高等数学B：高数下册期末试卷答案(00-13)
2000级(一)(BA) LB20010627
A D
B D
C 一、
1.(15)二、，；
2.18a ；
3.dx dy -；
4.5a =-；10
6.3
；1
7.(,)dx f x y dy ?；
8.20x y +=；22
9.d ,:01,0.62L
x y A y s L z y ==+=≥?平面上的曲线；10.1.
2232
2222225
20
()(2)2()d sin d d .
5
a
xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy z x y dxdydz r r r a ∑
ππ
Ω
∑Ωπ?θθ+-++=++=?=??
??????
三、设围成空间闭区域,
121222222311cos(),cos()sin().x xy x x
z y xy z xy xy xy y
y y y
?????'''''''=++=--
--四、2
100111()(2)()222221212 2.2
n n n n n n x x nx f x x x x x x x x
x ∞∞-+=='
??' ???'=-==?== ? ?-?? ?-??
2sin 0
sin ,0,4
4
7
d sin d .336
7
(0,).
6
D D
D
y x ydxdy
y ydxdy r r r dxdy π
θ
θ
θθπ
π∴===
=?=
∴?????
?
??七、因月牙形均匀薄片关于轴对称重心位于处. 八：1||1lim lim 1,1||2n n n n
a n R a n +→∞→∞+==∴=+；当1x =时，01
1n n ∞
=+∑发散，1x =-时，0(1)1n n n ∞=-+∑收敛，故收敛区间为[1,1)-。设0(),[1,1)1
n
n x s x x n ∞
==∈-+∑，则有(0)1s =。又
10()1n n x xs x n +∞
==+∑，有100
1
[()]()11n n n n x xs x x n x +∞∞
==''===+-∑∑，
()ln(1)1x
dx xs x x x ∴==---?
，
当0x ≠时，有1
()ln(1)s x x x
=--，0x =时，(0)1s =。从而1
ln(1)10,01
()1
0x x x s x x x ?---≤<<
,.
附加题：易知该椭圆关于原点对称故原点为椭圆的中心2222(,),(,)5421,f x y x y f x y x xy y =+++=令则在下的最大最小值即分别为椭圆的半长轴与半短轴之平方2222(,,)(5421),F x y x y x xy y λλ=++++-令
122211112221040
2440,,542101(,)1,(,),2,6x y F x x y x x F y x y y y F x xy y f x y f x y λλλλλ??
?=++===????
??
=++=??
????===++-=??????
∴==
==由得故长轴为短轴为
2000级(一)(B) LB200107
B A
C A A 一、
11.2α二、
;2.；3
3.2
4.5233()24e dx dy --
5.4π
；sin 2006.cos x dx π
??；
；7.90y y ''+=；128.
413x y z -+==--
；9.10.(0,2].
2
(1cos )
370
062
(1cos )
232
,0,
d cos d 77
.,0)99
d d a D
a D
D x y xdxdy a x a a a dxdy π?
π
??ρ?ρρ
ππ?ρρ
++∴=?====????????
三、因关于轴对称重心位于(处.
122211
122212211122222322234,222().x xx y z f f x
y y y y y y y z f f f f f f f f f x x x x x x x
''=-
''''''''''''''''=-+--=-++四、22
2222222
(,),(,),,
()y x Q P y x P x y Q x y x y x y x y x y -??-====++??+六、令22210,:,,,r r r r C x y r C C C D C >+=取一适当小的使得位于C内且不与相交记与共同围成的复连通区域为设取顺时针方向则有：
11
2
2
d d d d d d 01
1d d d d 2d d 2.
r
r
r
r
C C
D D C D C Q P P x Q y P x Q y x y x y P x Q y y x x y x y r r π+-
+?????+=
+=-= ?????∴=+=
-+=
=?
????????蜒原式21
220
d sin d cos d .4
I zdxdydz r r r π
π
Ω
π
?θθθ=-=-?=-
??????七、
()
00110111
(),
(2)(1)12
1111(1)(13),
12(1)221111(1)(24),23(1)331
1()(1)1(13).
2
3n
n n n
n n n n n n n f x x x x x x x x x x x x x f x x x ∞=∞
=∞
++==
=-++++-??==--<< ?++-??
-??
==--<< ?++-??
??∴=----<< ???∑∑∑八、
2001级(下)(A) LB20020629
C D D A D B 一、
1.二、()
2.z
z ydx xdy dz e xy +=
-；23.(0)3
f π
'； 22
2
1
4.(,)y y
I dy f x y dx +-=??；5.2；3
6.
2
.
0000011000(,,),(,,1),(1,3,1),//,313
3,1,3,.
131
x y z n y x n n n x y z x y z =-=----∴=====-r r r r
三、1.设切点为则又故法线方程为
12111
1321232.,
[].y y y y y x xy z e f f z e f e xe f f xe f f '''''''''''=+=++++
22222222224
,(,,),4(,,)d ()d 2d .3
R
x y z R x y z x y M x y z S x y S R π∑
∑
ρπρ?ρρ++==+==+==
?????
?四、1.设球面方程为：则
则质量2222(,,)2),4,:2(2)2.
x y z D
n F F F z D x y V x y dxdy π==+=+≤∴=--=??r
2.故切平面为立体投影为
000
(,),:x tx x y L y ty =???
=??五、1.设为曲线在第一象限上的一点
则1
22223
22
0000022
222222222222
1max 8
122
11(,0)211,0,22,,
.L
W xy dx x ydy x y t dt x y x y W x y x y a b b x W x y x W x y a W a b =+==
=+=>??'==-===
???=??则求在条件下的极值，
由得由于应用问题驻点唯一故在点功最大且
1
22111
:1(1),,3(2)33zd ,2
z x y x z dydz zdxdy dxdydz z ∑∑Ω
∑∑∑Ωπ
π+=+≤++=-=-=-
??????2.令取下侧则与围成空间闭区域,
1
1
(2),
3.22
xy
D x z dydz zdxdy dxdy dxdy ∑∑ππππ++==-=-∴=-
+=-??????而原式
111
11
1.,lim lim 1, 1.
1(1)1
1,,1,,
11[1,1).
n n n n n
n n n a n a R n a n x x n n +→∞→∞∞
∞
==-=
∴===-=-=--∑∑Q 六、故收敛半径为-当时级数是收敛的当时级数是发散的故收敛域为-12
20002222
1()111n n x x x n n n n n n x x s x x x x dx x x dx x dx n n x -∞
∞∞∞--=========---∑∑∑∑???
()ln(1),11s x x x x =---≤<
100
1
20
000
(1)ln(1)(1)2.ln(1),,
11ln(1)(1)(1)(),(1,1].1(1)n n n n
n n n n n
n x
x n n t t t t n t n t t x f x dt dt x t n n +∞
∞==+∞
∞
==-+-+==+++--∴===∈++∑∑∑∑?
?-
1
42
44
20
02111tan 1
tan (1tan )d tan d(tan )11
11111()lim 1 1.
(1)11n n
n
n n n n n n n n x a a x x x x x n n a a n n n n n n π
π
π
++∞
∞∞
+→∞===+=+===
++????∴+==-=-= ? ?+++?
?????
∑∑∑七、(1)
211
111
(2)0,0,11(1)
1
0,,.(1)n n n n n n n n a a a a a n n n n n a n n n λλ
λλ
λ+∞
∞
==>+=<<∴<+++?>+∑
∑由知而级数收敛故级数收敛
2001级(一)B L20020821C
D B A D D D 一、
11
1.
22dx dy e
+二、；
2.(2,3,1)
；
3.2(1)(1)20
x y z ----=
；
223
4.(cos ,sin ,),r
I d f r r z dz π
θθθ=??；5.4；6.(1,5)；
三：1：切点1
(,2,1)2，切向量1(,1,2)4
τ=-r ，切线
1
212148
x y z -
--==-；
法平面1()4(2)8(1)02
x y x ---+-=。 2：122sin x z f y xf =-，12cos y z f f =-+，
11212222(2cos sin )sin cos sin xy z f x y x f y x xf xf =-++--
四：1.令222,x x Q P y y =-=,22y x x
p Q y
==-,则积分与路径无关.
1
2
22
2
1
4
40I xdx dy y =-=?? 1
1
1
222113
2323222
2
2
225
20
3232322:0(),,()()()63()3d sin d d ,5
()()()d a
z x y a x az dydz y ax dzdx z ay dxdy
z x y dxdydz r r r a x az dydz y ax dzdx z ay dxdy
ay dxdy a ∑∑
ππ
Ω
∑∑∑∑∑Ωπ?θθ+
=+≤+++++=++=?=
+++++==-????????????四、2.令取下侧则与围成空间闭区域,而22250
555
sin d ,
4
629.5420
a
r r r a a a a ππ
θθπππ??=-
∴=
+=??
原式1
12122221,,
,2,,x y xy M S
x y z z xoy D x y a z z
∑∑∑∑∑∑∑=+===--=
=+≤五、1.曲面为其中则质量在面的投影区域为
：2230
2d 2d d xy
a
D M x y a r r a π
θπ===???
?
2:同LB20000822第六大题。
六：1：LB20000822第八大题。2：LB20000822第七大题。
1.x y z
V xyz a b c
=++=七、即求在条件
下的极值
(,,,)1,x y z F x y z xyz a b c λλ??
=+++- ???
令
0,0,0,
1x y z x y z F yz F xz F xy a
b
c
a b c
λ
λ
λ
=+
==+
==+
=++=max ,,,.33327
a a a abc x y z V ===∴=得
2002级(下)(A)
A D A D
B
C 一、
1.13-二、；123
2.
231x y z ---==-；23.()zdx z dy dz x z y x z =+++；7
4.10
；
5.
2
20
(cos ,sin ,)a
r
d rdr f r r z dz π
θθθ?
?；
6.
22cos 2)-；7.(,,0)D
f x y dxdy -??；8.2. 12122
11
12212211221.
222(),2(22)2(22)4().z
xf xf x f f x
z
x yf yf x yf yf xy f f x y
?''''=+=+??''''''''''''=-+-=-??三、
122222.(,,)(1,1,1),(1,1,1),
33333,111
.111
n n x y z x y z x y z ===∴++=---====r r
故可取切平面方程为法线方程为
或
2
2
21
1
1
10
0011
1.(1).22
y
y y y I dy e
dx ye
dy e e ----??===-=- ??????四、
22
22.(,)16sin 8.x L
L
I y x y ds y
tdt π
π
ρπ====???
2222
1.,
L
x y x y
W dx dy x y x y -+=+++?
五、
2222222222(,),(,),,
()x y x y Q x xy y P
P x y Q x y x y x y x x y y
-+?--+?====++?+?令
22(,)(,).4,L
P x y dx Q x y dy A x y B ∴++=?在上半平面与路径无关取沿圆到则
[]0
1
(2cos 2sin )(2sin )(2cos 2sin )(2cos ).4
W d π
θθθθθθθπ=--++=-?
1
1
1
221122
3222
222
2220
2232220
2.:0(4),,()(2)64()d sin d d ,5
()(2)2d 2cos z x y xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy
z x y dxdydz r r r xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy
xydxdy r ∑∑
ππ
Ω
∑π∑∑∑∑Ωπ
?θθθθ+
=+≤+-++=++=?=
+-++==-???????????????令且取下侧则与围成空间闭区域,而2
sin d 0,
64.5
r r θπ
?=∴=
?原式
六:1:同00级LB20010627第五大题。262.P 参见作业第二题之第5小题. 七:同01级LB20020629第七大题. 2002级(下)(B)
A B C C B A
一、
2222
1.
y x dx dy x y x y -+++二、； 2.240x y +-=；10
3.3
； 222
4
4.(cos ,sin ,)r
I d rdr f r r z dz π
θθθ=???；5.18π；
2
6.(43
；7.02a <<；2
18.,11(1)x x -<<-. 1.()()(),()()().y xy yx z f xy x y y x y z z yf xy x y y x y ????'''''''=++++==++++三、
222.(1,2,3),(1,2,1),1430,
1111
1,(1,1,1)(,,)33927
t t n t t t t τ==++==-=-∴----r r
切向量为平面法向量为由切线平行于平面可得解得或所求曲线上的点为或.
2
2
1
1
1
20
04
1
1.d d (1).42
8
I e
e
e π
ρρπππ?ρρ---??=?=
?-=-??????四、
222.(1)1,,,d d d .
x y D
D
xoy D x y z z z S x y x y +-≤==
=
∴===曲面在面上的投影区域为:由得
1
1
112222222224
4
200:,:04;:0,:40;,(1)()00,
(1)()(1)()1(1)12.2y y L L D
y y y y L
L L y x L y x L L D xe dx x e y dy dxdy W xe dx x e y dy xe dx x e y dy
x dx x x +=→=→∴
++-===++-=-++-?
?=+=+= ??
???????五、1.设则与围成闭区域故功
1
1
22111
:1(1),,(52)(1)663,
(52)(1)22.32xy
D z x y x z dydz z dxdy dxdydz zdz x z dydz z dxdy dxdy ∑∑Ω
∑
∑∑∑Ωππππππ+=+≤+++=-=-=-+++=-=-=-+=-??????????2.令取下侧则与围成空间闭区域,
则原式11111
1
1
11
11
1
1.11lim(1)0,(1)(1),
11
,1,,(1),(1)(1).
n
n n n
n
n n n
n
n n
n n n e e
e e n e e e
n n ∞
+→∞
=∞∞
∞
===->--=∴--→∞-∴-∴
--∑∑∑∑:Q 六、且级数收敛时发散发散条件收敛[][][]2122220
00012.()(1)(1)(1),
2121(21)(22)1,11,11,1.
(1)11(1)arctan1ln 2ln 2.(21)(22)
242n n n n
n n
n n n n n x x x f x x n n n n x f n n π+++∞
∞∞
===∞
==---=-++++∈--==-=-++∑∑∑∑I 由－－得
七：作业题30页第二大题第3小题。 03级A 卷LB20040707
一： Ａ．Ｄ．Ｂ．Ｃ．Ｃ．Ｂ． 二．１．32770.x y z +-+= ２．
'''1221z y yf f g x y x
?=+-? 3．24cos 24
2sec (sin cos ,sin sin ,cos )sin I d d f r r r r dr π
π
θ
θ
?θθ?θ?θθ=
?
??
.
４．0．５．
643
π． ６．6π. ７．sin()y x xy -． ８．12π
-. 三．1. 解：切点为（０，１，２）．'
'
'
(0)1,(0)2,(0) 3.x y z ===于是切线方程为
12
123
x y z --==．法平面方程为2380x y z ++-= 2. 解：
''
(2,0)cos (2,0)cos
x y f f f l αβ?=+?．01l =-u u r ． 0
2(1,0)l =-u r ．于是
''1x y f f =，'
3(2,0)(1)x f -=-
解得
'(2,0)3
x
f =． '(2,0)3y
f =0l =u r ，
则
(3
f l ?=+-=
?
四.１．投影为：2
2
2
x y a +≤．V =
221[2()]a x y dxdy a
-+?? ＝
2230
015
(2)6
a d a r r rdr a a π
θπ--=?
?
2.解：(,)x y ρ=
(,)L m x y ds ρ=??=?
22
π
πθ-=?＝22a
五．1．解：(,)L W F x y ds =?u u u u u u u u r u u r ＝22(1cos )(sin cos )L y y y y y
dx dy x x x x x -++?
22(,)1cos .y y P x y x x =-Q (,)sin sin .y y y
Q x y x x x
=+
2232cos sin .y y y y y
P x x x x
=-+ . x y Q P =则积分与路径无关。 于是取路径 L:,y π=
1 2.x ≤≤
W 2
2
22
1
1
(1cos )(sin )1dx x x x x
πππ
ππ=
-
=+=+?
.
2.解:取
:∑ 1.z =2
2(1)x
y +≤ 下侧
11
(21)2
D
dv dxdy π
Ω
+=-=-++=-
∑∑∑∑???????????
六．１．解：1(1)(2)
lim
lim 1.1(1)
n n n n a n n R a n n +→∞
→∞++==∴=+ 1.x =± 级数发散．∴收敛区间为()1,1-，设()1
(1)n
n s x n n x
∞
==+∑11
(1)n n x n n x ∞
-==+∑
21
3
12()()1(1)n n x x
x x
x x x ∞
+=''''===--∑，11x -<<
２．0
!n x
n x e n ∞
==
∑
．.
11!
n x
n x e n ∞=-=∑． 12
1211(1),!
!x n x n n n e x d e n x x n dx x n --∞∞==??---== ???∑∑11(1)!n n n x n ∞
-==+∑ 令1
2
111
1,1(1)!x x x x n n d e xe e x n dx x x
∞
==??
--+==== ?
+??
∑ 七．证：n a 单调减少且有下界(0)n a >，故lim ,0.n x a a a →∞
=≥如果0a =
则
1
(1)
n
n n a ∞
=-∑收敛，矛盾．0.a ∴> 且.n a a > 则
1111,(1)(1)11n
n
n n
n a a a a ????
<= ? ?++++????∑Q 收敛，11(1)
n n n a ∞
=+∑收敛． 03级B 卷LB20040823
一：A B C D C A
二：
， 2.(0,0,0)， 3.xy xyf ye f ''+122，5.4
2a π，6.0，7.1R =，
8.3
2
-
， 4.21100(cos ,sin ,)r d rdr f r r z dz πθθθ???
三：1. 切点(2,1,0)，切向量为11((),(),())|(1,2,3)|(1,2,3)t t x t y t z t t =='''== 则切线：
12123
x y z --==，法平面：2340x y z ++-=。 2.sin sin cos ,cos xy xy x y z y xy e z x xy e =??=??，
sin cos ()xy dz xy e ydx xdy =?+
四：1.
2
22
4
1
11001()|(1)428
r r d e rdr e e π
π
π
π
θ---=
-=-?
? 2.投影区域：2
2
2x y x +≤
，x y z z =
=
xy
xy
D D s ds dxdy ∑
==
=
=????。 五：1.2(12)(2)L
W xy dx x dy =
+++?
，令212,2P xy Q x =+=+，则2y x P Q x ==，积分
与路径无关。沿1y =直线积分，1
1
(12)2W x dx -=
+=?
。
2.补上2
2
:0,1z x y ∑=+≤取下侧，则由高斯公式
1
2222
()xy dydz yx dzdx dxdy y x dV ∑+∑Ω
++=+?????ò 2
21
120
6
r d rdr r dz ππ
θ-==???
又
1
1
22xy
D xy dydz yx dzdx dxdy dxdy dxdy π∑∑++==-=-??????，则原式=76
π
。
六.1.1||2lim
lim 1||1n n n n
a n a n +→∞→∞+==+，则R=1，当1x =±时，级数1(1)(1)n
n n ∞=+-∑，11n n ∞
=+∑均发散。收敛区间为(1,1)-。设1
()(1)n
n s x n x
∞
==
+∑11
()n n x ∞
+='=∑
22
2
2()1(1)x x x x x -'==--(11)x -<<。 2.011n
n x x ∞==-∑Q ，则12
111()(1)1n n nx x x ∞
-='==--∑， 1
2
11
(1)n n n n x x nx nx x ∞∞
-==∴==-∑∑(11)x -<<
七：设(1)
n
n u =-
，则||n u =
3
2
||lim
1n n n u n
-→∞
==，32
1
1n n
∞
=∑
Q 收敛，1
||n
n u
∞
=∴
∑收敛，故原级数绝对收敛。
04级A 卷（20050708）
一、 C B C A D B 二、 1．32140x y z --+= 2
． 3．(2,2)-
4．1210
cos sin (cos sin )d f r r rdr π
θθ
θθθ+??
， 5．2- 6
2π
7．
1(02)x x << 8．32
三、1．解：点代入求得12,24,21,1,2m yy zz y z ''''===-=-=-．
切线 121
1112
x y z -+-==
-- ，法平面11(2)(1)02x y z --+--=． 225x y z --=．
2．解：
22221212111221222,4[]2[]x xy z yf xy f z f xyf y f f x xy f x f ''''''''''''=+=+++?++ 2232121121224(2)2f xyf yf yx xy f x y f ''''''''=+++++ 四、1．解：原式
=1
2
3
40
a
x
a
L L L e dx e ad π
?++=++??????
11(2)24
4
a a a a a
a
e e e e ππ=-++-=+
-
2．解：
2
5
2222
3
3
4
0()2(2)a a r
a
r z a
r I x y dxdydz d dr r dz ar r dr a
πθπ-Ω
=+==--????
???
64550114
2()25615a r ar r a a ππ=--=
五、1．解：3222(2cos )(12sin 3)L
L
W F dS xy y x dx y x x y dy =?=-+-+??r
r ，
262cos y x P xy y x Q =-=Q ，所以积分与路径无关。
2
2
21
0(12sin 212)24sin 232344sin 2W dx y y dy =+-+=-+=-??
2．解：取22
122:0(1)x y z a b
∑=+≤下侧
1
32dxdydz abc π∑+∑Ω
==?????；
11,zox zoy
∑⊥∑⊥Q ，
1
1
(1)(1)xdydz ydzdx x y z dxdy x y z dxdy ∑∑+++++=+++????
(1)xy
xy
D D x y dxdy dxdy ab
π=-++=-=-???? ；
1
1
2(21)I abc ab ab c πππ∑+∑∑=
-=+=+????。
六、计算题
1．解 2
1cos 2sin 2n a n n ππ
=-=；2
22
22
1
2sin 22lim lim
lim 1112n n n n a
n n n n n πππ→∞→∞
→∞===；2
11n n
∞
=∑Q 收敛，1
1cos
n n
π
∞
=∴-∑收敛，从而原级数 绝对收敛 。
2．解：法一：()ln ln(3)f x x x =+-，
00111111()(1)(1)()
31(1)2(1)22n n
n n n x f x x x x x x ∞
∞==-'=-=-=----+---∑∑10
1
[(1)](1)2
n n n n x ∞
+==--
-∑； 11
1()(1)[(1)](1)2x n
n
n n f x f x dx ∞
+=∴-=---∑?
110
1
(1)2(1)1
n n n n x n ∞
++=--
=-+∑ (1)ln 2f =；110
1
(1)2()ln 2(1),021
n n n n f x x x n ∞
++=--
∴=+-<≤+∑
法二：21
ln(3)ln ln(3)ln(1(1))ln 2(1)2
x x x x x x --=+-=+-+-
1
1
ln(1(1))(1)n n n x x n ∞
-=+-=-∑Q ，11
1()1
2ln 2(1)ln 2(1)2n
n n x x n
∞
-=--
--
=+-∑Q 1(1)ln 22n n n x n ∞
=-=-∑；11
(1)1()ln 2()(1)2n n
n
n f x x n n -∞
=-∴=+--?∑ 七、证明题(6分)
证明： 设球面方程为2222()x y z a R ++-=，两球面交线的投影为圆，半径为
r =，
()xy
xy
D D S R dS ∑
===??
3
22
2R d R a
π
πθπ==-
?
2346()40,,()43R a R
S R R R S R a a
ππππ'''=-===-，
48(
)440,3a a S a πππ''=-=-< 故4()3a
s 为最大， 当43
a R =时，含在定球面的球面部面积最大。
04级B 卷（20050827）
一： B D B C D A
二：1：2x-y+2z-9=0； 2：e(dx+dy); 3：2x+y-4=0; 4：
d f r r rdr π
θ
θθθ?
?
2cos 20
(cos ,sin )
5：π-； 6：4
2R π； 1
1
(1)(11)2
n n n x x ∞
+=-
-<<∑； 8：5
2
三：1：解：将t=1代入得到点为（2，1，0）；|11,2,3t x y z ='''=== ； 切线为：
21123
x y z
--==；法平面：2340x y z ++-=。 2：解：12122;x y z f yf z f xf ''''=+=-+；
21112222(2)xy z f f x y f xyf '''''''=-+-+。 四：1：解：2
122222
001
011sin sin cos |(1cos4)22
y I y dy dx y y dy y +===-=-??
?；
2：22(,,)x y z x y ρ=+，
2222224
228()()333M x y dS x y z dS R dS R π∑
∑∑
=+=
++==??????； 五：1：2(12)L
L
W F ds xy dx x dy =?=-+?
?r r
；补：1:0,:11L y x =-→；
1
40L L D
xdxdy +==?
???；1
1
112L dx -==??；11
2L L L I +=-=-???。
2：补221:1(1)z x y ∑=+≤取下侧
11
1
003(21)332z
D dxdydz dz dxdy zdz ππ∑+∑Ω=-+=-=-=-?????????ò； 11(2)xy
D x z dydz zdxdy zdxdy dxdy π∑∑++==-=-??????；31
22I πππ=-+=-； 六：1：1
ln(1)lim 11n n n
→∞+=；11n n ∞=∑Q 发散；1
1ln(1)n n ∞
=∴+∑发散。1ln(1)n +单调下
降趋于零，满足狄立克莱收敛定理，1
1
(1)ln(1)n n n ∞
=∴-+∑收敛，为条件收敛。
2：
22121
||||23
n n u n x x u n ++=?→+；当||1x <时，级数收敛，||1x >时，级数发散。
X=1时，0221n n ∞
=+∑发散；x=-1时，02
21n n ∞
=-+∑发散。收敛域为(1,1)-。
设21
02()21n n s x x n ∞
+==+∑，22
2()21n n s x x x ∞
='==-∑；(0)0s =Q ； 2
21
()()(0)()ln 11
x x
x s x s x s s x dx dx x x +'∴=-===--??
(11)x -<< 七：1
1
x u
y v F F F F z c
z c
=
=
-- 22()()z u
v a x b y F F F z c z c --=+--；设曲面上任一切点为000(,,)x y z ，则法向量可取0000(,,)u u u u a x b y n F F F F z c z c --=+--r
；切平面为： u v u u
a x
b y F x x F y y F F z z z
c z c ---+-++-=--00
00000()()(
)()0
将点(a,b,c)代入切平面方程，等号成立。证毕。
05级A 卷（20060707）
一、 C B A B D C 二、 1．30±； 2．
2()1z ydx xdy e +-； 3．112513x y z -+-==
--； 4．2
3
； 5．2-； 6
．21)15π； 7．2112(||1)21
n n x x n -∞
=-<-∑
； 8．3
4。 三、1．解：
12y z
f e f x
?''=?+?， 21113121232111132123()() .
y y y y y y y y z
f xe f e f e f xe f x y f e f xe f e f xe f ?'''''''''=?++?+?+??'''''''''=?+?+?+?+
2．解：设所求的点为000(,,)P x y z ，
则00|(,,1)P n y x =-r ，又因为|P n r
与平面垂直，所以00001
3,1131
y x x y ==?=-=--，(3,1,3)P ∴--，|(1,3,1)P n =---r ，故法线
方程为313
131
x y z ++-==
---。 四、1．作业44..4P 二。
2．与05级A 卷的四2相同。
五、1．解：(1cos )(1sin )x x OA
OA
W F dS e y dx e y dy =?=---??r
r ，
sin 0
(1cos )(1sin )[(1sin )sin ]1sin 2
x x x x OA OA
D
x x x e y dx e y dy e y e y dxdy
e e dx dy e xdx π
π
π
----=---+=-=-=-
?
????
?u u u r
?
11
022OA OA OA e e W ππ-++=-=+=??u u u r u u u
r ?
。 2．解：
2
1
2
2
22
1
440()()1().228
r I z x y dV d rdr z r dz
r r r dr π
θπ
πΩ
=-++=-+=-
+=-???????
六、计算题
1．解：因为 ln 1
n n n
>，
11
n n
∞
=∑发散，所以1ln n n
n
∞
=∑发散；又因为2ln 1ln 0(3)x x x x x '-??=<> ???，故ln(1)ln 1n n n n +<+且ln lim 0n n n →∞=，所以1
ln (1)n n n n ∞
=-∑收敛，从而原级数条件收敛 。 2．解：
221()23!23
||||0()()(1)!21(1)(21)
n n u x n n n x x n u x n n n n +++=??=?→→∞++++，所以
收敛域为(,)-∞+∞，设21
21()!n
n n s x x n ∞
=+=∑
，则 22120
1
1()(1)!!
n n
x
x n n x x s x dx x x e n n +∞
∞
=====-∑
∑?
， ()
222()(1)(21)1x x s x x e x e '
∴=-=+-，()x R ∈；
（或212122111021()(1)!!!!n n n
n n n n n n x x x s x x x n n n n ++∞
∞∞∞===='''??????+====- ? ? ???????
∑∑∑∑ ()
222(1)(21)1,()x x x e x e x R '
=-=+-∈）
22200
1
2121
21
21152!!!n
n
n n n n n n n s e n n n ∞
∞∞
===+++==-=-=-∑∑∑
。
七、证明：与04级A 卷的题七相同。
05级B 卷（20060825）
一： A B C D D B
二：1. 5； 2. 13e ； 3.（2，-2）； 4. z x z +；
； 6. 9
2
； 7. 4； 8.
51
62
π-。
三：1. 解： 12(2,3,4),(1,1,2),s s ==u r u r 取12234(2,0,1),112i j k
n s s =?==-r r u r r u r u r
又因为平
面过点(1,2,3)--，所以平面方程为2(1)0(2)(3)0x y z -++-+=，即
250x z --=。 2. 解：2
2
2
2
2
2
22222()22(1)x y x
y x
y x z xe x y e x xe x y +++=++?=++；
同理2
2
2
2
2(1)x
y y z ye x y +=++；故2
2
222(1)()x
y dz e x y xdx ydy +=+++。
四：1. 解：方程对x 求导，
222302350x y y z z y z ''+?+?-=??
''-+=?，把(1,1,1)P 代入解得9|16
1
|16P P y z ?'=????'=-??
， 91(1,,)//(16,9,1)1616T ∴=--u r ，故切线为： 111
1691
x y z ---==-；法平面为：
16(1)9(1)(1)0x y z -+---=，即169240x y z +--=。
2. 解：sin 0
sin cos x
I dx xdy x xdx xd x πππ
π===-=??
??。
五：1.
解：222
cos 2m a ad a π
πθθ-==?=?
?。
2. 解：3222(2cos )(12sin 3)L
L
W F dS xy y x dx y x x y dy =?=-+-+?
?r
r ，
262cos y x P xy y x Q =-=Q ，所以积分与路径无关，
22
1
2030(12)44OA AB
W y y dy ππ=+=+-+=???u u u r u u u r 。 六：1. 解：补221:0(1)z x y ∑=+≤，取下侧，则
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?
5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分
高等数学下册试题及答案解析word版本
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
高数 下 期末考试试卷及答案
2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数 1n n a ∞ =∑发散，则级数 21n n a ∞ =∑也发散 （B ）若级数 21 n n a ∞ =∑发散，则级数 1 n n a ∞=∑也发散 （C ）若级数 21n n a ∞ =∑收敛，则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛 （D ）若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛，则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛 二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线3426030x y z x y z a -+-=??+-+=? 与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………
大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案
第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) . d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ． 求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+30 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422Y 11、(本小题5分) ．求? π +20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分)
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，
高等数学上期末试卷(含答案)
一． 选择题：（每小题3分，共15分） 1. 若当0x →时，arctan x x -与n ax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B. 13 C. 3- D. 1 3 - 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3 ()f x x = C. ()e e x x f x -=+ D. 1,10 ()0,01 x f x x -≤≤?=?<≤? 3. 如果()e ,x f x -=则(ln ) d f x x x '=? ( )B A. 1C x - + B. 1 C x + C. ln x C -+ D. ln x C + 4. 曲线y x = 渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为 偶函数，则 [()()]d a a f x g x x -''''+=?( ) D A. ()()f a g a ''+ B. ()()f a g a ''- C. 2()f a ' D. 2()g a ' 二． 填空题：（每小题3分，共15分） 1. 要使函数22 32()4 x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = . 14 2. 曲线2 e x y -=在区间 上是凸的. (,22 - 序号
3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+ 4. 曲线2 3 1x t y t ?=+?=?在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5. 定积分1 1 (cos x x x -+=? . π2 三．解下列各题：（每小题10分，共40分） 1．求下列极限 （1）22011lim .ln(1)x x x →?? -??+? ?. 解：原式=2240ln(1) lim x x x x →-+ …………..2分 2302211lim .42 x x x x x →-+== ………….3分 （2）()2 2 2 20 e d lim e d x t x x t t t t -→?? . 解：原式= () 2 2 2 20 2 e d e lim e x t x x x t x --→?? ………….3分 2 2 00 0e d e =2lim 2lim 2.1 x t x x x t x --→→==? …………..2分 2. 求曲线0π tan d (0)4 x y t t x =≤≤?的弧长. 解： s x x == …………..5分 π π440 sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+? ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++?求()d .f x x ?
高等数学[下册]期末考试试题和答案解析
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．
(精选)大一高数期末考试试题
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim() x x x e x →-= .2． ()()1 2005 1 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程 2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导，且1 ()()x tf t dt f x =?，1)0(=f ， 则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1．设常数0>k ，则函数 k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分 方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x *=; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ） x A y 2sin *=.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积, 则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0 x t f t dt ?也为奇函数.4. 设 ()x x e e x f 11 321++= , 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1． 计算定积分 2 30 x e dx - 2．2．计算不定积分dx x x x ? 5cos sin . 求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在 2π= t 处的切线的方程.
高等数学试卷 含答案 下册
高等数学II 试题 一、填空题（每小题3分，共计15分） 1．设(,)z f x y =由方程xz xy yz e -+=确定，则 z x ?= ? 。 2．函数 23 2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大。 3．L 为圆周2 2 4x y +=，计算对弧长的曲线积分?+L ds y x 22= 。 4．已知曲线23 ,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=，则点P 的坐标为 或 。 5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]-的定义为 210()01x f x x x -<≤?=? <≤?，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 。 二、解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．设) ,(y x f 连续，交换二次积分 1 201(,)x I dx f x y dy -=??的积分顺序。 2．计算二重积分D ，其中D 是由y 轴及圆周22 (1)1x y +-=所 围成的在第一象限内的区域。 3．设Ω是由球面z =z =围成的区域，试将三重 积分 222()I f x y z dxdydz Ω =++???化为球坐标系下的三次积分。 4．设曲线积分[()]()x L f x e ydx f x dy --?与路径无关，其中()f x 具有一阶连 续导数，且(0)1f =，求()f x 。 5．求微分方程2x y y y e -'''-+=的通解。 三、(10分)计算曲面积分 2 y dzdx zdxdy ∑ +??，其中∑是球面 2224(0)x y z z ++=≥的上侧。 四、(10分)计算三重积分()x y z dxdydz Ω ++???，其中Ω由2 2z x y =+与1 z =围成的区域。 五、(10分)求22 1z x y =++在1y x =-下的极值。 六、(10分)求有抛物面22 1z x y =--与平面0z =所围立体的表面积。
微积分期末测试题及答案
微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .
高数下试题及答案
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
同济大学版高等数学期末考试试卷
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???
高等数学(A)下期末试卷及答案
《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）
(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2
2017大一第一学期期末高数A试卷及答案
高等数学I 1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 2 2βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限 a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f ' （D ） ) (31 a f ' 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++ - . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直 线l 的方程为 13 1211--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-.
(完整word版)同济大学版高等数学期末考试试卷
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、 22 22222 (,)(0,0) (1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2 +=，则 =???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).2 12211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).322 12211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).322 12211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322 111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122 : -= += -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区 域内两个二阶混合偏导必相等；
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