100以内的勾股数规律整理

100以内的勾股数a2+b2=c2

勾股数的规律

精选范本 所谓勾股数，就是当组成一个直角三角形的三边长都 为正整数时，我们就称这一组数为勾股数 那么，组成一组勾股数的三个正整数之间， 是否具有一定的规律 可寻呢？下面我们一起来观察几组勾股数： 规律一：在勾股数(3, 4, 5)、( 5，12，13)、( 7, 24, 25)( 9, 40，41)中，我们发现 由(3, 4, 5)有： 3 2=9=4+5 由(5, 12, 13)有： 5 =25=12+13 由(7, 24, 25)有： 7 =49=24+25 由(9, 40, 41)有： 92=81=40+41. 即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好 等于 另外两个连续的正整数之和。 因此，我们把它推广到一般，从而 可得出以下公式： 2 2 2 2 ???(2n+1) =4n+4n+仁(2n +2n ) + (2n+2n+1) 2 2 2 2 2 ???(2n+1) + (2n+2n ) = (2n+2n+1) (n 为正整数) 勾股数公式一：(2n+1, 2n 2+2n , 2n 2+2n+1)(n 为正整数) 等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式： 2 2 2 2 ???(2n ) =4n =2[ (n-1 ) + (n+1)] ???(2n ) + (n-1 ) = (n +1) (n 》2 且 n 为正整数) 勾股数公式二：(2n , n 2-1 , n 2+1)( n 》2且n 为正整 数) 禾U 用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。 规律二：在勾股数(6, 8, 26)中，我们发现 由(6, 8, 10)有： 由(8, 15, 17)有： 由(10, 24, 26)有： 即在 一组勾股数中, 10)、( 8, 15, 17)、( 10, 24, 2 6 =36=2X( 8+10) 82=64=2X( 15+17) 2 10 =100=2X( 24+26) 当最小边为偶数时，它的平方刚好

苏科版八年级上册数学 3.4数学活动 探寻勾股数 教案

教学内容探寻“勾股数” 教学目标知识与能力1．理解勾股数定义，了解其中规律，会判断和构造勾股数 过程与方法2．经历探索分析的过程，从特殊到一般发现部分勾股数的内在规律情感与态度3．感受数学规律的内在奥秘，激发探索数学的兴趣 教学重点勾股数的特征 教学难点利用勾股数特征构造勾股数 教具学具多媒体课件白板 教学过程教师活动学生活动设计意图 一、数学史，引入新课一、勾股定理史 中国古代 勾股定理在初中课本中就学习过，其内容如下：“在 直角三角形中，斜边（弦）的平方等于两直角边（短者叫 勾，长者叫股）平方的和．” 约在公元前100年成书的我国现存最古的一 部数学典籍《周髀算经》中记载，在公元前1100 多年我国数学家商高与周公谈话中就明确提出了 “勾广三，股修四，弦隅五”，且在同一书中记载 的荣方与陈子的问答中，更谈到由勾股求弦的一般 方法是“勾股各自乘，并而开方除之”，可见已给 出了普遍的勾股定理．正因为商高首先提出了勾股 定理，不少人把该定理称之为商高定理． 国外 在商高定理的研究方面作出贡献的除中国古代数学家 外，还有许多别的国家和民族的数学家，特别是古希腊、 埃及、印度的数学家．公元前六世纪，古希腊数学家毕达 哥拉斯（公元前582年——前497年）是西方第一个证明 勾股定理的人，国外常称其为毕达哥拉斯定理。 阅读PPT，感 受勾股定理。 生活中蕴藏 着很多有趣 的知识，从中 外数学史引 入，鼓励学生 善于观察，激 发探索学习 的乐趣。 二、数学活动探索 1.活动引入 满足关系的3个正整数， 问题： 1.勾股数有多少？ 2.请尽可能多地写出来。 3.勾股数有规律吗？ 齐答勾股数概 念 学生随机作 答，并展出， 问题3进行探 索。 回顾勾股数 概念 三个问题，逐 层递进，引出 本节课的研 究内容勾股 数特征。

勾股定理知识点总结

第十七章勾股定理知识点总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 ∠=?，则c， C b，a=） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A

常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢 a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊）

常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边 a 、 b 、 c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝ ４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++() y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()122 1++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1 221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（4 1〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）． 四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) . 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）. 2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2 ）（其中m>n 且是互质的奇数）. 3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）. 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145

勾股定理全章知识点归纳总结

全国中考信息资源门户网站 https://www.wendangku.net/doc/5411682453.html, 勾股定理全章知识点归纳总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=? ，则22 c a b = +， 2 2 b c a = -，22 a c b = -） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ； （2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2

全国中考信息资源门户网站 https://www.wendangku.net/doc/5411682453.html, 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ? +-=，化简可证． c b a H G F E D C B A

勾股数规律的探究

勾股数的规律 能够组成一个直角三角形的三边长的正整数，叫做勾股数。如“勾三股四弦为五”（3，4，5）再如常见的（6，8，10）（5，12，13）、（7，24，25），熟记一些勾股数利于我们更快、更准的解决于直角三角形有关的实际问题。下面就勾股数的三个正整数之间的规律进行探究： 规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现 由（3，4，5）有： 32=9=4+5 由（5，12，13）有： 52=25=12+13 由（7，24，25）有： 72=49=24+25 由（9，40，41）有： 92=81=40+41. 即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。 其论证如下：数a为大于1的正数，则2a+1为奇数数，则有 ∵（2a+1）2=4a2+4a+1=（2a2+2a）+（2a2+2a+1） ∴（2a +1）2+（2a 2+2a）2=（2a2+2a+1）2 因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式一： （2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1）（a为正整数） 或整理为：对于一个大于1的整奇数m,构成的勾股数为（m,,）

规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现 由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10） 由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17） 由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26） 即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续且相差为2的整数之和的二倍。 其论证如下：数a为大于1的正数，则2a为偶数，则有 ∵（2a）2=4a2=2[（a2-1）+（a2+1）] ∴（2a）2+（a2-1）2=（a2+1）2（a≥2且a为正整数） 因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式二： （2a，a2-1，a2+1）（a≥2且a为正整数） 或整理为：对于一个大于1的整偶数m,构成的勾股数为 （m,,）

八年级下册勾股定理知识点归纳

八年级下册勾股定理知识点和典型例习题 一、基础知识点： １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ， ，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形 的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为 2 22() 2S a b a a b b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠ =?，则c =，b ，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实 际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

专题1.2 勾股定理章末重难点题型(举一反三)(人教版)(解析版)

专题1.2 勾股定理章末重难点题型 【人教版】 【考点1 利用勾股定理求面积】 【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系. 【例1】（2019春?鄂城区期中）在Rt AED ?中，90E ∠=?，3AE =，4ED =，以AD 为边在AED ?的外侧作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是( ) A ．5 B ．25 C ．7 D ．10 【分析】根据勾股定理得到225AD AE DE =+=，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【答案】解：Q 在Rt AED ?中，90E ∠=?，3AE =，4ED =， 225AD AE DE ∴+=， Q 四边形ABCD 是正方形， ∴正方形ABCD 的面积22525AD ===， 故选：B ．

【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1-1】（2019春?宾阳县期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( ) A ．24 B ．56 C ．121 D ．100 【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可． 【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知： E F G S S S =+ A B C D S S S S =+++ 100=； 即四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为100； 故选：D ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方． 【变式1-2】（2019春?武昌区校级期中）如图，Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，以AC 、BC 为直径作半圆1S 和2S ，且122S S π+=，则AB 的长为( )

1-100勾股数

（1-100）勾股数查询表 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 12 15 9 40 41 10 24 26 11 60 61 12 16 20 12 35 37 13 84 85 14 48 50 15 20 25 15 36 39 15 112 113 16 30 34 16 63 65 17 144 145 16 24 30 18 80 82 19 180 181 20 21 29 20 48 52 20 99 101 21 28 35 21 72 75 21 220 221 22 120 122 23 264 265 24 32 40 24 45 51 24 70 74 24 143 145 25 60 65 25 312 313 26 168 170 27 36 45 27 120 123 27 364 365 27 45 53 28 96 100 28 195 197 29 420 421 30 40 50 30 72 78 30 224 226 31 480 481 32 60 68 32 126 130 32 255 257 33 44 55 33 56 65 33 180 183 33 544 545 34 288 290 35 84 91 35 120 125 35 612 613 36 48 60 36 77 85 36 105 111 36 160 164 36 323 325 37 684 685 38 360 362 39 52 65 39 80 89 39 252 255 39 760 761 40 42 58 40 75 85 40 96 104 40 198 202 40 399 401 41 840 841 42 56 70 42 144 150 42 440 442 43 924 925 44 117 125 44 240 244 44 483 485 45 60 75 45 108 117 45 200 205 45 336 339 46 528 530 48 55 73 48 64 80 48 90 102 48 140 148 48 189 195 48 286 290 48 575 577 49 168 175 50 120 130 50 624 626 51 68 85 51 140 149 51 432 435 52 165 173 52 336 340 52 675 677 54 72 90 54 240 246 54 728 730 55 132 143 55 300 305 56 90 106 56 105 119 56 192 200 56 390 394 56 783 785 57 76 95 57 176 185 57 540 543 57 840 842 57 63 87 57 80 100 57 91 109 60 144 156 60 175 185 60 221 229 60 297 303 60 448 452 60 899 901 62 960 962 63 84 105 63 216 225 63 280 287 63 660 663 64 120 136 64 252 260 64 510 514 65 72 97 65 156 169 65 420 425 66 88 110 66 112 130 66 360 366 68 285 293 68 576 580 69 92 115 69 260 269 69 792 795 70 168 182 70 240 250 72 96 120 72 135 153 72 154 170 72 210 222 72 320 328 72 429 435 72 646 650 75 100 125 75 180 195 75 308 317 75 560 565 75 936 939 76 357 365 76 720 724 77 264 275 77 420 427 78 104 130 78 160 178 78 504 510 80 84 116 80 150 170 80 192 208 80 315 325 80 396 404 80 798 802 81 108 135 81 360 369 84 112 140 84 135 159 84 187 205 84 245 259 84 288 300 84 437 445 84 585 591 84 880 884 85 132 157 85 204 221 85 720 725 87 116 145 87 416 425 88 105 137 88 165 187 88 234 250 88 480 488 88 966 970 90 120 150 90 216 234 90 400 410 90 672 678 91 312 325 91 588 595 92 525 533 93 124 155 93 476 485 95 168 193 95 228 247 95 900 905 96 110 146 96 128 160 96 180 204 96 247 265 96 280 296 96 378 390 96 572 580 96 765 771 98 336 350 99 132 165 99 168 195 99 440 451 99 540 549 100 105 145 100 240 260 100 495 505 100 621 629

探索勾股数的规律

勾股数的规律 初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重要定理：勾股定理。如果直角三角形的三边a 、b 、c （a ﹤b ﹤c ），由勾股定理可知：2 22a b c +=，其中a 为勾，b 为股，c 为弦。 一、当勾为奇数时，探求勾股数的规律 1、 列表，观察表中每组勾股数 2、归纳规律：（1）每组中a 都是奇数； （2）2 a b c =+，212a b -=；（3）c = b+1，21 2 a c +=. 由此可得第n 组当a=2n+1时 2221(21)1 2222a n b n n -+-===+, 2221(21)122122 a n c n n +++===++ 于是有第n 组勾股数为2n+1、2n 2+2n 、2n 2+2n+1（n 为正整数）。 3、证明：∵2 2222(21)(22)a b n n n +=+++ 4232441844n n n n n =+++++ 4232441844n n n n n =+++++ 22(221)n n =++ ∴2 22a b c += ∴2n+1、222n n +、2221n n ++（n 为正整数）是一 组勾股数。 4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式： （1）列表观察 （2）归纳规律：略。当n 为正整数时，勾股数为： 22(1)a n n =+- 2(1)b n n =+ 22(1)c n n =++ 化简后即为：a 、b 、c 分别为2n+1、2 22n n +、2221n n ++。 （3）证明过程：同前面的证明。 二、当勾为偶数是，探求勾股数的规律 1、列表观察表中每组勾股数 2、 归纳规律： （1）、每组中a （勾）是偶数（第一组较特殊：勾比股大）； （2）、22 14 ,22 a a b c b -=+=? （3）、2c b =+24 2 a +=

探究勾股数

探究勾股数两例 满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．对于给定的三个正整数，若能验证其中最大数的平方等于其他两数的平方和，这组数就一定是勾股数，否则不是．可以验证若a 、b 、c 是一组勾股数，则ka 、kb 、kc （k 为正整数）也是勾股数． 以下几个都可构成勾股数： 1．设n 为正整数，且n >1，a =2n ，b =n 2-1，c =n 2+1; 2．设n 为正整数，a =2n +1，b =2n 2+2n ，c =2n 2+2n +1; 3．设m 、n 为正整数，且m >n ，则a =m 2-n 2，b =2mn ，c =m 2+n 2; 例1 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为:“勾三、股四、弦五”． （1）观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算 21(9-1)，21(9+1)与21(25-1)，2 1 (25+1)，并根据你发现的规律，分别写出能(用勾)表示7、24、25的股和弦的算式； (2)根据(1)的规律，用n (n 为奇数且n ≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明； （3）继续观察4、3、5；6、8、10；8、15、17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用m （m 为偶数且m >4）的代数式来表示它们的股和弦． 分析：本题是一个勾股数的探索问题，考查观察、分析、类比、猜想和论证等能力．第（2）、（3）两小题都具有开放性，能较好地考查大家的创新意识和能力． 解:(1)因为 21(9-1)=21(32-1)=4， 21(9+1)=21(32+1)=5，21(25-1)=2 1 (52-1)=12， 21(25+1)=2 1 (52+1)=13， 对于3、4、5和5、12、13两组勾股数来说，可以表示为： 股= 21(勾2-1)，弦=2 1 (勾2+1)． 所以7、24、25的股24的算式为21(49-1)=21 (72-1)， 7、24、25的弦25的算式为21(49+1)=2 1 (72+1);

平方数的规律及100以内的平方表

(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同. (2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数. (3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数. (4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1. (5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型. (6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1. (7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型. (8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9. (9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8) (10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数. (11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数. (12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n). 一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等. 如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2 ,就称x,y,z为一组勾股数. x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z和z2必定都是奇数. 五组常见的勾股数： 32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=292

勾股定理知识点的总结及练习

第 课时 第十八章 勾股定理 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2 ＝c 2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=? ，则 c ，b ，a =） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两 边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b

方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形， 化简得证 3：勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 二、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二：利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米 解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！ 根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2=144,所以AC=12. C B D A

勾股数填空选择及详解中考题

一、填空题（共20小题） 1、附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41；… 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：_________ ． 2、观察下列一组数： 列举：3、4、5，猜想：32=4+5； 列举：5、12、13，猜想：52=12+13； 列举：7、24、25，猜想：72=24+25； … 列举：13、b、c，猜想：132=b+c； 请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= _________ ，c= _________ ． 3、满足a2+b2=c2的三个正整数，称为_________ ． 4、观察下列一类勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…请你根据规律写出第4组勾股数为_________ ． 5、观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：_________ ，第n组勾股数是_________ ． 6、能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，试写出两种勾股数_________ ，_________ ． 7、在数3，5，12，13四个数中，构成勾股数的三个数是_________ ． 8、将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我 们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数_________ ，_________ ，_________ ． 9、有一组勾股数，最大的一个是37，最小的一个是12，则另一个是_________ ． 10、观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；…；你有没有发现其中的规律？请用你 发现的规律写出接下来的式子：_________ ． 11、一个直角三角形的三边长是不大于10的偶数，则它的周长为_________ ． 12、观察下面几组勾股数，并寻找规律： 市菁优网络科技

勾股数的探索

勾股数的探索 活动准备：计算器1只、火柴盒1只 活动内容：能够构成直角三角形三条边的边长的3个正整数，称为勾股数，我国古老的数学和天文著作《周髀算经》中，记载的“勾三股四弦五”中的（3，4，5）就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如（6，8，10）（9，12，15），（12，16，20）等都是勾股数 当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13）、（8，15，17）等也都是勾股数。 怎样探索勾股数呢？即怎样的一组正整数（a,b,c）才能满足关系式a2+b2=c2? 活动1： 设（a,b,c）为一组勾股数 1.填表： 表1 表2 2.在表1中,a为奇数,正整数b和c之间的数量关系是 c=b+1 ,b、c与a2之间的关系式是 根据以上规律,当a=13时,b=84,c=85 一般地,当a为奇数时,用a分别表示b、c，则b= , c= . 3.表2中,a为大于4的偶数,正整数b、c之间的数量关系是 c =b+2 ，b、c与a2之间的数量关系是a2+b2=c2 根据以上规律，当a=14时，b=48，c=50 一般地，当a为大于4的偶数时，用a分别表示b、c,则b=____________,c=_____________ 4.正整数9、12、15是一组勾股数吗？这组数据满足上述规律吗？这说明了什么问题？ 活动2；计算与验证 a=m2-n2 1．已知数据b=2mn ① c=m2+n2 其中m>n,，m、n为正整数.a、b、c为勾股数吗？为什么？ 如果a、b、c是一组勾股数，写出你的证明；如果不是勾股数，请说明理由

2.公元前580年～公元前500年。古希腊人毕达哥拉斯给出勾股数的计算公式: 你能证明吗? a=2n+1 b=2n2+2n （n为正整数）② c=2n2+2n+1 3.公元前427年～公元前347年.古希腊哲学家柏拉图又给出了勾股数计算公式: a=n2-1 b=2n (n>1的正整数) ③ c= n2+1 请你给出证明 利用以上3个勾股数的计算公式,我们可以求出无数组勾股数.但这里需要强调的是,用它们求出的勾股数不是所有的勾股数.如公式①不能求出勾股数(9,12,15),公式②不能求出勾股数(8,15,17),公式③不能求出(5,12,13). 活动创新活动3:联想与拓展. 1.如图1,已知四边形ABCD是长方形,AC为对角线,则有AB2+BC2=AC2,即AB、BC、AC满足勾股定理. D A 1 图1 图2 如图2,ABCD-A1B1C1D1是长方体.图1中的线段AB、BC、AC分别对应图2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1.若长方体的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面积分别用γ β α、 、表示,则是否有2 2 2γ β α= +仍然成立?请说明理由. 2.如图3,已知四边形ABCD为长方形,直线l分别截AB、CB于点E、F,则有BE2+BF2=EF2. D A 1 图3 图4 如图4, ABCD-A1B1C1D1为长方体,一个平面分别截长方体的棱AB、BC、BB1于点M、