第六章二次型答案详解

二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方

第八章 二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题. §8.1 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 0ax bxy cy dx ey f +++++= (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy 项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去 xy 项,通常的坐标变换公式为: cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=-??''=+? (1.2) 从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1 设f 是数域P 上的n 元二次齐次多项式: 212111121211222223232222 1,111,1(,, ,)22222n n n n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x -----=++ ++++++ +++ (1.3) 称为数域P 上的n 元二次型,简称二次型. 如果数域P 为实数域R ,则称f 为实二次型; 如果数域P 为复数域C ,则称f 为复二次型; 如果二次型中只含有平方项,即 222121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 称为标准形式的二次型,简称为标准形. 说明: 在这个定义中,非平方项系数用2ij a 主要是为了以后矩阵表示的方便. 例8.1.2 下列多项式都是二次型: 22 2 2 2 (,)33(,,)22343f x y x xy y f x y z x xy xz y yz z =++=+-++- 下列多项式都不是二次型:

西方经济学第六章答案解析

某个厂商的一项经济活动对其他厂商产生的有利影响，我们把这种行为称作（）选择一项： A. 生产的外部不经济 B. 生产的外部经济 C. 消费的外部不经济 D. 消费的外部经济 反馈 你的回答正确 正确答案是：生产的外部经济 题目2 正确 获得1.00分中的1.00分 标记题目 题干 某人的吸烟行为属（） 选择一项： A. 生产的外部经济 B. 生产的外部不经济 C. 消费的外部不经济 D. 消费的外部经济 反馈

你的回答正确 正确答案是：消费的外部不经济 题目3 正确 获得1.00分中的1.00分 标记题目 题干 如果上游工厂污染了下游居民的饮水，按科斯定理，（）问题就可妥善解决选择一项： A. 只要产权明确，且交易成本为零 B. 只要产权明确，不管交易成本有多大 C. 不论产权是否明确，交易成本是否为零 D. 不管产权是否明确，只要交易成本为零 反馈 你的回答正确 正确答案是：只要产权明确，不管交易成本有多大 题目4 正确 获得1.00分中的1.00分 标记题目

题干 公共产品的产权是属于社会，而不属于任何个人是指它的（）选择一项： A. 竞争性 B. 排他性 C. 非竞争性 D. 非排他性 反馈 你的回答正确 正确答案是：非排他性 题目5 正确 获得1.00分中的1.00分 标记题目 题干 当人们无偿地享有了额外收益时，称作（） 选择一项： A. 外部经济 B. 外部不经济效果 C. 交易成本

D. 公共产品 反馈 你的回答正确 正确答案是：外部经济 题目6 正确 获得1.00分中的1.00分 标记题目 题干 只要交易成本为零，财产的法定所有权的分配就不影响经济运行的效率，这种观点称为（）选择一项： A. 科斯定理 B. 看不见的手 C. 逆向选择 D. 有效市场理论 反馈 你的回答正确 正确答案是：科斯定理 题目7 正确 获得1.00分中的1.00分

线性代数第六章二次型试的题目及问题详解

第六章 二次型 一、基本概念 n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x 1,x 2, …,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+ …+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2 =21 2n ii i ij i j i i j a x a x x =≠+∑∑. 它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A ???? ?? ? ????????? ??==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f M ΛM M M Λ Λ ΛΛ212 122221112112111 21),,(),,( 记[]T x x x X Λ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T AX 称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩. 注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T =，此时二次 型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此， 也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。 实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定 为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型. 标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2 222211n n x d x d x d f +++=Λ 称为二次型的标准型。 规范二次型 形如2 21221q p p p x x x x ++--+ΛΛ的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。 二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系 对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数 ?? ???? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ΛM ΛΛ22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … … c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可 逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =

第(16)次作业答案——二次型.

班级学号姓名第五章相似矩阵及二次型,作业第（16）次 第五节二次型及其标准形 第七节正定二次型 1 写出二次型的矩阵A,并求二次型的秩 f(x2 1,x2,x3)=x21-5x3+2x1x2+6x1x3 ?解:二次型的矩阵A= 113? 100? ? ?30-5? ??113??10A= 100? 0?? ?~ 013? ?30-5???00-5? ? 故二次型的矩阵的秩为R(A)=3 2若二次型f(x=2x222 1,x2,x3)1+2x2-6x1x2+x3， （1）写出二次型的矩阵A；（2）写出一个正交矩阵P，化矩阵A为对角阵； (3) 求一个正交变换x=Qy，化二次型为标准形. ?2-30? 解：（1）A= -320? ? ?001?? （2）由A-λE=0可得λ1=1，λ2=-1，λ3=5解(A-λE)x=0，可得λ1=1，p1=(0,0,1)T ， λT2=-1，p2=(1,1,0)，λ3=5，p3=(-1,1,0)T 取 ? ?0 Λ= 1? -1?, P= , ? 0??5??

? 10 0??? ?? P-1AP=Λ (3) ? 0 取Q=P= 0??，则Q为正交阵， 10 0? ???? 满足 Q-1AQ=Λ=QTAQ。令x=Qy，则 f(T1x,2x,xxAx)=y T yΛy=2 y2 2-5y。+3 3 已知二次型 f=5x2+5x2x2 12-21x2+cx3+6x1x3-6x2x3 的秩为2. (1)求参数c及此二次型矩阵的特征值; (1)指出方程f=1表示何种二次曲面. ?5-13??-15-解：（1）A= -15-3??~ 3? 02 -1? ?3-3c??，??00c-3?

东北大学线性代数_第六章课后习题详解二次型

教学基本要求： 1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念. 2.了解合同变换和合同矩阵的概念. 3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法. 4.了解惯性定理. 5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法. 第六章二次型 本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型. “研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？ 二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类. 通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等. 一、二次型与合同变换 1. 二次型 n个变量x1,x2,…,x n的二次齐次函数 f(x1,x2,…,x n)=a11x12+a22x22+…+a nn x n2 +2a12x1x2+…+2a1n x1x n+…+…+2a n-1 n x n-1x n (6.1) 称为一个n元二次型.当系数a ij均为实数时，称为n元实二次型. (P131定义6.1) 以下仅考虑n元实二次型. 设 11121n1 12222n2 1n2n nn n a a a x a a a x A,x a a a x ???? ? ? ? ? == ? ? ? ? ???? L L v M M M M L ，那么 f(x1,x2,…,x n)=x T A x. (6.2) 式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示.

例6.1(例6.1 P 132) 二次型f 与对称矩阵A 一一对应，故称A 是二次型f 的矩阵，f 是对称矩阵A 的二次型，且称A 的秩R(A)为二次型f 的秩. (定义6.2 P 132) 由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵. 定义6.2 仅含平方项的二次型 f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+a 22x 22+…+a nn x n 2 (6.3) 称为标准形.系数a 11,a 22,…,a nn 仅取-1,0,1的标准形称为规范形. (定义6.3 P 132) 标准形的矩阵是对角矩阵. 二次型有下面的结论： 定理6.1 线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变. (定理6.1 P 133) 这是因为 T T x Cy B C AC T T A B C AC C 0 R (A)R (B) f x Ax f y By ==?=≠=?== ? v v v v v v . 2. 合同变换 在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系. 定义6.3 设A,B 是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使B=C T AC ，则称A 与B 是合同的，或称矩阵B 是A 的合同矩阵.对A 做运算C T AC 称为对A 进行合同变换，并称C 是把A 变为B 的合同变换矩阵. (定义6.4 P 133) 矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.

线性代数二次型习题及答案

第六章 二次型 1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明1 2A ?? ?? ?A 与12?? ?? ? B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T 1111=B C A C ， 因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T 2222=B C A C . 令 1 2?? = ??? C C C ，则C 可逆，于是有 T T 1111111 T 2222222??????????== ? ? ? ?????????????B C A C C AC B C A C C A C 1T 2?? = ??? A C C A 即 12A ?? ?? ?A 与12?? ???B B 合同. 2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称 证：由A 对称，故T =A A . 因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T =B C AC ，于是 T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B 即B 为对称矩阵. 3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵. 证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使 E AM M =T 记T 1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使 T 11diag(, ,)n D μμ==Q B Q T 11, ,. n μμ=B M BM 其中为的特征值 令P=MQ ，则有 D BP P E AP P ==T T , ,A B 同时合同对角阵. 4．设二次型2111 ()m i in n i f a x a x ==+ +∑，令()ij m n a ?=A ，则二次型f 的 秩等于()r A . 证：方法一 将二次型f 写成如下形式：

数据结构-第六章-图-练习题及答案详细解析(精华版)

图 1. 填空题 ⑴ 设无向图G中顶点数为n，则图G至少有（）条边，至多有（）条边；若G为有向图，则至少有（）条边，至多有（）条边。 【解答】0，n(n-1)/2，0，n(n-1) 【分析】图的顶点集合是有穷非空的，而边集可以是空集；边数达到最多的图称为完全图，在完全图中，任意两个顶点之间都存在边。 ⑵ 任何连通图的连通分量只有一个，即是（）。 【解答】其自身 ⑶ 图的存储结构主要有两种，分别是（）和（）。 【解答】邻接矩阵，邻接表 【分析】这是最常用的两种存储结构，此外，还有十字链表、邻接多重表、边集数组等。 ⑷ 已知无向图G的顶点数为n，边数为e，其邻接表表示的空间复杂度为（）。 【解答】Ｏ(n+e) 【分析】在无向图的邻接表中，顶点表有n个结点，边表有2e个结点，共有n+2e个结点，其空间复杂度为Ｏ(n+2e)=Ｏ(n+e)。 ⑸ 已知一个有向图的邻接矩阵表示，计算第j个顶点的入度的方法是（）。 【解答】求第j列的所有元素之和 ⑹ 有向图G用邻接矩阵A[n][n]存储，其第i行的所有元素之和等于顶点i的（）。 【解答】出度

⑺ 图的深度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）；图的广度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）。 【解答】前序，栈，层序，队列 ⑻ 对于含有n个顶点e条边的连通图，利用Prim算法求最小生成树的时间复杂度为（），利用Kruskal 算法求最小生成树的时间复杂度为（）。 【解答】Ｏ(n2)，Ｏ(elog2e) 【分析】Prim算法采用邻接矩阵做存储结构，适合于求稠密图的最小生成树；Kruskal算法采用边集数组做存储结构，适合于求稀疏图的最小生成树。 ⑼ 如果一个有向图不存在（），则该图的全部顶点可以排列成一个拓扑序列。 【解答】回路 ⑽ 在一个有向图中，若存在弧、、，则在其拓扑序列中，顶点vi, vj, vk的相对次序为（）。 【解答】vi, vj, vk 【分析】对由顶点vi, vj, vk组成的图进行拓扑排序。 2. 选择题 ⑴ 在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的（）倍。 A 1/2 B 1 C 2 D 4 【解答】C 【分析】设无向图中含有n个顶点e条边，则。

线性代数知识点总结(第6章)

线性代数知识点总结（第6章） （一）二次型及其标准形 1、二次型： （1）一般形式 （2）矩阵形式（常用） 2、标准形： 如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2 这样的二次型称为标准形（对角线） 3、二次型化为标准形的方法： （1）配方法： 通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。 ★（2）正交变换法： 通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2 其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵 注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。 （二）惯性定理及规范形 4、定义： 正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p； 负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q； 规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。 5、惯性定理： 二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。 注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。 （2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵 6、定义： A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同

△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系 （1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值 （2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数 （3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B） 注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价 （四）正定二次型与正定矩阵 8、正定的定义 二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。 9、n元二次型x T Ax正定充要条件： （1）A的正惯性指数为n （2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E （3）A的特征值均大于0 （4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件： （1）a ii＞0 （2）|A|＞0 11、总结：二次型x T Ax正定判定（大题） （1）A为数字：顺序主子式均大于0 （2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定 12、重要结论： （1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定 （2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定

(完整版)无机及分析化学课后习题第六章答案

一、选择题 1．如果要求分析结果的相对误差在 0.1%以下，使用万分之一分析天平称取试 样时，至少应称取（ ）A. 0.1g B. 0.2g C. 0.05g D. 0.5g 解：选B 。根据下列公式可求得最少称样量： 相对误差×100% 试样质量 绝对误差 万分之一分析天平称量的绝对误差最大范围为±0.0002g ，为了使测量时的相对 误差在±0.1%以下，其称样量应大于0.2g 。 2．从精密度好就可断定分析结果准确度高的前提是（ ）A. 随机误差小 B. 系统误差小 C. 平均偏差小 D. 相对偏差小解：选B 。精密度是保证准确度的先决条件，精密度差说明测定结果的重现性 差，所得结果不可靠；但是精密度高不一定准确度也高，只有在消除了系统 误差之后，精密度越高，准确度才越高。 3．下列有关随机误差的论述不正确的是（ ）A.随机误差具有可测性 B.随机误差在分析中是不可避免的 C.随机误差具有单向性 D.随机误差是由一些不确定偶然因素造成的 解：选C 。分析测定过程中不可避免地造成随机误差。这种误差可大可小，可 正可负，无法测量, 不具有单向性。但从多次重复测定值来看，在消除系统 误差后，随机误差符合高斯正态分布规律，特点为：单峰性、有限性、对称 性、抵偿性。 4．下列各数中，有效数字位数为四位的是（ ）A. 0.0030 B. pH=3.24 C. 96.19% D. 4000 解：选C 。各个选项的有效数字位数为：A 两位 B 两位 C 四位 D 不确定 5．将置于普通干燥器中保存的Na 2B 4O 7.10H 2O 作为基准物质用于标定盐酸的浓 度，则盐酸的浓度将（ ） A.偏高 B.偏低 C.无影响 D.不能确定解：选B 。普通干燥器中保存的Na 2B 4O 7·10H 2O 会失去结晶水，以失水的 Na 2B 4O 7·10H 2O 标定HCl 时，实际消耗V （HCl ）偏高，故c （HCl ）偏低。

第六章二次型总结

第六章二次型总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第六章 二次型（一般无大题） 基本概念 1. 二次型: n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 212111121213131122222 232322(,, ,)222222n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =+++ ++++ ++ + 称为n 元二次型,简称二次型. 其中ij ji a a =,则 ()2 1211112121313112 21212222323222 11223311121121 22221 2 1 2 (,, ,)2n n n n n n n n n n n nn n n n n n n nn n T f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x a a a x a a a x x x x a a a x x Ax =+++ +++++ ++ +++++???? ??? ? ??= ??? ??????? = 因此，二次型也记AX X f T =,A 称为二次型f 的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵A 例题：写出下列二次型的矩阵：（p 书126例6.1） 2.合同矩阵的定义及性质 2.1合同矩阵定义 设,A B 均为n 阶方阵，若存在可逆矩阵C ，使得T C AC B =，则称矩阵A 与B 合同，记A B ?.实对称矩阵A 与B 合同的充要条件是二次型T x Ax 与 T x Bx 有相同的正,负惯性指数.(A 的正, 负惯性指数：A 的特征值的个数) 合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即T A E AE =； （2）对称性，即若T B C AC =，则有()11T A C BC --=； （3）传递性，若111T A C AC =和2212T A C AC =，则有()()21212T A C C A C C = 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 在数域P 中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同.

第五章二次型自测题及答案

第五章 二次型自测题 姓名 学号 一、填空题 22 x 1 1. 实二次型 (x 1,x 2) x 1 的矩阵为 ，秩为 ，正惯性指数 1 2 4 1 x 2 为 ，规范形为 . 2. 与对称矩阵合同的矩阵只能是 矩阵 . 3. 复二次型 f （x 1,x 2, ,x n ） 的规范形由 所唯一确定 . 2 2 2 4. 实二次型 f （x 1,x 2, ,x n ） d 1x 12 d 2x 22 d n x n 2 正定 d i ， i=1,2,?,n. 5. 二 次 型 f( x 1 , x 2 , ,n x ) (2x 1 x 2 21x x 3 2n1x x ) ( 22x 3x 7. 两个复二次型等价充分必要条件是 8. 两个实二次型等价充分必要条件是 、判断题 1. 设 A 、B 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 C ，使 CAC B ，则 A 与B 合同.（ ） 2. 若 A 为正定矩阵，则 A 的主对角线上的元素皆大于零 . （ ） 3. 若 A 为负定矩阵，则必有 A 0. （ ） 4. 实对称矩阵 A 半正定当且仅当 A 的所有顺序主子式全大于或等于零 . （ ） 5. 若 A 负定，则 A 的所有顺序主子式全小于零 . （ ） 6. 非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型 . （ ） nn 7. 若实 二次 型 f （x 1,x 2, ,x n ） a ij x i x j 的 符 号差 为 s ，令 b ij a ij ， 则二 次 型 i 1 j 1 nn g(x 1,x 2, ,x n ) b ij x i x j 的符号差为－ s. ( ) i 1 j 1 三、选择题 1. 已知 二 次 型 f （x 1,x 2,x 3） 2x 12 x 22 4x 1x 2 4x 2x 3 ， 试对它 作如 下 非 退化 线性 替 换 n 22 x x ) n 2x 的n1 矩x 6. 写出实对称矩阵 1 2 0 5 2 所确定的二次型 f （x 1,x 2,x 3）

二次型的性质及应用

唐山师范学院本科毕业论文 题目二次型的正定性及其应用 学生王倩柳 指导教师张王军讲师 年级 2012级数学专接本 专业数学与应用数学 系别数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2014 年5月

郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师张王军的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。 毕业论文（设计）作者（签名）： 2014 年月日

目录 摘要 0 前言 0 1 二次型的历史及概念 (2) 二次型的历史 (2) 二次型的矩阵形式 (1) 正定二次型与正定矩阵的概念 (3) 2 二次型的正定性判别方法及其性质 (2) 3 二次型的应用 (6) 多元函数极值 (6) 证明不等式 (12) 因式分解..................................... (错误!未定义书签。)二次曲线. (13) 结论 (13) 参考文献 (13) 致谢 (13)

二次型的正定性及其应用 学生：王倩柳 指导老师：张王军 摘要：二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。 关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Wang qianliu Instructor: Zhang wangjun Abstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。其中实二次型中的正定二次型

第六章答案

参考答案[A型题] [X型题] 38.B C D 39.A B D 40.C E 41.A B C E 42.A C D 43.A D E 44.B C 45.C D 46.A D E 47.C E 48.C D 49.A B D E 50.B E 51.A B D E [B型题] 52.A 53.D 54.C 55.E 56.E 57.C 58.A 59.D 60.B 61.B 62.C 63.B 64.B 65.A 66.E 67.B 68.C 69.E 70.B 71.C 72.A 73.C 74.A 75.B 76.C 77.A [名词解释] 78.是指在致热源作用下使体温调节中枢的调定点上移而引起的调节性体温 升高。 79.人体在某些生理性情况下，如月经前期，妊娠期或剧烈运动时，体温也可上升高于0.5℃，属于生理性反应，称为生理性体温升高。 80.少数病理性体温升高，其升高的水平超过体温调定点水平，是体温调节机构

失控或调节障碍的结果，其本质不同于发热，称为过热。 81.凡能刺激体内产内生致热原细胞产生和释放内生致热原的物质，统称发热激 活物，包括外致热原和机体本身的某些产物。 82.指具有致热性或含致热成分的能引起人体或动物发热的物质。 83.在发热激活物的作用下，产内生致热原细胞被激活，进而产生和释放的 致热原。 84.属内生致热原的一种，是指在发热激活物的作用下，由单核－巨噬细胞系 统产生并释放的致热原。现已证明白细胞致热原就是白细胞介素－１。 85.指由下丘脑发出冲动，经运动神经传递到运动终板使骨骼肌产生不随意 的周期性收缩所致。 86.在发热的体温上升期，由于皮肤血管收缩，浅层血流减少，皮温下降并 刺激冷感受器，信息传入中枢而自感发冷，出现恶寒。 87.出生后６月－６岁的儿童，高热中可出现局部或全身的肌肉抽搐。 88.在人体，发热时最高体温很少有超过41℃-42℃者；在动物实验中，在 一定范围内，发热效应随致热原剂量增加而加强，量－效曲线上出现斜坡；但到达一定水平后，发热效应不再增强，曲线出现平坡。这种体温上升 被限制在一定高度以内，称为热限。热限是机体对调节性体温升高的自 我限制，是重要的稳态调节机制。 [问答题] 89.①（简述ＬＰ的概念） ②是一种小分子蛋白质：〈１〉不耐热。70℃,２０可失去致热活性 〈２〉蛋白酶可破坏其致热活性 ③具有高度抗原特异性 ④有交叉致热性 ５、有很强的致热性：0.1-0.2ug较纯的ＬＰ可使家兔体温升高１℃ 90.共四个环节（讲义图7－3） 发热激活物→产EP细胞→EP IL－1（LP） TNF 干扰素→POAH→cAMP↑→PGE↑ 炎症蛋白－1 →Na+／Ca +↑→调定点上移产热↑→体温升高 散热↓ 91. 体温上升期高峰期退热期 调定点＞中心温度＝中心温度＜中心温度 热代谢产热＞散热产热＝散热产热＜散热

第六章习题与复习题(二次型)----高等代数

习题6.1 1．写出下列二次型的矩阵. （1）222 123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++ （2）12341223(,,,)f x x x x x x x x =- （3）1234135(,,,)246785T f x x x x X X ?? ?= ? ??? 2．将二次型 222 1231231223(,,)32810f x x x x x x x x x x =+-+- 表成矩阵形式，并求该二次型的秩. 3．设 A = ??? ? ? ? ?3210 000 00a a a ，B = ???? ? ? ?132 00000a a a 证明A 与B 合同，并求可逆矩阵C ，使得B =T C A C ． 4．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ???? ? ????? 与合同. 习题6.2 1．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换. （1）222 12312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++ 2．已知二次型2221231231223(,,)222f x x x x x x cx x x x =++++的秩为2. (1) 求c; (2) 求一正交变换化二次型为标准形. 3．已知二次型22 12323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形

222 1236,,f y y by a b =++求的值与所用正交变换. 22224. 222444,,. x x ay z bxy xy yz y Q z a b Q ξηζηζ???? ? ? +++++== ? ? ? ????? +=2已知二次曲面方程可经正交变换化为椭圆柱面 方程求的值与正交矩阵 5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换. （1）222 123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++ 6．在二次型f （x 1，x 2，x 3 ）=213232221)()()(x x x x x x -+-+-中，令 ??? ??-=-=-=133 3222 11x x y x x y x x y 得f =2 3 2221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定f 的秩. 7．判断矩阵01111213A B ???? == ? ????? 与是否合同. 习题6.3 1．判定下列实二次型的正定性. （1）222 1231231223(,,)23442f x x x x x x x x x x =++-- （2）222123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x =---+-+ （3）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =+- （4）∑∑≤<≤=+ n j i j i n i i x x x 11 2 2． a 为何值时，实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定 的.

统计学第六章课后题及答案解析

第六章 一、单项选择题 1．下面的函数关系是( ) A现代化水平与劳动生产率 B圆周的长度决定于它的半径 C家庭的收入和消费的关系 D亩产量与施肥量 2．相关系数r的取值范围( ) A -∞< r <+∞ B -1≤r≤+1 C -1< r < +1 D 0≤r≤+1 3．年劳动生产率x(干元)和工人工资y=10+70x，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均( ) A增加70元 B减少70元 C增加80元 D减少80元 4．若要证明两变量之间线性相关程度高，则计算出的相关系数应接近于( ) A +1 B -1 C 0.5 D 1 5．回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象( ) A线性相关还是非线性相关 B正相关还是负相关 C完全相关还是不完全相关 D单相关还是复相关 6．某校经济管理类的学生学习统计学的时间(x)与考试成绩(y)之间建立线性回归方程?=a+bx。经计算，方程为?=200—0.8x，该方程参数的计算( ) A a值是明显不对的 B b值是明显不对的 C a值和b值都是不对的 D a值和b值都是正确的 7．在线性相关的条件下，自变量的均方差为2，因变量均方差为5，而相关系数为0.8时，则其回归系数为：( ) A 8 B 0.32 C 2 D 12．5 8．进行相关分析，要求相关的两个变量( ) A都是随机的 B都不是随机的 C一个是随机的，一个不是随机的 D随机或不随机都可以 9．下列关系中，属于正相关关系的有( ) A合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系 B产品产量与单位产品成本之间的关系 C商品的流通费用与销售利润之间的关系

第五章 二次型 习题答案

第五章 二次型 本章课后习题全解 习 题（P232-P234） 1．（Ⅰ）用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果： 1）323121224x x x x x x ++-； 2）2 3 322221214422x x x x x x x ++++； （Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换． 解 （Ⅰ）1）设()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=，此二次型不含有平方项，故作非退化线性替换 1122123 3, ,, x y y x y y x y =+?? =-??=? 并配方，得到 ()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2 2 23233121444y y y y y y ++-+-= 222 1332 (2)4y y y y =--++， 再作非退化线性替换 11322332, ,.z y y z y z y =-?? =??=? 即 1132233 11,22,. y z z y z y z ?=+??=??=?? 于是，原二次型的标准形为 ()2 3 22213214,,z z z x x x f ++-=， 并且，所经过的非退化线性替换为

112321233311,2211,22,x z z z x z z z x z ?=++?? ? =-+?? =??? 写成矩阵形式即为=X CY ，其中111 221 1122001?? ? ? ?=- ? ? ? ?? ?C ．根据矩阵验算，得 1 1111 022******** 111 1010110402 21111000100112 2?? ?? ? ? --???? ? ? ? ? ?'=---= ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ??? ?? ?C AC ． 2）设123(,,)f x x x =2 3 322221214422x x x x x x x ++++． 解法1 配方法．对原二次型进行配方，得 ()2222 22123112222331223,,(2)(44)()(2)f x x x x x x x x x x x x x x x =++++=+++， 于是，令 1122233 3, 2,, y x x y x x y x =+?? =+??=? 则原二次型的标准形为 22 12312 (,,)f x x x y y =+， 且所作的非退化线性替换为 11232233 32, 2, . x y y y x y y x y =-+?? =-??=? 相应的替换矩阵为

二次型的几何分类及其应用

二次型的几何分类及其应用 田金慧 内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。 在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。 关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用 1导言 在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。 因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。 但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，

并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。 本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。 当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。 2 二次型及其标准型 所谓二次型就是一个二次齐次多项式。 定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 22 212111222(,, ,)n nn n f x x x a x a x a x =++ + n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+ （1） 称为n 元二次型，简称二次型【2】。 当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。本文仅讨论实二次型。 若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成 12,1 (,, ,)n T n ij i j i j f x x x a x x X AX ===∑ （2） 其中，11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ???，12 n x x X x ?? ? ?= ? ? ??? ，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵