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必修2第三章直线与方程(整章教案)

必修2第三章直线与方程(整章教案)
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第三章直线与方程

3.1.1直线的倾斜角和斜率

教学目标:

知识与技能

(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.

(2)理解直线的倾斜角的唯一性.

(3)理解直线的斜率的存在性.

过程与方法

斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式.

情感态度与价值观

(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生

观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.

(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,

培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精

神.

重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

教学用具:计算机

教学方法:启发、引导、讨论.

教学过程:

(一)直线的倾斜角的概念

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

(1)它们都经过点P. (2)它们的…倾斜程度?不同. 怎样描述这种…倾斜程度?的不同?

引入直线的倾斜角的概念:

当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角

....特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α<180°.

当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

如图, 直线a∥b∥c, 那么它们

的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点

...P.和一个倾斜角

......α..

(二)直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

例如, α=45°时, k = tan45°= 1;

α=135°时, k = tan135°= tan(180°-45°) = - tan45°= - 1.

学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.

(三) 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?

可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,

共同完成斜率公式的推导.(略) Array

斜率公式:

对于上面的斜率公式要注意下面四点:

(1) 当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直;

(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;

(4) 当y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°,直线与x轴平行或重合.

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.

(四)例题:

例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)

分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角; 而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.

略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;

直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;

直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.

例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可. 略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),

根据斜率公式有1=(y-0)/(x-0)所以x = y

可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1), 可作直线a。同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)

(五)练习: P86 1. 2. 3. 4.

(六)小结:

(1)直线的倾斜角和斜率的概念.(2) 直线的斜率公式.

(七)课后作业: P89 习题3.1 1. 3.

(八)板书设计:

3.1.2两条直线的平行与垂直

教学目标

(一)知识与技能

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

(二)过程与方法

通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力.

(三)情感态度与价值观

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.

重点:两条直线平行和垂直的条件是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用.

难点:启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题.

注意:对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题.

教学过程

(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.

讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直.

(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直

设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?

首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果L1∥L2(图1-29),那么它们的倾斜角相等:α1=α2.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)

∴tanα1=tanα2.即k1=k2.

反过来,如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2,那么tgα1=tgα2.

由于0°≤α1<180°,0°≤α2<180°,∴α1=α2.又∵两条直线不重合,∴L1∥L2.

结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在

........的前提下才成立的,缺少这个前提,结论

并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.

下面我们研究两条直线垂直的情形.

如果L1⊥L2,这时α1≠α2,否则两直线平行.

设α2<α1(图1-30),甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方;乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方;丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上,无论哪种情况下都有α1=90°+α2.因为L1、L2的斜率分别是k1、k2,即α1≠90°,所以α2≠0°.

可以推出: α1=90°+α2.L1⊥L2.

结论: 两条直线都有斜率

........,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.

(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等).

例题

例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.

分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)

解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.

例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想:四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)

解同上.

例3已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.

解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为k1·k2 = -1 所以AB⊥PQ.

例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC 的形状.

分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC 是直角三角形, 其中AB ⊥BC,

再通过计算加以验证.(图略)

课堂练习 P89 练习 1. 2.

课后小结(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件;(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.

布置作业 P89 习题3.1 5. 8.

板书设计

3.2.1 直线的点斜式方程

一、教学目标

1、知识与技能

(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围;

(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.

2、过程与方法

在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上,通过师生探讨,得出直线的点斜式方程;学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

3、情感情态与价值观

通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系,进一步培养学生数形结合的思想,渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点:

(1)重点:直线的点斜式方程和斜截式方程。

(2)难点:直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

教学方法 :启发引导式 发现探究式

教学用具:计算机 实物投影仪

教学过程设计:

【创设情景】

师:上一节我们分析了在直角坐标系内确定一条直线的几何要素。那么,我们能否

用给定的条件(点P 0的坐标和斜率k ,或P 1,P 2的坐标),将直线上的所有点

的坐标(,x y )满足的关系表示出来呢?这节课,我们一起学习直线的点斜式

方程。

【探求新知】

师:若直线l 经过点000(,)P x y ,且斜率为k ,求直线l 的方程。

生:(给学生以适当的引导)设点P (,x y )是直线l 上不同于点0P 的任意一点,因

为直线l 的斜率为k ,

由斜率公式得:

00

y y k x x -=-,可化为: 00()y y k x x -=- ……………… ①

〖探究〗:思考下面的问题:(不必严格地证明,只要求验证)

(1)、过点000(,)P x y ,斜率为k 的直线l 上的点,其坐标都满足方程①吗?

(2)、坐标满足方程①的点都在过点000(,)P x y ,斜率为k 的直线l 上吗?

生:经过探究和验证,上述的两条都成立。所以方程①就是过点000(,)P x y ,斜率为

k 的直线l 的方程。

因此得到:

(一)、直线的点斜式方程:

其中(00,x y )为直线上一点坐标,k 为直线的斜率。

方程①是由直线上一定点及其斜率确定,叫做直线的点斜式方程,简称点斜式。 师:直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?(让学生思考,互相讨论)

生1:不能,因为不是所有的直线都有斜率。

生2:对,因为直线的点斜式方程要用到直线的斜率,有斜率的直线才能写成点斜式

方程,如果直线没有斜率,其方程就不能用点斜式表示。

师:very good !

那么,x 轴所在直线的方程是什么?y 轴所在直线的方程又是什么?

生:因为x 轴所在直线的斜率为k =0,且过点(0,0),

所以x 轴所在直线的方程是y =0。(即:x 轴所在直线上的每一点的纵坐标都

等于0。)

而y 轴所在直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示。但y 轴所在直线

上的每一点的横坐标都等于0。

所以y 轴所在直线的方程为:x =0。

师:那些与x 轴或y 轴平行的直线方程又如何表示呢?

生:(猜想)与x 轴平行的直线的方程为:0y y =;

与y 轴平行的直线的方程为:0x x =。

师:当直线l 的倾斜角为0°时,0tan 00=,即k =0,直线l 与x 轴平行或重合,

直线l 方程为:00y y -=,或0y y =。

当直线倾斜角为90°时,直线没有斜率,直线l 与y 轴平行或重合,它的方程

不能用点斜式表示。这时直线方程为:00x x -=,或0x x =。

经过分析,同学们的猜想是正确的。

师:已知直线的斜率为k ,与y 轴的交点是P (0,b ),求直线l 的方程。

生:因为直线l 的斜率为k ,与y 轴的交点是P (0,b ),代入直线方程的点斜式,

得直线l 的方程为: )0(-=-x k b y 即:

b kx y +=

(二)、直线斜截式方程:

…………

我们把直线l 与y 轴交点(0,b )的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距(即

纵截距)。方程②是由直线l 的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定的,所以叫做直线斜截式方程,简称为斜截式。

师:截距是距离吗?

生:不是,b 为直线l 在y 轴上截距,截距不是距离,截距是直线与坐标轴交点的相

应坐标,是一个实数,可正可负可为零;距离是线段的长度,是非负实数。

师:观察方程b kx y +=,它的形式具有什么特点?

生:左端y 的系数恒为1,右端的系数k 和常数b 均有几何意义:k 是直线的斜率,

b 是直线在y 轴上的截距。

师:当直线倾斜角为90°时,它的方程能不能用斜截式来表示?

生:不能,因为直线没有斜率。

师:方程b kx y +=与我们学过的一次函数的表达式之间有什么关系呢?

生:当0≠k 时,直线斜截式方程b kx y +=就是一次函数的表示形式。

【例题分析】

〖例1〗直线l 经过点P 0(-2,3),且倾斜角α=45°,求直线l 的点斜式方程,并画出

直线l 。

师:分析并根据已知条件,先求得直线方程的斜率。代入直线的点斜式方程即可求

得。

生:(思考后自主完成解题过程)

解:直线l 经过点P 0(-2,3),斜率是:

45tan =?=k 代入点斜式方程得325y x y x -=+=+,即。

这就是所求的直线方程,如右图中所示。(画图时,只需要再找到满足方程的另一个点即可。)

〖例2〗已知直线111222::l y k x b l y k x b =+=+,,

试讨论:(1)12//l l 的条件是什么?(2)12l l ⊥的条件是什么?

师:让学生回忆前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论。

生:(思考后互相交流意见、想法。)总结得到:

对于直线111222::l y k x b l y k x b =+=+,,

121212//,l l k k b b ?=≠且; 12121l l k k ⊥?=-

【课堂精练】

课本P 95练习1,2,3,4。

说明:通过加强练习来熟悉直线方程的点斜式与斜截式。

【课堂小结】

师生:通过本节内容的学习,要求大家掌握直线方程的点斜式,了解直线方程的斜截

式,并了解求解直线方程的一般思路。 求直线方程需要两个独立的条件(斜率

及一点),根据不同的几何条件选用不同形式的方程。

【课后作业】

P 100 习题3.2 1.(1)、(2)、(3)、(5)、(6)

3.2.2 直线的两点式方程

一、教学目标

1、知识与技能

(1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围;

(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论,并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观

(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化;

(2)培养学生用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点:

1、 重点:直线方程两点式。

2、难点:两点式推导过程的理解。

三、教学方法:学导式

四、教具准备:幻灯片

五、教学过程

Ⅰ.复习回顾

师:上一节课,我们一起学习了直线方程的点斜式,并要求大家熟练掌握,首先我们作一简要的回顾(略), 这一节,我们将利用点斜式来推导直线方程的两点式.

Ⅱ.讲授新课

1. 直线方程的两点式:),(21211

21121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=-- 其中2211,,,y x y x 是直线两点),(),,(2211y x y x 的坐标.

推导:因为直线l 经过点),(),,(222111y x P y x P ,并且21x x ≠,所以它的斜率1212x x y y k --=.代入点斜式,得,)(11

2121x x x x y y y y ---=-. 当12112112,x x x x y y y y y y --=--≠方程可以写成

时. 说明:①这个方程由直线上两点确定;

②当直线没有斜率(21x x =)或斜率为)(021y y =时,不能用两点式求出它的方程.

2. 直线方程的截距式:1=+b

y a x ,其中a ,b 分别为直线在x 轴和y 轴上截距. 说明:①这一直线方程由直线在x 轴和y 轴上的截距确定,所以叫做直线方程的截距式;

②截距式的推导由例2给出.

3. 例题讲解:

例2.已知直线l 与x 轴的交点为(a ,0),与y 轴的交点为(0,b ),其中a ≠0,b ≠0,求直线l 的方程.

解:因为直线l 经过A (a ,0)和B (0,b )两点,将这两点的坐标代入两点式,得:

.1,000=+--=--b

y a x a a x b y 就是

说明:此题应用两点式推导出了直线方程的截距式.

例3.三角形的顶点是A (-5,0)、B (3,-3)、C (0,2),求这

个三角形三边所在直线的方程.

解:直线AB 过A (-5,0)、B (3,-3)两点,由两点式得

)

5(3)5(030----=---x y 整理得:01583=++y x ,即直线AB 的方程.

直线BC 过C (0,2),斜率是3

530)3(2-=---=k , 由点斜式得:)0(3

52--=-x y

整理得:0635=-+y x ,即直线BC 的方程. 直线AC 过A (-5,0),C (0,2)两点,由两点式得:)

5(0)5(020----=--x y 整理得:01052=+-y x ,即直线AC 的方程.

说明:例3中用到了直线方程的点斜式与两点式,说明了求解直线方程的灵活性,应让学生引起注意.

Ⅲ.课堂练习:课本P97练习 1、2、3

Ⅳ.课堂小结

师:通过本节学习,要求大家掌握直线方程的两点式,并能运用直线方程的多种形式灵活求解直线方程.

Ⅴ.课后作业:P100习题3.2 2、3、4

3.2.3 直线的一般式方程

一、教学目标

1、知识与技能

(1)明确直线方程一般式的形式特征;

(2)会把直线方程的一般式化为斜截式,进而求斜率和截距;

(3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2、过程与方法

学会用分类讨论的思想方法解决问题。

3、情态与价值观

(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化;

(2)用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点:

1、重点:直线方程的一般式。

2、难点:对直线方程一般式的理解与应用。

三、教学过程

(一)、引入新课

点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线;两点式不能表示与坐标轴平行的直线;截距式既不能表示与坐标轴平行的直线,又不能表示过原点的直线.与x轴垂直的直线可表示成x=x0,与x轴平行的直线可表示成y=y0。它们都是二元一次方程.

我们问:直线的方程都可以写成二元一次方程吗?反过来,二元一次方程都表示直线吗?

(二)直线方程的一般形式

我们知道,在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α.当α≠90°时,直线有斜率,方程可写成下面的形式:

y=kx+b

当α=90°时,它的方程可以写成x=x0的形式.

由于是在坐标平面上讨论问题,上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程.这样,对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程,就是说,直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程.

反过来,对于x、y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0.①其中A、B不同时为零.

(1)当B≠0时,方程①可化为:

这里,我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论,不弄清这一点,会感到上面的论证不知所云.

(2)当B=0时,由于A、B不同时为零,必有A≠0,方程(1)可化为:

它表示一条与y轴平行的直线.

这样,我们又有:关于x和y的一次方程都表示一条直线.我们把方程写为

Ax+By+C=0

这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式.

引导学生思考:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应?

直线与二元一次方程是一对多的,同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程.

(三)例题

解:直线的点斜式是

化成一般式得4x+3y-12=0.

把常数次移到等号右边,再把方程两边都除以12,就得到截距式

讲解这个例题时,要顺便解决好下面几个问题:(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点,因此是不唯一的,一般不作为最后结果保留,须进一步化简;(2)直线方程的一般式也是不唯一的,因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解,一般方程可作为最终结果保留,但须化为各系数既无公约数也不是分数;

(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的,如无特别要求,可作为最终结果保留.

例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式,求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距,并画图.

解:将原方程移项,得2y=x+6,两边除以2得斜截式:

x=-6

根据直线过点A(-6,0)、B(0,3),在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28).

本例题由学生完成,老师讲清下面的问题:二元一次方程的图形是直线,一条直线可由其方向和它上面的一点确定,也可由直线上的两点确定,利用前一点作图比较麻烦,通常我们是找出直线在两轴上的截距,然后在两轴上找出相应的点连线.

例3 证明:三点A(1,3)、B(5,7)、C(10,12)在

同一条直线上.

证法一直线AB的方程是:

化简得 y=x+2.

将点C的坐标代入上面的方程,等式成立.

∴A、B、C三点共线.

∴A、B、C三点共线.

∵|AB|+|BC|=|AC|,

∴A、C、C三点共线.

讲解本例题可开拓学生思路,培养学生灵活运用知识解决问题的能力.

(四)课堂练习:P99练习1、2、3

(五)课堂小结:

(1)归纳直线方程的五种形式及其特点.

(2)例4一般化:求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时,可用定比分点公式设出交点的坐标,代入已知直线(或曲线)求得.

(六)布置作业:习题3.2 5、9、10

3.3.1两条直线的交点坐标

教学目标

知识与技能:1.直线和直线的交点

2.二元一次方程组的解

过程和方法:1.学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法。

2.掌握数形结合的学习法。

3.组成学习小组,分别对直线和直线的位置进行判断,归纳过定点的

直线系方程。

情态和价值:1.通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的内

在的联系。

2.能够用辩证的观点看问题。

教学重点,难点:

重点:判断两直线是否相交,求交点坐标。

难点:两直线相交与二元一次方程的关系。

教学方法:启发引导式

在学生认识直线方程的基础上,启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。

教具:用POWERPOINT课件的辅助式教学

教学过程:

一、情境设置,导入新课

用大屏幕打出直角坐标系中两直线,移动直线,让学生观察这两直线的位置关系。

课堂设问一:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的

关系,那如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系?

二、讲授新课

1.分析任务,分组讨论,判断两直线的位置关系

已知两直线L1:A1x+B1y +C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0

如何判断这两条直线的关系?

教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看表一,并填空。

课堂设问二:如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有

什关系?

学生进行分组讨论,教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组

有何关系?

(1)若二元一次方程组有唯一解,L 1与L2相交。

(2)若二元一次方程组无解,则L 1与L2平行。

(3)若二元一次方程组有无数解,则L 1 与L2重合。

课后探究:两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系?

2.例题讲解,规范表示,解决问题

例题1:求下列两直线交点坐标L1 :3x+4y-2=0 L2:2x+y +2=0

解:解方程组

3420

2220

x y

x y

+-=

?

?

++=

?

得x=-2,y=2

所以L 1与L 2的交点坐标为M (-2,2),如图3。3。1。

6

4

2

-2

-4

-55y

x

教师可以让学生自己动手解方程组,看解题是否规范,条理是否清楚,表达是否

简洁,然后才进行讲解。

同类练习:书本104页第1题。

例2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交,求出交点坐标。

(1) L 1:x-y=0,L 2:3x+3y-10=0

(2) L 1:3x-y=0,L 2:6x-2y=0

(3) L 1:3x+4y-5=0,L 2:6x+8y-10=0

这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。

三、启发拓展,灵活应用。

课堂设问一。当λλ变化时,方程 3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示何图形,图形 有何特点?求出图形的交点坐标。

(1) 可以一用信息技术,当 取不同值时,通过各种图形,经过观察,让

学生从直观上得出结论,同时发现这些直线的共同特点是经过同一

点。

(2) 找出或猜想这个点的坐标,代入方程,得出结论。 (3) 结论,方程表示经过这两条直线L 1 与L 2的交点的直线的集合。

例2 已知a 为实数,两直线1l :01=++y ax ,2l :0=-+a y x 相交于一点,求证交点不可能在第一象限及x 轴上.

分析:先通过联立方程组将交点坐标解出,再判断交点横纵坐标的范围.

解:解方程组若1

12-+a a >0,则a >1.当a >1时,-11-+a a <0,此时交点在第二象限内.

又因为a 为任意实数时,都有12

+a ≥1>0,故112-+a a ≠0 因为a ≠1(否则两直线平行,无交点) ,所以,交点不可能在x 轴上王新敞

,得交点(-

1

1,112-+-+a a a a ) 四、课堂小结:直线与直线的位置关系,求两直线的交点坐标,能将几何问题转化为代数问题来解决,并能进行应用。

五、练习及作业:

1、光线从M (-2,3)射到x 轴上的一点P (1,0)后被x 轴反射,求反射光线所在的直线方程。

2、求满足下列条件的直线方程。经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点,且和直线3x-2y+4=0垂直。

3、课本P104练习:2题

3.3.2两点间的距离

教学目标

知识与技能:掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题。 过程和方法:通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性。 情态和价值:体会事物之间的内在联系,,能用代数方法解决几何问题

教学重点:两点间距离公式的推导。

教学难点:应用两点间距离公式证明几何问题。

教学方式:启发引导式。

教学用具:用多媒体辅助教学。

教学过程:

一、情境设置,导入新课

课堂设问一:回忆数轴上两点间的距离公式,同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题

平面直角坐标系中两点()(2122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线,垂足分别为()()112200N y M x ,,,直线12PN N 12与P 相交于点Q 。在直角ABC 中,222121

2PP PQ QP =+,为了计算其长度,过点1P 向x 轴作垂线,垂足为 ()110M x , 过点 向y 轴作垂线,垂足为()220N y , ,于是有

2222221

212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-, 所以,2221212PP PQ QP =+=22

2121x x y y -+-。

由此得到两点间的距离公式12PP =

在教学过程中,可以提出问题让学生自己思考,教师提示,根据勾股定理,不难得到。

二、例题解答,细心演算,规范表达。

例1 :以知点A (-1,2),B (2

),在x 轴上求一点,使 PA PB =,并求 PA 的值。

解:设所求点P (x ,0

=由 PA PB =得2225411x x x x ++=-+解得 x=1。

所以,所求点P (1,

0)且

PA =

=通过例题,使学生对两

点间距离公式理解。应用。 解法二:由已知得

,线段AB 的中点为12? ??

M,

2,直线AB 的斜率为

k=12?? ???

3=

x-PA=32

3 线段AB

的垂直平分线的方程是12?? ??

?3x-在上述式子中,令y=0,解得x=1。 所以所求点P 的坐标为(1,0)。因此

PA=同步练习:书本106页练习第1,2 题

三、巩固反思,灵活应用。(用两点间距离公式来证明几何问题。)

例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 分析:首先要建立直角坐标系,用坐标表示有关量,然后用代数进行运算,最后把代数运算“翻译”成几何关系。 这一道题可以让学生讨论解决,让学生深刻体会数形之间的关系和转化,并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。

证明:如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系,有A(0,0)。设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b,c),因为

22222222AB a CD a AD b c BC

===+=,, ()2AC a b =+22,+c()222BD=b-a+c 所以,()2222222AB+CD+AD+BC=2a+b+c ()22222AC+BD=2a+b+c

所以,222222AB+CD+AD+BC=AC+BD

因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。上述解决问题的基本步骤可

以让学生归纳如下:第一步:建立直角坐标系,用坐标表示有关的量。第二步:进行有关代数运算。第三步;把代数结果“翻译”成几何关系。

思考:同学们是否还有其它的解决办法?还可用综合几何的方法证明这道题。

四、课堂小结:主要讲述了两点间距离公式的推导,以及应用,要懂得用代数的方法解决 几何问题,建立直角坐标系的重要性。

五、布置作业:

1.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等

2.在直线x-3y-2=0上求两点,使它与(-2,2)构成一个等边三角形。

3.点(0,5)到直线y=2x 的距离是——。

3.3.3 点到直线的距离公式

教学目标:

知识与技能:理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式;

过程与方法:会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 情感与价值:认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题王新敞 教学重点:点到直线的距离公式王新敞

教学难点:点到直线距离公式的理解与应用.

教学方法:学导式 教 具:多媒体、实物投影仪王新敞

教学过程 一、情境设置,导入新课:

前面几节课,我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件,两直线的夹角公式,两直线的交点问题,两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节,我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离。

用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线,进行移动,使学生回顾两直线的位置关系,且在直线上取两点,让学生指出两点间的距离公式,复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算?能否用两点间距离公式进行推导?两条直线方程如下:???=++=++002

22111C y B x A C y B x A . 二、讲解新课:

1.点到直线距离公式:

点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为:2200B A C By Ax d +++=

王新敞

(1)提出问题

在平面直角坐标系中,如果已知某点P 的坐标为),(00y x ,直线=0或B =0时,以上公式0:=++C By Ax l ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?

学生可自由讨论。

(2)数行结合,分析问题,提出解决方案

学生已有了点到直线的距离的概念,即由点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长.

这里体现了“画归”思想方法,把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题,一个自己熟悉的问题。

画出图形,分析任务,理清思路,解决问题。

方案一:

设点P 到直线l 的垂线段为PQ ,垂足为Q ,由PQ ⊥l 可知,直线PQ 的斜率为A B (A ≠0),根据点斜式写出直线PQ 的方程,并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ |,得到点P 到直线l 的距离为d 王新敞

此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一种方法王新敞 方案二:设A ≠0,B ≠0,这时l 与x 轴、y 轴都相交,过点P 作x 轴

的平行线,交l 于点),(01y x R ;作y 轴的平行线,交l 于点),(20y x S ,

由???=++=++0020

011C By Ax C By x A 得B C Ax y A C By x --=--=0201,. 所以,|P R|=|10x x -|=A

C By Ax ++00 |PS |=|20y y -|=B

C By Ax ++00 |RS |=AB B A PS PR 2

22

2+=+×|C By Ax ++00|由三角形面积公式可知:d ·|RS |=|P R|·|PS |王新敞所以2200B A C

By Ax d +++=可证明,当A=0时仍适用王新敞

这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识,能力。意志品质等方面得到了提高。

3.例题应用,解决问题。

例1 求点P=(-1,2)到直线 3x=2的距离。

解:

53

= 例2 已知点A (1,3),B (3,1),C (-1,0),求三角形ABC 的面积。

解:设AB 边上的高为h ,则

S ABC =12AB h ?

AB ==

必修三unit2 教案

教学过程 ?、课堂导入 学习下列谚语: You are what you eat. 人如其食。 First wealth is health.——Emerson 健康是人生的第一财富。 An apple a day keeps the doctor away. 一天一个苹果,医生不来找。 、复习预习 教师引导学生复习上节课所学知识点,(以提问、回顾的形式进行),针对上节课的作业进行讲评、订正、答疑,并通过对情态动词具体用法的分析和扩展导入本节 课所要学习的课本知识的学习。 、知识讲解

考点/易错点1重点单词与短语学习 balanee n.天平,平衡;余额,余数v.平衡;权衡balaneed adj. 均衡的 (回归课本P10) What will happen to you if you don 't eat a balanced diet? Eg: 1). Try to achieve a better bala nee betwee n work and play. 争取把工作和娱乐更好地结合起来。 2) . I must cheek my bank bala nee (= find out how much money I have in my aeeo un t). 我要核对一下我在银行的余额(看我的帐户上有多少钱) 。 3) . Try to bala nee your diet by eat ing more fruit and less prote in. 多吃些水果,少摄入些蛋白质,使饮食均衡合理。 [归纳拓展] a bala need diet 均衡的饮食 keep the bala nee of n ature 保持生态平衡 keep one ' s balanee 保持平衡 lose one ' s balanee (= be out of balanee) 失去平衡 think of 想,考虑 (回归课本P10) He thought of his mutt on, beef and bae on cooked in the hottest, fin est oil. (1)想起;记起Sorry, I did n't think of your n ame just now. (2)考虑We should thi nk of the matter carefully.

必修二《直线与方程》单元测试题(含详细答案)

第三章《直线与方程》单元检测试题 时间120分钟,满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.已知点A (1,3),B (-1,33),则直线AB 的倾斜角是( ) A .60° B .30° C .120° D .150° [答案] C 2.直线l 过点P (-1,2),倾斜角为45°,则直线l 的方程为( ) A .x -y +1=0 B .x -y -1=0 C .x -y -3=0 D .x -y +3=0 [答案] D 3.如果直线ax +2y +2=0与直线3x -y -2=0平行,则a 的值为( ) A .-3 B .-6 C .32 D .23 [答案] B 4.直线x a 2-y b 2=1在y 轴上的截距为( ) A .|b | B .-b 2 C .b 2 D .±b [答案] B 5.已知点A (3,2),B (-2,a ),C (8,12)在同一条直线上,则a 的值是( ) A .0 B .-4 C .-8 D .4 [答案] C 6.如果AB <0,BC <0,那么直线Ax +By +C =0不经过( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 [答案] D 7.已知点A (1,-2),B (m,2),且线段AB 的垂直平分线的方程是x +2y -2=0,则实数m 的值是( ) A .-2 B .-7 C .3 D .1

[答案] C 8.经过直线l 1:x -3y +4=0和l 2:2x +y =5=0的交点,并且经过原点的直线方程是( ) A .19x -9y =0 B .9x +19y =0 C .3x +19y =0 D .19x -3y =0 [答案] C 9.已知直线(3k -1)x +(k +2)y -k =0,则当k 变化时,所有直线都通过定点( ) A .(0,0) B .(17,27) C .(27,17) D .(17,114) [答案] C 10.直线x -2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是( ) A .x +2y -1=0 B .2x +y -1=0 C .2x +y -3=0 D .x +2y -3=0 [答案] D 11.已知直线l 的倾斜角为135°,直线l 1经过点A (3,2),B (a ,-1),且l 1与l 垂直,直线l 2:2x +by +1=0与直线l 1平行,则a +b 等于( ) A .-4 B .-2 C .0 D .2 [答案] B 12.等腰直角三角形ABC 中,∠C =90°,若点A ,C 的坐标分别为(0,4),(3,3),则点 B 的坐标可能是( ) A .(2,0)或(4,6) B .(2,0)或(6,4) C .(4,6) D .(0,2) [答案] A 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.直线l 与直线y =1,x -y -7=0分别交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,-1),则直线l 的斜率为_________. [答案] -2 3 [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2 2 =-1,又y 1=1,∴y 2=-3,代入方程x -y -7=0,得x 2=4,即B (4,-3),又 x 1+x 2 2=1,∴x 1=-2,即A (-2,1),∴k AB = -3-1 4--2

高一英语必修三UNIT2教案

Unit 2 Healthy eating 三维目标 (一).Knowledge aims Let students learn the knowledge of balanced diet and nutrition (二). Ability aims Enable students to talk about their eating. Understand the text and answer the following questions. (三). Emotional aims Enable the students to learn how to talk about their eating. Develop students’ sense of cooperative learning 教学重点 Identify different groups of foods and talk about healthy eating. What kind of food did they provide for their customers, healthy or unhealthy? Why?教学难点 Understand the real meaning of healthy eating. How was the competition going on? Who would win? 教学方法 Fast and careful reading. Asking-and-answering activity to check the Ss’ understanding of the text. 教具准备 computer and a projector. 教学过程 Step1 Greetings Step2 Lead-in Step3 Warming up and speaking 一.Name some food s’name in English 二.Give some proverbs about eating 三.Ask ss what balanced food is. Step4 Reading

最新高中数学必修二直线与方程单元练习题

直线与方程练习题 一、填空题(5分×18=90分) 1.若直线过点(3,-3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为 ; 2. 如果A (3, 1)、B (-2, k )、C (8, 11), 在同一直线上,那么k 的值是 ; 3.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是 ; 4.直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b 的取值范围是 ; 5. 经过点(-2,-3) , 在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 ; 6.已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行,则它们之间的距离是: 7、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是: 8.三直线ax +2y +8=0,4x +3y =10,2x -y =10相交于一点,则a 的值是: 9.已知点)2,1(-A ,)2,2(-B ,)3,0(C ,若点),(b a M )0(≠a 是线段AB 上的一点,则直线CM 的斜率的取值范围是: 10.若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l :07=-+y x 和2l :05=-+y x 上移动,则AB 中点M 到原点距离的最小值为: 11.与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线有______条. 12.直线l 过原点,且平分□ABCD 的面积,若B (1, 4)、D (5, 0),则直线l 的方程是 . 13.当1 0k 2 << 时,两条直线1-=-k y kx 、k x ky 2=-的交点在 象限. 14.过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ; 15.直线y= 2 1 x 关于直线x =1对称的直线方程是 ; 16.已知A (3,1)、B (-1,2),若∠ACB 的平分线在y =x +1上, 则AC 所在直线方程是____________. 17.光线从点()3,2A 射出在直线01:=++y x l 上,反射光线经过点()1,1B , 则反射光线所在直线的方程 18.点A (1,3),B (5,-2),点P 在x 轴上使|AP |-|BP |最大,则P 的坐标为: 二.解答题(10分×4+15分×2=70分)

人教版数学必修2直线与方程知识点专题讲义全

必修二直线与方程专题讲义 1、直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ① 关于倾斜角的概念要抓住三点: ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0. ③ 倾斜角α的围00 0180α≤<. ④ 090,tan 0k αα?≤

注:过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示?(不一定) (1)若2121y y x x ≠=且,直线垂直于x 轴,方程为1x x =; (2)若2121y y x x =≠且,直线垂直于y 轴,方程为1y y =; (3)若2121y y x x ≠≠且,直线方程可用两点式表示) 3、两条直线平行与垂直的判定 (1) 两条直线平行 斜截式:对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+,则有 121212//,l l k k b b ?=≠ 注:当直线12,l l 的斜率都不存在时,12l l 与的关系为平行. 一般式:已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=,则 1212211221//,l l A B A B AC A C ?=≠ 注:1212211221=,l l A B A B AC A C ?=与重合 1l 与2l 相交01221≠-?B A B A (2)两条直线垂直 斜截式:如果两条直线12,l l 斜率存在,设为12,k k ,则12121l l k k ⊥?=- 注:两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1.如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,12l l 与互相垂直.

人教版高中英语必修三Unit2Healthyeatingword全单元教案

Unit 2 Healthy eating 技能目标Skill Goals Talk about healthy diet Make suggestions or giving advice on diet Distinguish the meanings of Modal verbs Make a balanced menu 功能句式Practice talking about your ideas Yes, I think so. I don’t think so. I agree. I don’t agree. That’s correct. Exactly. That’s exactly my opinion. You’re quite right. I don’t think you are right. I quite agree with you. I’m afraid I don’t agree / disagr ee with you. Of course not. I’m afraid not. All right. That’s a good idea. Certainly. / Sure. No problem. Practice giving advice and suggestions You must / must not... 词汇1. 四会词汇 diet, nut, bean, pea, cucumber, eggplant, pepper, mushroom, peach, lemon, balance, barbecue, mutton, roast, fry, stir-fry, ought, bacon, slim, curiosity, hostess, raw, vinegar, lie, customer, discount, weakness, strength, consult, fiber, digest, carrot, debt, glare, spy, limit, benefit, breast, garlic, sigh, combine 2. 认读词汇 protective, spaghetti, protein, crisp, kebab, sugary, muscle, calmly, cooperation 3. 词组 get away from, balanced diet, ought to, lose weight, tell a lie, win… back, earn one’s living, in debt, spy on, cut down, before long, put on weight 语法The use of ought to 1. Statements You ought to cook fresh vegetables and meat without too much fat if you want to stay slim. You ought not to eat the same kind of food at every meal. 2. Difficulty

人教版高中数学必修二直线与方程题库

(数学2必修)第三章 直线与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1.设直线0ax by c ++=的倾斜角为α,且sin cos 0αα+=, 则,a b 满足( ) A .1=+b a B .1=-b a C .0=+b a D .0=-b a 2.过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为( ) A .012=-+y x B .052=-+y x C .052=-+y x D .072=+-y x 3.已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行, 则m 的值为( ) A .0 B .8- C .2 D .10 4.已知0,0ab bc <<,则直线ax by c +=通过( ) A .第一、二、三象限 B .第一、二、四象限 C .第一、三、四象限 D .第二、三、四象限 5.直线1x =的倾斜角和斜率分别是( ) A .0 45,1 B .0 135,1- C .090,不存在 D .0 180,不存在 6.若方程014)()32(2 2 =+--+-+m y m m x m m 表示一条直线,则实数m 满足( ) A .0≠m B .2 3 - ≠m C .1≠m D .1≠m ,2 3 - ≠m ,0≠m 二、填空题 1.点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________. 2.已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称,则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称,则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称,则4l 的方程为___________;

必修2初中数学第三章直线与方程知识点

直线与方程知识点 一、基础知识回顾 1.倾斜角与斜率 知识点1:当直线l 与x 轴相交时, x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角. 注意: 当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度. 知识点2:直线的倾斜角(90)αα≠?的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=. 注意: 当直线的倾斜角90οα=时,直线的斜率是不存在的王新敞 知识点3:已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式:21 21 y y k x x -= -. 知识点4:两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即12//l l ?1k =2k 王新敞 . 知识点5:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,则它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,则它们互相垂直. 即12l l ⊥?12 1 k k =-?121k k =- 王新敞 注意: 1.1212//l l k k ?=或12,l l 的斜率都不存在且不重合. 2.12121l l k k ⊥?=-或10k =且2l 的斜率不存在,或20k =且1l 的斜率不存在. 2.直 线 的 方 程 知识点6:已知直线l 经过点00(,)P x y ,且斜率为k ,则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 注意: ⑴x 轴所在直线的方程是 ,y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴(即垂直于y 轴)的直线方程是 . ⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴(即垂直于x 轴)的直线方程是 . 知识点7:直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程. 注意:截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标. 知识点8:已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠,则通过这两点的直线方程 为11 12122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--,由于这个直线方程由两点确定,叫做直线的两点式方程. 知识点9:已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ,与y 轴的交点为(0,)B b ,其中0,0a b ≠≠, 则直线l 的方程为 1=+b y a x ,叫做直线的截距式方程. 注意:直线与x 轴交点(a ,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距;直线与y 轴交点(0, b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距. 知识点10:关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=(A ,B 不同时为0)叫做直线的一般式方程. 注意:(1)直线一般式能表示平面内的任何一条直线 (2)点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上?00Ax By +0C += 王新敞 3、直线的交点坐标与距离 知识点11: 两直线的交点问题.一般地,将两条直线的方程联立,得方程组111222 0A x B y C A x B y C ++=?? ++=?,若方程组有唯一解,则两直线相交;若方程组有无数组解,则两直线重合;若方程组无解,则两直线平行.

高一英语必修三unit2healthyeatingwearewhatweeat优质课说课教案

高一英语必修三 Unit2 Healthy eating WE ARE WHAT WE EAT 优质课说课教案 一、说教材教学内容分析 WE ARE WHAT WE EAT是一篇介绍“饮食习惯”的文章,包括传统饮食习惯的改变,基于食物 营养和饮食信仰的日常饮食选择以及营养补充胶囊和减肥 食谱的必要与否。旨在让学生明白健康的饮食习惯的养成是 拥有健康体魄的前提,健康体魄是融人21世纪,面对社会 挑战的保证。本篇文章生词量较大,知识含量较高,标题较 抽象,各段主题句分布不太明显。且大部分学生对饮食与健 康的关系了解较少。因此,本文的学习难度较大。教学目 标根据新颁布的普通高中《英语课程标准》关于阅读课主 要教学目标的具体描述,结合本课教学内容,具体从语言知 识、语言技能、情感态度和文化意识三个方面制定如下教学 目标。 1. 语言知识目标: a)使学生了解protein, calcium 等基本营养成分的来源和主要功能,健康的饮食习惯是健康 的保证,以及素食主义等信息。 b)学习掌握有关营养成分 与食物的词汇,如:protein、calcium 、carbohydrate 、fibre、 mineral、 vitamin 、vegetarian & vegan、 green food and clean food 、eco-food and organic food等, 以及 keep up with ,The same goes for…以及as 和only 引导的倒装句的用法。 2. 语言技能目标: a)使学生

学会克服生词障碍,通过略读,寻找文章的主题句,理清文 章的总体框架与脉络;通过查读,捕捉文章的重要细节,理 解作者的写作意图。 b) 使学生学会运用各种猜词技巧,猜 测部分生词在具体的语言环境的含义。 c) 使学生能够运用所学知识,用英语为自己所熟悉的一个人设计一份“healthy diet”,并阐明设计的依据。 3.情感态度与文化意识目标: a)使学生学会审视自己、审视食物,提高养 成健康饮食习惯的意识。 b)使学生懂得:健康是做好一切 事情的根本。要想有强健的体魄,除了合理安排好一天的生 活以外,还需要有科学、卫生的饮食习惯,每天一定量的体 育活动和体力劳动。青少年必须有健康的身体,长大以后才 能成为一位具有现代科学文化,适合时代要求的合格劳动 者。 c)使学生学会关心他人,体贴他人,并养成较强的合 作意识。 d)让学生了解一些不同的饮食观念及主张,加深 对世界饮食文化的了解,弘扬中华民族饮食文化的精髓,培养爱国主义精神。教学重点和难点:根据新颁布的普通高中《英语课程标准》关于读的技能目标的具体描述,结合高 一学生实际和对教材内容的科学分析,确定本环节的主要教 学重点和难点是: 1.重点 1)让学生认识到饮食对健康的 重要影响。 2)侧重培养学生对文章的整体性结构的把握, 突出培养学生以下3个方面的能力: a.文章中心把握能力。 b.根据主题快速捕捉文章重点细节的能力。 c.猜词能力。

人教版高一数学必修2第三章直线与方程单元测试题及答案

必修2第三章《直线与方程》单元测试题 (时间:90 满分:120分) 班别 座号 姓名 成绩 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.若直线过点(1,2),(4,2+3),则此直线的倾斜角是( ) A 30° B 45° C 60° D 90° 2.直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是( ) A.21 3, B.-- 213, C.--1 2 3, D.-2,-3 3. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、2 3- D 、3 2 4.点P (-1,2)到直线8x-6y+15=0的距离为( ) (A )2 (B )2 1 (C )1 (D )2 7 5.以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0 6.过点M(2,1)的直线与X轴,Y轴分别交于P,Q两点,且|MP|=|MQ|, 则L的方程是( ) A x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点,则该点的坐标是 A (-2,1) B (2,1) C (1,-2) D (1,2) 8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是 (A )平行 (B )垂直 (C )相交但不垂直 (D )不能确定 9. 如图1,直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3, 则必有 A. k 1

必修2直线与方程知识点总结与题型

必修2直线与方程知识点总 结与题型 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第三章:直线与方程的知识点 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时,我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ,则有斜率公式21 21 y y k x x -= -. 特别地是,当12x x =,12y y ≠时,直线与x 轴垂直,斜率k 不存在;当12x x ≠,12y y =时,直线与y 轴垂直,斜率k=0. 注意:直线的倾斜角α=90°时,斜率不存在,即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时,斜率k =0;当090α?<,随着α的增大,斜率k 也增大;当90180α?<

高中数学必修二直线与方程及圆与方程测试题

一选择题(共55分,每题5分) 1. 已知直线经过点A (0,4)和点B(1,2),则直线AB 的斜率为( ) A.3 B.-2 C . 2 D . 不存在 2.过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为( ) A.072=+-y x B.012=-+y x C.250x y --= D .052=-+y x 3. 在同一直角坐标系中,表示直线y ax =与y x a =+正确的是( ) x y O x y O x y O x y O A B C D 4.若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a =( ) A .32- B .32 C.2 3- D .23 5.过(x 1,y 1)和(x2,y 2)两点的直线的方程是( ) 11 212111 2112 211211211211.. .()()()()0.()()()()0 y y x x A y y x x y y x x B y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y --= ----= -------=-----= 6、若图中的直线L 1、L2、L 3的斜率分别为 A 、K 1﹤K2﹤K 3 B、K2﹤K1﹤K 3 C 、K 3﹤K 2﹤K1 D 、K 1﹤K 3﹤K 2 7、直线2x +3y -5=0关于直线y=x A、3x+2y-5=0 B、2x-3y -5=0 C 、3x+2y +5=0 D、3x-2y-5=0 8、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是( ) A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x -2y -12=0 D. 2x+3y+8=0 9、直线5x -2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则( ) x

新课标高中数学必修2直线与方程

3.1知识表 直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率 (1)直线的方程:如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点;反之,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线. (2)直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. (3)直线的斜率:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.倾斜角是90°的直线的斜率不存在.过P 1(x 1,y 1),P 2(x 2, y 2)(x 2≠x 1)两点的直线的斜率特别地是,当12x x =, 12y y ≠时,直线与x 轴垂直,斜率k 不存在;当12x x ≠,12y y =时,直线与y 轴垂直,斜率k =0. 注意:直线的倾斜角α=90°时,斜率不存在,即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时,斜率k =0;当 090α?<,随着α的增大,斜率k 也增大;当90180α?<

人教版高中英语必修三unit2教案

Unit 2. Healthy Eating Teaching aims and demands: 1.Topics:Problems with diet ;Balanced diet and nutrition 2.Words and expressions 3.Functions: 1)Suggestions and advice You must /must not… ; What should I do? I think you ought to …; I suppose you had better… Perhaps you should… Do you think you could give me some advice? 2)Seeing doctors What’s the matter? What’s wrong? What seems to be the trouble? How long have you been like this? 3)Agreement and disagreement. I don’t agree. Of cause not. I don’t think so. All right. That’s a good idea. No problem. Certainly /sure Yes, I think so. I’m afraid not. 4. Grammar: The use of ought to You ought to cook fresh vegetables and meat without too much fat If you want to stay slim. You ought not to eat the same kind of food at every meal.

高一数学必修二直线与方程

数学必修二——直线与方程 (一)直线的斜率 1. 坡度:是指斜坡起止点间的高度差与水平距离的比值。 2. 直线的斜率:已知两点如果,那么直线PQ的斜率为 练习:直线都经过点P(2,3),又分别经过试计算的斜率。 (1)当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜 (2)当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜。 (3)当直线的斜率为零时,直线与x轴平行或重合 说明: 1、如果,那么直线PQ的斜率不存在(与x轴垂直的直线不存在斜率) 2、由直线上任意两点确定的斜率总是相等的。 3、直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与轴相交的直线,如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角。 当直线和轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0°。 因此,根据定义,我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤<180°。 4、直线倾斜角与斜率的关系: 当直线的斜率为正时,直线的倾斜角为锐角,此时有 当直线的斜率为负时,直线的倾斜角为钝角,此时有

概念辨析:为使大家巩固倾斜角和斜率的概念,我们来看下面的题。 关于直线的倾斜角和斜率,下列哪些说法是正确的: A. 任一条直线都有倾斜角,也都有斜率; B. 直线的倾斜角越大,它的斜率就越大; C. 平行于x轴的直线的倾斜角是0或180°; D. 两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等; E. 直线斜率的范围是(-∞,+∞)。 辨析:上述说法中,E正确,其余均错误,原因是: A. 与x轴垂直的直线倾斜角为90°,但斜率不存在; B.举反例说明, C. 平行于轴的直线的倾斜角为0; D. 如果两直线的倾斜角都是90°,但斜率不存在,也就谈不上相等. 说明:①当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0°;②直线倾斜角的取值范围是; ③倾斜角是90°的直线没有斜率。 (二)直线方程 1. 直线方程的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线。 问题一:已知直线经过点,且斜率为,如何求直线的方程? 因为经过直线上一个定点与经过这条直线上任意一点的直线是都惟一的,其斜率都等于。 所以,要把它变成方程. 因为前者表示的直线上缺少一个点,而后者才是整条直线的方程. 2. 直线的点斜式方程 已知直线经过点,且斜率为,直线的方程:为直线方程的点斜式。 直线的斜率时,直线方程为;当直线的斜率不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为。 问题二:已知直线经过点P(0,b),并且它的斜率为,求直线的方程? 3. 直线的斜截式方程 已知直线经过点P(0,b),并且它的斜率为k,直线的方程:为斜截式。 说明: (1)斜截式在形式上与一次函数的表达式一样,它们之间有什么差别?只有当时,斜截式方程才是一次函数的表达式。 (2)斜截式中,表示直线的斜率,b叫做直线在y轴上的截距。 4. 直线方程的两点式 已知直线上两点,B(,求直线方程。 首先利用直线的斜率公式求出斜率,然后利用点斜式写出直线方程为: 由可以导出,由于这个方程是由直线上两点确定的,所以叫做直线方程的两点式。 注意:倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示。 5. 直线方程的截距式 定义:直线与轴交于一点(,0)定义为直线在轴上的截距;直线与y轴交于一点(0,)定义为直线在轴上的截距。 叫做直线方程的截距式。,表示截距,它们可以是正,也可以是负,也可以为0。当截距为零时,不能用截距式。

高一数学知识点必修二:直线与方程

一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时,。当时,;当时,不存在。 ②过两点的直线的斜率公式: 注意下面四点:(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°; (2)k与P1、P2的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: 直线斜率k,且过点 注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l 上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。 ②斜截式:,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b ③两点式:( )直线两点, ④截矩式: 其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。 ⑤一般式:(A,B不全为0) ⑤一般式:(A,B不全为0) 注意:○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如:平行于x轴的直线: (b为常数);平行于y轴的直线: (a为常数); (4)直线系方程:即具有某一共同性质的直线

(一)平行直线系 平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:(C为常数) (二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为k的直线系:,直线过定点; (ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中。 (5)两直线平行与垂直 当,时,; 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (6)两条直线的交点 相交 交点坐标即方程组的一组解。方程组无解;方程组有无数解与重合(7)两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点,则 (8)点到直线距离公式:一点到直线的距离 (9)两平行直线距离公式:在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

人教版高中英语必修三unit2教案教学内容

人教版高中英语必修案教2tinu三. 精品文档 Unit 2. Healthy Eating Teaching aims and demands: 1.Topics:Problems with diet ;Balanced diet and nutrition 2.Words and expressions 3.Functions: 1)Suggestions and advice You must /must not…; What should I do? I think you ought to …; I suppose you had better…

Perhaps you should… Do you think you could give me some advice? 2)Seeing doctors What's the matter? What's wrong? What seems to be the trouble? How long have you been like this? 3)Agreement and disagreement. I don't agree. Of cause not. I don't think so. All right. That's a good idea. No problem. Certainly /sure Yes, I think so. I'm afraid not. 4. Grammar: The use of ought to You ought to cook fresh vegetables and meat without too much fat If you want to stay slim. You ought not to eat the same kind of food at every meal. 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除. 精品文档 Period 1Vocabulary 重点词汇 1. balance n. 天平,平衡;余额,余数v. 平衡;权衡balanced adj. 均衡的

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