局解“三角”总结
【关键词】局部解剖学；三角区；临床应用
在人体内有许多三角区，它们是局部解剖学的重要内容，也是人体结构的重要组成部份。有的三角区是手术中寻找血管的标志，有的是穿刺部位，有的用作鉴别疾病，有的为危险区等。因此掌握三角区对系统学习局部解剖学，指导临床有极其重要的意义。
1 头部三角
(1)危险三角为两侧口角至鼻根连线所形成的三角形区。面静脉可经内眦静脉、眼静脉与海绵窦交通，也可经面深静脉、翼丛等与海绵窦交通。口角平面以上的面静脉常无静脉瓣，当面部感染引起疖、痈时，可经上述途径至海绵窦，引起化脓性海绵状静脉窦炎、脑膜炎等，故该处感染应避免挤压。
(2)磨牙后三角由下颌骨内斜线和外斜线向上延伸相交而成。其基底部是最后磨牙的远中面，为下牙槽神经传导麻醉时穿刺点的重要标志之一。
(3)颊脂体三角位于颊粘膜下，底位于颊部，尖端靠近翼下颌韧带，相当于下颌孔平面。亦为下牙槽神经传导麻醉时穿刺点的重要标志之一。
(4)外耳道上三角(Macewen三角)位于外耳道上棘(Henle棘)的后方。上界为颧突后根的水平延长线(颞线)，前界是骨性外耳道后缘的切线，后下界为自颧突后根的延长线引至外耳道下缘之斜线。乳突凿开术时应以此三角和Henle棘为标志，开放鼓窦和乳突小房。但应注意勿向上误入颅中窝或伤及硬脑膜，向后易伤及乙状窦。
(5)脑桥小脑三角脑桥臂、延髓与小脑交界的三角形区域。前庭蜗神经根和面神经根恰连于此，在其上方有三叉神经根，下方与舌咽神经根和迷走神经根邻近，后方为小脑。因此，当此处有炎症或肿瘤时，会出现一系列症状和体征，称为脑桥小脑角综合征。最常见的是听神经瘤和蛛网膜炎等，随着病灶的扩大逐渐影响周围结构，从而产生相应的症状。此三角的血管、神经走行较为复杂，在其内手术时应注意避免伤及上述结构［1 3］。
2 颈部三角
(1)颏下三角为左、右二腹肌前腹与舌骨体围成的三角区，此区内有1～3个颏下淋巴结，为颏下恶性肿瘤、颏下区结节性筋膜炎的好发处［1］。
(2)下颌下三角（二腹肌三角）由二腹肌前、后腹与下颌体下缘围成，内有下颌下腺、面动脉、舌动脉、舌神经、舌下神经和下颌下神经节以及4～6个下颌下淋巴结。为颌下腺炎、颌下淋巴结炎的病变处。此区手术要保护舌神经、舌下神经以及下颌下神经节，以免引起舌前2/3感觉障碍、舌肌瘫痪和唾液分泌障碍。
(3)颈动脉三角由胸锁乳突肌上份前缘、肩胛舌骨肌上腹和二腹肌后腹围成。内有颈内静脉及属支、颈总动脉及分支、舌下神经及降支、迷走神经及分支、副神经及部分颈深淋巴结。由于颈总动脉位置表浅、在活体可摸到其搏动。当头面部出血时，可在平环状软骨高度向后内将颈总动脉压向第六颈椎的颈动脉结节进行止血。针刺“人迎”穴治疗高血压、低血压、哮喘等病时，应向深部触压颈总动脉，避开颈总动脉直刺。
(4)肌三角位于颈前正中线、胸锁乳突肌前缘、肩胛舌骨肌上腹之间。三角内有舌骨下肌群、甲状腺、甲状旁腺、气管颈部和食管颈部等器官。当甲状腺肿大时，如向后内侧压迫喉、气管可出现呼吸、吞咽困难或声音嘶哑；若向后外方压迫颈交感干可出现Horner综合征。在行甲状腺次全切术，结扎甲状腺下动脉时，应远离甲状腺下极，靠近颈动脉鞘处结扎，以免损伤喉返神经引起声音嘶哑；而结扎甲状腺上动脉时，应紧贴甲状腺上极，以免损伤喉上神经外支而出现声音低钝或呛咳等。部份病人在行低位气管切开或甲状腺手术时，还要注意勿伤甲状腺最下动脉。此外甲状腺手术时，还应尽量保留甲状旁腺，以免引起钙、磷代谢紊乱。 (5椎动脉三角内侧界为颈长肌、外侧界为前斜角肌，下界为锁骨下动脉第1段，尖为第6颈椎横突前结节。三角内有椎动、静脉、甲状腺下动脉、颈交感干和颈胸神经节等。颈椎骨质增生或颈椎病可引起椎动脉受压引起脑供血不足致眩晕。临床上可经股动脉穿刺椎动脉灌注化疗治疗脑干肿瘤［2］。星状神经节阻滞治疗突发性耳聋经此三角时，注意不误伤周围血管以免引起血肿。
(6)枕三角（肩胛舌骨肌斜方肌三角）位于胸锁乳突肌后缘、斜方肌前缘与肩胛舌骨肌下腹上缘之间。此三角内主要有副神经、颈丛和臂丛的分支。在颈部淋巴结清除术时，应避免损伤副神经。
(7)锁骨上三角（肩胛舌骨肌锁骨三角、锁骨上大窝）由胸锁乳突肌后缘、肩胛舌骨肌下腹和锁骨上缘中1/3段围成。主要有锁骨下动、静脉和和臂丛。此三角是上肢手术时臂丛阻滞麻醉处。当食管下部癌、胃癌转移时，左侧此三角可触及肿大的锁骨上淋巴结［4 6］。
3 胸部三角
(1) 胸肋三角位于膈的胸骨部和肋部之间,有腹壁上血管和来自腹壁和肝上面的
淋巴管通过，是膈疝好发处。腰肋三角位于膈的腰部和肋部之间，底为第12肋。
(2)腰肋三角的前方与肾相邻，后方有肋膈隐窝，故手术时应注意保护胸膜，以免引起气胸。此三角还是膈疝好发处。
(3)胸腺三角和心包三角两侧胸膜前界在第2～4胸肋关节高度靠拢，上段和下段分开，形成上、下两个三角形无胸膜区。上区叫胸腺区即胸腺三角，内有胸腺，为胸腺瘤的好发处，临床可经胸腔镜切除。下区为心包区，内有心包和心，为心包炎和心脏病好发处。
(4)食管上三角由左锁骨下动脉、脊柱和主动脉弓围成，内有胸导管和食管上部。食管癌切除术在此三角切开纵隔胸膜时应避免损伤胸导管，以免引起乳糜胸。 (5)食管下三角在心包、胸主动脉和膈之间围成食管下三角，内有食管下部和迷走神经。电视胸腔镜下行食管肌层切开手术治疗贲门失弛缓症，经此三角时，应注意避免损伤迷走神经及胸主动脉。
(6)动脉导管三角左膈神经、左迷走神经和左肺动脉围成，内有动脉韧带、左喉返神经和心浅丛。动脉导管三角是手术中寻找动脉导管的标志。动脉导管若在出生后1年内尚未闭锁，为动脉导管未闭，可介入或结扎治疗，经此三角手术注意勿伤喉返神经。
4 腹部三角
(1)腹股沟三角（海氏三角）由腹直肌外侧缘、腹股沟韧带和腹壁下动脉围成，为腹前外侧壁的薄弱区。它是腹股沟直疝好发处。
(2)胆囊三角（Calot三角）由胆囊管、肝总管和肝下面三者所组成，此三角常作为寻找胆囊动脉的标志。胆囊动脉常起自肝右动脉，但变异较多，如起自肝固有动脉或其左支、胃十二指肠动脉等，也有双胆囊动脉或三胆囊动脉［3］。变异的动脉常行经肝总管或胆总管的前方，胆囊或胆总管手术应注意。
5 盆、会阴区三角
(1)膀胱三角在膀胱底内面,两输尿管口和尿道内口三者之间的区域,为结核和肿
瘤好发处。临床可经膀胱镜膀胱三角区药物注射治疗间质性膀胱炎［4］等。膀胱三角位于膀胱底的内面，为左右输尿管口及尿道内口之间的三角形区域。该区域缺少粘膜下层，粘膜与肌层紧密相贴，无论膀胱充盈或空虚时，均保持平滑状态。两侧输尿管之间有一隆起横行粘膜皱襞叫输尿管间襞，粘膜深面有横行的平滑机束，膀胱镜检时，可见这一皱襞呈苍白色，是寻找输尿管口的标志;该三角是肿瘤和结核的好发部位，是膀胱镜检时的重点区域，具有重要临床意义［7］。尿生殖三角(尿生殖区)由左、右坐骨结节和耻骨联合围成，被尿生殖膈封闭，男性有尿道，女性有尿道和阴道通过。胎儿娩出时，要保护此区，以免引起裂伤。临床行尿道前列腺电切术时，要避免伤及尿道括约肌，以免引起尿失禁。
(2)肛门三角（肛区）由左、右坐骨结节和尾骨尖围成，被盆膈封闭，中央有肛管通过。肛门或肛周脓肿发生在此三角，此区手术要注意勿伤盆膈及肛管，以免引起大便失禁。
6 脊柱区三角
(1)枕下三角位于枕下，由枕下肌围成的三角。其内上界为头后大直肌、外上界为头上斜肌，外下界为头下斜肌。三角内有枕下神经和椎动脉经过。当从枕下远外侧入路手术治疗斜坡及枕骨大孔前方脑干腹侧病变时，要以寰椎横突和枕下三角作为重要解剖标志。
(2)听诊三角（肩胛旁三角）在肩胛骨下角内侧，其内上界为斜方肌的外下缘、外侧界为肩胛骨脊柱缘，下界为背阔肌上缘。它是背部听诊呼吸音最清楚的部分。临床可采取经此三角小切口治疗动脉导管未闭和自发性气胸。
(3)腰上三角位于背阔肌深面，第12肋的下方。三角的内侧界为竖脊肌外侧缘，外下界为腹内斜肌后缘，上界为第12肋。三角底深面有肋下神经、髂腹下神经和髂腹股沟神经。肾手术的腹膜外入路必经此三角，手术时要保护上述神经。肾周围脓肿可在此切开引流。此外，它还是腹后壁薄弱区，为腰疝好发处。
(4)腰下三角位于腰上三角的外下方。由髂嵴、腹外斜肌后缘和背阔肌前下缘围成。此三角为腹后壁又一薄弱区，可形成腰疝。此外，泌尿外科手术可采取经腰下三角切口径路。
7 上、下肢三角
(1)肘后三角肘关节屈曲呈直角时，肱骨内、外上髁和鹰嘴3点构成等腰三角形，称肘后三角。肘关节脱位和肱骨髁上骨折以此三角鉴别。
(2)肘外侧三角肘关节屈曲90°时，肱骨外上髁、桡骨头与鹰嘴尖端构成的等腰三角形，其中心点可作为肘关节穿刺的进针点。
(3)股三角位于股前内侧区上1/3部，上界为腹股沟韧带、外下界为缝匠肌内侧缘，内下界为长收肌内侧缘。三角内主要有股神经、股鞘及包含的股动、静脉、股管等。临床可在此处施行股静脉穿刺［8］。下肢出血可在此三角的上界中点
压迫止血［9］。股管还是股疝发生处。
解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 2）化边为角： C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。 0.1信号、系统与信号处理 1.信号及其分类 信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。 分类： 周期信号/非周期信号 确定信号/随机信号 能量信号/功率信号 连续时间信号/离散时间信号/数字信号 按自变量与函数值的取值形式不同分类： 2.系统 系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。 3.信号处理 信号处理即是用系统对信号进行某种加工。包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。所谓“数字信号处理”，就是用数值计算的方法，完成对信号的处理。 0.2 数字信号处理系统的基本组成 数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信号的处理，而且 也可应用于模拟信号的处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。 （1）前置滤波器 将输入信号x a(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。 （2）A/D变换器 在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次x a(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。在A/D 变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。 （3）数字信号处理器（DSP） （4）D/A变换器 按照预定要求，在处理器中将信号序列x(n)进行加工处理得到输出信号y(n)。由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。 （5）模拟滤波器 把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a(t)。 0.3 数字信号处理的特点 （1）灵活性。（2）高精度和高稳定性。（3）便于大规模集成。（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。 0.4 数字信号处理基本学科分支 数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术——DigitalSignalProcessing，另一层是狭义的理解，为数字信号处理器——DigitalSignalProcessor。 0.5 课程内容 该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，包括：（1）离散傅里叶变换及其快速算法。（2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号频谱占据不同的频段）。 在研究生阶段相应课程为“现代信号处理”（AdvancedSignalProcessing）。信号对象主要是随机信号，主要内容是自适应滤波（用于分离相加性组合的信号，但频谱占据同一频段）和现代谱估计。 简答题： 1．按自变量与函数值的取值形式是否连续信号可以分成哪四种类型? 2．相对模拟信号处理，数字信号处理主要有哪些优点? 3．数字信号处理系统的基本组成有哪些？ 第一章解三角形 .正弦定理: 2）化边为角： a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 ）化边为角： a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 ）化角为边: sin A sin B a ； sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 ）化角为边：si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ① 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中，已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时，B 无解； ② a bsinA 或a b 时，B 有一个解; ③ bsinA a b 时，B 有两个解。 如：①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径， 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形：1） a b c a sin sin si sin 2R （其中R 是三角形外接圆的半径） b c sin sinC c 2R 沁；求出 sin C 1.正弦定理：在一个三角形中, bsin A 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 低通滤波：又叫一阶惯性滤波，或一阶低通滤波。是使用软件编程实现普通硬件RC 低通滤波器的功能。 适用范围：单个信号，有高频干扰信号。 一阶低通滤波的算法公式为： Y(n)X(n)(1)Y(n 1)αα=+-- 式中： α是滤波系数；X(n)是本次采样值；Y(n 1)-是上次滤波输出值；Y(n)是本次滤波输出值。 滤波效果1： 红色线是滤波前数据（matlab 中生成的正弦波加高斯白噪声信号） 黄色线是滤波后结果。 滤波效果2： matlab中函数，相当于一阶滤波，蓝色是原始数据（GPS采集到的x（北）方向数据，单位m），红色是滤波结果。 一阶滤波算法的不足： 一阶滤波无法完美地兼顾灵敏度和平稳度。有时，我们只能寻找一个平衡，在可接受的灵敏度范围内取得尽可能好的平稳度。 互补滤波：适用于两种传感器进行融合的场合。必须是一种传感器高频特性好（动态响应好但有累积误差，比如陀螺仪。），另一传感器低频特性好（动态响应差但是没有累积误差，比如加速度计）。他们在频域上互补，所以进行互补滤波融合可以提高测量精度和系统动态性能。 应用：陀螺仪数据和加速度计数据的融合。 互补滤波的算法公式为： 1122Y(n)X (n)(X (n)Y(n 1))αα+=+-- 式中：1α和2α是滤波系数；1X (n)和2X (n)是本次采样值；Y(n 1)-是上次滤 波输出值；Y(n)是本次滤波输出值。 滤波效果 （测试数据）： 蓝色是陀螺仪 信号，红色是加 速度计信号，黄 色是滤波后的 角度。 . 互补滤波实际效果： . 卡尔曼滤波：卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm （最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测。 首先，用于测量的系统必须是线性的。 (k)(k 1)(k)(k)X AX BU w =-++ (k)(k)(k)Z HX v =+ (k)X 是系统k 时刻的状态，(k)U 是系统k 时刻的控制量。(k)Z 是系统k 时 刻的测量值。A 和B 为系统参数，(k)w 和(k)v 分别表示过程和测量的噪声，H 是测量系统参数。 在进行卡尔曼滤波时： 首先进行先验预测： (k 1|k)(k |k)(k)(k)X AX BU w +=++ 计算先验预测方差： '(k 1|k)(k |k)(k)P AP A Q +=+ 计算增益矩阵： (k 1)(k 1|k)'/((k 1|k)'(k 1))Kg P H HP H R +=++++ 后验估计值： (k 1|k 1)(k 1|k)(k 1)(Z(k 1)(k 1|k))X X Kg HX ++=++++-+ 后验预测方差： (k 1|k 1)(1(k 1))(k 1|k)P Kg H P ++=-++ 其中，(k)Q 是系统过程激励噪声协方差，(k)R 是测量噪声协方差。 举例说明： （下文中加粗的是专有名词，需要理解） 预测小车的位置和速度的例子（博客+自己理解）: 基础强化（8）——解三角形 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； ②. 三角形三边关系：a+b>c; a-b 实用标准 —tanC。 例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6 解三角形专题题型归纳 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 第一章信号 1.信息是消息的内容，消息是信息的表现形式，信号是信息的载体 2.信号的特性：时间特性，频率特性 3.若信号可以用确定性图形、曲线或数学表达式来准确描述，则该信号为确定性信号 若信号不遵循确定性规律，具有某种不确定性，则该信号为随机信号 4.信号分类：能量信号，一个信号如果能量有限；功率信号，如果一个信号功率是有限的 5.周期信号、阶跃信号、随机信号、直流信号等是功率信号，它们的能量为无限 6.信号的频谱有两类：幅度谱，相位谱 7.信号分析的基本方法：把频率作为信号的自变量，在频域里进行信号的频谱分析 第二章连续信号的频域分析 1.周期信号频谱分析的常用工具：傅里叶三角级数;傅里叶复指数 2.利用傅里叶三角级数可以把周期信号分解成无穷多个正、余弦信号的加权和3频谱反映信号的频率结构，幅频特性表示谐波的幅值，相频特性反映谐波的相位 4.周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性 5.周期信号由无穷多个余弦分量组成 周期信号幅频谱线的大小表示谐波分量的幅值 相频谱线大小表示谐波分量的相位 6.周期信号的功率谱等于幅值谱平方和的一半，功率谱反映周期信号各次谐波的功率分配关系，周期信号在时域的平均功率等于其各次谐波功率之和 7.非周期信号可看成周期趋于无穷大的周期信号 8.周期T0增大对频谱的影响：谱线变密集，谱线的幅度减少 9.非周期信号频谱的特点：非周期信号也可以进行正交变换； 非周期信号完备正交函数集是一个无限密集的连续函数集； 非周期信号的频谱是连续的； 非周期信号可以用其自身的积分表示 10.常见奇异信号：单位冲激信号，单位直流信号，符号函数信号，单位阶跃信号 11.周期信号的傅里叶变换：周期信号：一个周期绝对可积à傅里叶级数à离散谱 非周期信号：无限区间绝对可积à傅里叶变换à连续谱 12.周期信号的傅立叶变换是无穷多个冲激函数的线性组合 脉冲函数的位置：ω＝nω0 , n=0,±1,±2, ….. 脉冲函数的强度：傅里叶复指数系数的2π倍 周期信号的傅立叶变换也是离散的； 谱线间隔与傅里叶级数谱线间隔相同 13.信号的持续时间与信号占有频带成反比 14.信号在时域的翻转，对应信号在频域的翻转 15.频域频移，时域只有相移，幅频不变；时域相移，只导致频域频移，相位不变 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 解三角形知识点归纳总 结 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于 外接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半 径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 2）化边为角： C B A c b a sin :sin :sin ::=； 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用 正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin( 三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 欢迎阅读 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 三角函数知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 三角函数和解三角形知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点及原点重合，角的始边及x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α 为第几象限 角．第一象限角的集合为 {}360 36090,k k k αα?<，则，，． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11 、 角 三 角 函 数 的基本关系：()221sin cos 1 αα+=() 2 222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-； z 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b < 第一章解三角形 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180,求角A,由正弦定理a =sinA ； b =sin B ； a =sin A ：求出匕与。 b sin B c sin C c sin C ②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理生二业求出角B ,由A+B+C=180求出角C,再使用正弦定理弓二sinA b sin B 4. △ ABC 中，已知锐角A,边b,贝U ① a :: bsinA 时，B 无解； ② a = bsin A 或a _ b 时，B 有一个解; ③ bsin A ::: a ::: b 时，B 有两个解。 如：①已知A = 60 Y a = 2, b = 2 3 ,求B （有一个解） ②已知A = 60 Y b =2,a = 2、、3,求B （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。 二. 三角形面积 1 1 1 1. S ABC absi nC bcsi nA acsi nB 2 2 2 .正弦定理: 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 — b — =2R （其中R 是三角形外接圆的半径） sin A sin B sin C abc 2.变形: 1) a b c a b sin A+si n E+si nC si n A si n E sinC 2）化边为角: a : b : c = sin A: sin B :sin C ； 7 a sin A ； b sin B a sin A b sin B c sin C ' c sin C ）化边为角: a = 2Rsin A, b=2Rsin B, c = 2RsinC ）化角为边: ）化角为边: sin A a ; ; sin B b sin A =— 2R si n B b si nA a sin C c sin C c ' si nB=2, si 门。=￡ 2R 2R 求 c sin C - 1 - 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b数字信号处理复习总结-最终版
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