当前位置：文档库 › 线性代数第五章答案

线性代数第五章答案

第五章相似矩阵及二次型

1. 试用施密特法把下列向量组正交化:

(1)???

??=931421111) , ,(321a a a ;

解根据施密特正交化方法,

???

? ??==11111a b , ???

? ??

-=-=101]

,[],[1112122b b b a b a b ,

? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .

(2)???

? ??---=011101110111) , ,(321a a a .

解根据施密特正交化方法,

???

? ??-==110111a b ,

???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b ,

???

? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .

2. 下列矩阵是不是正交阵:

(1)??????

? ??--

-1

21312112131211; 解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.

(2)????

? ??----

--979494949198949891. 解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.

3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明因为

H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为

H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵.

4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T ,

(AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,

故AB 也是正交阵.

5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:

(1)???

? ??----201335212;

解 3)1(2013352

12||+-=-------=-λλ

λλλE A ,

故A 的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1, 由

???

? ?????? ??----=+000110101101325213~E A ,

得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 1, -1)T , 向量p 1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量.

(2)???

??633312321;

解 )9)(1(6333123

21||-+-=---=-λλλλ

λλλE A ,

故A 的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9. 对于特征值λ1=0, 由

???

?????? ??=000110321633312321~A ,

得方程A x =0的基础解系p 1=(-1, -1, 1)T , 向量p 1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1, 由

???

? ?????? ??=+000100322733322322~E A ,

得方程(A +E )x =0的基础解系p 2=(-1, 1, 0)T , 向量p 2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量. 对于特征值λ3=9, 由

????

? ??--???? ??---=-00021101113333823289~E A , 得方程(A -9E )x =0的基础解系p 3=(1/2, 1/2, 1)T , 向量p 3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.

(3)????

?00

01001001001000

.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考）解 22)1()1(0

0100101

||+-=----=-λλλ

λλλλE A , 故A 的特征值为λ1=λ2=-1, λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1, 由

????

? ???????

?=+00

0000

0110100110

01011001101001~E A , 得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 0, 0, -1)T , p 2=(0, 1, -1, 0)T , 向量p 1和p 2是对应于特征值

λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量.

对于特征值λ3=λ4=1, 由

????

? ??--?????

?----=-00

0000

0110100110

01011001101001~E A , 得方程(A -E )x =0的基础解系p 3=(1, 0, 0, 1)T , p 4=(0, 1, 1, 0)T , 向量p 3和p 4是对应于特征值

λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.

6. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 证明因为

|A T -λE |=|(A -λE )T |=|A -λE |T =|A -λE |,

所以A T 与A 的特征多项式相同, 从而A T 与A 的特征值相同.

7. 设n 阶矩阵A 、B 满足R (A )+R (B )

证明设R (A )=r , R (B )=t , 则r +t

若a 1, a 2, ???, a n -r 是齐次方程组A x =0的基础解系, 显然它们是A 的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.

类似地, 设b 1, b 2, ???, b n -t 是齐次方程组B x =0的基础解系, 则它们是B 的对应于特征值

λ=0的线性无关的特征向量.

由于(n -r )+(n -t )=n +(n -r -t )>n , 故a 1, a 2, ???, a n -r , b 1, b 2, ???, b n -t 必线性相关. 于是有不全为0的数k 1, k 2, ???, k n -r , l 1, l 2, ???, l n -t , 使

k 1a 1+k 2a 2+ ??? +k n -r a n -r +l 1b 1+l 2b 2+ ??? +l n -r b n -r =0.

记 γ=k 1a 1+k 2a 2+ ??? +k n -r a n -r =-(l 1b 1+l 2b 2+ ??? +l n -r b n -r ), 则k 1, k 2, ???, k n -r 不全为0, 否则l 1, l 2, ???, l n -t 不全为0, 而

l 1b 1+l 2b 2+ ??? +l n -r b n -r =0,

与b 1, b 2, ???, b n -t 线性无关相矛盾.

因此, γ≠0, γ是A 的也是B 的关于λ=0的特征向量, 所以A 与B 有公共的特征值, 有公共的特征向量.

8. 设A 2-3A +2E =O , 证明A 的特征值只能取1或2.

证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则

(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.

因为x≠0,所以λ2-3λ+2=0,即λ是方程λ2-3λ+2=0的根,也就是说λ=1或λ=2.

9.设A为正交阵,且|A|=-1,证明λ=-1是A的特征值.

证明因为A为正交矩阵,所以A的特征值为-1或1.（需要说明）

因为|A|等于所有特征值之积,又|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即λ=-1是A的特征值.

10.设λ≠0是m阶矩阵A m?n B n?m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.

证明设x是AB的对应于λ≠0的特征向量,则有

(AB)x=λx,

于是B(AB)x=B(λx),

或BA(B x)=λ(B x),

从而λ是BA的特征值,且B x是BA的对应于λ的特征向量.

11.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3,求|A3-5A2+7A|.

解令?(λ)=λ3-5λ2+7λ,则?(1)=3,?(2)=2,?(3)=3是?(A)的特征值,故

|A3-5A2+7A|=|?(A)|=?(1)??(2)??(3)=3?2?3=18.

12.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2,-3,求|A*+3A+2E|.

解因为|A|=1?2?(-3)=-6≠0,所以A可逆,故

A*=|A|A-1=-6A-1,

A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E.

令?(λ)=-6λ-1+3λ+2,则?(1)=-1,?(2)=5,?(-3)=-5是?(A)的特征值,故

|A*+3A+2E|=|-6A-1+3A+2E|=|?(A)|

=?(1)??(2)??(-3)=-1?5?(-5)=25.

13.设A、B都是n阶矩阵,且A可逆,证明AB与BA相

似.

证明取P =A , 则

P -1ABP =A -1ABA =BA ,

即AB 与BA 相似.

14. 设矩阵???

??=50413102x A 可相似对角化, 求x .

解由

)6()1(504131

02||2---=---=-λλλ

λλλx E A ,

得A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=1.

因为A 可相似对角化, 所以对于λ2=λ3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由

???

? ??-???? ??=-00030010140403101)(~x x E A r

知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.

15. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵???

??---=2135212b a A 的一个特征向量.

(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; 解设λ是特征向量p 所对应的特征值, 则

(A -λE )p =0, 即???

? ??=???? ??-???? ??------000111213521

2λλλb a ,

解之得λ=-1, a =-3, b =0.

(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解由

3)1(2013352

12||--=-------=-λλ

λλλE A ,

得A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1. 由

???

? ??-???? ??----=-00011010111325211~r b E A

知R (A -E )=2, 所以齐次线性方程组(A -E )x =0的基础解系只有一个解向量. 因此A 不能相似对角化.

16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:

(1)???

??----020212022;

解将所给矩阵记为A . 由

λλλ-------=-202120

22E A =(1-λ)(λ-4)(λ+2),

得矩阵A 的特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4. 对于λ1=-2, 解方程(A +2E )x =0, 即

0220232024321=???

? ?????? ??----x x x , 得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得T

2 ,32 ,31(1=p .

对于λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即

0120202021321=???

?????? ??-----x x x ,

得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得

T )3

2 ,31 ,32(2-=p .

对于λ3=4, 解方程(A -4E )x =0, 即

0420232022321=???

? ?????? ??-------x x x , 得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得T

1 ,3

2 ,32(3-=p .

于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(-2, 1, 4).

(2)???

? ??----542452222. （和书后答案不同，以书后答案为准，解题步骤可以参考）

解将所给矩阵记为A . 由

λλλ-------=-5424522

22E A =-(λ-1)2(λ-10),

得矩阵A 的特征值为λ1=λ2=1, λ3=10. 对于λ1=λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即

???

? ??=???? ?????? ??----000442442221321x x x , 得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T 和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得

T 0) 1, ,2(511-=p , T 5) ,4 ,2(5

312=p .

对于λ3=10, 解方程(A -10E )x =0, 即

???

??=???? ?????? ??-------000542452228321x x x , 得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得T

)2 ,2 ,1(3

13--=p .

于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(1, 1, 10).

17. 设矩阵????

??------=12422421x A 与???

? ??-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.

解已知相似矩阵有相同的特征值, 显然λ=5, λ=-4, λ=y 是Λ的特征值, 故它们也是A 的特征值. 因为λ=-4是A 的特征值, 所以

0)4(95

242424

25|4|=-=---+---=+x x E A ,

解之得x =4.

已知相似矩阵的行列式相同, 因为

1001242424

21||-=-------=A , y y

2045||-=-=Λ,

所以-20y =-100, y =5.

对于λ=5, 解方程(A -5E )x =0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T , (1, -2, 0)T . 将它们正交化、单位化得

T )1 ,0 ,1(211-=p , T )1 ,4 ,1(2

312-=p .

对于λ=-4, 解方程(A +4E )x =0, 得特征向量(2, 1, 2)T , 单位化得T )2 ,1 ,2(3

13=

p .

于是有正交矩阵?

?????

??--=2313221234310

231322

1P , 使P -1AP =Λ. 18. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T ,

p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A .

解令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(2, -2, 1)=Λ, A =P ΛP -1. 因为

???

? ??---=???? ??=--1101110110111111101

1P ,

所以

???? ??---???? ?

?-???? ??=Λ=-11011101110002000

20111111101P P A ????

??------=244354332. 19. 设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T , p 2=(2, 1, -2)T , 求A .

解设???

??=653542321x x x x x x x x x A , 则A p 1=2p 1, A p 2=-2p 2, 即 ?????=++=++=++2222221

22653542321x x x x x x x x x , ---① ?????=-+-=-+-=-+2

221222

22653542321x x x x x x x x x . ---② 再由特征值的性质, 有

x 1+x 4+x 6=λ1+λ2+λ3=0. ---③

由①②③解得

612131x x --

=, 6221x x =, 6

34132x x -=,

642

131x x -=, 654132x x +=. 令x 6=0, 得311-=x , x 2=0, 323=x , 3

14=x , 325=x .

因此

???

? ??-=022********A . 20. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .

解设???

? ??=653542321x x x x x x x x x A . 因为λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 所以有

???? ??=???? ??1116111A , 即???

??=++=++=++6666

53542321x x x x x x x x x ---①. λ2=λ3=3是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R (A -3E )=1. 利用①可推出

????

??--???? ??---=-331113333653

542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x E A .

因为R (A -3E )=1, 所以x 2=x 4-3=x 5且x 3=x 5=x 6-3, 解之得

x 2=x 3=x 5=1, x 1=x 4=x 6=4.

因此

???

??=411141114A .

21. 设a =(a 1, a 2, ??

?, a n )T , a 1≠0, A =aa T .

(1)证明λ=0是A 的n -1重特征值;

证明设λ是A 的任意一个特征值, x 是A 的对应于λ的特征向量, 则有 A x =λx ,

λ2x =A 2x =aa T aa T x =a T a A x =λa T ax , 于是可得λ2=λa T a , 从而λ=0或λ=a T a .

设λ1, λ2, ? ? ?, λn 是A 的所有特征值, 因为A =aa T 的主对角线性上的元素为a 12, a 22, ? ? ?, a n 2, 所以

a 12+a 22+ ? ? ? +a n 2=a T a =λ1+λ2+ ? ? ? +λn ,

这说明在λ1, λ2, ? ? ?, λn 中有且只有一个等于a T a , 而其余n -1个全为0, 即λ=0是A 的n -1重特征值.

(2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 解设λ1=a T a , λ2= ? ? ? =λn =0.

因为A a =aa T a =(a T a )a =λ1a , 所以p 1=a 是对应于λ1=a T a 的特征向量.

对于λ2= ? ? ? =λn =0, 解方程A x =0, 即aa T x =0. 因为a ≠0, 所以a T x =0, 即a 1x 1+a 2x 2+ ? ? ? +a n x n =0, 其线性无关解为

p 2=(-a 2, a 1, 0, ???, 0)T , p 3=(-a 3, 0, a 1, ??

?, 0)T ,

? ? ?,

p n =(-a n , 0, 0, ??

?, a 1)T . 因此n 个线性无关特征向量构成的矩阵为

????

? ???

?????????????????-???-=???112

12100), , ,(a a a a

a a a n

n n p p p . 22. 设???

??-=340430241A , 求A 100.

解由

)5)(5)(1(3404302

41||+---=----=-λλλλ

λλλE A ,

得A 的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=-5.

对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(1, 0, 0)T . 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得特征向量p 2=(2, 1, 2)T . 对于λ1=-5, 解方程(A +5E )x =0, 得特征向量p 3=(1, -2, 1)T . 令P =(p 1, p 2, p 3), 则

P -1AP =diag(1, 5, -5)=Λ,

A =P ΛP -1, A 100=P Λ100P -1. 因为

Λ100=diag(1, 5100, 5100),

???

? ??--=???? ??-=--120210505511202101211

P , 所以

???? ??--???? ????

?? ??

-=12021050555112021012151100100100A ???

??-=1001001005000501501.

23. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1).

(1)求关系式??

? ??=??

? ??++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ;

解由题意知

x n +1=x n +qy n -px n =(1-p )x n +qy n , y n +1=y n +px n -qy n = px n +(1-q )y n , 可用矩阵表示为

?? ????? ?

?--=??? ??++n n n n y x q p q p y x 1111,

因此

??--=q p q p A 11.

(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即??

? ??=??? ??5.05.000y x , 求?

? ??n n y x .

解由??

? ??=??

? ??++n n n n y x A y x 11可知??

? ??=??

? ??00y x A y x n n n . 由

)1)(1(11||q p q p q

p E A ++--=----=

-λλλ

λλ,

得A 的特征值为λ1=1, λ2=r , 其中r =1-p -q .

对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(q , p )T . 对于λ1=r , 解方程(A -rE )x =0, 得特征向量p 2=(-1, 1)T . 令??

??-==11) ,(21p q P p p , 则 P -1AP =diag(1, r )=Λ, A =P ΛP -1, A n =P Λn P -1. 于是

1100111-?

??-??? ????? ??-=p q r p q A n n

???

??-??? ?

???? ??-+=q p r p q q p n 11001111 ??? ??+--++=n n n n qr p pr p qr q pr q q p 1, ??

? ????? ??+--++=??? ??5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ??? ??-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21.

24. (1)设??

? ??--=3223A , 求?(A )=A 10-5A 9; 解由

)5)(1(3223||--=----=-λλλ

λλE A ,

得A 的特征值为λ1=1, λ2=5.

对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(2

1. 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得单位特征向量

T )1 ,1(2

1-.

于是有正交矩阵??

? ??-=

111121P , 使得P -1AP =diag(1, 5)=Λ, 从而A =P ΛP -1, A k =P Λk P -1. 因此 ?(A )=P ?(Λ)P -1=P (Λ10-5Λ9)P -1 =P [diag(1, 510)-5diag(1, 59)]P -1 =P diag(-4, 0)P -1

? ??-??? ??-??? ??-=1111210004111121

? ??-=??? ??----=111122222. (2)设???

??=122221212A , 求?(A )=A 10-6A 9+5A 8.

解求得正交矩阵为

????

? ?

?---=20

223123

161P , 使得P -1AP =diag(-1, 1, 5)=Λ, A =P ΛP -1. 于是 ?(A )=P ?(Λ)P -1=P (Λ10-6Λ9+5Λ8)P -1 =P [Λ8(Λ-E )(Λ-5E )]P -1

=P diag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P -1 =P diag(12, 0, 0)P -1

???? ??---???? ?

?????? ??---=222033211001220223123

161

???

??----=4222112112.

25. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f =x 2+4xy +4y 2+2xz +z 2+4yz ; 解

???? ?????? ??=z y x z y x f 121242121) , ,(.

(2) f =x 2+y 2-7z 2-2xy -4xz -4yz ; 解

????

?????? ??-------=z y x z y x f 722211211) , ,(.

(3) f =x 12+x 22+x 32+x 42-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4.

解

????

? ???????

?------=4321432110

101322311

1211

) , , ,(x x x x x x x x f . 26. 写出下列二次型的矩阵: (1)

x x x ??

? ??=13

12)(T f ; 解二次型的矩阵为???

??=1222A . (2)x x x ???

??=987654321)(T f .

解二次型的矩阵为????

??=975753531A .

27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3;

解二次型的矩阵为????

??=320230002A . 由

)1)(5)(2(3202300

02λλλλ

λλλ---=---=-E A ,

得A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1. 当λ1=2时, 解方程(A -2E )x =0, 由

???

? ?????? ??=-0001002101202100002~E A ,

得特征向量(1, 0, 0)T . 取p 1=(1, 0, 0)T . 当λ2=5时, 解方程(A -5E )x =0, 由

????

??-???? ??---=-0001100012202200035~E A ,

得特征向量(0, 1, 1)T . 取T )2

1 ,21

,0(2=p .

当λ3=1时, 解方程(A -E )x =0, 由

???? ?????? ??=-000110001220220001~E A ,

得特征向量(0, -1, 1)T . 取T )2

1 ,21 ,0(3-

=p .

于是有正交矩阵T =(p 1, p 2, p 3)和正交变换x =T y , 使

f =2y 12+5y 22+y 32.

(2) f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4.

解二次型矩阵为????

?----=11

0111100111

1011A . 由

2)1)(3)(1(1101111001111

011--+=--------=-λλλλ

λλλλE A ,

得A 的特征值为λ1=-1, λ2=3, λ3=λ4=1.

当λ1=-1时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(1--=p .

当λ2=3时, 可得单位特征向量T

1 ,21 ,21 ,21(2--=p .

当λ3=λ4=1时, 可得线性无关的单位特征向量

T )0 ,21 ,0 ,21(3=p , T )2

1 ,0 ,21 ,0(4=p .

于是有正交矩阵T =( p 1, p 2, p 3, p 4)和正交变换x =T y , 使

f =-y 12+3y 22+y 32+y 42.

28. 求一个正交变换把二次曲面的方程

3x 2+5y 2+5z 2+4xy -4xz -10yz =1

化成标准方程.

解二次型的矩阵为???

??----=552552223A .

由)11)(2(5525522

23||---=-------=-λλλλ

λλλE A , 得

A 的特征值为λ1=2,

λ2=11, λ3=0, .

对于λ1=2, 解方程(A -2E )x =0, 得特征向量(4, -1, 1)T , 单位化得

31 ,231 ,234(1-=p .

对于λ2=11, 解方程(A -11E )x =0, 得特征向量(1, 2, -2)T , 单位化得)3

2 ,32 ,31(

2-=p .

对于λ3=0, 解方程A x =0, 得特征向量(0, 1, 1)T , 单位化得)2

1 ,21

,0(3=p . 于是有正交矩阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(2, 11, 0), 从而有正交变换

??? ?????????

??--=???? ??w v u z y x 21322

312132231

1234,

使原二次方程变为标准方程2u 2+11v 2=1.

29. 明: 二次型f =x T A x 在||x ||=1时的最大值为矩阵A 的最大特征值. 证明 A 为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T , 使得

TAT -1=diag(λ1, λ2, ? ? ?, λn )=Λ

成立, 其中λ1, λ2, ? ? ?, λn 为A 的特征值, 不妨设λ1最大. 作正交变换y =T x , 即x =T T y , 注意到T -1=T T , 有 f =x T A x =y T TAT T y =y T Λy =λ1y 12+λ2y 22+ ? ? ? +λn y n 2. 因为y =T x 正交变换, 所以当||x ||=1时, 有

||y ||=||x ||=1, 即y 12+y 22+ ? ? ? +y n 2=1.

因此

f =λ1y 12+λ2y 22+ ? ? ? +λn y n 2≤λ1,

又当y 1=1, y 2=y 3=? ? ?=y n =0时f =λ1, 所以f max =λ1.

30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3 =(x 1+x 2-2x 3)2+4x 2x 3+2x 22+x 32 =(x 1+x 2-2x 3)2-2x 22+(2x 2+x 3)2.

线性代数第五章(答案)

第五章相似矩阵及二次型一、是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )

14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化为规范型。 ( × )

(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案

《线性代数》(工)单元练习题一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设）（则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ；（B)―12 ；（C ）12 ；（D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ）（A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4，则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式

线性代数第五章课后习题及解答

第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +

因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T

居于马线性代数第一章答案

1、2222 0a ab a b ab ab ab b =?-?= 2、 22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=?--?=+= 3、 222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b a a bi +=+--=+-=-- 4、3 24 2 123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+--------- 5、123 4 561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++--- 6、2 21 4 1 12*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+---- 7、22 22 343222222 11101(1)(1)(1)01001w w w w w w w w w w w w w w w w w w +?---=-=-++=-?--第2行第1行()第3行第1行() 8、33222321 21*2*3322663 x x x x x x x x x x x x x =++---=-+ 9、 1430004 004 00431(1)04342560432432 4321 +-=-=-按第行展开 10、公式：解： 10100 00 10 010 02000020 10(1)10 080000 800900009 10 +-?按第行展开

11、 31 111111********* 00311*(2)811110020411 1 1 1 2 ----=-=------第行第行第行第行第行第行 12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即 13、 5 04211111111210 1121112102 1 143247412041200324153 1 1 11 5 42 0153 ----- =- =----=----------第，行交换 14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变）根据课本20页公式（1.21），原式012 11 2003*41203 022 = -=-=-（） 15、 12 00340012132*160013 345 1 00 5 1-= =---（）（）=32 16、1234512345 123678910678910 21 3567810*220000********* 0100002400024 01011 00013 -=-=-=-第，行对换 17、根据课本20页公式（1.22） 18、100 12 01*2*33!123 A ===，所以 3*5*(1)||||3!5!0 A A B B =-=- 19、证： 20、111111112111110 031111100 411 1 1 10 0x x x x x y x y y x y ++----= -+-----第行第行左第行第行第行第行

线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程

第五章相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个）二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ）（A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例（B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例（C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例（D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于（ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;

三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :

线性代数第四版答案

第一章行列式 1利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 解 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644 (2) 解 acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3b3c3 (3) 解 bc2ca2ab2ac2ba2cb2

(a b)(b c)(c a) (4) 解 x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3x3 3xy(x y)y33x2y x3y3x3 2(x3y3) 2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为441 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个)

7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式

线性代数机械工业出版社第一章答案

线性代数第一章行列式一、填空题 1.排列631254的逆序数τ(631254)= 8 . 解: τ(631254)=5+2+1=8 2.行列式2 13132 3 21= -18 . 解:D=1?3?2+2×1×3+2×1×3-3?3?3-1?1?1-2?2?2=-18 3、4阶行列式中含1224a a 且带正号的项为_______ 答案：12243341a a a a 分析：4阶行列式中含1224a a 的项有12243341a a a a 和12243143a a a a 而 12243341a a a a 的系数：() (1234)(2431) 41(1)1ττ+-=-= 1224314 a a a a 的系数：()(1234)(2413) 31(1)1ττ+-=-=- 因此，符合条件的项是12243341a a a a 4、2 2 2 111a a b b c c （,,a b c 互不相等）=_______ 答案：()()()b a c a c b --- 分析：2 22 111a a b b c c =222222 ()()()bc ab a c b c ac ba b a c a c b ++---=--- 5.行列式 1 13 6 104 204 710501 λ --中元素λ的代数余子式的值为 42 解析: 元素λ的代数余子式的值为6 42 071 01-3 41+-?）（=(－1) ×7×6×(－1)=42 6.设3 1-2031 2 22 3=D ,则代数余子式之和232221A A A ++=0

解析：232221A A A ++=1×21A +1×22A +1×23A =3 121112 22 -=0 二、单项选择题 1、设x x x x x x f 1111231 11 2 12)(-= ，则x 3 的系数为（C ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 解： x 3 的系数为）（）（）（1-21341234 +=-1 2、设333231232221 131211 a a a a a a a a a =m ≠0,则33 3231312322 212113 121111423423423a a a a a a a a a a a a ---=（B ） A.12m B. -12m C.24m D. -24m 解：3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a )4(2-?j →33 32 31 23222113 12114-4-4-a a a a a a a a a =-4m 212j j +?→33 32 3131 23222121 13 1211114-24-24-2a a a a a a a a a a a a =-4m 31?j →33 32 3131 23222121 13 121111 4-234-234-23a a a a a a a a a a a a =-12m 3.行列式 k-12 2k-1 ≠0的充分必要条件是（C ） (A.)k ≠-1 (B)k ≠3 (C)k ≠-1且k ≠3(D)k ≠-1或k ≠3 因为原式=(k-1)(k-1)-4≠0 所以k-1≠2且k-1≠-2 所以k ≠-1且k ≠3 所以答案为C 4.行列式 0000 00 a b c d e f g h 中元素g 的代数余子式的值为（B ）（A ）bcf-bde (B)bde-bcf (C)acf-ade (D)ade-acf

线性代数第五章答案

第五章相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .

2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,

同济大学线性代数第五版课后习题答案

第一章行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a

解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6

线性代数第四版同济大学课后习题答案04

第四章向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.

北大版线性代数第一章部分课后答案详解

习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值：（1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ；解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --

线性代数第五章作业参考答案(唐明)

第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求：（1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-

同济大学线性代数第五版课后习题答案

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a

bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)

线性代数习题参考答案

第一章行列式 §1 行列式的概念 1．填空 (1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。 (2) i = ，j = 时，排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。 (4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a 的项的符号为，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为。 2．用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。 3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。

4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c

昆明理工大学线性代数第4章习题册答案

1 习题4.1（线性方程组解的结构）一、下列齐次线性方程组是否有非零解？分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ?=?<；仅有零解0()A R A n ?≠?= （1）1234123412341 23442020372031260 x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=?? --+=??++-=??--+=? ；解：1142111231 7 21 312 6 A ----= ---21 3241 31142005404540 2 16 8 r r r r r r ---=-------21 054054544544004016 8 2 16 8 2 16 8 r r -= ---=-=-≠-------- 仅有零解。（2）12451234123453020426340 x x x x x x x x x x x x x +--=?? -+-=?? -++-=? . 分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ?≤；仅有零解()R A n ?= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。二、求齐次线性方程组12341234123420 363051050 x x x x x x x x x x x x ++-=?? +--=?? ++-=?的一个基础解系。解：32 21 12 31 412351 21101 2110120103 61300 04000 0100 510 1 5000 4 000 00r r r r r r r r r A --------=--→-→--?? ???? ?? ???? ????????????? ?? ??? 所以原方程组等价于1243 20 0x x x x +-=??=?（24,x x 可取任意实数）原方程组的通解为1 122 1342 20x k k x k x x k =-+??=??=??=?（12,k k R ∈）

线性代数习题及答案4

一、选择题（每小题5分，共25分。） 1．已知四阶行列式4D 第一行的元素依次为1，2，－1，－1，它们的余子式为2， -2，1，0，则4 D 的值为【】A ．3-； B.；5- C.3； D.5. 2．已知n 阶矩阵????? ?? ? ? ?=1. .00... 1. 1. . 101..11A ,则A 的所有元素的代数余子式之和等于【】A ．0； B ．1；C ．-1； D ．2. 3．设A 是n m ?矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩 1r ，则【】A ．1r r >； B ．1r r <； C ．1r r =； D ．r 与1r 的关系依C 而定. 4．设A 为n m ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是【】A ．A 的列向量组线性无关； B ．A 的列向量组线性相关； C ．A 的行向量组线性无关； D 。A 的行向量组线性相关. 5．设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，ξ是A 的对应于λ的特征向量，P 是n 阶可逆矩阵，则P A P * 1 -的对应于特征值 λ A 的特征向量是【】A ．ξ1-P ； B ．ξP ； C ．ξT P ； D ．ξ1)(-T P . 二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题5分，共25分。） 1．设B A ,都是n 阶正交矩阵，若0=+B A ，则___________=+B A .2．已知A B AB =-，其中??? ?? ??-=20001 2021B ，则___________=A .3．已知向量组.,,,4321a a a a 线性无关，若向量组14433221,,,a a a a a a ka a ++++线性相关，则____________ =k . 4．若线性方程组??? ??=---=+++=+-+b x x x x x ax x x x x x x 2617230324321 43214321无解，则常数b a ,应满足的条件是_____________. 5．若4阶矩阵A 与B 相似，且A 的特征值为1，2，3，4，则矩阵E B -* 的全部特征值为 ___________________. 三、计算证明题（ 50 分） 1 (12 分 ) 求向量组 )1,6,3,1(),3,2,1,1(),4,1,2,1(),5,0,3,1(4321--====a a a a 的一个极大线性无关组和秩. 2．(15分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件022 =+A A ，已知A 的秩2)(=A r (1)求A 的全部特征值； (2)当k 为何值时，矩阵kE A +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 3．(15分)已知二次型)0(233232232 22 1>+++=a x ax x x x f 通过正交变换可化为标准形 2 3222152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换. 4．(8分)设A 是n 阶矩阵，且满足E A =2 ，证明:n E A r E A r =++-)()(.

线性代数第1章行列式试卷及答案

第一章行列式一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A.32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000 a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222a d b c - D.2222 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 8751----= D ，则5A 14 + A 24+A 44=_______。解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 1 5751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1111 )(32 1 3213 21321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的第四根)(d c b x ++-=。故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ，因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加

线性代数第五章答案

线性代数第五章(答案)

(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案

线性代数第五章 课后习题及解答

居于马线性代数第一章答案

线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程

线性代数第四版答案

线性代数机械工业出版社第一章答案

线性代数第五章答案

同济大学线性代数第五版课后习题答案

线性代数第四版同济大学课后习题答案04

北大版 线性代数第一章部分课后答案详解

线性代数第五章作业参考答案(唐明)

同济大学线性代数第五版课后习题答案

线性代数习题参考答案

最新东北大学线性代数课件第一章_行列式

昆明理工大学 线性代数 第4章 习题册答案

线性代数习题及答案4

线性代数第1章行列式试卷及答案

线性代数第五章课后习题及解答

北大版线性代数第一章部分课后答案详解

昆明理工大学线性代数第4章习题册答案