6，
∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝3
3，
∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝3
3，
∴B ＝π6，∴A ＝2π
3，∴△ABC 为等腰三角形． 变式训练3 证明 ∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C .
∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B
1－tan A tan B
＝－tan C .
∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 课时作业
1．A 2.C 3.C
4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝1
3，
∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－5
2， ∴C 为钝角．]
5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°
＝3(tan 10°＋tan 20°＋3
3tan 10°tan 20°)
＝3×3
3＝1.] 6．1
解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α
1＋tan α
.
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 7．－32
解析 ∵tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，
∴sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32. 8.23
解析 ∵tan ? ??
??π4＋α＝2， ∴1＋tan α1－tan α
＝2，解得tan α＝13. ∴1
2sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α
＝tan 2α＋12tan α＋1
＝19＋1
23＋1
＝23.
9．解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°
cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°
＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°
＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－33
1＋3
3
＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.
10．解 由条件得cos α＝210，cos β＝25
5. ∵α，β为锐角，
∴sin α＝1－cos 2
α＝7210，
sin β＝1－cos 2
β＝55.
因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝1
2.
(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan α·tan β
＝7＋12
1－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝2tan β1－tan 2
β
＝2×12
1－? ??
??122
＝4
3， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β
1－tan α·tan 2β
＝7＋43
1－7×43
＝－1. ∵α，β为锐角，
∴0<α＋2β<3π
2，
∴α＋2β＝3π
4.
2019-2020学年高中数学 3.2三角恒等变换导学案新人教版必修4.doc
2019-2020学年高中数学 3.2三角恒等变换导学案新人教版必修4 一、练习反馈 1、（1）要得到的图象向______平移_______。 （2）的图象向右平移_________得到。 2、函数最近的对称轴是___________。 3、函数的图象按向量平移到，的函数解析式为 当为奇函数时，向量可以等于。 4、已知函数f(x)=sin(ωx+ φ)(ω>0,-1≤φ≤1)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2 ，且过点(2，-1)，则函数f(x)=______。 5.若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中ω＞0,|φ|＜)的最小正周期是π,且f(0)=,则( ) A.ω=,φ= B.ω=,φ= C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 6.已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点 和最低点之间的距离为. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若sinx+f(x)＝,求sinxco sx的值. 7.小明在直角坐标系中,用1 cm代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐标改用2 cm代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？ 8.求方程lgx＝sinx实根的个数.
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中，相 邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(3,-2). (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈［1,2］时，求f(x)的值域. 二．公式 三、例题分析 1．若，则等于（）（A）（B）（C）（D） 2．函数的最小正周期是 （） （A）（B）（C）（D） 3．函数的最小正周期是。 4．函数在上的值域是。5．化简= 。 6．已知函数为偶函数，求的值。
古典概型学案-什么是古典概型
古典概型导学案 学习目标： 1．理解古典概型及其概率计算公式； 2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件 数及事件发生的概率. 学习重点： 计算符合古典概型的随机事件的概率 学习难点： 理解古典概型及计算公式 学习过程： （预习时，阅读教材后完成） 考察三个试验，完成下面填空： 试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币； 试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子. （1）在试验一中，每次试验可能的结果有_______个，即_____________或_______ 在试验二中，每次试验可能的结果有____个，即出现______、______、______、______、______、_______；这种实验叫_____________，试验中所有可能出现结果构成的集合叫_____________，它每一个子集叫做_____________，我们把这些随机事件叫做________，通常用大写英文字母A、B、C、D来表示，只含有一个元素的事件叫_____________它们是试验的每一个结果.2 试验三：连续抛掷两枚均匀的硬币： （2）在实验三中可能出现的结果有__________________________，两枚正面全部向上的可能性是_____________；这是一个随机试验，它的特点是_____________和_____________；在这样的随机试验中，如果_____________且_____________，那么这样的随机试验就叫古典概型。 （3）在这个随机试验中，它的样本空间是__________________________，试验中两枚硬币正面朝上和恰有一枚硬币正面朝上均是_____________，在试验中每一个可能出现的结果都是本次试验的_____________。 （4）在正常的实验环境下，连续抛掷的两枚硬币突然消失是本次试验不可能发生的事件叫做_____________，它的样本空间是_____________,在正常的实验环境下，连续抛掷的两枚硬币会落地是____________。 （5）说说“连续抛掷两枚均匀的硬币”中的“连续”的含义。 新知： 一、认识古典概型的概念： 试验一中所有可能出现的基本事件有__个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是___（几分之几）； 试验二中所有可能出现的基本事件有__个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是___（几分之几）； 实验三中所有可能出现的基本事件有___个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是___（几分之几）； 发现三个试验共同特点：
第三章 三角恒等变换(教案)
三角恒等变换 知识点精讲： 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=． ⑵ 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα =-=-=-（ 2cos 21 cos 2 αα+= ， 21cos 2sin 2 α α-= ）． ⑶22tan tan 21tan α αα = -． 3、()sin cos ααα?A +B = +，其中tan ?B = A ． 经典例题： 例 1.已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2 α 1－tan α的值．
例2.设x ∈[0，π3]，求函数y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π 6)的最值． 例3.已知tan 2 θ＝2tan 2 α＋1，求证：cos2θ＋sin 2 α＝0. 例4.已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，c ＝( 3－1)，其中x ∈R . (1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值． 例5.设函数f (x )＝22cos(2x ＋π 4)＋sin 2 x
人教A版数学必修四第三章三角恒等变换导学案
第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，
古典概型学案(二)
古典概型（二） 周次编号时间班级主备人审核人 一、目标引领 1.熟练掌握古典概型的两个特点 2.能用古典概型的概率公式求解概率问题 二、问题与例题 1.知识复习 （1）基本事件 （2）古典概型 2.例题讲解 例3 同时掷两个骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是5的结果又多少种？ （3）向上的点数之和是5的概率是多少？ 总结：（1）确定基本事件个数，个数比较少时可以一一列举； （2）如右图所示的图像可以直观的解决该问题，在解题时注意应用 变式训练：试用上图解决以下问题： 同时掷两个骰子，计算： （1）两数之和是3的倍数的概率是多少？ （2）两数之和不低于10的概率是多少？ （3）两书之和是质数的概率是多少？ （4）点数之和是多少时概率最大？最大概率是多少？
例4假设银行卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1,2，…，9十个数字中的任意一个。假设一个人完全忘了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随即试一次密码就能取到钱的概率是多少？ 总结：求古典概型的步骤： （1） 判断是否为古典概型 （2） 列举所有的基本事件的总结果数n （3） 列举事件A 所包含的事件数m （4） 计算n m (A) P 变式训练：某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球. （1）共有多少个基本事件？ （2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？ 例5某种饮料每箱装有6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率是多大？
总结：（1）注意区别互斥事件和对立事件； （3）求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所有事件转化为彼此互斥事件的和;二是先去求对立事件的概率，进而再求所有事件的概率 变式训练：一枚硬币练掷三次，求出现正面向上的概率 三、目标检测 1、一枚硬币连掷两次，恰好出现一次正面的概率是（） A 0.5 B0.25 C 0.75 D 0 2、从分别写有ABCDE的5张卡片中任取两张，两字母恰好相连的概率（） A 0.2 B 0.4 C 0.3 D 0.7 3、甲乙两人做出拳游戏(锤子,剪刀,布),求: (1)平局的概率是_________; (2)甲赢的概率是_______. 4从标有1,2，3，…，7的七个大小相同小球中抽取一个球，记下它上面的数字，放回后再取出一个小球，记下它上面的数字，然后把两个小球上的数字相加，求取出两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率 四、课后反思
三角恒等变换教案
教学过程 一、课堂导入 思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换. 思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.
二、复习预习 复习三角函数值的计算及诱导公式（一）-（六）。 απαsin )2sin(=+k ， απαcos )2cos(=+k ， απαtan )2tan(=+k （公式一） sin( )sin ， cos() cos ， tan( ) tan （公式二） sin( ) sin ， cos( )cos ， tan( ) tan （公式三） ααπsin sin(=-） ， ααπ-cos cos(=-）， ααπtan tan(-=-） （公式四） sin( )cos 2 （公式五） sin( )cos 2 （公式六） cos()sin 2 cos( ) sin 2
三角恒等变换学案练习
简单的三角恒等变换 (1)sin 2α＝________________； (2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________； (3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π 2 )． (1)sin αcos α＝____________________?cos α＝sin 2α 2sin α ； (2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 1．函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( ) A ．－3,1 B ．－2,2 C ．－3，32 D ．－2，3 2 3．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( ) A ．－1 B ．－12 C.1 2 D ．1 4．已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( ) A ．有最大值12，最小值0 B ．有最小值1 2 ，无最大值 C ．既无最大值也无最小值 D ．有最大值1 2 ，无最小值 探究点一 三角函数式的化简 例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值． 变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1 sin ????π4＋x sin ??? ?π4－x . (1)求f ??? ?－11π 12的值； (2)当x ∈????0，π4时，求g (x )＝1 2 f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．
2014人教A版高中数学必修四 3.2《简单的三角恒等变换》导学案2
3．2 《简单的三角恒等变换》导学案 【学习目标】 会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明； 会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。 【重点难点】 学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。 学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。 【学法指导】 Sα、2Cα、2Tα，先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注复习倍角公式 2 意 Cα。既然能用单角，表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？回顾复习两角和与差的正弦、余2 弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。 【知识链接】： 1、回顾复习以下公式并填空： Cos(α+β)= Cos(α-β)= sin(α+β)= sin(α-β)= tan(α+β)= tan(α-β)= sin2α= tan2α= cos2α= 2、阅看课本P139---141例1、2、3。 三、提出疑惑： 【学习过程】： 探究一：半角公式的推导（例1） 请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。 1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。 2、半角公式中的符号如何确定？ 3、二倍角公式和半角公式有什么联系？ 4、代数变换与三角变换有什么不同？ 探究二：半角公式的推导（例2） 请同学们阅看例2，思考以下问题，并进行小组讨论。 1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？
人教版高中数学高二《古典概型(1)》学案
高二年级数学学科学案 古典概型（1） 学习目标 1.了解基本事件的特点。 2.了解古典概型的定义。 3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题。 一复习旧知： 1.概率必须满足的两个基本条件是什么? 2.我们可以用什么来刻画事件A发生的概率? 二．课堂导航 （一）认识事件的特征 材料一：有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克牌,将其牌点向下置于于桌上,现从中任意抽取一张,那么抽到的牌为红心的概率有多大? 问题1：试验的基本事件是什么？ 问题2：抽到红心“为事件B，那么事件B发生是什么意思？ 问题3：这5种情况是等可能的吗？ 问题4：抽到红心的概率是多大？ 材料二：投掷一个骰子，观察它落地时向上的点数，则出现的点数是3的倍数的概率是多大？ 问题1：试验的基本事件是什么？ 问题2：“出现的点数是3的倍数”为事件A，则事件A的发生是什么意思？问题3：这几种情况的发生是等可能的吗？ 问题4：点数为3的倍数的概率为多大？ 问题5：以上两段材料的基本事件有什么共同特征？ （1） （2） （二）认识古典概型的计算公式 （三）理解古典概型及其计算公式 例1:一只口袋内装有大小相同的五只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两只球。 (1) 共有多少个基本事件? (2) 摸出两只球都是白球的概率是多少? 问题1：共有哪些基本事件？ 问题2：是古典概型吗？为什么？ 问题3“抽出两只求都是白球”为事件A，事件A的发生是什么意思？
问题4：事件A的概率是多大？ 问题5：你能否总结一下运用古典概型解决实际问题的步骤？ 例2: 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为D,决定矮的基因d,则杂交所得第一代的一对基因为Dd。若第二子代的D, d基因的遗传是等可能的,求第二子代为高茎的概率。 请你按照上题的解题思路解决本题。 思考:你能求出上述第二代的种子经自花传粉得到的第三子代为高茎的概率吗? 例3：将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,问: (1) 共有多少种不同的结果? (2) 两数之和是3的倍数的结果有多少种? (3) 两数之和是3的倍数的概率是多少? （四）巩固练习: 1. 某班准备到郊外野营,为此向商店定了帐篷。如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则淋雨的概率是多少? 2. 口袋中有形状、大小相同的1只白球和1只黑球，先摸出一只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出一只球。 （1）一共可能出现多少种不同的结果？ （2）出现“1只白球、一只黑球”的概率是有多少？ 3. 连续3次抛掷同一颗骰子,求3次掷得的点数之和为16的概率。 （五）课堂小结
高中数学人教版必修简单的三角恒等变换教案(系列一)
3.2 简单的三角恒等变换 一．教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向 使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三 角恒等变形在数学中的应用。 3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中 如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 三、教学设想： （一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式 （二）新课讲授： 1、由二倍角公式引导学生思考：2 αα与有什么样的关系？ 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222 sin ,cos ,tan 222α α α． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 2 2α α-=；
因为2cos 2cos 12α α=-，可以得到21cos cos 22 α α+=． 又因为222 sin 1cos 2tan 21cos cos 2α α ααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例2．已知135sin = α，且α在第二象限，求2tan α的值。 例3、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）、sin sin 2sin cos 22θ? θ? θ?+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=， 那么,22θ? θ? αβ+-==． 把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θ?θ?θ?+-+=． 思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，
(完整版)古典概型导学案(公开课)
§3.2.1古典概型 学习目标 1.理解基本事件、等可能事件等概念；正确理解古典概型的特点. 2.会用列举法、列表法、画树状图统计基本事件的个数. 3.利用古典概型求概率. 学习重点：正确理解掌握古典概型及统计基本事件的个数,利用古典概型求概率. 学习难点：会用不同方法统计随机事件所含基本事件的件数. 【温故知新】 1、抛掷一枚质地均匀的骰子，记“出现点数1”为事件A、“出现点数2”为事件B，则A、 B为事件，P(A∪B)＝P(A) P(B). 2、抛掷一枚质地均匀的骰子，记“出现点数1”“出现点数2”“出现点数3”“出现点数 4”“出现点数5”“出现点数6”分别为事件A 1，A 2 ，…，A 6 ，则 P(A 1∪A 2 ∪…∪A 6 )＝P(A 1 ) P(A 2 ) … P(A 6 )． 3、抛掷一枚质地均匀的骰子，记“出现偶数点”为事件A，“出现奇数点”为事件B,则A∩B 为事件，A∪B为事件，称事件A与事件B互为事件。则P(A)＋P(B)＝．【自学探究】考察下面的两个实验： 【试验1】掷一枚质地均匀的硬币的试验. 【试验2】掷一颗质地均匀的骰子的试验. 在这两个试验中，写出可能的结果分别有哪些？ 1、基本事件特点： （1）任何两个基本事件都是______的； （2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成______________． 试一试： 从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 2、基本事件数的探求方法： （1）列举法；（2）树状图法；（3）列表法
3、古典概型 上述的【试验1】和【试验2】的共同点是什么？ （1）在一次试验中，可能出现的结果是______，即只有______个不同的基本事件；（有限性）（2）每个结果出现的可能性是______的．（等可能性） 我们将具有这两个特点的概率模型称为_____________________，简称______________。【试验3】抛掷两枚质地均匀的硬币的试验； 在这个试验中，3个基本事件：“两枚都是正面朝上”“、两枚都是反面朝上”“、一枚正面 朝上一枚反面朝上”。它们是不是古典概率模型？ 4、古典概型计算概率公式 （1）若一个古典概型有n个基本事件，则每个基本事件发生的概率= P， （2）若一个古典概型有n个基本事件，某个随机事件 A 包含m个基本事件，则事件A发生的概率= ) P . (A 【合作探究】 例题分析 例1、(列举法)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b， 则a b>的概率是多少？ 例2、（列表法）同时掷两个不同的骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是7的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是7的概率是多少？
三角恒等变换教学设计
三角恒等变换 单元教学设计 一、教材分析 1、本单元教学内容的范围 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦 3.1.2 两角和与差的正弦 3.1.3两角和与差的正切 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 三角函数的积化和差和和差化积 2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用 变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一。代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换。在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发推导其它三角函数恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。通过本章学习，学生的推论能力和运算能力将得到进一步提高。 三角恒等变换在数学积应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推论能力和计算能力。本章将通过三角恒等变换揭示一些问题的数学本质。 3、本单元教学内容总体教学目标 （1）和角公式 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用． 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。 能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。 （2）倍角公式和半角公式 经历运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式积公式及公式2C α的两种变形，再运用二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式的过程，掌握倍角公式和半角公式，能正确运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值、恒等式的证明。 了解公式之间的内在联系，培养学生的逻辑推理能力。 （3）三角函数的积化和差和和差化积 经历运用两角和、两角差的三角函数公式推导出三角函数的积化和差和和差化积的过程，体会“解方程组”和“换元”的数学思想，掌握三角函数的积化和差和和差化积公式，能正确运用公式进行有关的计算和证明。 4、本单元教学内容重点和难点分析 （1）和角公式 重点：两角和与差的余弦公式求值和证明. 难点：两角和的余弦公式的推导. （2）倍角公式和半角公式 重点：1.二倍角的正弦、.余弦、正切公式及公式2C α的两种变形； 2.半角的正弦、.余弦、正切公式。 难点：1.倍角公式与同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用； 2.半角公式和倍角公式之间的内在联系，以及应用公式时正负号的选取.
三角恒等变换学案
三角恒等变换导学案 一、两角和与差的余弦公式 1. cos(α+β)= 以-β代β得： 2.cos(α+β)≠cos α+cos β 反例： cos =cos( + )≠cos + cos 3. 不查表，求下列各式的值. (1)cos105° （2）cos15° (3)cos (4)cos80°cos20°+sin80°sin20° (5)cos 215°-sin 215° (6)cos80°cos35°+cos10°cos55° 4. 已知sin α= ，α∈ ，cos β= - ,β是第三象限角，求cos （α-β）的值. 5．求cos75°的值 6.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115° 7.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20° 8.已知锐角α，β满足cos α= ,cos(α-β)= - ,求cos β. 二、两角和与差的正弦公式 1、两角和的正弦公式： sin(α+β)= sin(α-β)=sin αcos β-sin αcos β 2、典型例题选讲： 10 3sin 5sin 103cos 5ππππ-54 ?????ππ,2135531352π3π6π3π6π
求值sin(χ+60°)+2sin(χ-60°)-3cos(120°-χ)
3、已知sin(2α+β)=3sin β,tan α=1,求tan(α-β)的值. 4、 已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求 的值. 5、变式： 已知sin(α-β)= ,sin(α+β)= ,求tan α:tan β)的值. 6、在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为 7.已知sin α+sin β= cos α+cos β= , 求cos(α-β) 8.化简2cos χ-6sin χ 解： 我们得到一组有用的公式： （1）sin α±cos α=2sin =2cos . （3）sin α3±cos α=2sin =2cos （4）αsin α+bcos α=22b a +sin （α+?）=2 2b a +cos(α-θ) 9、化简3cos χχsin - 3252βαtan tan 312131545354 ??? ??±4πα ???? ?4πα ?????±3πα ?????3πα
3.2.1古典概型教案设计
§3.2.1 古典概型 一、教材分析 【学科】:数学 【教材版本】:普通高中课程标准实验教科书——数学必修3 [人教版] 【课题名称】:古典概型(第三章第130页) 【教学任务分析】:本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型（由于它在概率论发展初期是主要的研究对象，许多概率的最初结果也是由它得到的，所以称它为古典概型），也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。 学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。 【教学重点】:理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。 【教学难点】:如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。 【教学方法与理念】:与学生共同探讨，应用数学解决现实问题。 二、教学目标定位 【知识与技能】：(1)理解古典概型及其概率计算公式， (2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 【过程与方法】：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。 【情感态度与价值观】：概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。 三、教法及学法分析 【教法分析】：根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。 【学法分析】：学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。 四、教学策略 1通过抛一枚硬币和一枚骰子的试验给出基本事件的概念； 2通过两个试验和例一的分析得出古典概型的两个特点和计算公式； 3例题具有一定实际背景，激发学生的求知欲，每道例题的计算量不大，用列举法都可以数出基本事件的总个数； 4在每道例题后都有相应的“探究”或“思考”，提出问题，引导学生进一步学习，以开拓学生思路。 在整个教学过程中，一直要学生的思考为中心，把握古典概型的特点，在解决概率的计算上，教师鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。整个教学设计的顺利实施，达到了教师的教学目标。 五、教学过程
简单的三角恒等变换 教学设计 说课稿 教案
本章复习 本章知识网络 教学分析 理解领会新课标的编写意图．新课标中三角函数部分共分三个板块完成：必修4《三角函数》、《三角恒等变换》、必修5《解三角形》，本章是第二个板块；其中三角函数模型是主线，三角变换是关键．三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后续内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一． 切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．三角恒等变换是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明．对所给三角式进行三角恒等变换时，除需使用三角公式外，一般还需运用代数式的运算法则或公式．如平方差公式、立方差公式等．对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，解题时才能真正达到运用自如，左右逢源的境界．基本变换思想主要是：①化成“三个一”：即化为一个角的一种三角函数的一次方的形式y＝A sin(ωx＋φ)；②化成“两个一”：即化为一个角的一种三角函数的二次型结构，再用配方法求解；③“合二为一”：对于形如a sinθ＋b cosθ的式子，引入辅助角φ并化成a2＋b2sin(θ＋φ)的形式(但在这里不要增加难度，仅限于特殊值、特殊角即可)． 高考对整个三角问题的考查主要集中在三个方面：一是三角函数的图象与性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等；二是三角式的恒等变换，包括：化简、证明、直接求值、条件求值、求最值等；三是三角综合运用．特别是结合下一章的解三角形及与向量的交汇更是高考经久不衰的热点．因此复习中要充分运用数形结合的思想，利用向量的工具性，灵活运用三角函数的图象和性质解题，掌握化简和求值问题的解题规律和途径．
古典概型教学案
第2节古典概型教学案 [核心必知] ．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P125～P130，回答下列问题．教材中的两个试验：掷一枚质地均匀的硬币的试验； 掷一枚质地均匀的骰子的试验． 试验中的基本事件是什么？试验中的基本事件又是什 么？ 提示：试验的基本事件有：“正面朝上”、“反面朝上”；试验的基本事件有：“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”． 基本事件有什么特点？ 提示：①任何两个基本事件是互斥的； ②任何事件都可以表示成基本事件的和． 古典概型的概率计算公式是什么？ 提示：P＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数. ．归纳总结，核心必记 基本事 ①定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件．
②特点：一是任何两个基本事件是互斥的；二是任何事 件都可以表示成基本事件的和． 古典概型 ①定义：如果一个概率模型满足： 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； 每个基本事件出现的可能性相等． 那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ②计算公式：对于古典概型，任何事件的概率为P＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数. [问题思考] 若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？ 提示：不一定是，还要看每个事件发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是． 掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？ 提示：不是．因为骰子不均匀，所以每个基本事件出现的可能性不相等，不满足特点． “在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为2的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？ 提示：不是，因为在区间[0,_10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概．
3.2简单的三角恒等变换优质教案
3.2 简单的三角函数恒等变换 授课班级：高一（1）班 授课教师：郭建德 授课日期：2018-1-11 一、教学目标 1．知识与技能 熟练掌握和、差、二倍角公式,会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明,使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力 2．过程与方法 通过三角变换,加强学生对换元、逆向思维等思想方法的认识 3．情感、态度与价值观 体会变换中形变而质不变的哲理 二、教学重点和难点 1．教学重点 引导学生以已有公式为依据,以推导半角公式、积化和差、和差化积公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力 2．教学难点 认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力 三、授课类型和授课方法： 新授课（公开课）；探究合作，先学后练 四、教学过程 1、新课导入 复习倍角公式2S α、2C α、2T α 先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α 。既然能用单角 表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 2、新课讲解、范例演示 半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以cos α表示222 sin ,cos ,tan 222α α α． 解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12α α=-和2cos 12sin 2α α=-来做此题．（二倍角公式中以 α代2α，2 α代α） 解：因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12α α=-，可以得到21cos cos 22 α α+=．
简单的三角恒等变换学案
学案22 简单的三角恒等变换 导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换． 自主梳理 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________； (2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________； (3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π 2 )． 2．公式的逆向变换及有关变形 (1)sin αcos α＝____________________?cos α＝sin 2α 2sin α ； (2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 自我检测 1．(2010·陕西)函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( ) A ．－3,1 B ．－2,2 C ．－3，32 D ．－2，3 2 3．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( ) A ．－1 B ．－12 C.1 2 D ．1 4．(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( ) A ．有最大值1 2，最小值0 B ．有最小值1 2 ，无最大值 C ．既无最大值也无最小值 D ．有最大值1 2 ，无最小值 探究点一 三角函数式的化简 例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值． 变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1 sin ????π4＋x sin ??? ?π4－x . (1)求f ??? ?－11π 12的值；
学案17 山西大学附中古典概型学案17
山西大学附中高中数学（必修3）学案 编号17 古典概型 【学习目标】通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． 【学习重点】理解古典概型及其概率计算公式． 【学习难点】理解古典概型及其概率计算公式． 【学习过程】 1．阅读教材125P 的有关内容，自主完成例1，思考并回答下列问题： （1）什么是基本事件？基本事件具有什么特点？ （2）在掷骰子的试验中，随机事件“出现奇数点”可以由哪些基本事件组成？ 2．阅读教材125P 及126P “思考”以上的内容， 思考并回答下列问题： （1）两次试验及例1的试验中，基本事件分别有几个？它们有什么共同特点？ （2）什么是古典概型？其特点是什么？ 3．阅读教材129125~P P 的有关内容，思考并回答下列问题： （1）在“掷一枚质地均匀的骰子的试验”中，基本事件总数是几？每个基本事件出现的概率是多少？随机事件“出现奇数点”的概率如何求？ （2）结合上述问题和教材内容，请总结古典概型计算概率的公式．结合公式，体会古典概型两个特征的必要性． 4．结合例2，思考并回答下列问题： （1）如果单选题改成是多选题，问题该如何解答？ （2）通过上述解决问题的过程，结合教科书归纳求解古典概型的概率问题的步骤． 5．结合例3，思考并回答下列问题： （1）请你列出该问题的所有基本事件．（点拨：求基本事件数时，较简单的问题，适合用列举法，较复杂的问题适合用列表法或树状图法） （2）为什么要将两个骰子标上记号？如果不标记会出现什么情况？解释其中的原因，再次体会古典概型的第二个条件的必要性． 6．在计算基本事件总数时，要注意分清“有序”和“无序”，不要出现“重复”或“遗漏”的错误，请对教材中的例1、例3、例5进行对比，找出它们之间的联系和区别． 课堂自测
