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广东省梅州市2021届新高考数学三模试卷含解析

广东省梅州市2021届新高考数学三模试卷

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为e ,设地球半径为R ,该卫星近地点离地面的距离为r ,则该卫星远地点离地面的距离为( ) A .

1211e e

r R e e ++-- B .

111e e

r R e e ++-- C .1211e e

r R e e

-+++ D .

111e e

r R e e

-+++ 【答案】A 【解析】 【分析】

由题意画出图形,结合椭圆的定义,结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离. 【详解】

椭圆的离心率:=(0,1)c

e a

∈,( c 为半焦距; a 为长半轴),

设卫星近地点,远地点离地面距离分别为r ,n ,如图:

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则,n a c R r a c R =+-=--

所以1r R a e +=

-,()1r R e

c e

+=-, ()121111r R e r R e e

n a c R R r R e e e e

+++=+-=+-=+----

故选:A 【点睛】

本题主要考查了椭圆的离心率的求法,注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键,属于中档题. 2.下图是民航部门统计的某年春运期间,六个城市售出的往返机票的平均价格(单位元),以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图,以下叙述不.

正确的是( )

广东省梅州市2021届新高考数学三模试卷含解析

A .深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高

B .天津的往返机票平均价格变化最大

C .上海和广州的往返机票平均价格基本相当

D .相比于上一年同期,其中四个城市的往返机票平均价格在增加 【答案】D 【解析】 【分析】

根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析,由此得出叙述不正确的选项. 【详解】

对于A 选项,根据折线图可知深圳的变化幅度最小,根据条形图可知北京的平均价格最高,所以A 选项叙述正确.

对于B 选项,根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大,所以B 选项叙述正确. 对于C 选项,根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当,所以C 选项叙述正确.

对于D 选项,根据折线图可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五个城市的往返机票平均价格在增加,故D 选项叙述错误. 故选:D 【点睛】

本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析,属于基础题.

3.已知12log 13a =13

14

12,13b ??= ???

,13log 14c =,则,,a b c 的大小关系为( )

A .a b c >>

B .c a b >>

C .b c a >>

D .a c b >>

【答案】D 【解析】 【分析】

由指数函数的图像与性质易得b 最小,利用作差法,结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和

c 的大小关系,进而得解.

【详解】

根据指数函数的图像与性质可知1314

120131b ??

<= ??

由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>,13log 141c =>,所以b 最小; 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-

lg13lg14

lg12lg13

=

- 2lg 13lg12lg14

lg12lg13

-?=

? 由基本不等式可知()2

1lg12lg14lg12lg142???<

+????

,代入上式可得

()2

2

21lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13??-+??-???>

??

2

21lg 13lg1682lg12lg13

??- ?

??=

?

11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13????+?- ? ?????=

?

(

(

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lg13lg13lg 0lg12lg13

+?-=

>?

所以a c >, 综上可知a c b >>, 故选:D. 【点睛】

本题考查了指数式与对数式的化简变形,对数换底公式及基本不等式的简单应用,作差法比较大小,属于中档题.

4.已知向量a b (3,1),(3,3)=-=,则向量b 在向量a 方向上的投影为(

) A .

B

C .1-

D .1

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【答案】A 【解析】

【分析】

投影即为cos a b b a

θ??=,利用数量积运算即可得到结论.

【详解】

设向量a 与向量b 的夹角为θ,

由题意,得331a b ?=-?+=-()

312a =-+=,

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所以,向量b 在向量a 方向上的投影为23

cos 2

a b b a θ?-?==

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=故选:A. 【点睛】

本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题.

5.已知数列{}n a 的通项公式是2

21sin 2n n a n π+??=

???

,则12312a a a a +++???+=( ) A .0 B .55

C .66

D .78

【答案】D 【解析】 【分析】

先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+??

???

的值,可进一步得到数列{}n a 的通项公式,然后代入12312a a a a +++???+转化计算,再根据等差数列求和公式计算出结果.

【详解】

解:由题意得,当n 为奇数时,213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+?????

?=+=+==-

? ? ???????

, 当n 为偶数时,21sin sin sin 1222n n ππππ+???

?=+==

? ????

?

所以当n 为奇数时,2n a n =-;当n 为偶数时,2

n a n =,

所以12312a a a a +++???+

22222212341112=-+-+-???-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+???+-

(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+???++- 12341112=++++???++

121+122

?=

()

78= 故选:D 【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题,以及数列求和,考查了正弦函数的性质应用,等差数列的求和公式,属于中档题. 6.已知13ω>

,函数()sin 23f x x πω?

?=- ??

?在区间(,2)ππ内没有最值,给出下列四个结论:

①()f x 在(,2)ππ上单调递增; ②511,1224ω??

∈?

??

? ③()f x 在[0,]π上没有零点; ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是( ) A .②④ B .①③

C .②③

D .①②④

【答案】A 【解析】 【分析】

先根据函数()sin 23f x x πω?

?

=-

??

?

在区间(,2)ππ内没有最值求出15

12224

k k ω-

+或51112224k k ω+

+.再根据已知求出11

32

ω<,判断函数的单调性和零点情况得解. 【详解】

因为函数()sin 23f x x πω?

?

=- ??

?

在区间(,2)ππ内没有最值. 所以22422

332

k k π

π

π

π

πωπωππ-

-

<-

+

,或32242,2

3

3

2

k k k π

π

π

π

πωπωππ+

-

<-

+

∈Z 解得1512224k k ω-+或511

12224k k ω++. 又212,23T ππωω=>,所以11

32

ω<. 令0k =.可得511,1224ω??

∈?

???

.且()f x 在(,2)ππ上单调递减. 当[0,]x π∈时,2,2333x π

π

πωπω??-

∈--????,且72,3212ππππω??-∈????

所以()f x 在[0,]π上只有一个零点. 所以正确结论的编号②④ 故选:A. 【点睛】

本题主要考查三角函数的图象和性质,考查函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7.已知()22

log 217y x x =-+的值域为[),m +∞,当正数a ,b 满足

21

32m a b a b

+=++时,则74a b +的最小值为( )

A .

94

B .5

C .

54

+ D .9

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【答案】A 【解析】 【分析】 利用()2

2log 217y x

x =-+的值域为[),m +∞,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出74a b +的最小值.

【详解】

解:∵()

()2

2

22log 217log 116y x x x ??=-+=-+??

的值域为[

),m +∞, ∴4m =, ∴

41

4622a b a b

+=++,

∴()()14

1746224622a b a b a b a b a b ??+=

++++?? ???++??

()()4216219

554426244

a b a b a b a b +??+=

++≥?+=??++??, 当且仅当

()4262262a b a b a b a b

++=

++时取等号, ∴74a b +的最小值为9

4

. 故选:A. 【点睛】

本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.

8.已知函数()0)f x x x =->,()x

g x x e =+,()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ,2x ,3x ,

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则( ) A .123x x x <<

B .213x x x <<

C .231x x x <<

D .312x x x <<

【答案】C 【解析】 【分析】

转化函数()(0)f x x x x =-

>,()x

g x x e =+,()()ln 0h x x x x =+>的零点为y x =与

(0)y x x =>,x y e =-,()ln 0y x x =->的交点,数形结合,即得解.

【详解】 函数()(0)f x x x x =-

>,()x

g x x e =+,()()ln 0h x x x x =+>的零点,即为y x =与

(0)y x x =>,x y e =-,()ln 0y x x =->的交点,

作出y x =与(0)y x x =

>,x y e =-,()ln 0y x x =->的图象,

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如图所示,可知231x x x << 故选:C 【点睛】

本题考查了数形结合法研究函数的零点,考查了学生转化划归,数形结合的能力,属于中档题. 9.设ln 2m =,lg 2n =,则( ) A .m n mn m n ->>+ B .m n m n mn ->+> C .m n mn m n +>>- D .m n m n mn +>->

【答案】D 【解析】 【分析】

由不等式的性质及换底公式即可得解. 【详解】

解:因为ln 2m =,lg 2n =,则m n >,且(),0,1m n ∈, 所以m n mn +>,m n m n +>-,

2222111110log 10log log log 21lg 2ln 2e n m e

-=-=-=>=, 即1m n

mn

->,则m n mn ->, 即m n m n mn +>->,

故选:D. 【点睛】

本题考查了不等式的性质及换底公式,属基础题. 10.在复平面内,复数2i

i

z -=(i 为虚数单位)对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

【答案】C 【解析】 【分析】

化简复数为a bi +(a 、)b R ∈的形式,可以确定z 对应的点位于的象限. 【详解】 解:复数222(2)(2)12i i i

z i i i i i

--=

==--=-- 故复数z 对应的坐标为()1,2--位于第三象限 故选:C . 【点睛】

本题考查复数代数形式的运算,复数和复平面内点的对应关系,属于基础题.

11.已知()f x 是定义是R 上的奇函数,满足3322f x f x ????-+=+ ? ?

????

,当30,2x ??

∈ ???时, ()()

2ln 1f x x x =-+,则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是( )

A .3

B .5

C .7

D .9

【答案】D 【解析】 【分析】

根据()f x 是定义是R 上的奇函数,满足3322f x f x ????

-

+=+ ? ?????

,可得函数()f x 的周期为3,再由奇函数的性质结合已知可得3

3101022

f f f f f -=-====()()()()() ,利用周期性可得函数()f x 在区

间[]

0,6上的零点个数. 【详解】

∵()f x 是定义是R 上的奇函数,满足3322f x f x ????

-

+=+ ? ?????

,33332222f x f x ∴-++=++()() ,可得3f x f x ()()+=,

函数()f x 的周期为3, ∵当30,

2x ?

?∈ ???

时, ()()

2

ln 1f x x x =-+, 令0f

x =(),则211x x -+=,解得0x =或1, 又∵函数()f x 是定义域为R 的奇函数,

∴在区间33

[]22

-,上,有11000f f f -=-==(

)(),(). 由3322f x f x ????

-

+=+ ? ?????,取0x =,得3322f f -=()() ,得33022f f =-=()(), ∴3310102

2

f f f f f -=-====(

)()()()(). 又∵函数()f x 是周期为3的周期函数,

∴方程()f x =0在区间[]

0,6上的解有3

9012345622

,,,,,,,,. 共9个,

故选D . 【点睛】

本题考查根的存在性及根的个数判断,考查抽象函数周期性的应用,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属于中档题. 12.已知复数

,则的共轭复数在复平面对应的点位于( )

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

【答案】C 【解析】

分析:根据复数的运算,求得复数,再利用复数的表示,即可得到复数对应的点,得到答案. 详解:由题意,复数

,则

所以复数在复平面内对应的点的坐标为,位于复平面内的第三象限,故选C .

点睛:本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示,其中根据复数的四则运算求解复数是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.已知两个单位向量,a b 满足a b a +=,则向量a 与b 的夹角为_____________. 【答案】23

π 【解析】 【分析】

由||||a b a +=得1

cos ,2

a b ??=-,即得解. 【详解】

由题意可知||||1a b ==,则2||221+=+?=a b a b . 解得12

a b ?=-

,所以1cos ,2a b ??=-,

向量a 与b 的夹角为23

π

.

故答案为:23

π 【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14.已知向量,a b 满足(2)()6a b a b +?-=-,且||1,||2a b ==,则cos ,a b <>= _________. 【答案】12

【解析】 【分析】

由数量积的运算律求得a b ?,再由数量积的定义可得结论. 【详解】

由题意2

2

2(2)()21226a b a b a a b b a b +?-=+?-=+?-?=-, ∴1a b ?=,即cos ,2cos ,1a b a b a b <>=<>=,∴1cos ,2

a b <>=. 故答案为:12

. 【点睛】

本题考查求向量的夹角,掌握数量积的定义与运算律是解题关键.

15.如图,在△ABC 中,E 为边AC 上一点,且3AC AE =,P 为BE 上一点,且满足

(0,0)AP mAB nAC m n =+>>,则

13

3n m

++的最小值为______.

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【答案】15 【解析】

试题分析:根据题意有3AP mAB nAC mAB nAE =+=+,因为,,B P E 三点共线,所以有31m n +=,从而有

13139(3)()33m n m n n m n m n m

+=++=+++62912≥+=,所以的最小值是

12315+=.

考点:向量的运算,基本不等式.

【方法点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题,属于中档题目,在解题的过程中,关键步骤在于对题中条件的转化3AP mAB nAC mAB nAE =+=+,根据,,B P E 三点共线,结合向量的性质可知31m n +=,从而等价于已知两个正数的整式形式和为定值,求分式形式和的最值的问题,两式乘积,最后应用基本不等式求得结果,最后再加3,得出最后的答案.

16.已知函数()2211

x kx f x x x ++=++,若对于任意正实数123,,x x x ,均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边长

的三角形,则实数k 的取值范围是_______. 【答案】1,42??-????

【解析】 【分析】

根据三角形三边关系可知()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,将()f x 的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由1k -的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论k ,转化为()()12f x f x +的最小值与()3f x 的最大值的不等式,进而求出k 的取值范围. 【详解】

因为对任意正实数123,,x x x ,都存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形, 故()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,

()()222111

111111k x x kx k f x x x x x x x

-++-==+=+

++++++,令113t x x =++≥, 则()1

13k y t t

-=+

≥, 当10k ->,即1k >时,该函数在[

)3,+∞上单调递减,则21,3k y +??

∈ ??

?; 当1k =,即1k =时,{}1y ∈,

当10k -<,即1k <时,该函数在[

)3,+∞上单调递增,则2,13k y +??∈????

, 所以,当1k >时,因为()()122423k f x f x +<+≤,()32

13

k f x +<≤, 所以

2

23

k +≤,解得14k <≤; 当1k =时,()()()1231f x f x f x ===,满足条件;

当1k <时,()()122423k f x f x +≤+<,且()32

13

k f x +≤<, 所以

2413

k +≥,解得1

12k -≤<, 综上,1

42

k -≤≤,

故答案为:1

,42??-????

【点睛】

本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. “绿水青山就是金山银山”,为推广生态环境保护意识,高二一班组织了环境保护兴趣小组,分为两组,讨论学习.甲组一共有4人,其中男生3人,女生1人,乙组一共有5人,其中男生2人,女生3人,现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.

(1)设事件A 为 “选出的这4个人中要求两个男生两个女生,而且这两个男生必须来自不同的组”,求事件A 发生的概率;

(2)用X 表示抽取的4人中乙组女生的人数,求随机变量X 的分布列和期望 【答案】(Ⅰ)27; (Ⅱ)分布列见解析,43

. 【解析】 【分析】

(Ⅰ)直接利用古典概型概率公式求()1123244

9362

1267

C C C P A C ??=== . (Ⅱ)先由题得X 可能取值为0,1,2,3,再求x 的分布列和期望.

【详解】

(Ⅰ)()112

3244

9362

1267

C C C P A C ??=== (Ⅱ)X 可能取值为0,1,2,3,

()40

6349155

012642C C P X C ?====,

()3163496010

112621C C P X C ?====,

()226349455

212614C C P X C ?====,

()13634

961

312621

C C P X C ?====, X 的分布列为

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0123422114213

EX =?

+?+?+?=. 【点睛】

本题主要考查古典概型的计算,考查随机变量的分布列和期望的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

18.已知12(),100(1)F F -,

,分别是椭圆22

22:1,(0)x y C a b a b

+=>>的左焦点和右焦点,椭圆C 的离心率为A

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B 、是椭圆

C 上两点,点M 满足12BM BA =. (1)求C 的方程;

(2)若点M 在圆2

2

1x y +=上,点O 为坐标原点,求OA OB ?的取值范围.

【答案】(1)22

154

x y +=;(2)1111,45??--????.

【解析】 【分析】

(1)根据焦点坐标和离心率,结合椭圆中,,a b c 的关系,即可求得,,a b c 的值,进而得椭圆的标准方程. (2)设出直线AB 的方程为y kx m =+,由题意可知M 为AB 中点.联立直线与椭圆方程,由韦达定理表示出1212,x x x x +,由判别式>0?可得2254k m +>;由平面向量的线性运算及数量积定义,化简

OA OB ?可得21

14

OA OB AB ?=-

,代入弦长公式化简;由中点坐标公式可得点M 的坐标,代入圆的方程22

1x y +=,化简可得

()

2

2

2

254

2516

k m

k +=

+,代入数量积公式并化简,由换元法令21t k =+,代入可得

()()()

20812051259t t OA OB t t -?=-?--,再令1

s t =及52s ω=-,结合函数单调性即可确定1625950ωω

++的

取值范围,即确定()

()()

20851259t t t t ---的取值范围,因而可得OA OB ?的取值范围.

【详解】

(1)12(),100(1)F F -,

,分别是椭圆22

22:1,(0)x y C a b a b

+=>>的左焦点和右焦点, 则1c =,椭圆C

的离心率为

5

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则15

c e a a =

==

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解得a =, 所以222514b a c =-=-=,

所以C 的方程为22

154

x y +=.

(2)设直线AB 的方程为y kx m =+,点M 满足12

BM BA =,则M 为AB 中点,点M 在圆22

1x y +=上,设()()1122,,,A x y B x y ,

联立直线与椭圆方程2215

4y kx m x y =+???+=??,化简可得()

222

54105200k x kmx m +++-=,

所以212122

2

10520,,54

54

km m x x x x k k --+=

=

++

则()()()

2

2

2

104545200km k m ?=-?+?->,化简可得2254k m +>,

而()()

OA OB OM MA OM MB ?=+?+

2

OM OM MB MA OM MA MB =+?+?+?

22OM MB =-

21

14

AB =-

由弦长公式代入可得

2

2111144OA OB AB ?=-=-

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2

2

广东省梅州市2021届新高考数学三模试卷含解析

11454k k +=-?+?

?

M 为AB 中点,则()121222254,,225454

M M k x x b x x km m

x y k k +++-=

===++

点M 在圆22

1x y +=上,代入化简可得

()

2

2

2

254

2516

k m

k +=

+,

所以()

222

22

154180454

k k m OA OB k ++-?=-??+ ()()()()

2222

12012120542516k k k k ++=-?++ 令2

1t k =+,则()

()()

20812051259t t OA OB t t -?=-?

--,1t ≥,

令1,01s s t

=<≤,则

()()()()()82020820819512595259525t t s t

t t s s t t -

--==----????-- ???

?

??? ()

()()

4525259s s s -=

--

令[)52,3,5s ωω=-∈,则52

s ω

-=

, 所以()()()()()4521616

25

5259559950

s s s ωωωωω

-==

--++++,

因为()

25 950

fωω

ω

=++在

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[

广东省梅州市2021届新高考数学三模试卷含解析

)

3,5

ω∈内单调递增,所以

1643

,

252516

950

ω

ω

??

∈ ?

??

++

()

()()

20843

,

512592516

t t

t t

-??

∈ ?

--??

所以

()

()()

2081111

120,

5125945

t t

OA OB

t t

-??

?=-?∈--?

?

--??

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程求法,直线与椭圆的位置关系综合应用,由韦达定理研究参数间的关系,平面向量的线性运算与数量积运算,弦长公式的应用及换元法在求取值范围问题中的综合应用,计算量大,属于难题.

19.如图,在棱长为22的正方形ABCD中,E,F分别为CD,BC边上的中点,现以EF为折痕将点C旋转至点P的位置,使得P EF A

--为直二面角.

(1)证明:EF PA

⊥;

(2)求PD与面ABF所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见详解;(2)

6

6

【解析】

【分析】

(1)在折叠前的正方形ABCD中,作出对角线AC,BD,由正方形性质知AC BD

⊥,又EF//BD,则AC EF

⊥于点H,则由直二面角可知PH⊥面ABEFD,故PH EF

⊥.又AH EF

⊥,则EF⊥面PAH,故命题得证;

(2)作出线面角PDH

∠,在直角三角形中求解该角的正弦值.

【详解】

解:(1)证明:在正方形ABCD中,连结AC交EF于H.

因为,

AC BD EF

⊥//BD,故可得AC EF

⊥,

即,

EF AH EF CH

⊥⊥

又旋转不改变上述垂直关系,

且,AH CH ?平面PAH ,

EF ∴⊥面PAH ,

PA ?面PAH ,所以EF PA ⊥

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(2)因为P EF A --为直二面角,故平面PEF ⊥平面AEF , 又其交线为EF ,且,PH EF PH ⊥?平面PEF , 故可得PH ⊥底面ABF ,

连结DH ,则PDH ∠即为PD 与面ABF 所成角,连结BD 交AH 于O ,

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在Rt ODH △中,

225DH DO OH +,1PH CH ==

在Rt PHD ?中

226DP DH PH =+=,

6

sin 6

PH PDH DP ∠=

==

. 所以PD 与面ABF 所成角的正弦值为6

【点睛】

本题考查了线面垂直的证明与性质,利用定义求线面角,属于中档题.

20.已知数列{}n a 满足11a =,()12212n n a a n n -=+-≥,数列{}n b 满足23n n b a n =++. (Ⅰ)求证数列{}n b 是等比数列; (Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S .

【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)12

3246n n S n n +=?---

【解析】 【分析】

(Ⅰ)利用等比数列的定义结合()112212n n a a n n --=+-≥得出数列{}n b 是等比数列 (Ⅱ)数列{}n a 是“等比-等差”的类型,利用分组求和即可得出前n 项和n S . 【详解】

解:(Ⅰ)当1n =时,11a =,故16b =. 当2n ≥时,1221n n a a n -=+-,

则12322123n n n b a n a n n -=++=+-++ ()()112212213n n a n a n --??=++=+-+??,

12n n b b -∴=,

∴数列{}n b 是首项为6,公比为2的等比数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得32n

n b =?,23n n a b n ∴=-- 3223n n =?--,

(

)

()2

32222123n

n S n n ∴=++

+-++

+- (

)()21231312

n n n n -=?

-+--,

123246n n S n n +∴=?---.

【点睛】

(Ⅰ)证明数列{}n b 是等比数列可利用定义法

1

,(0)n

n b q q

b 得出

(Ⅱ)采用分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列. 21.已知函数()()sin 06f x x πωω?

?

=-> ?

?

?

的图象向左平移2

π

后与函数()()cos 22g x x π???

?

=+<

??

?

图象重合.

(1)求ω和?的值; (2)若函数()88h x f x g x ππ??

?

?=+

+- ? ??

???

,求()h x 的单调递增区间及图象的对称轴方程. 【答案】(1)2ω=,3

π

?=;(2)5,1212k k k Z ππππ?

?-

+∈???

?,212

k x ππ=+,k Z ∈. 【解析】 【分析】

(1)直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果.

(2)首先把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果. 【详解】

(1)由题意得2ω=,

5sin 2cos 2263f x x x πππ?????

?+=+

=+ ? ? ???????

2

π

?<

,3

π

?∴=

(2)()sin 2cos 2881212h x f x g x x x ππππ???????

?=++-=+++ ? ? ? ?????????

2sin 23x π?

?=+ ??

?

由23

2

x k π

π

π+

=+

,解得212

k x ππ

=

+, 所以对称轴为212

k x ππ

=

+,k Z ∈. 由222232k x k πππ

ππ-≤+≤+,

解得51212

k x k ππππ-≤≤+, 所以单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ??-+∈???

?., 【点睛】

本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.

22.眼保健操是一种眼睛的保健体操,主要是通过按摩眼部穴位,调整眼及头部的血液循环,调节肌肉,改善眼的疲劳,达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果,在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查,并得到如图的频率分布直方图. (1)若直方图中后三组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以上的人数;

(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系,对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查,得到下表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系?

(3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人,进一步调查他们良好的护眼习惯,在这8人中任取2人,记坚持做眼保健操的学生人数为X ,求X 的分布列和数学期望.

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附:()

()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++