期末复习1不等式
考点1：解不等式（组）
例题1．若a b >，且0c <，那么在下面不等式①a c b c +>+②ac bc >③a b c c
-
>-④22ac bc <中成立的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
例题2．有理数,,a b c 在数轴上的位置如图所示，那么下列各式中不正确的是（ ） A ．0a b -> B ．0ab >
C ．c a c b -<-
D ．11
a b
-<-
例题3、 已知：a ＞b ，则－3a ＋5＿＿＿＿－3b ＋5，
用不等式表示a 的2倍减去－3的差是负数＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
例题4.解下列不等式（组），并把它们的解集分别表示在数轴上
（1）611012+≥
-x x (2)1
21312≤--+x
x
（3）3(1)59
(1)
253(2)3x x x x +≥-??
-?->??
(4)34(2)3
21123x x x
x --≥??
-?-
例题5、不等式－3≤5－2x ＜3的正整数解集是＿＿＿＿。
例题6、三角形的三边长分别是 6、9、x ，则 x 的取值范围是＿＿＿＿。
例题7．已知关于x 的不等式23x a ->-的解集如图所示，则a 的值等于多少？
例题8．已知22231a
a x
+->是关于x 的一元一次不等式。
（1）求a 的值； （2）求出不等式的解集，并将解集及a 的值在数轴上表示出来；
例题9．若方程组?
??-=-=+323
a y x y x 的解是正数，求a 的取值范围。
练习
1.若关于x 的方程3x+2m=2的解是正数，则m 的取值范围是（ ）
A.m>1
B.m<1
C.m ≥1
D.m ≤1
2.已知(y －3)2
+|2y －4x －a|=0，若x 为负数，则a 的取值范围是（ ）
A.a>3
B.a>4
C.a>5
D.a>6 3.不等式3(x －2)≤x+4的非负整数解有几个（ ）
A.4
B.5
C.6
D.无数个
4.不等式4x －
4
11
41+ C.－1 D.不存在 5．不等式组20 30x x - 的正整数解的个数是（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6.如果不等式组? ? ?<+>-00 b x a x 的解集是3 7、设关于 x 的不等式组 2x －m ＞2 3x －2m ＜－1 无解，求 m 的取值范围 8．不等式 2x-3a<7b 6b-3x<5a ???组的解5 考点2不等式(组)在实际生活中的应用: 1．（2006日照市）已知小明家距离学校10千米，而小蓉家距离小明家3千米．如果小蓉家到学校的距离是d 千米，则d 满足（ ） （A ）3＜d ＜10 （B ）3≤d ≤10 （C ）7＜d ＜13 （D ）7 ≤d≤13． 2．在直角坐标系中,点P 的坐标为（m －3, m ），若点P 在第二象限,则m 的取值范围是＿＿＿＿． 3．（2006·济南市）亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少．． 有300元．设x 个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是（ ） Ａ.3045300x -≥ Ｂ.3045300x +≥ Ｃ.3045300x -≤ Ｄ.3045300x +≤ 4．某次知识竞赛共有20道选择题．对于每一道题，若答对了，则得10分；若答错了或不答，则扣3分．请问至少要答对几道题，总得分才不少于70分？ 5.某校三年级五班班主任带领该班学生去东山旅游，甲旅行社说：“如果班主任买全票，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括班主任在内全部按全票价的 6 折优惠”，若全票为每张 240 元。 ① 问学生多少人时，甲、乙两家旅行社收费一样多？ ② 就学生数讨论哪一旅行社更合算。 6.某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品共50件，已知生产一件A 种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B 种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。 （1）按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来； （2）设生产A 、B 两种产品总利润为 y 元，其中一种产品生产件数为x 件，试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？ 7.（河南）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、?乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元． （1）按该公司要求可以有几种购买方案？ （2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？ 练习： 1．现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，?乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ） A ．4辆 B ．5辆 C ．6辆 D ．7辆 2．（2007广东佛山）小颖准备用21元钱买笔和笔记本. 已知每支笔3元，每个笔记本2元， 她买了4个笔记本，则她最多还可以买( )支笔. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.（本题8分）甲、乙两人骑自行车前往A 地，他们距A 地的路程s （km ）与行驶时间t （h ）之间的 关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两人的速度各是多少？（4分） （2）写出甲、乙两人距A 地的路程S 与行驶时间t 之间的 函数关系式．（2分） （3）在什么时间段内乙比甲离A 地更近? （2分） 初中精品数学精选精讲 学科：数学任课教师：授课时间：年月姓名年级课时 教学课题不等式与不等式组 教学目标 （知识点、考点、能力、方法）知识点：不等式及性质，一元一次不等式，一元一次不等式组。 考点：不等式的解集，一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，列一元一次不等式组解实际问题。 能力：能判断及解不等式组及不等式组，通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质。 方法：了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念；然后具体研究一元一次不等式、一元一次不等式组的解、解集、 难点 重点 一元一次不等式及一元一次不等式组的解法.实际问题与一元一次不等式（组） 课堂教学过程 课前 检查 作业完成情况：优□良□中□差□建议______________________________________________ 一、知识点大集锦 不等式与不等式组 １.熟悉知识体系 ２．不等式与不等式组的概念 不等式：用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式。 不等式组：几个不等式联立起来，叫做不等式组．（注意：当有A 性质l:不等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），不等号的方向不变； 性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变２． ５.解不等式组 解不等式组，可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出来。 （1） 求出不等式组中每个不等式的解集 （2） 借助数轴找出各解集的公共部分 （3） 写出不等式组的解集 求公共部分的规律:大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 以两条不等式组成的不等式组为例， ①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小” ②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大” ③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x 表示不等式的解集，此时一般表示为a 第九章 不等式与不等式组 一、知识结构图 二、知识要点 （一、）不等式的概念 1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。 2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。 4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。 ????????????????????????????????与实际问题 组一元一次不等式法 一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321 （二、）不等式的基本性质 不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。 用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。 用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或c b c a >)；如果0,> 变分不等式及其应用 摘要 变分不等式是一类重要的非线性问题，它在工程、经济、控制理论等领域广泛应用。变分不等式问题的数学理论最开始应用于解决均衡问题，在此模型中，函数来自对应势能的一阶变分，因此而得名．作为经典变分问题的推广和发展，变分不等式的形式也更多样化。本文主要研究变分不等式的由来，变分不等式的导出以及一些变分不等式的应用． 第一章为预备知识，主要介绍了凸泛函、上下半连续泛函、次连续、Ferchet微分和单调映像等的一些定义，为下文更好的引出变分不等式的概念、导出和应用提供了理论依据。 第二章具体的提出变分不等式的概念并给出一些变分不等式的常见例子。 第三章主要通过可微函数的极值问题、不可微函数的极值问题、Hilbert 空间的投影问题、分布参数系统控制问题等一些问题的探讨说明导出变分不等式一些方法。 第四章研究一类非线性拟变分不等式并应用于二阶半线性椭圆型边值问题。 关键词：变分不等式，极值问题，椭圆方程，边值问题 VARIATIONAL INEQUALITY AND ITS APPLICATION ABSTRACT Variational inequalities are important nonlinear problems, it has been widely applied in the fields of engineering, economics, control theory. The mathematical theory of variational inequality problem is originally applied to solve equilibrium problem. In this model, the function comes from the first-order variation of the corresponding potential energy, so it is called variational inequality problem. As the generalization and development of classical variational problems, 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则： b a a b b a 110,> (6)乘方法则： )1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>? >>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?， 则不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条 不等式和不等式组 【知识点链接】 1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做 不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质： （1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或 c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a c b ）. 3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元 一次不等式； 解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1. 4．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <） x a x b >??>?的解集是x b >，“____________”x a x b ??? 无解，即“____________________” 【例题分类解析】 类型一：不等式性质 1.若b a <，则下列各式中一定成立的是（ ） A ．11-<-b a B ．33b a > C ． 33x y ->- D ． bc ac < 2.下列式子正确的是（ ） A ． >0 B ．≥0 C ．a+1>1 D ．a ―1>1 类型二：比较大小 1. 如图，a 、b 、c 分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（ ） A ．a ＞c ＞b B ．b ＞a ＞c C ．a ＞b ＞c D ．c ＞a ＞b 4.四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图所示，则他们的体重大小关系是（ ） 不等式与不等式组知识概念 1.用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成 6.了一个一元一次不等式组。 7.定理与性质 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。 第十章数据的收集、整理与描述 一．知识框架 1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3.总体：要考察的全体对象称为总体。 4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。 5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。 6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。 7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 8.频率：频数与数据总数的比为频率。 9.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。 本章要求通过实际参与收集、整理、描述和分析数据的活动，经历统计的一般过程，感受统计在生活和生产中的作用，增强学习统计的兴趣，初步建立统计的观念，培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。 人教版高中不等式复习讲义(含答案-超经典!) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则： b a a b b a 110,> (6)乘方法则： )1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>? >>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?， 则不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元一次不等式组 一、填空： 1．a 的3倍与b 的2倍的差不大于5，用不等式表示为 ； 2．请写出解集为3x <的不等式： ．（写出一个即可） 3.不等式－2x ＜1的解集是 ． 4、不等式b ax >的解集是a b x <，则a 的取值范围是 。 5．已知a ＜5时，不等式15++≥a x ax 的解集是 ； 6．不等式x ＋4≤7的非负整数解是 ； 7．如果1 一元一次不等式和一元一次不等式组（三） 一．选择题 1.下列各式，是一元一次不等式的为（） A.x+2y+2020>0 B.-x>2009 C.2009/y-5<0 D.(x-2008)(x+2009)>0 2.下列说法中错误的是（） A.10不是x≥11的解 B.0是x<1的解 C.x>1是不等式x+2008>2008 D.x=-2009是x+2008<0 3.下列几种说法中正确的是（） A.如果a>b,则ac2>bc2(c≠0) B.如果ax>-a,则x C.如果a 不等式的基本知识 (一)不等式与不等关系 1、应用不等式（组)表示不等关系; 不等式的主要性质： (1)对称性:a b b a (2)传递性:c a c b b a >?>>, （3）加法法则：c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>,（同向可加) （4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘） (5)倒数法则:b a a b b a 1 10,> （6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 （7）开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 ２、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法(作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 １、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42-=?， 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < （三)线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ａx＋Ｂy+C=0某一侧所有点组成的平面区域．（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ａｘ+Bｙ+C＝０同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标(y x,)代入Ax 1 不等式与不等式组期末复习讲义 常考专题一 不等式的性质 主要考查利用不等式的性质判断不等式的变形是否正确，题型以选择题为主． 例1 ：下列式子中，一元一次不等式有( )①314x -≥；②1263x + >；③136x -<；④0x π>；⑤132362 x x -+-<；⑥2x xy y +≥；⑦0x >. A .6个 B .5个 C .4个 D .3个 解析：③中 1 x 不是整式，⑥中含2个未知数，所以③⑥不是一元一次不等式，①②④⑤⑦都是一元一次不等式，故选B . 例2： 若a b >，则下列不等式不一定成立的是( ) A ．a m b m +>+ B ．()() 22 11a m b m +>+ C ．22 a b - <- D ．22 a b > 解析：根据不等式的性质针对四个选项进行分析即可．A ．根据不等式的基本性质1，可知a m b m +>+一定成立；B ．根据不等式的基本性质2， ∵2 10m +>，∴()() 2211a m b m +>+一定成立；C ．根据不等式的基本性 质3，∵102- <，∴22a b -<-一定成立；D ．根据不等式的基本性质3，a ，b 若都为负数，则22a b >不成立． 思维点拨 本题主要考查了不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题的关键．此类题目也可以用举反例的方法排除． 常考专题二 一元一次不等式(组)的解法 解一元一次不等式(组)是数学学习中必须掌握的基本运算技能，是解决实际问题的基础，解不等式(组)时，要严格依据不等式的性质按照解不等式(组)的步骤进行． 例3： 解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1)672x x ≤-；(2)()5431,121.2 5x x x x +<+?? ?--≤? ?①② 分析：(1)解不等式并把解集在数轴上表示出来；(2)分别解不等式，并把 解集在数轴上表示出来． 解：(1)解不等式得2x ≥，在数轴上表示如下： (2)解不等式①，得1 2 x <-，解不等式②，得3x ≤， 在数轴上表示如下： 故不等式组的解集为1 2 x <- ． 思维点拨 一元一次不等式与一元一次不等式组的解法是整章的重点，要熟悉它们的解法，一方面要注意每个步骤的易错之处，另一方面要正确地画出数轴，找出解集，进一步确定特殊解． 初中数学 不等式与不等式组 中考试题（含答案） 一、 填空题 1.（2009年北京市）不等式325x +≥的解集是 . 2.（2009年泸州）关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是 3．（2009年吉林省）不等式23x x >-的解集为． 4、（2009年遂宁）把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那么这个不等式组的解集是 . 5．(2009年云南省)不等式组40320x x ->??+>? 的解集 是 . 6.（2009年包头）不等式组3(2)412 1.3 x x x x --?? +?>-??≥，的解集是 ． 7.（2009年莆田）甲、乙两位同学参加跳高训练，在相同条件下各跳10次，统计各自成绩 的方差得22 S S <乙甲，则成绩较稳定的同学是___________．（填“甲”或“乙”） 8．(2009年南充)不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 9.(2009年南充)不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 1-．（2009年甘肃白银）不等式组103x x +>??>-? ，的解集是 ． 11.（2009年宁波市）不等式组60 20x x -? 的解是 ． 12.(2009年义乌)不等式组 210 x o x -≤?? >?的解是 13、（2009江西）不等式组23732 x x +>??->-?， 的解集是 ． 14（2009年湘西自治州）3.如果x －y ＜0，那么x 与y 的大小关系是x y ．（填＜或＞符号） 15.（2009年烟台市）如果不等式组2 223 x a x b ?+???-?的解是 ． 17.（2009年新疆乌鲁木齐市）某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x （张）满足的不等式为 ． 18．（2009年孝感）关于x 的不等式组12 x m x m >->+?? ?的解集是1x >-，则m = ▲ ． 19．（2009年厦门市）已知2ab =．（1）若3-≤b ≤1-，则a 的取值范围是____________．（2）若0b >，且2 2 5a b +=，则a b +=____________． 20．(2009武汉)．如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式 1 22 x kx b >+>-的解集为 ． 方程与不等式综合复习 【考纲要求】 1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况； 2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集； 4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题； 5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、一元一次方程 1.方程 含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解. 3.等式的性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. 4.一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程= +b 0≠ ax叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项. 为未知数， ） （0 a x 5.一元一次方程解法的一般步骤 整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解). 6.列一元一次方程解应用题 (1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. (2)画图分析法：多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释： 列方程解应用题的常用公式： (1)行程问题： 距离=速度×时间 时间距离速度= 速度 距离 时间=； (2)工程问题： 工作量=工效×工时 工时工作量工效= 工效工作量 工时=； (3)比率问题： 部分=全体×比率 全体部分比率= 比率部分 全体=； (4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题： 售价=定价·折· 10 1 ，利润=售价-成本， %100?-=成本成本售价利润率； (6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2 ，C 长方形=2()，S 长方形， C 正方形=4a ， S 正方形2，S 环形=π(R 22)，V 长方体 ，V 正方体3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=3 1πR 2 h. 考点二、一元二次方程 1.一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式 )0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根. （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 2()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 求解变分不等式： 例2：.]5,5[,0)(,0),(**n w w g v w v F -∈?≤≥-（n 可以是维数，在我们计算的过程中，可以取100,200,……1000维） ???? ? ??++=n v n v e v e v v F 11)(，w Aw w g ,)(=，A 是一个n n ?对称矩阵，可随机生成。 例 1：.]5,5[,0)(,0),(**n w w g v w v F -∈?≤≥- 其中?????? ? ??---+??????? ????????? ??---=34680211220210421224)(4321v v v v x F ,w w w g ,)(-=. 其解为（4/3,7/9,4/9,2/9）。(不变) 用迭代序列编程求解： 高维迭代 clc; k=0; k_inner=1000; time0=cputime; n=4; v0=0*rand(n,1); p0=1; Q=eye(n); b=5*diag(Q);%盒子的上界 a=-5*diag(Q)%盒子的下届 mu=0.03; %F函数的输入如下 F=zeros(n,1) for i=1:n F(i,1)=v0(i)+exp(v0(i)); end barp0=max(0,p0-mu*sum(v0.^2)); % barv0=zeros(4,1); for i=1:n if v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i))<=a(i) barv0(i)=a(i); elseif v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i))>=b(i) barv0(i)=b(i); else barv0(i)=v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i)); end end 一元一次不等式与一元一次不等式组 一.知识梳理 1.知识结构图 (二).知识点回顾 1．不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。 说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点） (1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果 a b >，那么__a c b c ±± (2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果,0a b c >>，那么__ac bc （或 ___a b c c ） （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >,0c <那么__ac bc （或 ___a b c c ） 说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若a －b ＞0，则a 大于b ；②若a －b ＜0，则a 小于b ；③若a －b ≥0，则a 不小于b ；④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或 0a b >， 则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0a b <，则a 、b 异号。 任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b>O ?a>b ；②a -b=O ?a=b ；③a-b 第九章 不等式与不等式组期末复习卷 班级 姓名 座号 成绩 一、选择题(每题5分,共30分) 1.若m n >,则下列不等式中成立的是( ) A.m a n b +>+ B.ma nb > C.22ma na > D.a m a n -<- 2.不等式240x -≥的解集在数轴上表示正确的是( ) A B C D 3.不等式4(2)2(35)x x ->+的非负整数解的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.不等式组{ 123x x -≤-<的解集是( ) A.1x ≥- B.5x < C.15x -≤< D.1x ≤-或5x > 5.已知点(39,1)M a a --在第三象限,且它的坐标都是整数,则a 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.0 6.若三角形三边长分别为3,5,1a -,则a 的取值范围为( ) A.1a <<7 B.7a -<<-1 C.a <-1 D.7a >- 二、填空题(每题5分,共30分) 7.不等式2(4)12x +≤的解集是__________. 8.已知x 的3倍与5的差是非负数,用不等式表示这一关系式为______________. 9.和小于15的最大的三个连续自然数是 . 10.不等式组{ 210353x x x x >-+≥的解集为_______________. 11.某种品牌的八宝粥,外包装标明:净含量为33010g g ±,表明了这罐八宝粥的净含量x 的范围是________________. 12.用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块,随着铁钉的深入,铁钉所 受的阻力也越来越大.当未进入木块的钉子长度足够时,每次钉入木块的钉 子长度是前一次的12.已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够 厚),且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm ,若铁钉总长度为acm ,则 3- 第八讲不等式与不等式组 考点一：不等式基本性质运用 1 .由xvy,得ax > ay 的条件是（ ）. A . a >0 B. a <0 C. a>0 D. a<0 2. 不等式 （2a — 1）x<2（2a — 1）的解集是x>2,则a 的取值范围是（ ） A . a<0 B. a< 丄 C. a< —丄 D. a>—— 2 2 2 3. 若a>b,则下列不等式中，不成立的是（ ） A . a — 3> b — 3 B. — 3a>— 3b C. 4. 下列各不等式中，错误的是（ ） 一、知识网络结构图 、考点精析 —a<— b A.若a+b>b+c,则a>c B. 若a>b,贝卩a —c>b—c C.若ab>bc,则a>c D. 若a>b,则2c+a>2c+b 5.若a不等式与不等式组(知识总结-试题和答案)
不等式与不等式组知识点归纳
变分不等式及其应用
人教版高中不等式复习讲义(含答案,超经典)
不等式和不等式组总复习
不等式与不等式组知识概念
人教版高中不等式复习讲义(含标准答案-超经典!)
八年级数学期末复习一元一次不等式组无答案新人教版
不等式与不等式组经典习题3(含答案)
高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型-讲义含解答
不等式与不等式组期末专题复习讲义(常考专题)
初中数学不等式与不等式组中考试题含答案
中考总复习方程与不等式综合复习知识讲解提高
求解变分不等式算例
(精心整理)一元一次不等式复习讲义
第九章不等式与不等式组期末复习卷(含答案)
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