圆的标准方程导学案
§4.1.1圆的标准方程
1．掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；
※学习探究
问题1．在平面直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定
它的要素又是什么呢？
问题2．圆上的点有什么特征？
问题3.在平面直角坐标系中，已知圆C的圆心为(,)
C a b，半径为r，则
圆C上的任意点(,)
P x y应该满足什么条件呢?
新知1——圆的标准方程：
圆心为)
,
(b
a
C，半径为r的圆的方程是，此方程叫做圆的标准方程．
特殊情形：圆心在原点，半径为r的圆的方程是．
思考：确定圆的标准方程的基本要素？
问题4：平面内任意一点与一定圆有何位置关系？
新知2——点与圆的位置关系：
（1）设点到圆心的距离为d，圆的半径为r．
当时，点在圆上；当时，点在圆内；当时，点在圆外；
（2）设圆的方程为)0
(
)
(
)
(2
2
2>
=
-
+
-r
r
b
y
a
x，则点)
,
(
y
x
P在圆上?
；
点)
,
(
y
x
P在圆内?；点)
,
(
y
x
P在圆外?；
※典型例题
例1 写出圆心为(2,3)
A-，半径长为5的圆的标准方程，并判断点
12
(5,7),(1)
M M
--是否在
这个圆上．
练习1：（1）已知圆经过点(5,1)
P，圆心在(8,3)
C-的圆的标准方程是____________________;
（2）△ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3)
A B-,(2,8)
C-，求它的外接圆的方程．
反思：
1．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于,,
a b r的方程组，求,,
a b r或直接求出圆心
(,)
a b和半径r．
2．待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为222
()()
x a y b r
-+-=；（2）根
据已知条件，建立关于,,
a b r的方程组；（3）解方程组，求出,,
a b r的值，并代入所设的方程，得
到圆的方程．
例2
已知圆C经过点(1,1)
A和(2,2)
B-，且圆心在直线:10
l x y
-+=上,求圆C的标准方程．
练2．求以(1,3)
C为圆心，并且和直线3470
x y
--=相切的圆的方程．
三、总结提升
※学习小结
1．方法规纳：
⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径．
⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系．
⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度．
2．圆的标准方程的两种求法：
⑴根据题设条件，列出关于a b r
、、的方程组，解方程组得到a b r
、、得值，写出圆的标准方程．
⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．
综合测评
1．已知(2,4),(4,0)A B -，则以AB 为直径的圆的方程（ ）
A ．13)2()1(2
2
=-++y x
B ．13)2()1(2
2
=+++y x
C ．13)2()1(22=-+-y x
D ．13)2()1(22=++-y x
2． 点2(,5)P m 与圆的2224x y +=的位置关系是（ ）
A ．在圆外
B ．在圆内
C ．在圆上
D ．无法确定
3．圆心在直线2x =上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --，则圆C 的方程为（ ） A ．22(2)(3)5x y -+-= B ．22(2)(3)25x y -+-=
C ．22(2)(3)5x y -++=
D ．22(2)(3)25x y -++= 4．圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 3
3
=的距离是（ ） A ．
21 B ．2
3 C ．1 D ．3
5．方程24x y -=
表示的曲线是（ ）
A ．圆
B ．半圆
C ．四分之一圆
D ．直线
6．圆关于22(2)5x y ++=关于原点(0,0)对称的圆的方程是 ．
7．过点(2,4)A 向圆224x y +=所引的切线方程是 ．
8．已知点)12,15(a a P +在圆1)1(2
2=+-y x 的内部，则a 的取值范围是 ．
9．设),(y x P 是圆4)4(2
2=++y x 上任意一点，则22)1()1(-+-y x 的最大值为 ．
10．根据下列所给不同条件求圆的方程： （1）圆心为C （1，3），且过点M （0，2）； （2）圆心为C （1，3），与直线4=-y x 相切；
（3）以点A （2，4）、点B （-4，2）为两端点的线段AB 为直径．
11．已知圆C 过点)2,1(-A ，)4,1(-B ，求：
（1）周长最小的圆的标准方程； （2）圆心在直线042=--y x 上的圆的方程．
圆的标准方程导学案1(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？ 2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 3.设圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x P 为这个圆上任意一点，那么Ｐ，C 与r 有什么关系？能用坐标表示吗？ 4.圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：________________ 5.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的方程是： 圆心在原点、半径为1的圆的方程： 思考：确定圆的标准方程的基本要素？ 预习自测 1.写出下列各圆的方程： （1） 以C(2，-1)为圆心，半径等于3；
（2） 圆心在圆点，半径为5； （3） 经过点P(5,1)，圆心在点C(6，-2)； （4） 以A(2,5)，B(0，-1)为直径的圆。 2.圆22 (3)(2)13x y -++=的圆心为 半径为 二、课/堂/探/究：合作探究————取长补短 基础知识探究 1.圆的标准方程是一个____元____次方程. 2.写出圆心为(2,3)A -，半径长为 5 的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M -- 是否在这个圆上.
3.若点),3(a 在圆1622=+y x 的内部，则a 的取值范围是 4.试由圆的标准方程的推导过程思考，若点P 在圆内，在圆上，在圆外时，00,x y 应满足 怎样的关系式P P P ???????? 点在圆内点在圆外点在圆上 综合应用探究 1.已知ABC Rt ? 的斜边AB 的端点A 的坐标为（-2,1），B 的坐标为（4,3），直角顶点C 在什么曲线上？并求出它的方程？ 2.ABC ?的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8)A B C --，求它的外接圆的方程. 3.求圆心在直线02=-+y x 上，且经过两点)2,1(),0,1(-Q P 的圆的方程。 三、达/标/检/测 1. 求满足下列条件的圆的方程
高二数学《2.2 椭圆的标准方程》学案1
高二数学《2.2 椭圆的标准方程》学案1 2、2、1 椭圆的标准方程（1） 一、教学目标： 1、理解椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导、 2、掌握椭圆的标准方程，会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标，能用标准方程判定是否是椭圆、 二、教学重难点： 1、椭圆定义的理解 2、椭圆标准方程的推导 3、根据条件求椭圆的标准方程 三、学习过程： 1、动手试验: 2、探究新知：（1）椭圆的定义： （2）焦点： （3）焦距： 3、推导椭圆的标准方程（1）如何建立适当的坐标系？（原则：尽可能使图像关于坐标轴对称）（2）根据建立的坐标系写出焦点的坐标： ，设动点坐标（3）根据椭圆的定义列等式： （4）化简上述等式：
4、椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上时，方程焦点坐标，a,b,c的关系（2）焦点在y轴上时，方程焦点坐标，a,b,c的关系 四、典型例题例1 下列方程中哪些是椭圆方程？若是，指出焦点在哪个坐标轴上，并求出焦点坐标例2求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）a=4，b=3，焦点在x轴上（2）b=1，c=，焦点在y轴上（3）焦点为F1（0，-1），F2（0,1），且b=1 （4）焦点为F1（-3，0），F2（3,0），且过点（0,2）（5）焦点为F1（-2，0），F2（2,0），且过点 五、归纳总结 1、椭圆的定义：（用文字描述）（用图形和数学等式描述）： 2、椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上时，方程焦点坐标，a,b,c的关系（2）焦点在y轴上时，方程焦点坐标，a,b,c的关系 3、能根据条件求椭圆的标准方程。六、巩固练习 1、写出下列椭圆的焦点坐标 2、已知椭圆上一点P到椭圆左焦点单位距离为7，则点P到右焦点的距离为拓展练习：已知椭圆过点P（-2,0），Q （2，），求椭圆的标准方程。
人教版高中数学《圆的标准方程》教案导学案
圆的标准方程 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程． (二)能力训练点 通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力． (三)学科渗透点 圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育． 二、教材分析 1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程． (解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．) 2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题． (解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．) 三、活动设计 问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读． 四、教学过程 (一)复习提问 前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？
问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小． 问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为： (1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9 (2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集； (3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少． 下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．
2.2.1《椭圆及其标准方程(1)》导学案
高二数学 §2.2.1《椭圆及其标准方程(1)》导学案 【学习目标】 1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． 【重点难点】 重点：椭圆的定义的理解 难点：椭圆的标准方程的求解 【知识链接】 （预习教材理P 38~ P 40，文P 32~ P 34找出疑惑之处） 复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ． 复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ． 【学习过程】 取一条定长的细绳， 把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ． 试试： 已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ． 小结：应用椭圆的定义注意两点： ①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> 其中222b a c =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，
人教版数学高一必修2学案4.1.2圆的一般方程
4．1.2圆的一般方程 基础梳理 1．圆的一般方程的定义． 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形． 3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系． 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则其位置关系如下表：
练习1：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0在什么条件下表示圆的方程？ 答案：A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0 练习2：圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心为(1，－5)，半径为 ?思考应用 1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 解析：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到．当二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0中的系数A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0时，二元二次方程就是圆的一般方程． 2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？ 解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．
自测自评 1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为(C ) A ．(4，－6)，r ＝16 B ．(2，－3)，r ＝4 C ．(－2，3)，r ＝4 D ．(2，－3)，r ＝16 解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)， 半径r ＝1242＋（－6）2＋12＝4. 2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有(A ) A ．D ＝E B ．D ＝F C ．F ＝E D ．D ＝ E ＝ F 解析：由题知圆心? ?? ??－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，即－E 2＝－D 2，∴D ＝E. 3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是(B ) A ．R B ．(－∞，1) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞) 解析：由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k ＝20－20k >0得k <1. 4．圆心是(－3，4)，经过点M (5，1)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0． 解析：圆的半径r ＝（－3－5）2＋（4－1）2＝73， ∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73，
高中数学《圆的标准方程》导学案
2.1 圆的标准方程 [学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点． 2.会根据已知条件求圆的标准方程． 3.能准确判断点与圆的位置关系. 【主干自填】 1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于□01定长． (2)确定圆的条件：□02圆心和□03半径． 2．圆的标准方程 (1)以C (a ，b )为圆心，半径为r □ 04(x －a )＋(y －b )＝r . (2)当圆心在坐标原点时，半径为r 的圆的标准方程为□05x ＋y ＝r . 3．中点坐标 A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)的中点坐标为□06? ????x 1＋x 22，y 1＋y 22. 4．点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较： 若|CM |＝r ，则点M 在□07圆上； 若|CM |>r ，则点M 在□08圆外； 若|CM | (2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定： 点M(m，n)在□10圆上?(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在□11圆外?(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在□12圆内?(m－a)2＋(n－b)2 2.2.1 椭圆及其标准方程 【学法指导】1.仔细阅读教材（P38—P41），独立完成导学案，规范书写，用 红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。 2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。 【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程。 2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆 的标准方程。 【学习重、难点】 学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因． 【预习案】 预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P38，回答下列问题） 1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什 么曲线 在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。 3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹 是 将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨 迹存在吗？ 结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a 2>|1F 2F | )。 a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2<|1F 2F |时，点的轨迹 。 预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题） 结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 【探究案】 探究一、椭圆定义的应用 设P 是椭圆11625 2 2=+y x 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ） A.10 B.8 C.5 D.4 （解法指导：椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。） 解：椭圆中=2a ，a 2= 。 由椭圆的定义知21PF PF += = 。 第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 教材分析 本节内容数学必修2 第四章第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用． 教学目标 重点: 圆的标准方程的理解、掌握． 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程． 知识点：会求圆的标准方程. 能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程. 教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法. 自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法. 考试点：会求圆的标准方程. 易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程. 拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程． 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式学案导学 一、引入新课 问题 1：什么是圆？ 【设计意图】回顾圆的定义便于问题2的回答． 【设计说明】学生回答． 问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？ 【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）． 【设计说明】教师引导，学生回答． 问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？ 【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题． 【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题． 二、探究新知 高二数学必修2 圆与方程 班级________ 姓名_________ 圆的标准方程 【课标要求】 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程。 【学习目标】 1.能在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程。 2.能根据圆的标准方程写出圆心和半径，会根据条件求圆的方程。 【学习重、难点】 重点：圆的标准方程的求法及其应用。 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程，以及选择恰当的坐标系解决 与圆有关的实际问题。 【问题探究】 请认真阅读教材P118—P119例1以前的内容，完成下列问题： 1.在直角坐标系中，当_________与_________确定后，圆就唯一确定了。因此，确定圆的最基本 的要素是_____________ 2.在直角坐标系中，设),(y x M 是圆心为),(b a A ，半径为r 的圆上任意一点，你能根据圆的定 义推到出圆的标准方程吗？ 3.（1）圆的标准方程有哪些特征？ （2）圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程为_______________ 4.（1）若点),(00y x M 在圆2 22r y x =+内，则满足条件____________ （2）若点),(00y x M 在圆2 22r y x =+外，则满足条件____________ 同理，（3）若点),(00y x M 在圆2 22)()(r b y a x =-+-内，则满足条件____________ （4）若点),(00y x M 在圆2 22)()(r b y a x =-+-外，则满足条件____________ 【例题剖析】 例1：完成教材P119例1 例2：完成教材P119例2 思考：（1）你能说说本题的解题思路吗？ （2）你能根据三角形外心的定义给出其他解法吗？ 例3：完成教材P120例3 思考：（1）你能用类似例2的方法解答本题么？ （2）比较例2和例3，你能说说求任意ABC ?外接圆方程的方法有几种？ 试比较各自的优越性。 【自主测评】 独立完成教材P120练习1，3，4（两种方法） 【作业布置】 习题4.1A 组3，4，5， 【本节收获】 通过本节的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？ §2.1椭圆及其标准方程导学案（第1课时） 【学习目标】 1.能准确的说出椭圆的定义； 2.会推导椭圆的标准方程并掌握椭圆的标准方程的写法． 3会用待定系数法求椭圆的标准方程 【学习过程】 一．自学探究 1.椭圆的产生 2.椭圆的定义 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 反思②：若将距离之和（| P F 1|+| P F 2|）记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ． 试一试： 1若动点P 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F 1F 2 C.直线F 1F 2 D.不存在 2命题甲:动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)命题乙:P 点轨迹是椭圆， 则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 小结：理解椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F > 二．椭圆标准方程的推导 1．标准方程的推导步骤 (1)建立坐标系 (2)设点 (3)列式 (4)化简 (5)检验 2．两种标准方程的比较 2 三：典型例题 例1. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22?? - ??? ，求它的标准 方程 ． 方法总结：椭圆的标准方程的两种求法：（1）定义法：定义是研究椭圆问题的基础和根本，根据椭圆的定义得到相应的,,a b c ，再写出椭圆的标准方程。（2）待定系数法，先设出椭圆 的标准方程22221x y a b +=或22 221x y b a +=（0a b >>），然后求出待定的系数代入方程即可 四、练习提升 1求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）椭圆的两焦点分别为F 1（-3,0）、F 2（3.，0），且椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8； （2）求经过两点(1，0)，(0，2)，且焦点在y 轴上。 （3）求经过两点(2，0)，(0，1)，且焦点在坐标轴上 2．如果椭圆22 110036 x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距 离是（ ）． A ．4 B ．14 C ．12 D ．8 3．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ． 4．如果点(,)M x y 在运动过程中， 10，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ． 5．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）． A ．(0,)+∞ B ．(0,2) C ．(1,)+∞ D ．(0,1) 6.已知 12 102 2=-+-m x m y 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是________ 7.椭圆22 1x y m n +=--，(0)m n <<的焦点坐标是 2.1.1椭圆及标准方程（1） 一、 学习目标及学法指导 1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．通过用简易工具画椭圆的图像掌握椭圆的定义； 3．通过椭圆标准方程的推导过程掌握椭圆的标准方程的两种形式． 二、预习案 （预习教材文P 32~ P 37找出疑惑之处） 复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ． 复习2：方程22(3)(1)4x y -++=表示以 为圆心, 为半径的 ． ※ 学习探究 取一条定长的细绳， 把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动 思考：移动的笔尖（动点） 满足的几何条件是什么？ 经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当0<122a F F <时，其轨迹为 ． 试试： 已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹 是 ． 小结：应用椭圆的定义注意两点： ①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F ． 新知２：椭圆的标准方程： （1）回顾求圆的标准方程的基本步骤 建系→设点→建立等量关系→代入坐标→化简 （2）如何建立坐标系可以使方程的形式简单？ 当焦点在x 轴上时： ①建系： ②设点： ③建立关系式： 根据椭圆的定义，知 ④代入坐标 ⑤化简 河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 圆的标准方程学案 一、学习目标 知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方 程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程 学习难点: 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 三、使用说明及学法指导: 1、先阅读教材118—120页，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。 2、不会的，模棱两可的问题标记好。 3、对小班学生要求完成全部问题，实验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、知识链接： 1．两点间的距离公式？ 2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？ 平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究) A 问题1阅读教材118页内容，回答问题 已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？ 问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 例1：1写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径： (1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9 (3) 222 ()()x a y a ++= 例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 百度文库 - 让每个人平等地提升自我！ 111 高二数学选修 2-1 § 一、学习任务： 1．理解椭圆的定义，掌握求椭圆的方程，和一些几何性质。培养解析法的思想。 2．椭圆的定义和标准方程。 二、探究新知：（学习情景，自主学习，合作探究，（问题1,2,3）当堂检查，巩固训练，拓展延伸，对点训练， 感受高考等） 自主学习： （一）、学习情景: 已知两定点F 1F 2距离为6,求动点M 到两定点距离的和为10的轨迹方程. （二）、 问题导学: 问题1：根据课本上椭圆的定义，制作教具，画椭圆？ 问题2：写出椭圆上的点满足的关系式________________________________________ 问题3：这两个定点叫做椭圆的_______。两个定点的距离用______表示。常数用______表示 问题4：椭圆的定义为什么要满足2a >2c 呢？ (1)当2a >∣F 1F 2∣时，轨迹是_____ (2)当2a =∣F 1F 2∣时，轨迹是_____ (3)当2a <∣F 1F 2∣时轨迹是. _____ 对点训练: 动点P 到两定点F1（-4，0），F2（4， 0）的距离和是8,则动点P 的轨迹为（ ） （A ）椭圆 （B ）线段F 1F 2 （C ）直线F 1F 2 （D ）不能确定。 问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，写出推导椭圆方程的过程 问题6：椭圆的标准方程是：___________________________ 问题7：上面的a,b,c 三个量满足的关系式为：___________ 问题8：如何判断焦点在何轴? (三)、当堂检查 根据下列方程，分别求出a 、b 、c (1)椭圆标准方程为16 102 2=+y x ，则a = ,b = , =c ； (2)椭圆标准方程为15 2 2 =+y x ，则a = ,b = , =c ； (3)椭圆标准方程为822 2=+y x ，则a = ,b = , =c . 书本课后练习 1.如果椭圆136 1002 2=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是_____. 2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 1,4==b a ，焦点在x 轴上；(2)15,4==c a ，焦点在x 轴上.（3）a +b =10，c =25 (四)、合作、探究、展示： 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22?? - ??? ，求它的标准方程． 变式题：1.已知椭圆的焦点在y 轴上，且椭圆经过点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程. 变式题：2.已知椭圆经过两个点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程. 规律方法总结 例2、 如图，在圆2 24x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的 中点M 的轨迹方程 例3、如图，设A ，B 的坐标分别为()10,0-，()10,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为4 9 -，求点M 的 轨迹方程． 三、 本节小结和感悟 思考：1若方程 116252 2=++-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是？ 2 方程 √x 2 + (y+3)2 + √x 2 + (y-3)2 = 10表示曲线为 。 x y F 1 F 2 B 1 P l y M D x P 河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习圆的一般方程学案【学习目标】 【学习重难点】 重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径； (2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 难点：圆的一般方程的特点． 【学习过程】 （一）检查预习、交流展示 写出圆的标准方程，并指出圆心和半径。 （二）合作探究、精讲精练 探究一：圆的一般方程的定义 1．分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x+y+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1)当D+E-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程 半径的圆； (3)当D+E-4F＜0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 2．引出圆的一般方程的定义 当D+E-4F＞0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． 探究二：圆的一般方程的特点 当二元二次方程 Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0具有条件： (1)x和y的系数相同，不等于零，即A=C≠0 (2)没有xy项，即B=0； (3)D+E-4AF＞0． 它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出． 强调指出： (1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件； (2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件． 例1 求下列圆的半径和圆心坐标： (1)x+y-8x+6y=0，(2)x+y+2by=0． 练习:下列方程各表示什么图形? 例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程． （三）课堂小结： 1.圆的一般方程的特点． 2.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 圆的方程 教学目标：1.掌握圆的标准方程和一般方程； 2.理解圆的一般方程与标准方程的联系；会熟练地互化。 3.会根据条件准确的求圆的方程 教学重点：利用圆的方程解决一些问题 教学难点：能准确的利用圆的方程解决问题 知识梳理： 1. 关于圆的知识：平面内到的距离等于的点的集合 ．．．．称为圆。 我们把定点称为，定长称为。确定了圆的位置, 确定了圆的大小。 在平面直角坐标系中，已知：圆心为) a A, 半径长为r，圆上的任意一点) (b , x M应该满 (y , MA= 足的关系式？r 2.圆的标准方程是__________________________，其中圆心________，半径为_____。 题型一：由圆的的标准方程写出圆心和半径： 练习：⑴根据条件写圆的方程： ①圆心)1 ,2(-，半径为2 ②圆心)3,0(，半径为3 ③圆心)0 ,0(，半径为r （2）：由圆的标准方程写出下列圆的圆心坐标和半径。 1 2 圆心坐标 半径 6)1()4(22=-+-y x __________ __________ 4)4()1(22=++-y x __________ __________ 9)2(22=++y x ___________ ___________ 8)3(22=-+y x __________ __________ 222)3(-=+y x __________ __________ 222)(a y a x =+- ___________ ___________ 总结： 特别地，当)0,0(),(=b a 时，圆的方程变为___________ 题型二：由圆心和半径写出圆的的标准方程： (1) 圆心在)1,2(A ，半径长为4； __________________________ (2) 圆心在)4,3(-A ，半径长为5； __________________________ (3) 圆心在)2,3(--A ，半径长为5； __________________________ (4)已知 )3,6(),9,4(21P P ，求以线段21P P 为直径的圆的方程 例1已知圆心在)4,3(--C ，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点)0,1(1-P 、)1,1(2-P 、)4,3(3-P 和圆的位置关系。 例1. 判断下列各点是否在以)3,2(-A 为圆心，半径为5的圆上？ 高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程导学案无答 案新人教A 版必修2 自学导读： 问题1： 圆的标准方程是 ，圆心坐标是 ，半径是 ， 问题2：把圆的标准方程展开，得 ， 令-2a=D,-2b=E,a 2+b 2-r 2 =F , 结论：任何一个圆可以写成下面的形式x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0 问题3：是不是任何一个形如x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆呢？ 把方程: x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0配方可得： （1）当D 2+E 2 -4F>0时，表示以（ ， ）为圆心，以（ ）为半径的圆 （2）当D 2 +E 2-4F=0时，方程只有一组解x = 2-D ， y = 2 -E ，表示一个点（ ， ）. （3）当D 2 +E 2 -4F<0时，方程无实数解，所以不表示任何图形. 新课： 1:圆的一般方程的定义： 2：圆的一般方程的特点：x 2与y 2系数相同并且不等于0，没有xy 这样的二次项，D 2+E 2 -4F>0 练习 判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径 (1) x 2+2y 2-6x +4y -1=0 (2) x 2+y 2-3xy +5x +2y =0 (3) x 2+y 2 -2x +4y -4=0 (4) x 2+y 2-12x +6y +50=0 (5) 2x 2+2y 2 -12x +4y =0 3：例题讲解 阅读第122页例4、例5完成下列习题 1、求经过三点（0,0），（2，-2），（4,0）的圆的方程 小结：求圆的方程的方法 2、如图，已知点P 是圆x 2+y 2 =16上的一个动点，点A 是x 轴上的一个定点，坐标为（12,0），当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的方程是什么？ 小结：求轨迹方程的方法 三、自学检测 1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长： ① x 2+y 2-6x=0 ② x 2+y 2+2by=0 ③ x 2+y 232=0 2..判断下列方程分别表示什么图形： ① x 2+y 2=0 ② x 2+y 2-2x+4y-6=0 ③ x 2+y 2+2ax-b 2=0 课本第123页练习1.2.3 四、巩固训练 课本第124页习题4.1 A 组 1.、2、3、4 五、拓展延伸 课本第124页习题4.1 B 组 2、3 课堂小结 22224()()224 D E D E F x y +-+++= 椭圆及其标准方程（一）导学案 【学习要求】 1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 【学法指导】 1．通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力. 2．通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度 【知识要点】 1．椭圆：平面内与两个定点F 1，F 2的 的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 2. 探究点一 椭圆的定义 问题1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？ 问题2 动点P 到两定点A 、B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)的轨迹一定是椭圆吗？ 探究点二 椭圆的标准方程 问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程. 问题2 建系时如果焦点在y 轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？ 问题3 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？ 例1 （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点????52，－3 2，求它的标准方程； （2）若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程. 跟踪训练1 （1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 2 4＝1有公共的焦点， 求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程. 例2 已知方程x 2k －4－y 2 k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________. 跟踪训练2 若方程x 2m －y 2 m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是 ( ) A ．m >0 B ．0 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 三维目标： 知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方 程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程： 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明2 2 2 ()()x a y b r -+-=为圆的 方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究 例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程， 并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）22 00()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）22 00()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2 r ，点在圆内 例（2）： ABC V 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用 待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和 (2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长 等于CA 或CB 。 （教师板书解题过程。） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、 例(3)可得出ABC V 外接圆的标准方程的两种求法： ①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 提炼小结： 1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。最新椭圆及其标准方程导学案
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§2.2.1《椭圆及其标准方程》导学案
高考数学总复习 圆的一般方程学案
一轮复习学案圆的方程复习学案
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程导学案无答案新人教A版必修2
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