全国高中数学联赛山西省预赛试卷试题及参考标准答案.doc
2018 年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答
一、填空题（每小题8 分，共 64 分）
1. 集合 M1,2,L ,2018中，末尾数字为8 的元素之和是 ________.
答案： 204626
解：若将所有的这种数划去其尾数8，剩下的数就是0，1，2，， 201，共计划去202 个 8，因此所求的和值为S 10 0 1 2 L 201 8 202 204626 .
2. 将全体正整数按自小到大的顺序排列，然后这样分段，使得第一段有 1 个数，第二段有 3 个数，，第n 段有2n 1个数；那么，第20 段中的第18 个数是 ________.
答案： 379
解：显然，前 n 段共有 1 3 5 L2n 1 n2个数，即第 n 段中最大数为n 2；于是第 19
段中的最大数为 19 2
，则第20 段中第18 个数为361 18 379 .
361
3. 函数 y 1 x2 的值域是 ________.
2 x
答案： 0,
3
3
1 x
2 1 t 2
2
解：因 x 1,1 ， y 0 ；又据 y2 ，令t x 2 ，则y2 ，即
x 2 2 t 2
y 2 1 t 2 4t 3 0 ，视为t 的二次方程，其判别式16 12 y 2 1 0 ，得 y 2 1 ，
3
y
3
，因 y 0 ，所以 y 0, 3 .
3 3
另解：x 1,1 ，令x cos ，0, ，则y
sin
，y 0 ，2 cos
2 y sin y cos 1 y2 sin 1 y2 ，所以1 y2 4 y2，即 y2 1
，因 y 0 ，3
则 y 0, 3 .
3
4. 若正整数 n 使得 3 恒介于 1
3
与 1 3 之间，则 n ________. n n 1
答案： 4
解：当 n 为正整数时，易知 3 3
，由 3 1
3
，得 n 3 3 3
3 ；由 3 1 3 ，
n 1 n n 3 1 2 n 1
得 n 1 3 3
，所以 n 1 3 3 , 3 3 3 ，此区间长度为1，其中只有唯一的整数4，所以
2 2 2
n 4 .
5. 若双曲线 L 1 的两个焦点分别是椭圆 x 2
y 2
1 的两个顶点， 而双曲线 L 1 的两条准线分
L 2 : 2
2
5
4
别通过椭圆 L 2 的两个焦点，则双曲线 L 1 的方程是 ________.
答案：
x 2
2
y 1
15
10
解：椭圆的长轴顶点为
A 5,0 ，
B 5,0 ，则其焦点在 X 轴上，用 c 1 ， c 2 分别表示 L 1 ， L 2
的半焦距，则 c 1 5 ，而 c 22 52
4 2 9 ， c 2 3 ；所以椭圆焦点为 F 1
3,0 ， F 2 3,0 ，所
x
2
y
2
2
以 双 曲 线 的 实 轴 为 X 轴 ， 设 其 方 程 为
a
2
15 ，
a 2
b 2 1 ， 由
3 ， 所 以 a
c 1
2
2 2
2
L 1 的方程是
x 2
y 2
15
10 ，因此双曲线
1 .
b
c
1
a
5
15 10
6. 计算 cos
2 7
6
的值为 ________.
cos
cos
7
7
7
答案：
1
8
解：记 S
2 4
6 ，则 S
cos
cos 2 cos 4 ，
cos cos
cos
7
7
7
7
7 7 S 8sin
8sin
cos
2
4
4sin 2 2 cos 4 4 4
7 7 cos cos cos 2sin cos
7
7 7 7 7
7 7 7 8 sin ，所以， 1
sin S.
7 7 8
7. 四面体 ABCD 中，有一条棱长为 3，其余五条棱长皆为 2，则其外接球的半径为 ________.
答案：
21
3
解：设 BC 3 ，AB AC AD BD CD 2 ，E ，F 分别是 BC ，AD 的中点， D 在面 ABC
上的射影 H 应是 ABC 的外心，由于 DH 上的任一点到 ， ， 等距，则外接球心 O 在
DH
A B C
上，因 ABC ≌ DBC ，所以 AE DE ，于是 EF 为 AD 的中垂线， 所以球心 O 是 DH ， EF
的交点，且是等腰
EAD 的垂心，记球半径为 r ，由
DOF ∽ EAF ，得 r AE DF ，而
EF
2
7
， DF
2
3
，所以 r
AE 2
2 2
3
AF 1 ， EF
2
AE 2
AF 7 21 .
2
4
4
3 3
8. 在一张印有 4 月 29 日的生日贺卡上， 某位小朋友在
4 与 29 之间添加了两个正整数 x ， ，
y 得到一个五位数 4 xy29 ，结果发现它恰好是自己的生日所对应的正整数
T 的平方：
4 xy29 TH 2 ；则这位小朋友生日对应的数 T ________.
答案： 223
解：由于 40000 4 xy29 50625 ，而 40000
2002 ， 50625 2252 ，所以 200 T 225 ，又
因 T 2
4 xy29 的末位数为 9，所以 T 的末位数是 3 或 7；在 200 与 22
5 之间，这种数共有 5
个： 203， 207， 213， 217， 223；验算知，只有 2232 49729 ，因此 T 223。（对应的日期
是 2 月 23 日）
二、解答题（ 16 分）求解函数 y
x
x 3
的最大最小值 .
1 2
2
x
解：易知函数定义域为全体实数，由于
y
x x
3
1 2x 1
x 2 ，令 x
tan ，则
1 x
2 2
2 1 x 2 1 x 2
，
1
2
1
sin 2
1
sin 4
2 x
sin 2 x cos2 ，所以 y
cos2 ，因此
1 y 1 ；当
1 x 2
1 x 2
2
4
4 4
4
2k
时，函数 y 分别取得最大、最小值 .
2
三、解答题（20 分）如图，圆内接四边形 ABCD 中，自 AD 的中点 M ，作 MN BC ，ME AB
，
MF CD ， N ， E ， F 为垂足： 证明： MN 过线段 EF 的中点 .
证：在线段 AB ， CD 上分别取点 G ， H ，使 GE AE ， HF DF ，则 AGHD 四点共圆 （以
M 点为该圆的圆心） ，所以 BGH
ADC 180 ABC ，于是 GH P BC ，则 MN
GH ，
设垂足为 K ，于是 K 为 GH 的中点（圆心 M 至圆弦的垂线， 平分该弦），这样， E ， K ， F ，
M 为四边形 AGHD 四条边的中点， 因此 EKFM 为平行四边形， 故其对角线互相平分， 即 MN 过线段 EF 的中点 .
四、解答题（ 20 分）已知正整数 n 的各位数字中，共含有
a 1 个 1， a 2 个 2， ， a 9 个 9，证
明： a
a a
n 1 ，并确定使等号成立的条件。
2 1
3 210 9
证：对正整数 n 的位数使用数学归纳法，当
1 n 10 时，显然所证式成立等号，这是由于，
此时数 n 的十进制表达中只有一位数字， 也就是 a n 1 ，其余 a i
1 i
n 1
，于是，左 1
右。
设在 n 10k
k 1
时结论已成立， 则当 10 k
n 10
k 1
时，据带余数除法， 存在 r ， 1 r
9 ，
使 n r 10k n 1 ， 0 n 1 10k
1 ①
如 果 n 1
0 ， 则 数 n 的 十 进 制 表 达 式 中 ， a r
1 ， 其 余 a i 0 i r ， 显 然 有
a
1
r 1 10 n 1 . 若 1 n 1 10 k
1，设 n 1 的各位数字中，含有 a 1 个 1， a 2 个 2， ，
r 1
a 9 个 9，则 n 的各位数字中，含有 a r 1 个 r ， a i 个 i 1 i 9,i r
，据归纳假设，对
n 1 有
2 a 1
3a 2
L
r 1 2 a 1
3
a 2
r 1
a r
10a
n
n 1 1 ，
所
以
a r 1
10
a 9
r 1 n 1 1
r n 1 1
n 1 1 r 10 k
n 1 1 n 1 . ②
即当 10k n 10k 1 时结论成立，由归纳法，对一切正整数
n ，结论皆成立 . 欲使等号成立，
由证明过程可知，10 、或者 n 是一位数；20、在数 n 的位数多于一位时，由②式，必须
n1 1 10k，故由①式得， n r 10k 10k 1 ， 1 r 9 ；总之， n 可表为
n r 99L 9 k 0,1 r 9 形式；此结论也是充分的，当 n 可表为以上形式时，a
r 1 ，a
9 k ，
1 2 3 k个 9
此时 2a1 3a2 L L 10a9
1
n 1 . r 1 10k