中心极限定理及其意义
题目：中心极限定理及意义
课程名称：概率论与数理统计
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2012年5月25日
摘要：
本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。
关键词：
随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理
引言：
在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合
影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。
中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理
设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差
()())
,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和
∑=n
k k
X
1
的标准化变量，
σ
μ
n n X
X D X E X Y n
k k
n k k n k k n
k k n -=??
? ????? ??-=∑∑∑∑====1
111
的分布函数)(x F n 对于任意x 满足，
()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==?????????
??
???
≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ
2.李雅普诺夫定理
设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差
()())
,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，
记
∑==n
k k n B 12
2σ．
若存在正数δ，使得当∞→n 时，
}{0
1122→-∑=++n
k k
n
X
E B
δ
δ
μ
，
则随机变量之和
∑=n
k k
X
1
的标准化量化，
n
n
k k
n k k
n k k n k k n
k k
n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=??
? ?????
??-=1
1
111
μ
的分布函数)(x F n 对于任意x 满足，
()x dt e x B X P x F t x n n
k k n k k n n n Φ==?????????
?????
≤-=-∞-==∞→∞→?∑∑2/1
1221lim )(lim πμ
3.棣莫弗—拉普拉斯定理
设随机变量),2,1(???=n n η服从参数为)10(,<
()x dt e x p np np P t x n n Φ==????????
??≤---∞-∞→?2/221)1(lim πη
二、中心极限定理的意义： 首先，中心极限定理的核心内容是只要n 足够大，便可以把独立同分布的随机变量和的标准化当作正态变量，所以可以利用它解决很多实际问题，同时这还有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实，从而正态分布成为概率论中最重要的分布，这就奠定了中心极限定理的首要功绩。其次，中心极限定理对于其他学科都有着重要作用。例如数理统计中的参数（区间）估计、假设检验、抽样调查等；进一步，中心极限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路，用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明只要样本容量足够地大，得知未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把数理统计的全部处理问题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位.
三、中心极限定理的应用： 1.1保险学的概率论数学原理
保险体现了“人人为我，我为人人”的互助思想，它以数理统计为依据。保险中的风险单位是发生一次风险事故可能造成标的物损失的范围，也就是遭受损失的人、场所或事物。风险单位是保险公司确定其能够承担的最高保险责任的计
算基础。理想状态下的风险单位应独立同分布，这种现象的意义在于保险人可以据此向每个潜在的被保险人收取同样的保费。同时根据中心极限定理，含有n
个风险单位的随机样本的平均损失符合正态分布，这个结论对保险费率的厘定极为重要。保险公司各险种的交费标准是经过精算后以同期银行利率比照制定的，所以在此基础上应尽可能地多承保风险单位，也就越可能有足够的资金赔付保险期内发生的所有索赔，从而使保险公司的运营更加平稳，也就越有利于投保人或被保险人.
既然可利用中心极限定理能合理地厘定保险费率，为何老年人投保一再被提高门槛呢？京江晚报3月28日就有报道“对保险公司来说，老年人属于高风险人群，存在的不确定因素较多，老年人发生医疗费用支出和意外事故的风险要比年轻人大。所以，从赔付率的角度考虑，保险产品在推出前会经过精密测算，设置相应的年龄门槛和不同的缴费标准”.
我们以最简单的一年定期寿险为例说明保险公司为何对中老年人保险总提高门槛，老年人投保寿险与年轻人有何区别。如表1所示是台湾远雄人寿千喜男性一年定期寿险的部分费率及死亡率（见附录三、四）。为说明问题，我们选取25-29岁作为年轻人的代表，61-65岁为老年人的代表，将这两个年龄段进行比较。
远雄人寿千喜男性一年定期寿险的部分费率及死亡率表1
年龄保费死亡率年龄保费死亡率
25 18 0.000945 61 215 0.014892
26 18 0.000925 62 235 0.016361
27 18 0.000915 63 257 0.017972
28 18 0.000918 64 281 0.019740
29 19 0.000933 65 308 0.021677 总保费=1000 ?单个人的保费（元）=0.1 ?单个人的保费（万元），
赔付额=
4
101000
i i i
E E E i
ξξξ
?=
(元)（万元），为个年龄为岁的个体在一年内死亡的期望。
不同年龄的总保费及赔付额表2
年龄25 26 27 28 29 61 62 63 64 65 总保费 1.8 1.8 1.8 1.8 1.9 21.5 23.5 25.7 28.1 30.8 赔付额0.95 0.93 0.92 0.92 0.93 14.9 16.4 18.0 19.7 21.7
导致赔付额的基数较大，所以还不能很好的解释问题，这里再引入赔付率（赔付率=赔付额/总保费），得出表3。
年龄25 26 27 28 29 61 62 63 64 65 赔付率52.851.751.151.148.969.369.870.070.170.5
% % % % % % % % % % 呈上升趋势且赔付率处于较高水平。那么对于一个保险公司，她的经营主要是以盈利为目的，老年人身体状况较差，是疾病、死亡的多发群体，面临的风险大，所以为老年承保寿险时保险公司的赔付率相对较高。因此老年人投保寿险一再被提高门槛。同时，老年人寿险的保费若定价较高，但老年人收入相对偏低，可能买不起，而定价过低，保险公司也承受不起，从而更加影响公司的盈利。因此，寿险公司更愿意把目光投向年轻人群体。 1.2 定期寿险保险金的给付模型
在上述比较中，我们知道了保险公司更青睐于年轻群体，但是在保险公司追求利益的同时还应考虑到他们的偿还能力。我国《保险法》规定“保险公司应该具有与其业务相适应的最低偿付能力。”下面我们就将建立定期寿险保险金给付模型。
首先，根据国际精算协会的惯例，采用下列符号： （x ）：一个新生儿生存至x 岁，记为个体（x ）；
t
x
p ：（x ）活过年龄x+t 岁的概率，即（x ）至少再活t 年的概率；()t μ：（x ）活
到t 岁的个体恰好在此年龄死亡的可能性，称为死亡力。且当()t μ为常数时有
t
x p =t
e μ-
δ：是衡量在某个确切时点上利率水平的指标，称为利息力，简称息力；
v ：称为贴现因子，表示1年后得到1元在年初时刻的现值；
T （x ）: 个体（x ）的未来生存时间[9]
。 现假定利率为常数i ，则有：
1ln(1),,11i i d v i i δ=+=
=++
再记n 年定期寿险的保险人给付额的现值为Z ，则Z 的精算现值为
1:x n
A =1
()t t x v
p x dt
μ?
Z 的j 阶矩为
1
:j
x n A =1
:@x n A j δ（其中@j j δδ表示计算时采用利息力）
=0
()n
jt t x v
p x dt
μ?
现假定1000个x 岁独立的个体投保一年定期寿险，死亡保险金为1万元，在死亡后立即给付。死亡力为常数μ=0.06。死亡给付是由某投资基金提供，投
资基金的利息力为δ=0.04。若要能够支付未来死亡保险金的概率不低于0.975，现在所需资金最低额度是多少？
记1000个个体的未来生存时间分别为121000(),(),...,()T x T x T x ，总给付金额的现
值为1000
()
1
j T x i v
=∑，则精算现值为
1
1
1()0.1:1
()(1)0.6(1)0.0571
t
t t x t x A
v p x dt e e dt e e δμμδμμμμδ
---+-===
-=-=+??，
二阶矩为
1
2
112(2)0.14:1:1
03
@2(1)(1)0.056027
t t x x A A e e dt e e δμμδμδμμδ---+-===
-=-=+?
因此方差2
1
1
()
2:1:1()()j T x x x D v A A =-=0.0527。设W 为满足要求所需的最低资金额
度，利用中心极限定理，我们可以得到：
1000
1
()
:1
1
1000:1()
()
()
1
10001
()
:1
()
10001000()(1000()
1000()
100052.7
()7.26
1000()
52.7(
)7.26
j j j j j j T x x T x T x T x j T x x T x v
A A P v
W P D v
D v
v
A W P D v W =-≤=≤--=≤-=Φ∑∑∑
再利用正态分布0.975的分为点1.96，得
52.7
1.967.26
W -≈ 即W ≈67万元。所以，若需要能够支付未来死亡保险金的概率不低于0.975，现在所需资金的最低额度是67万元。 1.3 定期寿险业的盈亏
我们已经知道寿险公司的经营是为了盈利，而一个保险公司的盈亏，是否破产，我们也可以运用中心极限定理的知识做到估算和预测。例如设某寿险公司在一段时间内有n 个同一年龄的人投保一年定期寿险，他们是相互独立彼此互不影响的，且在一年内没有新的投保人加入该项保险业务，也没有人退保。那么就可以利用中心极限定理估计该公司接下这些保单的盈亏概率。设每份保单的保费为M ，保额为Q ，该年龄的死亡率为p ，令
i X =10i i ??
?，第个人死亡，第个人仍活着
，i=1,2,…,n ,
则有
1
(,)n
i
i X
N n p =∑，
再结合中心极限定理有该保险公司的亏本概率为
()()((1)(1)
n M
np
n M P n M x Q P x P Q np p np p ?-??
1()(1)
n M
np np p β?-=-Φ=- (7) 若计算出的β较小，则对公司的盈利有好处，若β偏大，则为了盈利着想，寿险公司可通过增加保费等手段来降低亏本率。 1.4 实例分析
例1 ：某保险公司的老年人寿保险有10000人参加，每人每年交200元。若老人在该年内死亡，公司付给其家属1万元。设老年人的死亡率为0.017，问：（1）保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率多大？ （2）保险公司一年的利润不少于20万元的概率多大？ 解：设ξ表示一年内参保人的死亡数。则由题可知ξ(10000,0.017)B 。
（1）要使保险公司亏本，必须满足 200?10000-10000ξ<0
∴ξ>200
则P （ξ>200）=1- P （0≤ξ ≤200）
≈1-[ ((
100000.0170.983
100000.0170.983
Φ-Φ????]
=1- (2.3256)Φ-(13.1783)Φ-=0.01 即保险公司亏本的概率为1%。
（2）要使保险公司一年的利润不少于20万元，必须满足
200 ?10000-10000ξ≥200000
∴ξ≤180
则P （0≤ξ ≤180）≈()(
100000.0170.983100000.0170.983
Φ-Φ????
=(0.78)Φ-(13.1783)Φ-=0.7823
即保险公司一年的利润不少于20万元的概率为78.23%。 2.1中心极限定理在决策问题中的应用
决策是为了达到某种预定的目标，在若干可供选择方案中决定一个合适方案
的过程。那么在就某事的可行性进行决策时，单个人认为是否可行称为个体决策，几个人（至少3个人）按照少数服从多数的方法决定是否可行称为集体决策。俗话说，人多力量大，那么我们习惯上认为的集体正确决策的概率大于每个单个个体正确决策的概率是否正确呢？下面将应用中心极限定理来讨论分析这个问题。
首先，我们给出一些简单的数据，利用特殊法看看该说法是否正确。见表4。记n为参与集体决策的人数，假定每个个体做出正确决策的概率相同，且均为p，决策方式也是根据少数服从多数原则，则在空格中所填数据为集体决策正确的概
率，记为P
集正（其中n=30、40时应用中心极限定理计算P
集正
）。
P
集正
n 3 5 10 20 30 40 p=0.25 0.1562 0.1035 0.0197 0.0039 0.0009 0.0001 p=0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 p=0.75 0.8438 0.8965 0.9219 0.9861 0.9991 0.9999
情况一：
1
0.25(0,)
2
1
0.5
2
1
0.75(1)
2
p n P
p P n
p n P
?
=∈
?
?
?
=≡
?
?
?
=∈
??
集正
集正
集正
当时，随着的增加，逐渐下降
当时，，与无关
当，时，随着的增加，逐渐增加
，
由此我们得出第一个猜测，
猜测一：
1
(0,)
2
11
22
1
(1)
2
p n P
p P n
p n P
?
∈
?
?
?
=≡
?
?
?
∈
??
集正
集正
集正
当时，随着的增加，逐渐下降
当时，，与无关
当，时，随着的增加，逐渐增加
。
情况二：
1
0.25(0,)
2
0.5
1
0.75(1)
2
p P p
p P p
p P p
?
=∈<
?
?
==
?
?
?=∈>
?
集正
集正
集正
当时，
当时，
当，时，
，
显然由这一情况可知，集体正确决策的概率大于每个单个个体正确决策的概率这一说法是不一定正确的，同时我们也得出了第二个猜测，
猜测二：
1
(0,)
2
1
2
1
(1)
2
p P p
p P p
p P p
?
∈<
?
?
?
==
?
?
?
∈>
??
集正
集正
集正
当时，
当时，
当，时，
。
现在就利用一般法检验两个猜测是否正确，下面将结合中心极限定理来做出判
断。设X 为n 个人中做出正确决策的人数，令
1,1,2,...,0,i i X i n i ?==??第个人的决策正确第个人的决策错误
，
记(1,(01i i P X p P X p ====-）），则
1,,(1)n
i i X X EX np DX np p ====-∑。
将X 标准化，并由中心极限定理可得
(1)
np p - N(0,1)。
当n 成分大时，
22()(1(2(1)(1)(1)
n n np np
n P X P np p np p np p -->=>=-Φ--- (8) 为下面讨论方便，令
122()(1)
(1)
n
np p f n n np p p p --==-- ()1(())2
n P X f n ∴>=-Φ (9) 那么对于猜测一：（1）当102
p <<时，f(n)是大于0的单调增函数，
若1212,0()()n n f n f n <<<则
12(())(())f n f n ∴Φ<Φ
12((2
2
n n P X P X ∴>>）>）。
同理可证明（2），（3）。 所以猜测一是正确的。
对于猜测二：当n 充分大时，我们可以得到
10,(),()0;2211,()0,();
2221
1,(),()122n p f n P X n p f n P X n p f n P X ?
<<→+∞>→??
?
==>=??
?<<→-∞>→??
若则此时若则此时若则此时。 由此可知，当n 充分大时，若112
p <<则()2
n P X >无限趋近于1，而p 是一个大于
1/2小于1的常数，所以必定有()2
n P X p >>，即112
p <<是()2
n P X p >>的必要条件；
相反当()2
n P X p >>时，是否也有112
p <<呢？不妨采用反证法说明。若p=12
，则
()2n P X >21((1)
n
np np p -=-Φ-=12>p ， 矛盾。若0 1 2 ，则当n 充分大时， ()2n P X >21()(1) n np np p -=-Φ-趋于0， 而p 是一个大于0小于 12的常数， 所以()2 n P X >也不可能大于p,矛盾。即p 只能属于（12，1）。因此，当n 充分大时，112 P p p ><<集正的充要条件为[6] 。 在验证猜测一与二的基础上，我们可以得出这样的结论：当且仅当0.5 3.0 中心极限定理在生产供应、需求上的应用 现实生活中，当厂家的生产量大于需求量时，会导致商品的积压以及商品价值难以体现；而当厂家的生产量小于需求量时，供给又难以满足社会需求。为了尽量防止“供”过于大于“求”及尽可能的满足社会需求度，我们就要利用中心极限定理来估算一些值，具体如下。 3.1 根据现有生产能力及用户需求状态，估算能满足社会需求的可靠程度 某工厂负责供应某地区n 个人的商品供应，在一段时间内每人需用一件该商品的概率为p ，假定在这段时间内每个人购买与否彼此独立，现该工厂仅生产M 件商品，试估计能满足该地区人们需求的概率β。 若记 10i i X i ?=? ? ，第个人购买该商品 ，第个人不购买该商品，i=1,…,n 则 1 1()( )((1) (1)(1) n i n i i i X np P X M P np p np p np p β==-≤=≤ =Φ=---∑∑, 通过查正态分布表可求得β。 3.2 根据社会需求状态来确定生产任务 某工厂负责供应某地区n 个人的商品供应，在一段时间内每人需用一件该商品的概率为p ，假定在这段时间内每个人购买与否彼此独立，现该工厂至少有β的把握满足社会需求，试问该工厂需要生产商品的件数M 。 若记 10i i X i ?=? ?，第个人购买该商品，第个人不购买该商品 ，i=1,…,n 则 ),(~1 p n N X N i i ∑= ∴1 1 ()(((1) (1)(1) n i n i i i X np P X M P np p np p np p β==-≤==Φ≥---∑∑， 令 ()x ββ Φ=， 则 M (1)np x np p ≥+- （11） 所以该工厂至少需要生产(1)np x np p β+- 3.3 根据需求及产品质量情况来确定生产量 某工厂负责供应某地区的商品供应，该商品的次品率为p,而在一段时间内共需M 件该商品且要求至少有β的可靠程度来保证居民购买到的是正品，求该工厂的生产量N 。若记 10i i Y i ?=? ?，第件商品是次品 ，第件商品不是次品 ，i=1,…,N ， 则 ),(~1p N Y N i i ∑= 所以由 1()N i i P N Y M β =-≥≥∑ 可知 1 1()( (1) (1) N i N i i i Y Np P Y N M P Np p Np p β==-≤-=≤ ≥--∑∑ 令 ()y ββ Φ=， 再通过解不等式 (1) Np p -≥y β 由上式可解出生产量N 的范围。 3.4 例题分析 设某电视机厂生产液晶电视机以满足某地区100家客户的需求，若由以往的统计资料表明：每一用户对该电视机的年需求量服从λ=2的泊松分布，现在该厂这种电视机的年产量为220台，能以多大的把握满足客户的需求量呢？若该厂要有97.5%的把握满足客户的需求，则该厂至少生产多少台这种液晶电视机？现在该厂引进先进技术，将液晶电视机的出厂正品率提高到95%，现估计一年内该地区的社会总需求量为500台，则为了有99.7%的把握保证客户购买到的是正品 液晶电视机，则该厂该年至少生产多少台液晶电视机[11] ？ 解：设这100户客户对这种液晶电视机的年需求量依次为12100,,...,ξξξ。则由统计资料表明： )2(~)(=λξλP k 即 2 2()(0,1,2...;1,2,...,100)! j k P j e j k j ξ-====， 那么根据泊松分布的知识知 2k k E D ξξλ===， 再设100η为这100家客户对这种液晶电视机的年需求总量，则 100η=100 1k k ξ=∑， 由于n=100较大，根据中心极限定理我们有：100η近似服从正态分布N （,n n λλ），即N(200，200)。 现在该厂的年产量为220台，则能满足客户需求的把握为 P （100η≤200）=P 100200 200 ≤=2)Φ=0.91924， 即能满足客户需求的把握为91.924%。 又若该厂要有97.5%的把握满足需求，则设该厂安排年产量为M 台，则M 应满足下式： P(100η≤M)≥97.5% 从而有 100200 200 ≤)=()200 Φ≥0.975 由正态表查得(1.96)0.975Φ=，而()x Φ是x 的增函数，所以有 200 ≥1.96，M ≥227.7, 即取M=228（台）。 最后我们设N 为当液晶电视机正品率为95%时的生产量，设i η为第i 台电视机含次品的个数，即i η=1表示次品；i η=0表示正品。则 N η=1 N i i η=∑ 为N 台液晶电视机中的次品总数，而N-N η为N 台电视机中的正品总数，它应满足 P(N-N η≥500) ≥0.997, 即 P(N η≤N-500) ≥0.997, 由题意知 N η~B （N ，0.05）， 从而 E N η=0.05N,D N η=0.95*0.05N=0.0475 N ， 结合中心极限定理知N η近似服从N （0.05N, 0.0475 N ）,所以 P(N η≤0.04750.0475N N N ≤ (0.9970.0475N Φ≥ 再通过查正态分布表知 (2.75)Φ=0.997， 就有 0.0475N ≥2.75 解此不等式得 N ≥541.16， 取N=542（台）所以在这种情况下应生产出542台液晶电视机才能有99.7%的把握客户买到的是正品。 中心极限定理的创立与发展 -----杨静邓明立 概率论极限理论是概率论的重要组成部分，是概率论的其他分支和数理统计的重要基础。的概率现象是由于无数的随机因素共同作用的结果---这些因素每一个都起到一点作用，但都没有起到很大的甚至决定性的作用。而极限定理告诉我们，这类多随机因素作用的现象必然会收敛于某个正态分布的概率模型。因此，该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。 现实中有许多随机变量都具有上述特点，比如，大炮的射程受到多种因素影响：炮身结构，炮弹外形，炮弹几炮弹内炸药质量，瞄准的误差，风速，风向的干扰，大炮的使用年限等等，其中每种因素的微小差异对总的影响作用都不大，并且可以看作是互相独立的、互相不影响的。每种因素都会引起一个微小的误差，而炮弹落点的误差就是这许多随机误差的总和所影响的。由此看出，研究随机变量和的极限对于搞清楚随机现象的本质有着极其的重要价值。 在生产和生活中，有许多随机变量的取值呈现出“中间多，两头少，左右对称”的特点。例如，一般来说我国北方男性身高在170厘米左右的居多，而高于180厘米和低于160厘米的较少。或者在生产条件不变的情况下产品的抗压强度、长度、等许多随机变量指标也都存在这样类似的情况。这样的随机变量所服从的分布就是所谓的“正态分布”。许多随机变量服从正态分布。 极限理论中的中心极限定理曾是概率论的中心课题。中心极限定理有很多形式。凡是关于随机变量的数目无限增多时，其和的分布函数在一定的条件下收敛于正态分布函数的任何论断，都称为中心极限定理。 “中心极限定理”这一名称的来源有两种说法。波利亚认为这个定理十分重要，在概率论中具有中心地位，所以他加上了“中心”这一名称，于1920年引入这一术语。另一种说法是，现代法国概率论学派认为极限定理描述了分布函数中心的情况，而不是尾部的情况。 历史上有不少数学家对中心极限定理的研究做出了贡献。中心极限定理的发展主要分为三个阶段。 创立阶段：1733-----1853年 人们通常认为，法国数学家隶莫弗在1733年首次证明了，二项发布近似正态分布。然而，当时正态发布的概念，隶莫弗并不知道自己本质上证明了“中心极限定理”。 青岛农业大学本科生课程论文 题目：中心极限定理及其应用姓名： 学院： 专业： 班级： 学号： 指导教师： 2012 年06 月27 日 青岛农业大学课程论文任务书 论文题目中心极限定理及其应用 要求完成时间 2012年 07 月 02 日 论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。 资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。 指导教师签名：年月日 中心极限定理及其应用 信息与计算科学专业（学生姓名） 指导教师（老师姓名） 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。 关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量 Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名） Tutor （老师英文名） Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable 中心极限定理的创立和发展 1141010113 万帅 关键词：中心极限定理，创立，严格证明，新的发展，三阶段。 引言：这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。 中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。 “中心极限定理”这一名称的来源有两种说法。波利亚认为这个定理十分重要，在概率论中具有中心地位，所以他加上了“中心”这一名称，于1920年引入这一术语。另一种说法是，现代法国概率论学派认为极限定理描述了分布函数中心的情况，而不是尾部的情况。 历史上有不少数学家对中心极限定理的研究做出了贡献。中心极限定理的发展主要分为三个阶段。 创立阶段：1733-----1853年 人们通常认为，法国数学家隶莫弗在1733年首次证明了，二项发布近似正态分布。然而，当时正态发布的概念，隶莫弗并不知道自己本质上证明了“中心极限定理” 法国数学家拉普拉斯写了很多论文，想推广棣莫弗的工作。他意识到需要一种新的数学技巧，并在1785年成功地发明了这个技巧：特征函数的简单形式和反演公式。拉普拉斯把他的两个主要研究方向结合起来得到了这个方法-----母函数和积分的监禁展开。通过把母函数中的t换成it e ，就得到了特征函数。然而，直到1810年他才发表了特征函数与反演公示的一般理论，并证明了中心极限定理。他之所以推迟到1810年，有一种解释是，从1786年开始，他就专注于《天体力学》的写作，这本书1805年才完成。1810年，拉普拉斯证明了中心极限定理，先是服从均匀发布的连续随机变量的情形，接着是服从任意分布的随机变量。拉普拉斯的证明显然对独立有界的随机变量和成立，证明过程使用了现在所谓的特征函数，或傅里叶变换，即itXEe(t为实数）。在1812年，他先后考虑了对称的、离散的均匀分布，对称的连续分布，任意分布情形。最后，拉普拉斯在他的名著《概率的分析理论》中对任意的p证明了如下中心极限定理：【1】 泊松完善和推广了拉普拉斯关于中心极限定理的证明。在所有考虑的情况里，都假设随机变量是独立的。泊松证明了服从相同分布的随机变量的情况，还推广到服从不同分布的随机变量的情况。1824年，泊松证明了连续随机变量的中心极限定理，并给出了三个反例，其中包括服从柯西分布的随机变量和，这时中心极限定理不成立。受当时传统的影响，泊松没有明确阐明中心极限定理成立的条件。但是，从他的证明和例子中，可以看到，他假设每个变量的方差都是有界的，且不等于零。其他数学家也做了这方面工作，比如贝塞尔和柯西。拉普拉斯等人给出证明的前提假设是，和的分布是有限的，因此所有的矩都存在。他们把结果推广到无限情形，但没有给出证明，并隐含假定了矩的存在。以现在的观点来看，只要沿着拉普拉斯的方向继续下去，法国数学家们是可以给出中心极限定理的严格证明的，比如柯西，他知道特征函数和稳定率。 从当时环境来看，大约1870年代，概率学家还处于心理上的劣势，苦于自己的研究领 重庆三峡学院毕业设计（论文）大数定律与中心极限定理及其应用 分院数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 班级 10数本1班 学号201006034109 姓名张永东 指导教师陈飞翔 (讲师) 2014年5月10日 目录 摘要.................................................................................................................................................. I ABSTRACT. ..................................................................................................................................II １大数定律的应用 .. (3) 1.1引言 (3) 1.2预备知识 (3) 1.2.1相关定义 (3) 1.2.2切比雪夫不等式及其应用 (4) 1.3几类重要的大数定律的应用 (4) 1.3.1切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用 (4) 1.3.2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用 (6) 1.3.3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用 (6) 1.4大数定律的意义 (8) 2 中心极限定理的应用 (8) 2.1前言 (8) 2.2几类重要的中心极限定理的应用 (9) 2.2.1林德伯格定理及其在保险方面的应用 (9) 2.2.2列维定理及其在极限求解方面的应用 (10) 2.2.3棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用 (11) 2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用 (14) 3 大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 3.1大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18) 大数定理 概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。 发展历史 1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。 表现形式 大数定律有若干个表现形式。这里仅介绍高等数学概率论要求的常用的三个重要定律：?切比雪夫大数定理 设 是一列两两不相关的随机变量，他们分别存在期望 和方差 。若存在常数C使得： 则对任意小的正数ε，满足公式一： 将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。 ?伯努利大数定律 设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有公式二： 该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。 在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。 ?辛钦大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 第一节引言、第二节大数定律 一、教学目的要求 1.了解大数定律及中心极限定理的提出和发展历史。 2.掌握引理：切贝雪夫不等式。 3.掌握常用的切贝雪夫大数定律、贝努里大数定理、辛钦大数定律的适用条件及定律内容，会解答有关问题。 二、教学方法 讲授法：讲授大数定律、中心极限定理的概念。 演绎法：推导切贝雪夫不等式、定理1，2，3及例题 三、重点难点 重点：掌握切贝雪夫不等式及握常用的大数定律。 难点：大数定律应用具体应用。 四、课时安排：2课时 五、教具准备：多媒体。 六、教学步骤： （一）明确目标：通过问题引入本次课的教学，明确大数定律、中心极限定理的概念，掌握贝雪夫不等式的推导及应用，定理1及2的证明，了解定理3的条件及应用。 （二）教学过程及教学内容： 1问题引入：大数定律及中心极限定理的提出和发展历史 2.内容： （1）定义5.2.1 设ΛΛ,,,,21n X X X 是随机变量序列，记 )(1 21n n X X X n Y +++= Λ， 若存在一个常数序列ΛΛ,,,,21n a a a ，使得对任意正数ε，有 {}1lim =<-∞ →εn n n a Y P 则称随机变量序列{}n X 服从大数定律（Law of Great Numbers ）。 （2）定义5.2.2 设ΛΛ,,,,21n X X X 是随机变量序列，a 是一个常数，若对任意正数ε，有 {}1lim =<-∞ →εa X P n n 则称随机变量序列{}n X 依概率收敛(Convergence In Probability)于常数a ，记为：a X P n ?→?。 （3）推论：可以证明：若a X P n ?→? ，b Y P n ?→?，),(y x g 在点),(b a 连续，则有： 两点分布和中心极限定理 1 两点分布 伯努利分布(the Bernoulli distribution)，又名两点分布或者0-1分布，是一个离散型概率分布，为纪念瑞士科学家雅各布·伯努利而命名。若伯努利试验成功，则伯努利随机变量取值为1。若伯努利试验失败，则伯努利随机变量取值为0。记成功的概率为p ，失败的概率为1q p =-。 pdf 为：()() 1if 111if 00otherwise x x p x f x p p p x -=??=-=-=??? CDF 为：()000111 for x F X q for x for x 2.1.1 定理 设n μ为n 重伯努利试验中事件A 出现的次数，已知每次试验事件A 出现的概率为p ，01p <<，则对任意x ，有 ()2/2 lim d x t n P x x e t --∞ →∞???<=Φ=?? ? 2.1.2 证明 随机变量n μ可表示为n 个独立的服从()1,B p 分布的随机变量 ()1,2, ,i X i n =和和，即1 n n i i X μ==∑，而()i E X p =，()()1i D X p p =-， 1,2, ,i n =，由独立同分布的中心极限定理有： 2/2lim lim d n i x t n n X np x x t -→∞→∞?? - ?????<=<=???? ? ∑? 由此定理可知，正态分布是二项分布（两点分布）的极限分布，因此，当n 很大时，有如下所示的近似计算二项分布的常用方法： ()() ()()2 1 2/2121d m n m m m m t n n m C p p P t P m m e βα μβα-=-= -??=<<≈=≤≤Φ-Φ∑ 其中()x Φ为()0,1N 的分布函数，且 αβ= = 2.2 中心极限定理的证明 设{}i ξ是独立随机变量序列，i ξ服从相同分布，且()i E ξμ=，()20i D ξσ=>，则当n →∞时，有： 概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。1920年，G.波伊亚称这类定理为中心极限定理。它是概率论中最重要的一类定理，有着广泛的实际背景。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。 独立随机变量的中心极限定理 历史上最初的中心极限定理是讨论 n重伯努利试验（见二项分布）中，事件A出现的次数μn渐近于正态分布的问题。若记事件A出现的概率为p(A)=p，不出现的概率为q=1-p，1716年前后，A.棣莫弗对p＝1/2作了讨论，随后，P.-S.拉普拉斯推广到一般情形，得到：当－∞<α 随着特征函数（见概率分布）的引入，中心极限定理的研究得到了很快的发展。20世纪20年代，Y.W.林德伯格和P.莱维证明了林德伯格－莱维定理：对于独立同分布的随机变量序列{x n}，当Exk=α及varxk=ζ2有限时，部分和S n的标 准化的分布渐近于标准正态分布。它在数理统计的大样本理论中有重要的应用。1935年，林德伯格和W.费勒又进一步解决了独立随机变量 序列的中心极限定理的一般情形，即林德伯格-费勒定理: 且费勒条件成立，当且仅当林德伯格条件成立，即对任给正实数η， ， 式中F k(x)=p(xk≤x)。这个结果使长期以来作为概率论中心议题之一的关于独立随机变量序列的中心极限定理得到根本解决。前述诸结果都是它的推论。 此后中心极限定理的研究基本上围绕几个方面进行：一是减弱对随机变量独立性的要求，考虑具有某种相依性的随机变量；一是讨论向标准正态密度函数收敛的问题；再就是估计向正态分布收敛的速度及有关问题。 局部极限定理 向正态密度函数收敛的问题虽然在概率论的早期工作中就出现了，但是一般性结果直至20世纪中期才得到。在棣莫弗－拉普拉斯定理形成的过程中，首先解决的是，在 n重伯努利试验中，事件 A出现的次数μn等于k的概率 p n（k）＝p(μn＝k)渐近于正态密度的问题，即所谓棣莫弗－拉普拉斯局部极限定理:在 任给的有限区间［с，d］中，对于满足的k，一致地成立， ，式中是标准正态密度函数。这一结论的推广就是讨论取值为b+Nk(N=0，±1，…)的独立随机变量序列｛x k｝的相应问题，即格点极限定理。对于独立同分布情形，1948年Б.Β.格涅坚科给出了相当简明的充分必要条件；对于独立非同分布情形，于50年代 也给出了充分条件。当独立随机变量序列｛xk｝的标准化部分和的密度函数 毕业论文 题目中心极限定理的应用 学生姓名张世军学号1109014148 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师程小静 2015 年 5 月 25 日 中心极限定理的应用 张世军 （陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班，陕西汉中 723000） 指导教师：程小静 [摘要]中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发，给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明；其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用；最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。 [关键词]随机变量；中心极限定理；正态分布；概率论；近似计算 Central Limit Theorem of Application Zhang Shijun (Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty，Mathematics and computer scienceDept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi) Tutor: Cheng Xiaojing Abstract：The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Second central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the application. Keywords：Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory;Approximate calculation 2016数学考研大数定律和中心极限定理 题型解析 考研数学如何取得高分？以下老师为各位同学整理了提高考研数学成绩的技巧，供大家参考，希望能对大家复习备考有帮助！ 考研数学复习是建立在对基本的东西很深刻的理解的基础上的，单纯多做题可能会多见识一些题型，但对于一些很灵活有新意的题目就可能无法应对，这和点石成金的故事是一样的道理。而这种能力的培养却来自于老老实实地将基础打牢，这一点上要摒弃那种急功近利的想法，不论是考研还是成就一番事业，要想成功，首先要沉得住气，有一个长远的打算，而不是做一天算一天，同时要善于控制事情发展的节奏，不论太快抑或太慢都不好，你都得去考虑为什么会这样，怎样去解决。一个人不论处于顺风还是逆风，都要学会不断的去跟自己出难题，不断地去反省自己，自己主动把握自己的命运，他才能最后成功。在忙碌的考研复习中，或许你正在忙于大量的复习知识，或许你已投入无尽的题海，或许你还在为一道道题而苦恼，或许你还在因为复习不见成效而沮丧。但是，不知忙于埋头复习的你有没有发现，不是你的能力不够强，而是你对如何复习还不熟练。我们的最终目的是提高复习效果，提高复习效果的途径大致可以分为两种：一是调整数学整体的素质和能力，更好的驾驭考研;二是理解复习的每一个环节，掌握复习方法，将自己已有的潜能和水平发挥到极致。 题型：概率统计中的大数定律和中心极限定理的题型及解题方法 概率统计中的大数定律和中心极限定理的题型，在考研数学(一)和(三)的历年考试中出现的频率虽然不高，但仍在考试大纲范围之内，考试中仍有可能出现这种题型，因此，考生们对这种题型也应该有所了解，对基本题的解题方法应该掌握。 解答这种题型，首先要理解考试大纲中要求的3个大数定律和两个中心极限定理。下面我们简述一下这几个定理。 中心极限定理证明 中心极限定理证明 中心极限定理证明 一、例子 高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且 那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理 设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立 称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明 其中.由于,因此 故服从中心极限定理. 三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则 用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得 第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计: . 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次? 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得. 由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多. 已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布: 的随机变量.求. 解: 因为很大,于是 所以 利用标准正态分布表,就可以求出的值. 第四章 大数定律与中心极限定理 教学目的： 1．使学员理解随机变量序列依概率收敛、按分布收敛的含义，知道两种收敛的关系，理解连续性定理的意义。 2．使学员牢固掌握马尔科夫大数定律、辛钦大数定律及其证明、理解契贝晓夫、贝努力里大数定律的意义。 3．使学员能熟练应用De Moivre-Laplace 中心极限定理作近似计算及解决生产、生活中的实际问题。 4．使学员掌握、独立同分布场合下的Lindeberg-Leve 中心极限定理的证明及应用，知道德莫佛—拉斯定理是其特例。 本课程一开始引入事件与概率的概念时，我们就知道就一次试验而言，一个随机事件可以出现也可不出现，但作大量的重复试验则呈现出明显的规律性——统计规律性。即，任一事件出现的频率是稳定于某一固定数的，这固定数就是该事件在一次试验下发生的概率，这里说的“频率稳定于概率”实质上是频率依某种收敛意义趋于概率，“大数定律”就是解释这一问题的。 另外在前一章介绍正态分布时，我们一再强调正态分布在概率统计中的重要地位和作用，为什么实际上有许多随机现象会遵循正态分布？这仅仅是一些人的经验猜测还是确有理论依据，“中心极限定理”正是讨论这一问题的。 §4.2* 随机变量序列的两种收敛性 假设 ),(,),(),(21ωηωηωηn 是定义在同一概率空间（Ω，F , P ）上的一列随机变量，显然，其中每个r .v ，)(ωηk 可以看成是定义在概率空间上的一个有限可测函数，因此，我们 * §4.2使用的是原教材的编号，是方便学员看书复习。 可以象在实变函数论中对可测函数列定义收敛性一样，给出随机变量列{)(ωηk }的收敛性概念。 以下我们讨论时，总假定r .v 列{n η}和r .v .η都是定义在同一概率空间（Ω，F ,P ）上的，对于某样本点Ω∈0ω，显然{)(0ωηn }可视为一普通实数列，)(0ωη则可看作一实数，此时若有)()(lim 00ωηωη=∞ →n n ，则称随机变量列{n η}在点0ω收敛到η。若对任意Ω∈ω，均有 )()(lim ωηωη=∞ →n n ，则称{n η}在Ω上点点收敛到η。但在本章的讨论中，我们没有必 要对{n η}要求这么高，一般是考虑下面给出的收敛形式。 定义4.2 设有一列随机变量 ,,,21ηηη，如对任意的ε＞0，有 0})()(:{lim =≥-∞ →εωηωηωn n P （4.6） 则称{n η}依概率收敛到η，并记作 ηη?→? ∞→P n n lim ()' 6.4 或 ,ηη?→? P n ∞→η ()" 6.4 （4.6）式也等价于0}}{lim =≥-∞ →εηηn n P 从定义可见，依概率收敛就是实函中的依测度收敛。 我们知道，随机变量的统计规律由它的分布函数完全刻划，当ηη?→? P n 时，其相应的分布函数)(x F n 与)(x F 之间的关系怎样呢？ 例4．2 设ηη及)1(≥n n 都服从退化分布： 1 }0{,2,1,1}1 {====-=ηηP n n P n 对任给ε＞0，当n ＞ ε 1 时，有0}{}{=≥=≥-εηεηηn n P P中心极限定理的创立与发展
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