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Influence of the nuclear equation of state on the hadron-quark phase transition in neutron

Chinese Physics C(HEP&NP)Vol.32,No.7,Jul.,2008

In?uence of the nuclear equation of state on the

hadron-quark phase transition in neutron stars*

YANG Fang( )1)SHEN Hong( )2)

(Department of Physics,Nankai University,Tianjin300071,China)

Abstract We study the hadron-quark phase transition in the interior of neutron stars,and examine the in?uence of the nuclear equation of state on the phase transition and neutron star properties.The relativistic mean?eld theory with several parameter sets is used to construct the nuclear equation of state,while the Nambu-Jona-Lasinio model is used for the description of the decon?ned quark phase.Our results show that a harder nuclear equation of state leads to an earlier onset of a mixed phase of hadronic and quark matter.We ?nd that a massive neutron star possesses a mixed phase core,but it is not dense enough to possess a pure quark core.

Key words hadron-quark phase transition,equation of state,neutron stars

PACS26.60.+c,24.10.Jv,24.85.+p

1Introduction

The study of the hadron-quark phase transition at high density is of great interest in both nuclear physics and astrophysics.It is expected that the de-con?nement phase transition occurs in the core of massive neutron stars[1].It has been pointed out by Glendenning[2]that the hadron-quark phase transi-tion in neutron stars may proceed through a mixed phase of hadronic and quark matter over a?nite range of pressures and densities according to the Gibbs cri-teria for phase equilibrium.Such phase transition has received much attention in neutron star physics[3—7]. In general,the presence of the quark degree of free-dom tends to soften the equation of state(EOS)at high density and lower the maximum mass of neutron stars.

In order to investigate the hadron-quark phase transition,we need models to describe hadronic mat-ter and quark matter.Unfortunately,there is no sin-gle model which can be used to describe both phases and the dynamic process of the phase transition.We have to use di?erent approaches for the description of the two phases,and then perform the Glenden-ning construction for the charge-neutral mixed phase where both hadronic and quark phases coexist[2].In this work,we adopt the relativistic mean?eld(RMF) theory to describe the hadronic matter phase,while the Nambu-Jona-Lasinio(NJL)model is used for the quark matter phase.The RMF theory has been quite successfully and widely used for the description of nu-clear matter and?nite nuclei[8—12].It has also been applied to provide the equation of state of dense mat-ter for the use in supernovae and neutron stars[13,14]. There are many parameter sets of the RMF model in the literature,which are?tted to some nuclear mat-ter properties or ground-state properties of?nite nu-clei.In order to evaluate the sensitivity of the results to the parameters used in the RMF model,we em-ploy four di?erent parameter sets,namely,NL3[15], TM1[16],GM1[17],and GPS[18].For the quark phase we adopt a two-?avor version of the NJL model[19]. The choice of the NJL model is motivated by the fact that this model can successfully reproduce many as-pects of quantum chromodynamics such as the non-perturbative vacuum structure and dynamical break-ing of chiral symmetry[19—21].With a de?nite EOS for quark matter based on the NJL model,we exam-ine the in?uence of the hadronic EOS on the hadron-quark phase transition and neutron star properties.

No.7YANG Fang et al In?uence of the nuclear equation of state on the hadron-quark phase transition in neutron stars537

2?μσ?μσ?

3g2σ3?

WμνWμν+

c3(ωμωμ)2?

ρa

ρaμ+

l=e,μˉψl[iγμ?μ?m l]ψl,(1)

where the notation follows the standard one[13].The

parameters in the Lagrangian are usually determined

by?tting to nuclear matter properties or ground-state

properties of?nite nuclei.There are several parame-

ter sets which are often used in the RMF calculations.

Here we employ four di?erent parameter sets,NL3[15],

TM1[16],GM1[17],and GPS[18],as listed in Table1,

so as to evaluate the sensitivity of the results to the

RMF parameter set used.The nuclear matter prop-

erties of these parameter sets are shown in Table2.

Table1.The parameter sets of the RMF model

used in the calculation.The masses are given

in MeV.

Ref.[15][16][17][18]

m N939.0938.0938.0938.0

mσ508.194511.198550.0550.0

mω782.501783.0783.0783.0

mρ763.0770.0770.0770.0

gσ10.21710.02899.57058.1223

gω12.86812.613910.60968.2817

gρ 4.474 4.6322 4.0977 4.3736

g2/fm?1?10.431?7.2325?12.2799?5.3083

g3?28.8850.6183?8.9767120.9956

c3-71.3075--

set NL3TM1GM1GPS

Considering a homogeneous matter,the meson

?eld equations at the mean-?eld level have the fol-

lowing form:

σ+g2σ2+g3σ3=? b=n,p gσ

3π2

,(3)

ρ= b=n,p gρτb3(k b F)3

538Chinese Physics C (HEP &NP)Vol.32

k b

F 2

+m ?N 2+g ωω+g ρτb 3ρ,(7)

μl =

π2

k b

F 0

2m 2σσ2

4g 3σ4+

c 3ω4+

π2

k l

F 0

3 b=n ,p 1

m 2σσ2

g 3σ4+

c 3ω4+1

3 l=e ,μ

π2

k i F

m ?q

k 2+m ?2q

k 2d k .(14)

Here,k i

F denotes the Fermi momentum of the quark ?avor i (i =u or d),which is connected with the num-ber density n i and the chemical potential μi via

n i =

(k i F )

k i F 2

+m ?q 2.

(16)

The energy density of the quark system is given by

εNJL = i=u ,d

?3k 2+m ?2q k 2d k +

G (C u +C d )2

?ε0,

(17)

where ε0is introduced to ensure εNJL =0in the vac-uum.

For the quark matter consisting of a neutral mix-ture of quarks (u and d)and leptons (e and μ)in βequilibrium,the charge neutrality condition is ex-pressed as

n d ?n e ?n μ=0,(18)

the βequilibrium conditions are given by

μd =μu +μe ,(19)μμ=μe .(20)

We solve the coupled Eqs.(13)and (18)—(20)at a given baryon density n B =(n u +n d )/3.The total en-ergy density and pressure including the contributions

No.7YANG Fang et al In?uence of the nuclear equation of state on the hadron-quark phase transition in neutron stars539

π2 k l F 0

540Chinese Physics C(HEP&NP)Vol.32

No.7YANG Fang et al In?uence of the nuclear equation of state on the hadron-quark phase transition in neutron stars541 set M max/M εc/(1015g/cm3)P c/(1035dyn/cm2)n c/fm?3R/km R MP/km

6Summary

We have studied the hadron-quark phase transi-tion at high density,which may occur in the core of massive neutron stars.In the present work,we have adopted the RMF theory to describe the hadronic matter phase,while a two-?avor version of the NJL model has been used for the quark matter phase.In order to examine the in?uence of the hadronic EOS on the hadron-quark phase transition and neutron star properties,we have employed four RMF parameter sets,NL3,TM1,GM1,and GPS,which were?tted to nuclear matter properties or ground-state proper-ties of?nite nuclei.The hadron-quark phase transi-

tion can proceed through a mixed phase of hadronic and quark matter over a?nite range of pressures and densities according to the Gibbs criteria for phase equilibrium.We have found that the mixed phase starts at n(1)

=0.37,0.48,0.50,0.62fm?3and ends at

n(2)

=0.83,1.23,1.06,1.59fm?3for the four param-eter sets,NL3,TM1,GM1,and GPS,respectively. The use of the four di?erent parameter sets re?ects the in?uence of the hadronic EOS on the hadron-quark phase transition.In general,a harder hadronic EOS favors an earlier appearance of decon?ned quark

542Chinese Physics C(HEP&NP)Vol.32

References

1Weber F.Prog.Part.Nucl.Phys.,2005,54:193—288

2Glendenning N K.Phys.Rev.D,1992,46:1274—1287

3Heiselberg H,Hjorth-Jensen M.Phys.Rep.,2000,328: 237—327

4Scha?ner J,Mishustin I N.Phys.Rev.C,1996,53:1416—1429

5Schertler K,Leupold S,Scha?ner-Bielich J.Phys.Rev.C, 1999,60:025801

6Steiner A W,Prakash M,Lattimer J M.Phys.Lett.B, 2000,486:239—248

7Burgio G F,Baldo M,Sahu P K et al.Phys.Rev.C,2002, 66:025802

8Serot B D,Walecka J D.Adv.Nucl.Phys.,1986,16:1—327

9Gambhir Y K,Ring P,Thimet A.Ann.Phys.,1990,198: 132—179

10Hirata D,Sumiyoshi K,Carlson B V et al.Nucl.Phys.A, 1996,609:131—14611REN Z Z,TAI F,CHEN D H.Phys.Rev.C,2002,66: 064306

12SHEN H,YANG F,Toki H.Prog.Theor.Phys.,2006,115: 325—335

13SHEN H,Toki H,Oyamatsu K et al.Nucl.Phys.A,1998, 637:435—450

14SHEN H.Phys.Rev.C,2002,65:035802

15Lalazissis G A,K¨o nig J,Ring P.Phys.Rev.C,1997,55: 540—543

16Sugahara Y,Toki H.Nucl.Phys.A,1994,579:557—572 17Glendenning N K,Moszkowski S A.Phys.Rev.Lett.,1991, 67:2414—2417

18Ghosh S K,Phatak S C,Sahu P K.Z.Phys.A,1995,352: 457—466

19Buballa M.Phys.Rep.,2005,407:205—376

20Vogl U,Weise W.Prog.Part.Nucl.Phys.,1991,27:195—272

21Hatsuda T,Kunihiro T.Phys.Rep.,1994,247:221—367 22Shovkovy I,Hanauske M,HUANG M.Phys.Rev.D,2003, 67:103004

伯努利方程推导

根据流体运动方程P F dt V d ??+=ρ1 上式两端同时乘以速度矢量 ()V P V F V dt d ???+?=???? ??ρ 1 22 右端第二项展开—— () ()V P V P V F V dt d ???-???+?=???? ? ?ρρ1122 利用广义牛顿粘性假设张量P ，得出单位质量流体微团的动能方程 () E V div p V P div V F V dt d -+?+?=??? ? ?? ρρ1 22 右第三项是膨胀以及收缩在压力作用下引起的能量转化项（膨胀：动能增加<--内能减少）右第四项是粘性耗散项：动能减少-->内能增加热流量方程：用能量方程减去动能方程反映内能变化率的热流量方程 ()() dt dq V P div V F V T c dt d +?+?=+ ρυ12/2 () E V div p V P div V F V dt d -+?+?=???? ? ? ρρ122 得到 ()()E V div p T c dt d dt dq dt dq E V div p T c dt d -+=++-= ρ ρυυ / 对于理想流体，热流量方程简化为： ()V d i v p T c dt d dt dq ρυ+= 这就是通常在大气科学中所用的“热力学第一定律”的形式。由动能方程推导伯努利方程：对于理想流体，动能方程简化为：() V div p V P div V F V dt d ρρ+?+?=??? ? ??122无热流量项。又因为() V pdiv p V z pw y pv x pu V P div -??-=??? ???++-=???????)()()(故最终理想流体的动能方程可以写成： p V V F V dt d ??-?=???? ? ?ρ 22 【理想流体动能的变化，仅仅是由质量力和压力梯度力对流体微团作功造成的，而与热能不发生任何转换。】假设质量力是有势力，且质量力位势为Φ，即满足：Φ-?=F 考虑Φ为一定常场，则有： dt d V V F Φ- =Φ??-=?

伯努利方程的推导

第八节伯努利方程 ●本节教材分析本节属于选学内容，但对于一些生活现象的解释，伯努利方程是相当重要的．本节主要讲述了理想流体，理想流体的定常流动，然后结合功和能的关系推导出伯努利方程，最后运用伯努利方程来解释有关现象． ●教学目标一、知识目标 1知道什么是理想流体，知道什么是流体的定常流动． 2知道伯努利方程，知道它是怎样推导出来的．二、能力目标学会用伯努利方程来解释现象．三、德育目标通过演示，渗透实践是检验真理的惟一标准的思想. ●教学重点 1.伯努利方程的推导. 2.用伯努利方程来解释现象． ●教学难点用伯努利方程来解释现象． ●教学方法实验演示法、归纳法、阅读法、电教法 ●教学用具投影片、多媒体课件、漏斗、乒乓球、两张纸 ●教学过程用投影片出示本节课的学习目标： 1.知道什么是理想气体. 2.知道什么是流体的定常流动. 3.知道伯努利方程，知道它是怎样推导出来的，会用它解释一些现象．学习目标完成过程：一、导入新课 1.用多媒体介绍实验装置把一个乒乓球放在倒置的漏斗中间 2.问：如果向漏斗口和两张纸中间吹气，会出现什么现象? 学生猜想： ①乒乓球会被吹跑； ②两张纸会被吹得分开． 3.实际演示： ①把乒乓球放在倒置的漏斗中间，向漏斗口吹气，乒乓球没被吹跑，反而会贴在漏斗上

不掉下来； ②平行地放两张纸，向它们中间吹气，两张纸不但没被吹开，反而会贴近 4.导入：为什么会出现与我们想象不同的现象，这种现象又如何解释呢?本节课我们就来学习这个问题．二、新课教学 1.理想流体 (1)用投影片出示思考题： ①什么是流体? ②什么是理想流体? ③对于理想流体，在流动过程中，有机械能转化为内能吗? (2)学生阅读课文，并解答思考题： (3)教师总结并板书 ①流体指液体和气体； ②液体和气体在下列情况下可认为是不可压缩的． a:液体不容易被压缩，在不十分精确的研究中可以认为液体是不可压缩的． b:在研究流动的气体时，如果气体的密度没有发生显著的变化，也可以认为气体是不可压缩的． ③a:流体流动时，速度不同的各层流体之间有摩擦力，这叫流体具有粘滞性． b:不同的流体，粘滞性不同． c:对于粘滞性小的流体，有些情况下可以认为流体没有粘滞性． ④不可压缩的，没有粘滞性的流体，称为理想流体．对于理想流体，没有机械能向内能的转化． 2 定常流动 (1)用多媒体展示一段河床比较平缓的河水的流动． (2)学生观察，教师讲解．通过画面，我们可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化，河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变，河水的这种流动就是定常流动． (3)学生叙述什么是定常流动流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变,这样的流动就叫定常流动． (4)举例：自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看作定常流动． (5)学生阅读课文，并回答下列思考题： ①流线是为了表示什么而引入的? ②在定常流动中，流线用来表示什么? ③通过流线图如何判断流速的大小? (6)学生答： ①为了形象地描绘流体的流动，引入了流线； ②在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹； ③流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大． 3.伯努利方程 (1)设在右图的细管中有理想流体在做定常流动，且流动方向从左向右，我们在管的a１处和a2处用横截面截出一段流体，即a1处和a2处之间的流体，作为研究对象．设a1处的横截面积为S1，流速为V1，高度

伯努利方程的推导及其实际应用

伯努利方程的推导及其实际应用总结楼主：西北荒城时间：2015-03-03 14:08:00 点击：1091 回复：0 一，伯努利方程的推导 1726年，荷兰科学家丹尼尔·伯努利提出了描述理想流体在稳流状态下运动规律伯努利原理，并用数学语言将之精确表达出来，即为伯努利方程。伯努利方程是流体力学领域里最重要的方程之一，学习伯努利方程有助于我们更深刻的理解流体的运动规律，并可以利用它对生活中的一些现象作出解释。同时，作为土建专业的学生，我们将来在实际工作中，很可能要与水、油、气等流体物质打交道，因此，学习伯努利方程也有一定的实际意义。作为将近300岁高龄的物理定律，伯努利方程的理论是非常成熟的，因此不大可能在它身上研究出新的成果。在本文中，笔者只是想结合自己的理解，用自己的方式推导出伯努利方程，并应用伯努利方程解释或解决现实生活中的一些问题。既然要推导伯努利方程，那么就首先要理解一个概念：理想流体。所谓理想流体，是指满足以下两个条件的流体：1，流体内部各部分之间无黏着性。2，流体体积不可压缩。需要指出的是，现实世界中的各种流体，其内部或多或少都存在黏着性，并且所有流体的体积都是可以压缩的，只是压缩的困难程度不同而已。因此，理想流体只是一种理想化的模型，其在现实世界中是不存在的。但为了对问题做简化处理，我们可以讲一些非常接近理想流体性质的流体视为理想流体。假设有某理想流体在某细管中做稳定流动。如图，在细管中任取一面积为s1的截面，其与地面的相对高度h1,，流体在该截面上的流速为v1，并且该截面上的液压为p1。某一时刻，有流体流经s1截面，并在dt时间内发生位移dx1运动到新截面s2。由于细管中的水是整体移动的，现假设细管高度为h2处有一截面s3，其上流体在相同的时间内同步运动到了截面s4，流速为v2，共发生位移dx2。则有如下三个事实： 1：截面s1、s2之间流体的体积等于截面s3、s4之间流体的体积，即s1dx1=s2dx2 2：截面s1、s3之间流体的体积等于截面s2、s4之间流体的体积（由事实1可以推知） 3：细管中相应液体的机械能发生了变化。事实1和事实2实际上是质量守恒的体现，事实3则须用能量守恒来解释，即外力对该段流体做功的总和等于该段流体机械能的变化。因截面s2、s3之间流体的运动状态没有变化，故全部流体机械能的变化实质上是截面s1、s2之间

能量方程(伯努利方程)实验

- 1 - 第3章能量方程（伯努利方程）实验 3.1 实验目的 1) 掌握用测压管测量流体静压强的技能。 2) 验证不可压缩流体静力学基本方程，通过对诸多流体静力学现象的实验分析，进一步加深对基本概念的理解，提高解决静力学实际问题的能力。 3) 掌握流速、流量等动水力学水力要素的实验量测技能。 3.2 实验装置能量方程（伯努利方程）实验装置见图3.1。图3.1 能量方程（伯努利方程）实验装置图说明：本实验装置由供水水箱及恒压水箱、实验管道（共有三种不同内径的管道）、测压计、实验台等组成，流体在管道内流动时通过分布在实验管道各处的7根皮托管测压管测量总水头或12根普通测压管测量测压管水头，其中测点1、6、8、12、14、16和18均为皮托管测压管（示意图见图3.2），用于测量皮托管探头对准点的总水头H ’（=2g u 2 ++r p Z ），其余为普通测压管（示意图见图3.3），用于测量测压管水头。

- 2 - 图3.2 安装在管道中的皮托管测压管示意图图3.3安装在管道中的普通测压管示意图 3.3 实验原理当流量调节阀旋到一定位置后，实验管道内的水流以恒定流速流动，在实验管道中沿管内水流方向取n 个过水断面，从进口断面（1）至另一个断面（i ）的能量方程式为： 2g v 2111++r p Z =f i i h r p Z +++2g v 2 i =常数（3.1）式中：i=2，3，······ ，n ； Z ──位置水头； r p ──压强水头； 2g v 2 ──速度水头； f h ──进口断面（1）至另一个断面（i ）的损失水头。从测压计中读出各断面的测压管水头（r p Z + ），通过体积时间法或重量时间法测出管道流量，计算不同管道内径时过水断面平均速度v 及速度水头2g v 2 ，从而得到各断面的测压管水头和总水头。 3.4 实验方法与步骤 1) 观察实验管道上分布的19根测压管，哪些是普通测压管，哪些是皮托管测压管。观察管道内径的大小，并记录各测点管径至表3.1。 2) 打开供水水箱开关，当实验管道充满水时反复开或关流量调节阀，排除管内气体或测压管内的气泡，并观察流量调节阀全部关闭时所有测压管水面是否平齐（水箱溢流时）。如不平，则用吸气球将测压管中气泡排出或检查连通管内是否有异物堵塞。确保所有测压管水面平齐后才能进行实验，否则实验数据不准确。 3) 打开流量调节阀并观察测压管液面变化，当最后一根测压管液面下降幅度超过50%时停止调节阀门。待测压管液面保持不变后，观察皮托管测点1、6、8、12、14、16和18的读数（即总水头，取标尺零点为基准面，下同）变化趋势：沿管道流动方向，总水头只降不升。而普通测压管2、3、4、5、7、9、10、11、13、15、17、19的读数（即测压管水头）沿程可升可降。观察直管均匀流同一断面上两个测点2、3测压管水头是否相同？验证均匀流断面上静水压强按动水压强规律分布。弯管急变流断面上两个测点10、11测压管水头是否相同？分析急变流断面是否满足能力方程应用条件？记录测压管液面读数，并测记实验流量至表3.2、表3.3。 4) 继续增大流量，待流量稳定后测记第二组数据（普通测压管液面读数和测记实验流量）。 5) 重复第4步骤，测记第三组数据，要求19号测压管液面接近标尺零点。 6) 实验结束。关闭水箱开关，使实验管道水流逐渐排出。 7) 根据表3.1和表3.2数据计算各管道断面速度水头2g v 2和总水头(2g v 2 ++r p Z ) （分别记录于表3.4和表3.5）。