一道中考压轴题命题历程的溯源

一道中考综合题命题历程的溯源

浙江省宁波市鄞州区集士港中学毛孟杰315171

E-mail:maomengjie@https://www.wendangku.net/doc/5511883461.html, 电话：135******** 综合题是用来评价和甄别学生知识掌握程度和综合运用数学知识解决问题能力大小，因此，它往往经过中考命题专家细心推敲、反复研究．虽然大多数教师没有参加中考试卷命题的经历，但这并不影响教师对综合题的溯源．在溯源过程中，教师可以逐渐提高对《课程标准》的理解，深刻领会教材的编写意图，准确把握初中数学的核心知识，同时也提高中考复习教学的有效性和针对性．

1 一道综合题

下面是江西省2010年的综合题（第23题）

图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2．当伞收紧时，点P与点A 重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0分米，CE＝CF＝18.0分米，BC＝2.0分米．设AP＝x分米．

（1）求x的取值范围；

（2）若∠CPN＝60o，求x的值；

（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留）．

图1 图2

2 命题历程溯源

2.1 综合题的瞩目点

作为中考综合题，一般既考查学生适应未来生活和进一步发展所必需的数学核心知识掌握情况，又考查学生是否具有用数学的思维方式观察、分析现实社会的意识，有没有综合运用数学知识解决现实问题的能力，也就是说，综合题主张“知识”和“能力”并重．综合题若不关注数学核心知识，则缺少数学味；若不关注应用能力，则所考查的数学知识缺少活力．

⑴数学核心知识

初中数学内容领域可分为“数与式”、“图形与几何”、“统计与概率”和“实践与综合应用”，其中核心知识是：“数与式”部分是方程、不等式和函数，“图形与几何”部分是三角形、四边形、圆和几何变换（如轴对称变换、平移变换、旋转变换—这些属于全等变换，和相似变换），因此，综合题所涉及的知识点一般沟通“数与式”和“图形与几何”两大领域，

所考查的知识横向跨度大，对学生综合应用数学知识能力有较高的要求．

⑵ 解决实际问题的能力

综合题除要考查学生的数学核心知识能力以外，还要着重考查学生数学修养的另一方面—数学思考，即学生运用数学的思维方式观察和分析现实社会的能力，综合运用数学知识解决现实生活和其他学科学习的问题．旨在通过中考题的导向，把“以传授系统的数学知识”为基本目标的课堂教学转变为“以学生发展为本”为基本目标的课堂教学．因为学生的数学修养高低不仅仅只衡量他有没有“系统的数学体系”，更重要的看他有没有应用数学思考和解决问题的能力．

2.2 命题专家的思维历经

⑴ 命题知识出发点

三角形、四边形和圆相关知识是初中数学中“图形与几何”

领域的核心知识，因此常被中考命题专家用作为综合题的图形载

体．菱形是特殊的平行四边形，既是中心对称性图形，又是轴对

称性图形，它的两条对角线长短改变会引起菱形形状和大小的变

化(如图3)，若连接两条对角线，会出现一些直角三角形和等腰三

角形，所以，2010年江西省中考综合题就是以菱形作为命题的出

发点．

⑵ 渗透运动的观点

让图形运动起来，在运动中探索和把握变化规律是学生应该具有的数学素质．在江西中考综合题中，我们可以看到命题者的初衷：如图3，若保持菱形的边长和顶点C 不变，让顶点P 运动，则对角线C P 和M N 的长度也随之变化，同时也改变菱形的面积和直角三角形、等腰三角形的形状，因此，命题者可以提出“求对角线C P 范围”的问题；也可以将菱形特殊化,如060CPN ∠=,出现了等边C P N 和等边C P M ,从而求对角线C P 的长度．这就成了《人教版》八下第19章“菱形”部分的例2.

⑶ 加入函数主线

如果将综合题仅停留在求对角线的范围或特定菱形的对角线长度上，对学生的核心知识和思维方式考查过于狭窄，不能有效地评价学生的数学修养．命题专家就考虑“图形与几何”和“数与式”两大领域的沟通，方程、不等式与函数是“数与式”的核心内容，其中函数是整个初中“数与式”内容的一条主线，譬如“求代数式的值”实际上是“已知自变量求函数值”的问题，“解方程”是“已知函数值求自变量值”的问题，“解不等式”是“已知函数值的范围求自变量取值范围问题”等等．

命题者就可能想到编拟“求以菱形对角线C P 为自变

量，另一条对角线M N 或菱形面积为函数的关系式”的题目，

但这样编制的试题对学生思维要求仍然不高，不能很好体现

综合题的甄别和选拔功能，并且把“图形与几何”中的全等图3

或相似、圆等核心知识排除在外．

为了考查学生对全等或相似、圆和函数部分知识的掌握程度，命题者在图3的基础上分别延长菱形的两条邻边C M、C N(如图4)，使33

===，连接E F交C P

C E C F C M C N

的延长线于点G，则有等腰C M N

等，在求以G F

～R t C G F

～等腰C E F

，R t C O N

为半径的圆面积关于C P的函数关系式的过程中，这样就涉及到勾股定理、相似三角形和圆的有关知识．

⑷与现实生活结合

当试题内部中的数学逻辑关系理顺之后，命题者就开始考虑试题在现实生活中的背景，这样命题的好处是使学生懂得：数学存在于现实生活之中，并被广泛应用于现实世界，只要我们将数学与生活联系起来，才能切实体会到数学的应用价值．

从图4整体来看，与学生在现实生活中熟悉的“遮阳伞”非常相似，不同的是：（如图2）当伞收紧时，点P与伞干上的点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达伞干某点B时，伞张得最开．因此，根据现实生活，在图4的C P上设置点A、B 两点，其中点A的位置可以由菱形C M P N的边长来确定，于是把“求对角线C P的范围”问题改成“求A P的取值范围”，把“当0

CPN

∠=，求对角线C P的长度”的问题改成

60

“当0

∠=，求A P的长度”，也把“求以G F为半径的圆面积关于C P的函数关系60

CPN

式”的问题改成“阳光直射下，求伞下的阴影（假定为圆面）面积与关于A P的关系式”（如图2）．

2.3 与命题专家商榷

综合题的现实生活背景—遮阳伞，阳光直射下伞下的阴影面积实际上是圆锥（把伞面看成圆锥的侧面）的底面积．我们知道，遮阳伞除要考虑遮阳效果（伞下阴影面积）以外，还应该关注遮阳伞的制作成本．在制作成本中，主要的成本是伞面的面料成本，所以，在编制综合题过程中，是否可以提出问题4：要制作这顶遮阳伞，需要多少㎡的面料？

笔者认为，要解决这个问题，学生必须认清“当A P在什么情况下，圆锥的侧面积最大”，既充分利用了题目的条件“当点P到达点B时，伞张得最开”，又与综合题的第3小题相益得彰．在解决问题4的过程中，既考查了学生对圆锥侧面积知识的掌握程度，又使学生关注经济生活中的成本意识．

3对课堂教学的启示

3.1 要全面落实《课程标准》

中考综合题的命题原则是以知识和能力并举，这与《课程标准》的价值取向基本一致．因此，在课堂教学中，教师应该从传统的知识传授者向能力的促进者转变：从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力．

3.2 应立足于教材

教材是《课程标准》的具体化，也是中考命题的最重要依据．因此，不管是在平时教学，

还是在中考复习，教师都应该立足于教材，深刻领会教材的编写意图，准确把握教材的知识体系．由于当下多种教材并存，教师应善于整合多种教材资源，根据学生的生活实际，编制出一些能评价和甄别学生知识水平和思维能力的综合题．

3.3 中考复习要有针对性

由于中考命题已经从原来的“知识立意”转变成为“知识和能力并重”，因此，在中考复习教学中，教师要摒弃原有的“题海战役”思想，应该潜下心来分析每一道例习题所承载的知识与能力、题目的内在逻辑结构和它的现实背景，从而提高复习的有效性和针对性．

参考文献

1教育部. 全日制义务教育数学课程标准(实验稿)【M】.北京:北京师范大学出版社,2007 2数学课题标准研制组.数学课程标准解读【M】.北京:北京师范大学出版社,2002.

3林群等。义务教育课程标准实验教材·数学【M】。北京：人民教育出版社，2006

4杜小许．一把闪亮的“伞”【J】．中学数学教学参考(中旬)，2010,9