第一章 事件与概率
1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品,从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球,从中任取一球,(ⅰ)得白球,(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正,
, ,记不合格为次,则
,,,,,,,,,)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω,,,,,,,,
,)()()()(2924232次正正正正正正正
,,,,,,,)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正,,,,,,
=A ){(1次正,,,,)(2次正)}(9次正,,
(2)记2个白球分别为1ω,2ω,3个黑球分别为1b ,2b ,3b ,4个红球分别为1r ,2r ,3r ,4r 。则=Ω{1ω,2ω,1b ,2b ,3b ,1r ,2r ,3r ,4r }
(ⅰ) =A {1ω,2ω} (ⅱ) =B {1r ,2r ,3r ,4r }
1.2 在数学系的学生中任选一名学生,令事件A 表示被选学生是男生,事件
B 表示被选学生是三年级学生,事件
C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立? (3)什么时候关系式B C ?是正确的? (4) 什么时候B A =成立?
解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生,但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ?,表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件,以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品(n i ≤≤1)。用i A 表示下列事件:
(1)没有一个零件是不合格品;
(2)至少有一个零件是不合格品; (3)仅仅只有一个零件是不合格品; (4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) n
i i A 1
=; (2) n i i
n i i A
A 1
1
===
; (3) n
i n
i
j j j i A A 1
1)]([=≠=;
(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”,可表示为 n
j
i j i j i A A ≠=1
,;
1.4 证明下列各式: (1)A B B A ?=?; (2)A B B A ?=? (3)=??C B A )()(C B A ??;
(4)=??C
B A )()
(C B A ??
(5)=??C B A )(??)(C A )(C B ?
(6) n
i i
n i i
A
A
1
1
===
证明 (1)—(4)显然,(5)和(6)的证法分别类似于课文第10—12页(1.5)式和(1.6)式的证法。
1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张,把卡片上的两个数字组成一个分数,求所得分数为既约分数的概率。
解 样本点总数为7828?=A 。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个,或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合,所以
事件A “所得分数为既约分数”包含63221
513
23??=?+A A A 个样本点。于是 14
97
8632)(=
???=
A P 。
1.6 有五条线段,长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条,
求所取三条线段能构成一个三角形的概率。
解 样本点总数为10
35=???
?
??。所取三条线段能构成一个三角形,这三条线段必
须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A “所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点,于是10
3)(=
A P 。
1.7 一个小孩用13个字母T T N M M I I H E C A A A ,,,,,,,,,,,,作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的(等可能的),问“恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率为多大?
解 显然样本点总数为!13,事件A “恰好组成“MATHEMATICIAN ”包含
!2!2!2!3个样本点。所以!
1348!
13!2!2!2!3)(==
A P
1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”,求它们正好可以相互吃掉的概率。
解 任意固定红“车”的位置,黑“车”可处于891109=-?个不同位置,当
它处于和红“车”同行或同列的1789=+个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为
89
17)(=
A P
1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯,在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停,乘客从第二层起离开电梯,假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的,求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯,现有7位乘客,所以样本点总数为79。事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层,各有一位乘客离开电梯”。所以包含79A 个样本点,于是
77
99
)(A A P =
。
1.10 某城市共有10000辆自行车,其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车,其牌照号码中有数字8”的概率为多大?
解 用A 表示“牌照号码中有数字8”,显然4
4
109100009
)(???
??==A P ,所以
1)(=A P -4
4
1091100009
1)(??
?
??-=-=A P
1.11 任取一个正数,求下列事件的概率:
(1)该数的平方的末位数字是1; (2)该数的四次方的末位数字是1;
(3)该数的立方的最后两位数字都是1; 解 (1) 答案为51
。
(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时,其四次方的末位数是1,所以答案为
5
210
4=
(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字,所以样本空间包含210个样本点。用事件A 表示“该数的立方的最后两位数字都是1”,则该数的最后一位数字必须是1,设最后第二位数字为a ,则该数的立方的最后两位数字为1和3a 的个位数,要使3a 的个位数是1,必须7=a ,因此A 所包含的样本点只有71这一点,于是
。
1.12 一个人把6根草掌握在手中,仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接,6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到n 2根草的情形。
解 (1)6根草的情形。取定一个头,它可以与其它的5个头之一相接,再取另一头,它又可以与其它未接过的3个之一相接,最后将剩下的两个头相接,故
对头而言有135??种接法,同样对尾也有135??种接法,所以样本点总数为
2
)
135(??。用A 表示“6根草恰好连成一个环”,这种连接,对头而言仍有135??种
连接法,而对尾而言,任取一尾,它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。
再取另一尾,它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接,最后再将其余的尾连接成环,故尾的连接法为24?。所以A 包含的样本点数为)24)(135(???,于是
15
8)
135()24)(135()(2
=
?????=
A P
(2) n 2根草的情形和(1)类似得
1.13 把n 个完全相同的球随机地放入N 个盒子中(即球放入盒子后,只能区别盒子中球的个数,不能区别是哪个球进入某个盒子,这时也称球是不可辨的)。如果每一种放法都是等可能的,证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k 个球
的概率为???
? ??-+????
??---+n n N k n k n N 12,n k ≤≤0
(2)恰好有m
个盒的概率为???
? ??-+???
?
??---????
??n n N m N n m N
111,1-≤≤-N m n N
(3)指定的m 个盒中正好有j 个球的概率为
???
? ??-+???
?
??---+-???? ??--+n n N j n j n m N m j m 1111,
.0,1N j N m ≤≤≤≤
解 略。
1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。
解 所求概率为5
3)(=
A P
1.15 在ABC ?中任取一点P ,证明ABC ABP ??与的面积之比大于n
n 1-的概
率为
2
1n
。
解 截取CD
n D C 1=',当且仅当点P 落入B A C ''?之内时ABC ABP ??与的面
积
之
比
大于n
n 1-,
因此所求概率为
2
2
)(CD
D C ABC C B A A P '=
?''?=
的面积
有面积2
2
2
1CD
D C n
'
=2
1n
=
。
1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时,求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。
解 分别用y x ,表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当1
0,20≤-≤≤-≤x y y x 。因此所求概率为
121.024
22
2
1232
124
)(2
2
2
2
≈?-?-
=
A P
1.17 在线段AB 上任取三点321,,x x x ,求: (1) 2x 位于31x x 与之间的概率。
(2) 321,,Ax Ax Ax 能构成一个三角形的概率。 解 (1) 3
1)(=
A P (2) 2
11
213
131)(=?
?
-=
B P
1.18 在平面上画有间隔为d 的等距平行线,向平面任意地投掷一个三角形,该三角形的边长为c b a ,,(均小于d ),求三角形与平行线相交的概率。
解 分别用321,,A A A 表示三角形的一个顶点与平行线相合,一条边与平行线相合,两条边与平行线相交,显然.0)()(21==A P A P 所求概率为)(3A P 。分别用
bc
ac ab c b a A A A A A A ,,,,,表示边c b a ,,,二边bc ac ab ,,与平行线相交,则
=)(3A P ).(bc ac ab A A A P ??显然)(a A P )()(ac ab A P A P +,=)(b A P )()(bc ab A P A P +,
=)(c A P )()(bc ac A P A P +。所以
2
1)(3=
A P [+)(a A P +)(b A P )(c A P ])(22c b a d
++=
π)(1
c b a d
++=
π
(用例1.12的结果)
1.19 己知不可能事件的概率为零,现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件?试举例说明之。
解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A “该点命中AB 的中点”的概率等于零,但A 不是不可能事件。
1.20 甲、乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先取,乙后取,每次取后都有不放回,直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间,并求甲或乙先取到白球的概率。
解1ω表示白,2ω表示黑白,3ω表示黑黑白,…白
黑黑表示个
b b 1+ω,
则样本空间=Ω{1ω,2ω,…,1+b ω},并且b a a P +=
})({1ω, 1
})({2-+?
+=
b a a
b a b
P ω, 2
11
})({3-+?
-+-?
+=
b a a
b a b b a b
P ω,…,
)
1()2()
2(1
1})({--+?
--+--?
?-+-?
+=
i b a a
i b a i b b a b b a b
P i ω
a
b a b a a
b P b )1)((!})({1-++=
+ω
甲取胜的概率为})({1ωP +})({3ωP +})({5ωP +… 乙取胜的概率为})({2ωP +})({4ωP +})({6ωP +…
1.21 设事件B A ,及B A ?的概率分别为p 、q 及r ,求)(AB P ,)(B A P ,
)(B A P ,)
(B A P
解 由)()()()(AB P B P A P B A P -+=?得
r q p B A P B P A P AB P -+=?-+=)()()()(
q r AB P A P AB A P B A P -=-=-=)()()()( ,p r B A P -=)(
r
B A P B A P B A P -=?-=?=1)(1)()(
1.22 设1A 、2A 为两个随机事件,证明: (1) )()()(1)(212121A A P A P A P A A P +--=;
(2) )()()()()()(121212121A P A P A A P A A P A P A P +≤?≤≤--. 证
明
(1)
-=?=1)()(2121A A P A A P )(21A A P ?=)()()(12121A A P A P A P +--
(2) 由(1)和0)(21≥A A P 得第一个不等式,由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。
1.23 对于任意的随机事件A 、B 、C ,证明:)
()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+
证明 )()()()]([)(ABC P AC P AB P C B A P A P -+=?≥
)()()(BC P AC P AB P -+≥
1.24 在某城市中共发行三种报纸:甲、乙、丙。在这个城市的居民中,订甲报的有45%,订乙报的有35%,订丙报的有30%,同时订甲、乙两报的有10%,同时订甲、丙两报的有8%,同时订乙、丙两报的有5%,同时订三种报纸的有3%,求下述百分比:
(1)只订甲报的;
(2)只订甲、乙两报的; (3)只订一种报纸的; (4)正好订两种报纸的; (5)至少订一种报纸的; (6)不订任何报纸的。
解 事件A 表示订甲报,事件B 表示订乙报,事件C 表示订丙报。
(1) ))(()(AC AB A P C B A P ?-==)()(AC AB P A P ?-=30% (2) %7)()(=-=ABC AB P C AB P
(3) %23)]()()([)()(=-+-=ABC P BC P AB P B P C A B P %20)]()()([)()(=-+-=ABC P BC P AC P C P B A C P ?C B A P (+C A B +)B A C =)(C B A P +)(C A B P +)(B A C P =73% (4) =++)(A BC B AC C AB P %14)()()(=++A BC P B AC P C AB P (5) %90)(=++C B A P
(6) %10%901)(1)(=-=++-=C B A P C B A P
1.26 某班有n 个学生参加口试,考签共N 张,每人抽到的考签用后即放回,在考试结束后,问至少有一张考没有被抽到的概率是多少?
解 用i A 表示“第i 张考签没有被抽到”, N i ,,2,1 =。要求)(1
N
i i A P =。
n
i N N A P ?
?
? ??-=1)(,n
j
i
N N A
A P ??
? ??-=2)(,……,0)(1
=??
? ??-=n
N N N N A A
P n
N
i i N N N
A P ??? ??-????? ??=∑
=11
)(1
n
N N N ???
?
?-???? ?
?
-=-11
)1(11 n
N i j i N N N
A A P ??? ??-???? ?
?-=-∑≤≤22)(1n
N N N ???
?
?-???? ?
?-=-22
)1(12,…… 所以n
N
i i N
i i N i N A P ??
? ??-
-=
∑=-=1
1
1
)
1()(
1.27 从n 阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包含主对角线元素的概率是多少?
解n 阶行列式的展开式中,任一项略去符号不计都可表示为n
ni i i a a a 2
1
21,当
且仅当n ,,2,1 的排列)(21n i i i 中存在k 使k i k =时这一项包含主对角线元素。用k A 表示事件“排列中k i k =”即第k 个主对角线元素出现于展开式的某项中。则
n
i n n A P i ≤≤-=
1!
)!
1()( )1(!
)!2()(n j i n n A A P j i ≤<≤-=
,……
所以!
1)
1(!)!()
1()(1
1
1
1
1
i n i n i n A P n
i i n
i i N
i i ∑
∑
=-=-=-=-?
??
? ??-=
1.29 已知一个家庭中有三个小孩,且其中一个是女孩,求至少有一个男孩
的概率(假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的)。
解 用g b ,分别表示男孩和女孩。则样本空间为:
)},,)(,,}(,,),,(),,,)(,,(),,,(),,,{(g g g b g g g b g g g b b b g b g b g b b b b b =Ω
其中样本点依年龄大小的性别排列。A 表示“有女孩”, B 表示“有男孩”,则
7
68
/78/6)
()()|(===
A P A
B P A B P
1.30 设M 件产品中有m 件是不合格品,从中任取两件,
(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概率。
(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概率。
解(1)设A 表示“所取产品中至少有一件是不合格品”, B 表示“所取产品都是不合格品”,则
???
? ?????? ??-???? ??+???
?
??=
2112)(M m M m m A P ???
? ???
??
?
??=
22)(M m B P
=
=
=
)
()()
()()|(A P B P A P AB P A B P 1
21---m M m
(2)设C 表示“所取产品中至少有一件合格品”, D 表示“所取产品中有一
件合格品,一件不合格品”。则
???
? ?????
?
??-+???? ??-???? ??=
2211)(M m M m M m C P ???
? ???
??
?
??-???? ??=
211)(M m M m D P
=
=
=
)
()()
()()|(C P D P C P CD P C D P 1
2-+m M m
1.31 n 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票,他们依次摸彩,求: (1)已知前1-k )(n k ≤个人都没摸到,求第k 个人摸到的概率; (2)第k )(n k ≤个人摸到的概率。
解 设i A 表示“第i 个人摸到”, n i ,,2,1 =。 (1) 1
1)
1(1)|(11+-=
--=
-k n k n A A A P k k
(2) =)(k A P =
-)(11k k A A A P n
k n n n n n 1
11121=+-??--?-
1.32 已知一个母鸡生k 个蛋的概率为
)0(!
>-λλ
λ
e
k k
,
而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p ,证明:一个母鸡恰有r 个下一代(即小鸡)的概率为
p
r
e
r p λλ-!
)(。
解 用k A 表示“母鸡生k 个蛋”, B 表示“母鸡恰有r 个下一代”,则
)|()()(k r
k k A B P A P B P ∑
∞
==
r
k r r
k k p p r k k e
-∞
=--????
? ???=
∑
)1(!
λ
λ
∑
∞
=----=
r
k r
k r r k p e
r p )!
()]
1([!
)(λλλ
)
1(!
)(p r
e
e
r p --?=
λλ
λ
p
r
e
r p λλ-=
!
)(
1.33 某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手一人,一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2,求在一组内任选一名射手,该射手能通过选拔进入决赛的概率。
解 用k A 表示“任选一名射手为k 级”, 4,3,2,1=k ,B 表示“任选一名射手能
进入
决
赛
”
,则
)|()()(4
1
k k k
A B P A
P B P ∑==
645
.02.020
15.020
77.02089.0204=?+
?+
?+
?=
1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%,35%,40%,并在各自的产品里,不合格品各占有5%,4%,2%。现在从产品中任
取一只恰是不合格品,问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少?
解 用1A 表示“任取一只产品是甲台机器生产”
2A 表示“任取一只产品是乙台机器生产”
3A 表示“任取一只产品是丙台机器生产”
B
表示“任取一只产品恰是不合格品”。 则由贝叶斯公式:
69
25)
|()()
|()()|(3
1
111
=
=
∑=k k k
A B P A
P A B P A P B A
P 69
28)
|()()
|()()|(3
1
222
=
=
∑=k k k
A B P A
P A B P A P B A
P
69
16)
|()()
|()()|(3
1
333=
=
∑=k k k
A B P A
P A B P A P B A P
1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1,它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时,问这台机床是车床的概率是多少? 解 则 159)(1=
A P , 153)(2=
A P ,152)(3=
A P ,15
1)(4=
A P
7
1)|(1=
A B P ,7
2)|(2=
A B P ,7
3)|(3=
A B P ,7
1)|(4=
A B P
由贝时叶斯公式得 22
9)
|()()
|()()|(4
1
111
==
∑
=k k k A B P A P A B P A P B A
P
1.36 有朋友自远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话,迟到的概率分别是
4
1、3
1
、
12
1,而乘飞机不会迟到。结果他迟到了,试问他是乘火车来的概率是多少? 解 用1A 表示“朋友乘火车来”,2A 表示“朋友乘轮船来”,3A 表示“朋友乘汽车来”,4A 表示“朋友乘飞机来”,B 表示“朋友迟到了”。 则 2
1)
|()()
|()()|(4
1
111
=
=
∑
=k k k A B P A P A B P A P B A
P
1.37 证明:若三个事件A 、B 、C 独立,则B A ?、AB 及B A -都与C 独立。
证明 (1))()()())((ABC P BC P AC P C B A P -+=?
=)()(C P B A P ?
(2))()()()()()C P AB P C P B P A P PABC ==
(3))())(())((ABC AC P C AB A P C B A P -=-=-=)()(C P B A P -
1.38 试举例说明由)()()()(C P B P A P ABC P =不能推出)()()(B P A P AB P =一定成立。
解 设},,,,{54321ωωωωω=Ω,64
1})({1=
ωP ,64
18})({5=
ωP ,
=})({2ωP =})({3ωP 6415})({4=
ωP ,},{21ωω=A ,},{31ωω=A ,},{41ωω=A
则 4
164
15641)()()
(=
+
===C P B P A P ,
)
()()(641
})({)(1C P B P A P P ABC
P ==
=ω
但是)()(64
1
})({)(1B P A P P AB P ≠=
=ω
1.39 设n A A A ,,,21 为n 个相互独立的事件,且)1()(n k p A P k k ≤≤=,求下列事件的概率:
(1) n 个事件全不发生;
(2) n 个事件中至少发生一件; (3) n 个事件中恰好发生一件。
解 (1) ∏∏===-
=
=
n
k k k k
n
k k p A
P A P n
1
1
1)1()()(
(2) ∏===--=-=n
k k n
k k n
k k p A P A P 1
1
1
)1(1)(1)(
(3) ])1([)()]([111
1
1
1 n k
j j j n
k
j j n k k
j
n
k k
n k n k
j j j k p p A
A A A P ≠=≠====≠=-
=
=
∑∑.
1.40 已知事件B A ,相互独立且互不相容,求))(),(min(B P A P (注:),min(y x 表示y x ,中小的一个数)。
解 一方面0)(),(≥B P A P ,另一方面0)()()(==AB P B P A P ,即)(),(B P A P 中至少有一个等于0,所以.0))(),(min(=B P A P
1.41 一个人的血型为AB B A O ,,,型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03,现在任意挑选五个人,求下列事件的概率
(1)两个人为O 型,其它三个人分别为其它三种血型; (2)三个人为O 型,两个人为A 型; (3)没有一人为AB 。
解 (1)从5个人任选2人为O 型,共有????
??25种可能,在其余3人中任选一人
为A 型,共有三种可能,在余下的2人中任选一人为B 型,共有2种可能,另一人为
AB 型,顺此所求概率为:0168
.013.011.040.046.023252
≈?????????
? ??
(2) 1557.040.046.0352
2≈???
??
? ?? (3) 8587.0)03.01(5≈-
1.42 设有两门高射炮,每一门击中目标的概率都是0.6,求同时发射一发炮
弹而击中飞机的概率是多少?又若有一架敌机入侵领空,欲以99%以上的概率击中它,问至少需要多少门高射炮。
解 用k A 表示“第k 门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”, ,2,1=k ,B 表示“击中飞机”。则6.0)(=k A P , ,2,1=k 。
(1) 84.04.01)(1)(22121=-=-=?A A P A A P
(2) 99.04.01)(1)(1
1>-=-=?=n n
k k n A P A A P , 026.54
.0lg 01.0lg ≈>
n
取6=n 。至少需要6门高射炮,同时发射一发炮弹,可保证99%的概率击中飞机。
1.43 做一系列独立的试验,每次试验中成功的概率为p ,求在成功n 次之前已失败了m 次的概率。
解 用A 表示“在成功n 次之前已失败了m 次”, B 表示“在前1-+m n 次试验中失败了m 次”, C 表示“第m n +次试验成功”
则 p p p m m n C P B P BC P A P m
n ?-???
?
??-+===-)1(1)()()()(1
m
n p p m m n )1(1-???
? ??-+=
1.45 某数学家有两盒火柴,每盒都有n 根火柴,每次用火柴时他在两盒中任
取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r 根火柴(n r ≤≤1)的概率。
解 用i A 表示“甲盒中尚余i 根火柴”, 用j B 表示“乙盒中尚余j 根火柴”,
D
C ,分别表示“第r n -2次在甲盒取”,“第r n -2次在乙盒取”, C B A r 0表示取
了r n -2次火柴,且第r n -2次是从甲盒中取的,即在前12--r n 在甲盒中取了
1-n ,其余在乙盒中取。所以 2
12121112)(1
0?
??
?
????
?
?
?????? ??---=--r
n n r n r n C B A P
由对称性知)()(00D B A P C B A P r r =,所求概率为:
=?)(00D B A C B A P r r 1
2021112)(2--?
?
?
?????? ??---=r n r n r n C B A P
单选 已知某固定资产投资项目计算期为8年,固定资产投资额为100万元,建设期资本化利息为10万元,预备费为25万元。包括建设期的回收期为6年,不包括建设期的回收期为4年。如果该固定资产采用直线法计提折旧,期满净残值为5万元,则下列说法正确的是( )。 A.没有建设期 B.固定资产原值是110万元 C.项目运营期是8年 D.年折旧额是21.67万元 【答案】D 【解析】固定资产原值=形成固定资产的费用+建设期资本化利息+预备费=100+10+25=135(万元),建设期=6-4=2(年),运营期=计算期-建设期=8-2=6(年),则年折旧额=(135-5)/6=21.67(万元)。 2.某项目投产第二年外购原材料、燃料和动力费为20万元,职工薪酬15万元,其他付现成本10万元,年折旧费25万元,无形资产摊销费5万元,利息3万元,所得税费用1万元,则该年不包括财务费用的总成本费用为()万元。 A.35 B.45 C.75 D.79 答案】C 【解析】不包括财务费用的总成本费用=经营成本+折旧与摊销=20+15+10+25+5=75(万元)。 3.下列计算式正确的是()。 A.国内设备购置费=设备购买成本×(1+增值税税率) B.进口设备购置费=以人民币标价的进口设备到岸价+进口关税 C.进口关税=以人民币标价的进口设备到岸价×进口关税税率 D.国内运杂费=以人民币标价的进口设备到岸价×运杂费率 【答案】C 【解析】国内设备购置费=设备购买成本×(1+运杂费率);进口设备购置费=以人民币标价的进口设备到岸价+进口从属费+国内运杂费,进口从属费=进口关税+外贸手续费+结汇银行财务费;国内运杂费=(以人民币标价的进口设备到岸价+进口关税)×运杂费率。 4.某项目投产第一年外购原材料、燃料和动力费为20万元,职工薪酬15万元,其他付现成本10万元,年折旧费25万元,无形资产摊销费5万元,利息3万元,所得税费用1万元,则该年经营成本为()万元。 A.35 B.45 C.75 D.79
6.某企业年初从银行贷款1200万元,并将从第2年开始,每年年末偿还250万元。已知银行按复利利率为6%计息,试求企业在哪一年才能还清这笔贷款?(精确到0.1) 7.总额为5000元的贷款,在复利利率为8%的情况下第一年还500元,第二年还1000元,第三年还1500元,第四年还2000元,问第五年还多少? 8.某企业获得一笔80万元的贷款,要求在4年内偿清,复利利率为10%。有4种偿还方式:1、每年年末偿还20万元本金,以及年初尚未归还本金的相应利息2、每年年末只偿还所欠利息,第4年末一次还清本金3、在第4年中每年年末等额偿还4、在第4年末一次还清本息试计算各种还款方式所付出的总金额。
8.公司打算购买下表所列两种新机器中的一种,具体数据如表中所示. 项目机器A 机器B 初始投资3400元6500元 服务寿命3年6年 残值100元500元 运行费用2000元/年1500元/年 假如公司的基准贴现率为12%,试协助公司进行选择。 9.某工程 9.某工程连续在三年中的每年年初分别投资1000万元、1500万元和2000万元。若资金全部来自银行贷款,复利利率为8%,从第3年末开始,分10年等额偿还,球每年应偿还银行多少万元?
11.购买某设备初始投资为8000元,若其每年年净收益为1260元,设备报废后无残值,试问: (1)如果使用8年后报废,其IRR为多少? (2)如果希望IRR=10%,那么设备至少应该使用多少年才值得购买(精确到0.1)?
7.某企业欲购买设备,有表5-22所示的两个备选方案,由于该种设备技术进步很快,不可能采用将方案重复实施的方法进行比选。另假定最低期望收益率为10%,试协助该企业进行决策
第五章项目投资综合决策习题 一、单项选择题 1.某企业计划投资10万元建一生产线,预计投资后每年可获净利1.5万元,年折旧率为10%,则投资回收期为( )年. (A)4.5? (B)5 (C)4? (D)6 2.在资本限量情况下,最佳投资方案必然是()。 (A)净现值合计最高的投资组合 (B)获利指数大于1的投资组合 (C)内部收益率合计最高的投资组合 (D)净现值之和大于零的投资组合 3.在下列指标中属于贴现的指标是()。 (A)投资回收期 (B)投资利润 (C)平均收现期? (D)内部收益率 4.现值指数小于1时意味着()。 (A)投资的报酬率大于预定的贴现率 (B)投资的报酬率小于预定的贴现率 (C)投资的报酬率等于预定的贴现率 (D)现金流入量的贴现值大于现金流出量的贴现值 5.下列关于净现值的表述中,不正确的是() (A)净现值是项目计算期内各年现金净流量现值的代数和 (B)净现值大于0,项目可行,净现值小于0,项目不可行 (C)净现值的计算可以考虑投资的风险性 (D)净现值反映投资的效率 6.某投资方案的年营业收入为100000元,年总成本为60000元,年折旧额10000元,所得税率为33%,该方案的每年营业现金流量为()元。 (A)26800 (B)36800 (C)16800 (D)43200 7.投资回收期的计算公式为()。 (A)投资回收期=原始投资额/现金流入量 (B)投资回收期=原始投资额/现金流出量 (C)投资回收期=原始投资额/净现金流量 (D)投资回收期=净现金流量/原始投资额 8.当新建项目的建设期不为0时,建设期内各年的净现金流量()。 (A)小于0或等于0 (B)大于0 (C)小于0
习题6~7 一、单项选择题 1.计算投资项目某年经营现金流量时,不应包括的项目是( )。 A.该年的税后利润 B.该年的固定资产折旧额 C.该年的长期待摊费用摊销额 D.该年的回收额 2.某投资项目的年营业收入为200000元,年经营成本为100000元,年折旧额为20 000元,所得税税率为33%,则该方案的年经营现金流量为( )元。 A.50000 B.67 000 C.73 600 D.87 000 3.下列各项中,不属于投资项目现金流出量的是( )。 A.建设投资 B.垫支流动资金 C.固定资产折旧 D.经营成本 4.折旧具有抵税作用,由于计提折旧而减少的所得税可用下列公式( )计算。 A.折旧额×所得税税率 B.折旧额×(1—所得税税率) C.(总成本—折旧)×所得税税率 D.付现成本×所得税税率 5.在计算投资项目的未来现金流量时,报废设备的预计净残值为8 000元,按税法规定计算的净残值为10 000元,所得税税率为40%,则设备报废引起的预计现金流入量为( )元。 A.7 200 B.8 800 C.9 200 D.10 800 6.某企业计划投资30万元建设一生产线,预计该生产线投产后可为企业每年创造2万元的净利润,年折旧额为3万元,则投资回收期为( )年。 A.5 B.6 C.10 D.15 7.利用回收期指标评价方案的财务可行性,容易造成管理人员在决策上的短视,不符合股东的利益,这是因为( )。 A.回收期指标未考虑货币时间价值因素 B.回收期指标忽略了回收期以后的现金流量 C.回收期指标在决策上伴有主观臆断的缺陷 D.回收期指标未利用现金流量信息 8.某投资项目的原始投资额为200万元,建设期为1年,投产后1~6年每年现金净流量为40万元,第7~10年每年现金净流量为30万元,则该项目包括建设期的投资回收期为( )年。 A.5 B.6 C.7 D.8 9.某投资项目的原始投资额为100万元,当年建设当年投产,投产后1~5年每年净收益为10万元,第6~10年每年净收益为20万元,则该项目的会计账面收益率为( )。 A.5% B.10% C.15% D.30% 10.当某独立投资方案的净现值大于0时,则内部收益率 ( )。 A.一定大于0 B.一定小于0 C.小于设定折现率 D.大于设定折现率 11.某投资方案,当折现率为12%时,其净现值为478万元;当折现率为14%时,其净现值为22万元,则该方案的内部收益率为( ) A.12.91% B.13.59% C.13.91% D.14.29% 12.运用内部收益率进行独立方案财务可行性评价的标准是( )。 A.内部收益率大于0 B.内部收益率大于1 C.内部收益率大于投资者要求的最低收益率 D.内部收益率大于投资利润率 13.在下列评价指标中,未考虑货币时间价值的是( )。 A.净现值 B.内部收益率 C.获利指数 D.静态投资回收期 14.投资项目评价指标中,不受投资方式、建设期长短、有无回收额以及净现金流量大小影响的评价指标是 ( )。 A.净现值 B.内部收益率 C.会计账面收益率 D.回收期 15.下列长期投资决策评价指标中,其数值越小越好的指标是()。
第五章项目投资 一、单项选择题。 1.某投资项目投产后预计第一年流动资产需用额为100万元,流动负债需用额为80万元,第二年流动资产需用额120万元,流动负债需用额90万元,则第二年的流动资金投资额为()万元。 A.30 B.20 C.10 D.0 【正确答案】C 【答案解析】第一年流动资金需用额=100-80=20(万元),首次流动资金投资额=20(万元),第二年流动资金需用额=120-90=30(万元),第二年的流动资金投资额=30-20=10(万元)。 2.某项目投资需要的固定资产投资额为100万元,无形资产投资10万元,流动资金投资5万元,建设期资本化利息2万元,则该项目的原始总投资为()万元。 A.117 B.115 C.110 D.100 【正确答案】B 【答案解析】原始总投资=100+10+5=115(万元)。 3.关于估计现金流量应当考虑的问题中说法错误的是()。 A.必须考虑现金流量的总量 B.尽量利用现有会计利润数据 C.充分关注机会成本 D.不能考虑沉没成本 【正确答案】A 【答案解析】估计现金流量应当考虑的问题包括:必须考虑现金流量的增量;尽量利用现有会计利润数据;不能考虑沉没成本;充分关注机会成本;考虑项目对企业其他部门的影响。 4.在考虑所得税的情况下,计算项目的现金流量时,不需要考虑()的影响。 A.更新改造项目中旧设备的变现收入 B.因项目的投产引起的企业其他产品销售收入的减少 C.固定资产的折旧额 D.以前年度支付的研究开发费 【正确答案】D 【答案解析】以前年度支付的研究开发费属于沉没成本,所以在计算现金流量时不必考虑其影响。 5.某企业投资方案A的年销售收入为200万元,年总成本为100万元,年折旧为10万元,无形资产年摊销额为10万元,所得税率为40%,则该项目经营现金净流量为()。 A.80万元 B.92万元 C.60万元 D.50万元
第五章项目投资管理习题 一、单项选择题 1、在不考虑所得税的情况下,以“利润+折旧”估计经营期净现金流量时,“利润”是指() A、利润总额 B、净利润 C、营业利润 D、息税前利润 2、某项目预计投产第一年初流动资产需用额为160万元,预计第一年流动负债为55万元,投产第二年初流动资产需用额为300万元,预计第二年流动负债为140万元,则该项目流动资金投资总额为()万元。 A、105 B、160 C、300 D、460 3、已知某投资项目的原始投资额为500万元,建设期为2年,投产后第1-5年每年NCF为90万元,第6-10年每年NCF为80万元。则该项目包括建设期的静态投资回收期为() A、6.375年 B、8.375年 C、5.625年 D、7.625年 4、某投资项目的项目计算期为5年,净现值为10000万元,行业基准折现率10%,5年期、折旧率为10%的年金现值系数为3.791,则该项目的年等额净回收额约为()万元。 A、2000 B、2638 C、37910 D、50000 5、现有企业进行的项目投资的直接投资主体就是() A、企业本身 B、国家投资者 C、企业所有者 D、债权投资者 6、在以下各种投资当中,不属于项目投资类型的是() A、固定资产投资 B、证券投资 C、更新改造投资 D、新建项目投资
7、从投产日到终结点之间的时间间隔称为() A、建设期 B、计算期 C、生产经营期 D、达产期 8、项目投资现金流量表中不包括()。 A、所得税前净现金流量 B、累计所得税前净现金流量 C、借款本金偿还 D、所得税后净现金流量 9、某投资项目的年销售收入为180万元(全部为现金销售收入)。年付现成本为100万元,年折旧费用为20万元,所得税率为30%,则该投资项目的年现金净流量为( ) A、42万元 B、62万元 C、68万元 D、80万元 10、投资决策中的现金流量是指它们的() A、账面价值 B、目标价值 C、变现价值 D、净值 11、在确定投资方案的相关的现金流量时,所应遵循的最基本原则是:只有()才是与项目相关的现金流量。 A、增量现金流量 B、现金流入量 C、现金流出量 D、净现金流量 12、下列属于决策相关成本的有()。 A、沉没成本 B、机会成本 C、账面成本 D、过去成本 13、某公司当初以100万元购入一块土地,目前市价为80万元,如欲在这块土地上兴建厂房,应() A、以100万元作为投资分析机会成本考虑 B、以80万元作为投资分析机会成本考虑 C、以20万元作为投资分析机会成本考虑 D、以100万元作为投资分析的沉没成本考虑
第五章项目投资 一、单项选择题 1.某公司当初以300万元购入一块土地,当前市价为350万元,如果公司计划在这块土地上兴建厂房,应()。 A.以300万元作为投资分析的机会成本 B.以50万元作为投资分析的机会成本 C 以350万元作为投资分析的机会成本 D.以350万元作为投资分析的沉没成本 C 2.利用回收期指标评价方案的财务可行性,容易造成管理人员在决策上的短视,不符合股东的利益,这是因为()。 A.回收期指标未考虑货币时间价值因素 B.回收期指标忽视了回收期以后的现金流量 C.回收期指标在决策上伴有主观臆断的缺陷 D.回收期指标未利用现金流量信息 B 3.某投资项目的原始投资额为200万元,建设期为1年,投产后1-6年每年现金净流量为40万元,第7-10年每年现金净流量为30万元,则该项目包括建设期的投资回收期为()年。 A.5 B.6 C.7 D.8 B 4.某投资项目的原始投资额为100万元,当年建设当年投产,投产后1-5年每年净收益为10万元,第6-10年每年净收益为20万元,则该项目的年均会计收益率(又称以净利润为基础的平均报酬率)为()。
A.5% B.10% C.15% D.30% C 8.在下列评价指标中,未考虑货币时间价值的是()。 A.净现值 B.内部收益率 C.获利指数 D.回收期 D 二、多项选择题 1.下列各项中,属于现金流出项目的有()。 A.建设投资 B.经营成本 C.长期待摊费用摊销 D.固定资产折旧 E.所得税支出 AE 2.某公司拟于2003年初新建一生产车间用于某种新产品的开发,则与该投资项目有关的现金流量是()。 A.需购置新的生产流水线,价值为300万元,同时垫付25万元的流动资金 B.2002年公司支付5万元的咨询费,请专家论证 C.公司全部资产目前已经提折旧100万元 D.利用现有的库存材料,目前市价为20万元 E.投产后每年创造销售收入100万元 AE ◆现金流入量 --营业收入、回收固定资产残值、 回收流动资金、其他现金流入 ◆现金流出量 --固定资产投资支出、垫支营运资本、 付现成本、税金、其他现金流出
技术经济分析评价计算题参考答案 第五章习题集 3.某公司现在从银行贷款若干元,利率为10%,10年末一次偿清本利和,在下列贷款额下,按单利法和复利法计算本利和。(1)贷款1000元;(2)贷款5000元。 解:(1)P=1000时,单利法:F=2000元;复利法:F=2594(元) (2)P=5000时,单利法:F=10000元;复利法:F=12969(元) 4.张红获得10000元贷款,偿还期为5年,利率为10%,在下列几种还款方式下,按复利法计算其还款总额和利息各是多少? (1)每年末只偿还2000元本金,所欠利息5年末一次还清; (2)每年末偿还2000元本金和所欠利息; (3)每年末偿还所欠利息,5年末一次还清本金; (4)5年末一次还清本利。 年年末)存款额。(1)利率为1%;(2)利率为10%;(3)利率为15%。 解:(1)A=9083(元)(2)A=3492(元)(3)A=1952(元) 6.王红的父亲决定在她5岁至21岁每年生日那天都存入500元(包括5岁和21岁的生日在内),并准备在她22岁生日时全部取出,在下列利率条件下,应取多少钱?
(1)利率为8%;(2)利率为10%;(3)利率为15%。 解:(1)F=16875(元)(2)F=20272(元)(3)F=32538(元) 7.若月利率为8%,在第2年末要得到4000元的款项,那么每月月末(包括第2年最后一个月的月末在内)要存入银行多少钱? 解:A=59.9(元) 8.现贷款15000元,利率10%,在以后5年的每年年末等额偿还,求每次偿还额是多少? 解:A=3957(元) 9.长江三峡特大工程项目预计需投资人民币350亿元(其中:60%自筹,40%从国外贷款,贷款利率为10%),工程建设期18年。试计算: (1)建设期期末时,欠国外贷款利息多少? (2)所欠贷款利息是贷款本金的几倍? (3)建设期期末共欠国外贷款本利和是多少? 解:(1)I=350*40%*[(1+10%)18-1]=638(亿元) (2)I/P=4.56(倍) (3)F=I+P=778(亿元) 10.某机床厂计划从现在算起,在第8年年末从银行一次提取120万元现金,若银行利率为i=15%,那么,从现在开始,每年年末等额存入银行一笔现金,连续存4年,试求:(1)每年年末定额存入银行多少? (2)存款所得利息是多少? 解:(1)A=13.74(万元) (2)I=65.04(万元) 11.求下列各题未知值(已知i=10%)。 (1) 1000 (2) (3) 解:(1)F=1000(F/P,10%,10)-100(P/A,10%,4)(F/P,10%,7)=1976 (2)A=500(F/A,10%,3)(A/P,10%,16)=212 (3)F=500(F/A,10%,3)(F/P,10%,12)-100(P/A,10%,10)(F/P,10%,
投资管理内容测验2 1.项目投资的原始投资为1000万元,建设起点一次性投入,建设期为1年,经营期为10 年,投产后第1年到第5年的净现金流量分别为100万元、120万元、150万元、250万元和300万元,以后每年净现金流量为350万元。计算项目静态投资回收期。1.【答案】 PP=6+80/350=6.23年 2.甲公司某长期投资项目建设期净现金流量为:NCF0= -400万元,NCF1= -500万元,NCF2=0; 第3~12年的经营净现金流量NCF=200万元,第12年末的回收额为100万元,行业基准折现率为10%。计算该项目的下列指标:(1)原始投资额;(2)终结点净现金流量;(3)不包括建设期的投资回收期;(4)包括建设期的投资回收期;(5)净现值。 2.【答案】 (1)原始投资额=400+500=900万元 (2)终结点净现金流量=100万元 (3)不包括建设期的投资回收期=900/200=4.5年 (4)包括建设期的投资回收期=4.5+2=6.5年 (5)净现值=200(P/A,10%,10)(1+10%)-2+100(1+10%)-12-400-500(1+10%)-1 =192.55万元 3.某企业正在考虑生产一种新产品,为此需购置一套价值50万元的新设备,设备安装费 用为10万元,并一次性支付4年期的厂房租赁费40万元。该设备使用期4年,会计上的预计残值为2万,按4年平均计提折旧。根据市场预测该设备4年后实际可收回残值预计为5万元。此外,配套投入的流动资金为10万元。该企业所得税率为25%。在不考虑所得税的情况下,各年末净营业现金收入分别为:第1年末30万元,第2年末40万元,第3年末50万元,第4年末30万元。根据上述资料计算该项目各期的现金流量。3.【答案】 NCF0=-50-10-40-10=-110万元 摊销额=40/4=10万元 折旧额=(50+10-2)/4=14.5万元 每期非付现成本总额=10+14.5=24.5万元 NCF1=[30-24.5](1-25%)+24.5=28.625万元 NCF2=[40-24.5](1-25%)+24.5=36.125万元 NCF3=[50-24.5](1-25%)+24.5=43.625万元 NCF4=[30-24.5](1-25%)+24.5+10+5-(5-2)×25%=42.875万元