BQ，构建相似三角形是本题的关键．