电磁场讲过的习题
1-5 设标量32yz xy +=Φ，矢量z y e e e A x -+=22，试求标量函数Φ在点)1 ,1 ,2(-处沿矢量A 的方向上的方向导数。 解 已知梯度 2
223)2(yz z xy y z
y
x
z y x z
y
x
e e e e e e +++=??+??+??=?ΦΦΦΦ
那么，在点)1 ,1 ,2(-处Φ 的梯度为 z y x e e e 33--=?Φ 因此，标量函数Φ在点)1 ,1 ,2(-处沿矢量A 的方向上的方向导数为 ()()13622233-=+-=-+?--=??z y x z y x e e e e e e A Φ
1-7 已知标量函数z e y x -??
? ??
??? ?
?=3sin 2sin ππ
Φ，试求该标量函数Φ 在点P (1,2,3)处的最大变化率及其方向。
解 标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数Φ的梯度为
z
y
x
z
y
??+??+??=?ΦΦΦΦe e e x
那么 z y z e y x e y x --??? ????? ?
?
+??? ????? ??
=?3c o s 2s i n 33s i n 2c o s 2ππππππΦe e x
z z e y x -??? ????? ?
?
-3sin 2sin ππe
将点P (1,2,3) 的坐标代入，得()3
3
2
36
----=?e
e
z
y
P
e e π
Φ
。那么，在P 点的最大变化率
为 276
2
36
2
3
3
3
+=
--=?---π
π
Φ
e
e
e
z
y
P
e e
P 点最大变化率方向的方向余弦为
0cos =α； 27
cos 2
+-
=ππβ； 27
27
cos 2
+-
=π
γ
1-18 已知矢量场F 的散度)(r F δq =??，旋度0=??F ，试求该矢量场。 解 根据亥姆霍兹定理，()()()r A r r F ??+-?=Φ，其中
()()V ΦV ''
-'??'=
?
'
d 41r r r F r π
；()()V V ''
-'??'=
?
'
d 41r r r F r A π
当0=??F 时，则()0=r A ，即()()r r F Φ-?=。那么因()r F δq =??，求得
()()r r
q Φe r r F 2
4π=
-?=
则 ()()r
q V q ΦV πδπ
4d 41=
''
-'=
?
'
r r r r
1-19 已知某点在圆柱坐标系中的位置为??
?
?
?3 ,3
2 ,4π，试求该点在相应的直角坐标系及圆
球坐标系中的位置。
解 已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
φcos r x =，φsin r y =，z z =
因此，该点在直角坐标下的位置为
232cos 4-=??
?
??=πx ; 3232sin 4=???
??=πy ; z = 3
同样，根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系，
2
2
2
z y x r ++=
；z
y x 2
2arctan
+=θ；x
y arctan
=φ
可得该点在球坐标下的位置为
5=r ；
533
4arctan
≈=θ；
120=φ
2-1 若真空中相距为d 的两个电荷q 1及q 2的电量分别为q 及4q ，当点电荷q '位于q 1及q 2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q '的大小及位置。
解 要使系统处于平衡状态，点电荷q '受到点电荷q 1及q 2的力应该大小相等，方向相反，
即q q
q q F F ''=2
1
。那么，由
122
2
022
1
01244r r r q q r q q =?'=
'πεπε，同时考虑到d r r =+21，求得
d r d r 32 ,3
121=
=
可见点电荷q '可以任意，但应位于点电荷q 1和q 2的连线上，且与点电荷1q 相距d 3
1
。
2-6 已知分布在半径为a 的半圆周上的电荷线密度πφφρρ≤≤=0 ,sin 0l ，试求圆心处的电场强度。
解 建立直角坐标，令线电荷位于xy
平面，且以y 轴
为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷l l d ρ在圆心处产生的电场强度具有两个分量E x 和E y 。由于电荷分布以y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的y E 分量，即
φπερsin 4d d d 2
0a
l E E l y =
=
考虑到φρρφsin ,d d 0==l a l ，代入上式求得合成电场强度为
y y a
a
e e E 000
2
008d sin 4ερφφπερπ
=
=?
2-7 已知真空中半径为a 的圆环上均匀地分布的线电荷密度为l ρ，试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。
解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7所示。那么，点电荷l l d ρ在z 轴上
P 点产生的电位为
r
l l 04d περ?=
习题图2-6
a
y
x
o
l
d φ
E 习题图2-7
x
y
z P
r
o
a
根据叠加原理，圆环线电荷在P 点产生的合成电位为
()2
2
20
020
2d 4d 41z
a a
l r
l r
z l a
l
a
l
+=
=
=
?
?
ερπερρπε
?ππ
因电场强度?-?=E ，则圆环线电荷在P 点产生的电场强度为
()(
)
2
322
02z
a az
z
z l z
z +=??-=ερ?e e E
2-11 若在球坐标系中，电荷分布函数为
????
???><<<<=-b
r b r a a r 0, ,100 ,06ρ
试求b r a a r <<<< ,0及b r >区域中的电通密度D 。 解 作一个半径为r 的球面为高斯面，由对称性可知
r e D s D 2
4d r
q q s
π=
?=??
式中q 为闭合面S 包围的电荷。那么
在a r <<0区域中，由于q = 0，因此D = 0。 在b r a <<区域中，闭合面S 包围的电荷量为
()3
3
6
3
410
d a
r v q v
-?
==
-?
πρ
因此， ()r
e
D 2
3
3
6
3
10
r
a r
-=
-
在b r >区域中，闭合面S 包围的电荷量为
()3
3
6
3
410
d a
b v q v
-?
==
-?
πρ
因此， ()r
e
D 2
3
3
6
3
10
r
a b
-=
-
2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为
???????<>=a r a
qr a r r q
, ,2
r e E
试求球内外各点的电位。 解 在a r <区域中，电位为
()()a
q r
a
a
q r a
a
r
r
+
-=
?+
?=
?=
?
?
?
∞
∞
2
2
2d d d r E r E r E ?
在a r >区域中，()r
q r r
=?=?
∞
r E d ?
2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为
???
??≥≤=a r r
a a r r , ,25
3r e E 试求空间的电荷密度。
解 利用高斯定理的微分形式0
ερ=
??E ，得知在球坐标系中
()()
r E r
r
r
r 2
2
0d d 1εερ=??=E
那么，在a r ≤区域中电荷密度为
()()2
5
2
5d d 1r r r
r
r ε
ερ== 在a r ≥区域中电荷密度为
()()0d d 15
2
==a r
r
r ερ
2-17 若在一个电荷密度为ρ，半径为a 的均匀带电球中，存在一个半径为b 的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d ，试求空腔中的电场强度。
解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为a 的整个球内充满电荷密度为ρ的电荷，则球
内P 点的电场强度为
习题图2-17
o b
a
P r d r '
r e E r P 0
3
2
013 3
441ερ
ρππε=
=
r r
式中r 是由球心o 点指向P 点的位置矢量，
再设半径为b 的球腔内充满电荷密度为ρ-的电荷，则其在球内P 点的电场强度为
r e E r
P '-='''-
=0
3
2
0233
4
41
ερ
ρππεr r
式中r '是由腔心o '点指向P 点的位置矢量。
那么，合成电场强度P P E E 21+即是原先空腔内任一点的电场强度，即
()d r r E E E P P P 0
2133ερ
ερ
=
'-=
+=
式中d 是由球心o 点指向腔心o '点的位置矢量。可见，空腔内的电场是均匀的。
2-19 已知内半径为a ，外半径为b 的均匀介质球壳的介电常数为ε，若在球心放置一个电量为q 的点电荷，试求：①介质壳内外表面上的束缚电荷；②各区域中的电场强度。 解 先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理
r e D s D 2
2
44d r
q q D r q s
ππ=
?=?=??
在a r ≤<0区域中，电场强度为 r e D
E 2
00
4r q πεε==
在b r a ≤<区域中，电场强度为 r e D
E 2
4r
q πεε
=
=
在b r >区域中，电场强度为 r e D
E 2
00
4r
q πεε=
=
再求介质壳内外表面上的束缚电荷。
由于()E P 0εε-=，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为
()
2
02
0414a
q a
q s πεεπεεερ??? ??
--=--=?-=?=P e P n r 外表面上束缚电荷面密度为 ()2
02
0414b q b
q s πεεπεεερ??
? ??
-=-=?=?=P e P n r 2-31 若平板电容器中介电 常数为
ε (x )
A
d X
习题图2-31
A
1 1
2 )( εεεε+-=
x d
x
平板面积为A ，间距为d ，如习题2-31所示。试求平板电容器的电容。
解 设极板上的电荷密度分别为s ρ±，则由高斯定理，可得电通密度s D ρ=，因此电场强度为
()()
1
1
2εεερε+-=
=
x d
x D
x E s
()d x <<0
那么，两极板的电位差为 ()1
21
20
ln
d εεεερ-=
=
?
d x x E V s d
则电容量为 ()1
212ln
εεεερd A V
A V
q C s -=
=
=
2-32 若平板空气电容器的 电压为V ，极板面积为A ， 间距为d ，如习题图2-32所 示。若将一块厚度为)(d t t < 的导体板平行地插入该平板 电容器中，试求外力必须作 的功。
解 未插入导体板之前，电容量d
A
C 0ε=
。插入导体板后，可看作两个电容串联，其中一
个电容器的电容x
A
C 01ε=
，另一个电容器的电容x
t d A
C --=
02ε，那么总电容量为
t
d A
C C C C C -=+=
'02
121ε
根据能量守恒原理，电源作的功和外力作的功均转变为电场能的增量，即
12ΔW W W W W e -==+外电源
式中
()()
2
0ΔV t d d At V CV V C qV W -=
-'==ε电源
d
V
t
ε 0
ε 0 习题图2-32
A
电源W V
C C W W W e 2
1)(2
1d 2
12=
-'=
-=
则 ()
2021
V t d d At
W --
=ε外
2-34 已知平板电容器的极板尺寸为b a ?，间距为d ，两板间插入介质块的介电常数为ε，如习题图2-34所示。试求：①当接上电压V 时，插入介质块受的力；②电源断开后，再插入介质时，介质块的受力。
解 ①此时为常电位系统，因此介质块受到的电场力为
const
e x
W F ==
?d d 式
中x 为沿介质块宽边b 的位移。介质块插入后，引起电容改变。设插入深度x ，则电容器的电容为 []x b d
a d
x b a d
ax
C )()
(000εε
εεε-+=
-+
=
电容器的电场能量可表示为 []x b d
aU C U W e )(22
1002
2
εεε-+=
=
那么介质块受到的x 方向的电场力为
)(2d d 02
εε?-=
=
=d
aU x
W F const
② 此时为常电荷系统，因此介质块受到的电场力为 c o n s t
q e x
W F =-=d d
式中x 为沿介质块宽边b 的位移。
介质块插入后，极板电量不变，只有电容改变。此时电容器的电场能量可表示为
x
b a dq
C
q
W e )(1
221002
2
εεε-+=
=
3-1 已知在直角坐标系中四个点电荷分布如习题图3-1所示，试求电位为零的平面。
d
a ? b
S
U
ε ε 0
习题图2-34
解 已知点电荷q 的电位为 r
q 4πε?=
，令)0,1,0(1q q -=，
)0,1,3(2q q +=，)0,0,1(3q q -=，)0,0,0(4q q +=，那么，图中4个
点电荷共同产
生的电位应为 ∑
=
4
1
4i
i r q πε?
令0=?，得 0 4 4 4 44
3
2
1
=+
-
+
-
r q r q r q r q πεπεπεπε
由4个点电荷的分布位置可见，对于x =1.5cm 的平面上任一点，4321 ,r r r r ==，因此合成电位为零。同理，对于x =0.5cm 的平面上任一点，3241 ,r r r r ==，因此合成电位也为零。所以，x =1.5cm 及x =0.5cm 两个平面的电位为零。
3-8 试证位于无限大导体平面上半球形导体上空的点电荷q 受到的力的大小为
???
?
?
?-+=
2445
32
02
)(16116a d d a d
q
F πε 式中a 为球半径，d 为电荷与球心的间距，0ε为真空介电常数，如习题图3-8(a)所示。
证明 应用镜像法，将半球变为一个整球。那么，为了保证无限大导体平面和球面形成的边界电位为零，必须引入三个镜像电荷：-q ，q '，q "，其中q 和-q ，以及q '和q "保证无限大平面边界的电位为零，q 和q '，以及-q 和q "保证球面边界的电位为零。那么，根据镜像法，求得镜像电荷q '和q "分别为
-q
3cm
Y X
+q
+q -q
1cm
习题图3-1
q
ε 0
a
d
习题图3-8(a)
q
q ″
q ′ ε0
d
d
-q
d ′
d ″
ε0
习题图3-8(b)
q d
a q -
='，q d
a q =
''
其位置分别位于d
a
d 2
=
'及d
a
d 2
-
=''处。因此，点电荷q 所受到的力应为三个镜像电荷产
生的电场力的矢量和。由于三种电场力的方向均位于一条垂线上，矢量和变为标量和，即
2
2
02
2
02
0)
(4)
(4)
2(4)(d
a
d q d a q d a
d q d a q d q q F F F F q q q +
??? ??+-
??? ??-+
-=
++='''-πεπεπε 将上式整理后，即得 ))
(161(162
4
4
532
02
a d d
a d
q
F -+
=
πε
3-10 试证位于半径为a 的导体球外的点电荷q 受到的电场力大小为
2
2
2
3
02
23
2
)
(4)2(a f
f a f a q F ---
=πε
式中f 为点电荷至球心的距离。若将该球接地后，再计算点电荷q 的受力。 证明 根据镜像法，必须在球内距球心f
a d 2
=
处引入的镜像电荷q f
a q -
='。
由于球未接地，为了保持总电荷量为零，还必须引入另一个镜像电荷-q '，且应位于球心，以保持球面为等电位。那么，点电荷q 受到的力可等效两个镜像电荷对它的作用力，即，
r r e e F 2
22
02
2
01)
(4)(4a f
afq d f q q --
=-'=
πεπε（N ）
r r e e F 3
2
2
244f
aq f
q q πε
πε
=
'-=
（N ）
合力为 r e F F F 2
2
2
3
2
23
2
21)
(4)2(a f
f a f a q ---
=+=πε
（N ）
当导体球接地时，则仅需一个镜像电荷q '，故q 所受到的电场力为F 1。
3-16 已知点电荷q 位于半径为a 的导体球附近，离球心的距离为f ，试求：①当导体球的电位为?时的镜像电荷；②当导体球的电荷为Q 时的镜像电荷。
解 ①如前所述，此时需要两个镜像电荷等效带电导体球的影响。一个是离球心
f
a 2
处，电
量为q f
a q -
='的镜像电荷。另一个镜像电荷q "位于球心，其电量取决于导体球的电位。
已知导体球的电位为?，而镜像电荷及球外点电荷对于球面边界的电位没有贡献，因此，球心镜像电荷q "的电量应满足 a
q 04πε?''=
即
?πεa q 04=''
② 当导体球携带的电荷为Q 时，在离球心
f
a 2
处的镜像电荷仍然为q f
a q -
='，而球心处
的镜像电荷q f
a Q q +
=''，以保持电荷守恒，即Q q q =''+'。
4-1 已知一根长直导线的长度为1km ，半径为0.5mm ，当两端外加电压6V 时，线中产生的电流为6
1A ，试求：① 导线的电导率；② 导线中的电场强度；③ 导线中的损耗功率。 解 （1）
由IR V =，求得 ()Ω==366
/16R
由 S R σ
=
，求得导线的电导率为
()
()m S 10
54.310
5.03610
7
2
33
?=???=
=
-πσRS
（2） 导线中的电场强度为 ()m V 10
610
63
3
-?==
=
V E
（3）
单位体积中的损耗功率 2
E P l σ=，那么，导线的损耗功率为
()W 12
2
==L r E P πσ
6-2 一个面积为b a ?的矩形 线圈位于双导线之间，位置 如习题图6-2所示。两导线 中电流方向始终相反，其变
化规律为
A )102sin(109
21t I I ?==π，
试求线圈中感应电动势。
X
I 2
x
a
c
d
b
d x d s
μ0
Y
I 1
习题图6-2
解 建立的坐标如图6-2所示。在c b x c +<<内，两导线产生的磁感应强度为
()
x d c b I x
I z
z
-+++=πμπμ222
01
0e e Β
则穿过回路的磁通量为
s Β?
?=
s
m
d Φ
x a x d c b x I z c
b c
z
d 11
210e e ???
?
??-+++=
?
+πμ ()()
cd
d b c b a
I ++=
ln
210π
μ
则线圈中的感应电动势为
t
e m
d d Φ-
=()()t
I cd
d b c b a
d d ln
21
0++-
=π
μ
()
()()V 10ln 102cos 10
90???
????++?-=cd d b c b t a πμ
6-7 若无限长直导线与半径 为a 的圆环导线平行放置， 电流方向如习题图6-7所示。 计算直导线与圆环之间的互感。
解 建立的直角坐标如图6-7所示，令长直导线位于z 轴。那么，无限长z 向电流在0=x 平面内+y 轴一侧产生的磁感应强
度为 y
I πμ21
01x
e B -=
B 1产生的磁通与线圈电流2I 交链的磁通链21ψ为
s B d 2
121?=
?
s ψ()?
+----
=a
d a
d y y
y d a
I d 2
2
10π
μd I 10μ-=
因此，直导线与线圈之间的互感为 d I 01
21
21
μψM
-==
可见，21
M
为负，这是因为2I 产生的磁通方向与互磁通方向相反导致的。
x
y
I 1
I 2
a
d
z y
d y 习题图6-7
6-8 若无限长直导线与边长为a 的等边三角形线框平行放置，电流方向如习题图6-8所示。计算直导线与三
角形线框之间的互感。
解 建立的直角坐标如图6-8所示，令长直导线位于z 轴。那么，无限长z 向电流在0=x 平面内y > 0区域
中产生的磁感应强度为
y
I πμ21
01x
e B -=
B 1产生的磁通与线框电流2I 交链的磁通链21ψ为 s B d 2
121?=
?
s ψ()y d y y
I d 6
tan
221
0π
πμ-?-=?x x
e e ???
?
??-+=
a d a d d I 2332ln 3310πμ 因此，直导线与线框之间的互感为 1
21
21
I ψM
=
???
? ??-+=
a d a d d 2332ln 330πμ 6-9 已知同轴线的内导体半径为a ，外导体的内外半径分别为
b 及
c ，内外导体之间为空气，当通过恒定电流I 时，计算单位长度内同轴线中磁场储能及电感。 解 由安培环路定律，求得内导体中的磁场感应强度为 r a
I B 2
012πμ= ()a r <
那么，内导体单位长度内的磁场能量为
V B W V m d 211
2
10
1?
=
μ202
2
00
16d 2221I r r a Ir a
πμππμμ=??
? ??=
?
在内外导体之间单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为
r
I B πμ=
202 ()b r a << =
2m W a b I r r r I b
a
ln 4d 22212
02
00
πμ=
π??
?
??πμμ?
在外导体中单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为 2
222032b
c r c r I B --πμ=
r r b c r c r I W c
b
m d 22212
222
200
3π????
?
?--πμμ=
?
(
)r r r c r c b c I c
b
d 243242
222
0?
???
? ??+--=πμ I 1 a d
I 2 a a y
d y
z
x
y
习题图6-8
()
()()??
?
???----=
222242
2
2
2
0341ln 4b c b c b c c b c I
πμ 因此，同轴线单位长度内的磁场能量为
3
21m m m m W W W W ++=()
?
??
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22
22
2242
03ln 4ln 4116b c b c b c
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那么，单位长度的自感()
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3ln 4ln 4182b c b c b c
b c c a b I
W L m
人教版高中物理选修3-1第一章静电场综合测试题答案及详解.docx
高中物理学习材料 选修3-1第一章静电场综合测试题 本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分，时间90分钟． 第Ⅰ卷(选择题共40分) 一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项符合题目要求，有些小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分) 1．(2009·江苏淮阴高二检测)最早提出用电场线描述电场的物理学家是 ( ) A．牛顿 B．伽利略 C．法拉第 D．阿基米德 2．如图所示，静电计垫放在绝缘物上，开关S1一端与金属球A连接，另一端与金属外壳B相接．开关S2一端与金属球连接，另一端与大地相接．当S1与S2都断开时，使A球带电，看到静电计指针张开一个角度．然后合上S1后再断开，再合上S2，可看到指针张角 ( ) A．先减小，之后不变 B．先减为零，之后又张开 C．先减为零，之后不再张开 D．先不变，之后变为零 3．(2009·河南宝丰一中高二检测)关于电场强度和电势，下列说法正确的是 ( ) A．由公式可知E与F成正比，与q成反比 B．由公式U＝Ed可知，在匀强电场中，E为恒值，任意两点间的电势差与这两点间的距离成正比 C．电场强度为零处，电势不一定为零 D．无论是正电荷还是负电荷，当它在电场中移动时，若电场力做功，它一定是从电势高处移到电势低处，并且它的电势能一定减少 4．如图所示，在A板附近有一电子由静止开始向B板运动，则关于电子到达了B板时的速率，下列解释正确的是( ) A．两板间距越大，加速的时间就越长，则获得的速率越大 B．两板间距越小，加速度就越大，则获得的速率越大 C．与两板间的距离无关，仅与加速电压U有关 D．以上解释都不正确 5．如图所示，图中K、L、M为静电场中的3个相距较近的等势面．一带电粒子射入此静电场中后，沿abcde轨迹运动．已知φK<φL<φM，且粒子在ab段做减速运动．下列判断中正确的是 ( ) A．粒子带负电 B．粒子在a点的加速度大于在b点的加速度 C．粒子在a点与e点的速度大小相等 D．粒子在a点的电势能小于在d点的电势能 6．如图所示，C为中间插有电介质的电容器，a和b为其两极板，a板接地；P和Q为两竖直放置的平行金属板，在两板间用绝缘线悬挂一带电小球；P板与b板用导线相连，Q板接地．开始悬线静止在竖直方向，在b板带电后，悬线偏转了角度α.在以下方法中，能使悬线的偏角α变大的是 ( ) A．缩小a、b间的距离 B．加大a、b间的距离 C．取出a、b两极板间的电介质 D．换一块形状大小相同、介电常数更大的电介质 7．如图所示，O点置一个正点电荷，在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m，带电量为q，小球落下的轨迹如图中的实线所示，它与以O点为圆心、R 为半径的圆(图中虚线表示)相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC＝30°，A距OC的高度为h，若小球通过B点的速度为v，则下列叙述正确的是 ( ) ①小球通过C点的速度大小是2gh； ②小球通过C点的速度大小是v2＋gR； ③小球由A到C电场力做功是mgh－ 1 2 mv2； ④小球由A到C电场力做功是 1 2 mv2＋mg ? ? ?? ? R 2 －h. A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 8．带电粒子以速度v0沿竖直方向垂直进入匀强电场E中，如图所示，经过一段时间后，其速度变为水平方向，大小仍为v0，则一定有( ) A．电场力与重力大小相等 B．粒子运动的水平位移大小等于竖直位移大小 C．电场力所做的功一定等于重力做的功的负值 D．电势能的减小一定等于重力势能的增大 9．(2009·海门模拟)一个质量为m，电荷量为＋q的小球以初速度v0水平抛出，在小球经过的竖直平面内，存在着若干个如图所示的无电场区和有理想上下边界的匀强电场区，两区域相互间隔，竖直高度相等，电场区水平方向无限长．已知每一电场区的场强大小相等，方向均竖直向上，不计空气阻力，下列说法正确的是( ) A．小球在水平方向一直做匀速直线运动 B．若场强大小等于 mg q ，则小球经过每一电场区的时间均相同 C．若场强大小等于 2mg q ，则小球经过每一无电场区的时间均相同 D．无论场强大小如何，小球通过所 有无电场区的时间均相同 10．静电透镜是利用电场使电子束 会聚或发散的一种装置，其中某部分有 静电场的分布如图所示，虚线表示这个 静电场在xOy平面内的一簇等势线，等 势线形状相对于Ox轴、Oy轴对称．等 势线的电势沿x轴正向增加，且相邻两 鑫达捷
电磁场理论习题及答案7.
习题： 1. 在3z m =的平面内，长度0.5l m =的导线沿x 轴方向排列。当该导线以速度 24x y m v e e s =+在磁感应强度22363x y z B e x z e e xz T =+-的磁场中移动时，求 感应电动势。 解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。有 ()in v B dl ε=??? 根据已知条件，得 2233()|(24)(363)|z x y x y z z v B e e e x z e e xz ==?=+?+- 210854(1236)x y z e x e x e x =-++- x dl e dx = 故感应电动势为 0.5 20[10854(1236)]13.5in x y z x e x e x e x e dx V ε=-++-?=-? 2.长度为l 的细导体棒位于xy 平面内，其一端固定在坐标原点。当其在恒定磁场 0z B e B =中以角速度ω旋转时，求导体棒中的感应电动势。 解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即 ()in v b dl ε=??? 根据已知条件，导体棒上任意半径r 处的速度为 v e r ωΦ= r dl e dr = 故感应电动势为 20000 1()()2 l l L in z r v b dl e r e B e dr B rdr B l V εωωωΦ=??=??==??? 3.试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。 解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度E 和磁感应强度B 的
关系，将,,H B D E J E μεσ===代入即可，注意在非均匀媒质中,,μεσ是空间坐标的函数。 考察麦克斯韦第一方程，有 11 ()B H B B μ μμ ??=?? =??+?? 2 1 1 B B μμ μ =- ??+?? D E J J t t ε ??=+=+?? 所以 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? 而 ()D E E E εεερ??=??=??+??=，于是，微分形式的麦克斯韦方程用E 和B 表示为 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? B E t ???=- ? 0B ??= E E εερ??+??= 对于无耗媒质，0σ=，因此有0J =。 4.试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程J t ρ???=-?。 解：对麦克斯韦第一方程D H J t ???=+ ?两边取散度，得
电磁场与电磁波习题及答案
1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+? ,B E t ???=-? ,0B ?= ,D ρ?= 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? S D d s ρ=? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。 6电位满足的泊松方程为 ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。8.电场强度E 的单位是， 电位移D 的单位是 。9．静电场的两个基本方程的微分 形式为 0E ??= ρ?= D ；10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 3.0 0n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H 4.D E ε= ,B H μ= ,J E σ= 5. J t ρ ??=- ? 6.2ρ?ε?=- 12??= 12 12n n εεεε??=?? 7.唯一性定理 8.V/m C/m2 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令 B A =?? 的依据是（c.0B ?= ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ ) l n (0 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性） 分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω= 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-? 其振幅值为：304510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510 .dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。 试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S S d q =?得2 4q D r π= 24D e e r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε= = 五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a 处，其间在x=x0处有一面密度为σ2C/m 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。（20分） 解：()2 102d 00;d x x x ?=<<()22 02d 0 d x x a x ?=<< 得： ()()11100;x C x D x x ?=+<< ()()2220x C x D x x a ?=+< <
电磁场考试试题及参考答案
电磁波考题整理 一、填空题 1.某一矢量场，其旋度处处为零，则这个矢量场可以表示成某一标量函数的（梯度）形式。 2.电流连续性方程的积分形式为（??? s dS j=- dt dq） 3. 两个同性电荷之间的作用力是（相互排斥的）。 4. 单位面积上的电荷多少称为（面电荷密度）。 5.静电场中，导体表面的电场强度的边界条件是：（D1n-D2n=ρs） 6.矢量磁位A和磁感应强度B之间的关系式：（B=▽x A） 7. .E（Z，t）=e x E m sin（wt-kz-）+ e y E m cos（wt-kz+），判断上述均匀平面电磁波的极化方式为：（圆极化）（应该是90％确定） 8. 相速是指均匀平面电磁波在理想介质中的传播速度。 9.根据电磁波在波导中的传播特点，波导具有（HP）滤波器的特点。（HP，LP，BP三选一） 10.根据电与磁的对偶关系，我们可以由电偶极子在远区场的辐射场得到（磁偶极子）在远区产生的辐射场 11.电位移矢量D=ε0E+P在真空中P的值为（0） 12.平板电容器的介质电容率ε越大，电容量越大。 13.恒定电容不会随时间（变化而变化） 14.恒定电场中沿电源电场强度方向的闭合曲线积分在数值上等于电源的（电动势） 15. 电源外媒质中电场强度的旋度为0。 16.在给定参考点的情况下，库伦规范保证了矢量磁位的（散度为零） 17.在各向同性媚质中，磁场的辅助方程为(D=εE, B=μH, J=σE) 18.平面电磁波在空间任一点的电场强度和磁场强度都是距离和时间的函数。 19. 时变电磁场的频率越高，集肤效应越明显。
20. 反映电磁场中能量守恒与转换规律的定理是坡印廷定理。 二、名词解释 1. 矢量：既存在大小又有方向特性的量 2.反射系数：分界面上反射波电场强度与入射波电场强度之比 3. TEM波：电场强度矢量和磁场强度矢量均与传播方向垂直的均匀平面电磁波 4.无散场：散度为零的电磁场,即·=0。 5.电位参考点：一般选取一个固定点，规定其电位为零，称这一固定点为参考点。当取点为参考点时，P点处的电位为=；当电荷分布在有限的区域时，选取无穷远处为参考点较为方便，此时=。 6.线电流：由分布在一条细线上的电荷定向移动而产生的电流。 7.磁偶极子：磁偶极子是类比电偶极子而建立的物理模型。具有等值异号的两个点磁荷构成的系统称为磁偶极子场。磁偶极子受到力矩的作用会发生转动，只有当力矩为零时，磁偶极子才会处于平衡状态。利用这个道理，可以进行磁场的测量。但由于没有发现单独存在的磁单极子，故我们将一个载有电流的圆形回路作为磁偶极子的模型。 8. 电磁波的波长：空间相位变化所经过的距离称为波长，以表示。按此定义有，所以。 9. 极化强度描述介质极化后形成的每单位体积内的电偶极矩。 10. 坡印廷定理电磁场的能量转化和守恒定律称为坡印廷定理：每秒体积中电磁能量的增加量等于从包围体积的闭合面进入体积功率。 11. 线性均匀且各向同性电介质若煤质参数与场强大小无关，称为线性煤质。若煤质参数与场强方向无关，称为各向同性煤质。若煤质参数与位置无关，责称均匀煤质。若煤质参数与场强频率无关，称为各向同性煤质。 12.安培环路定理在真空中磁感应强度沿任意回路的环量等于真空磁导率乘以与该回路相交链的电流的代数和。 13. 布儒斯特角(P208)
2021年高中物理静电场题经典例题
高中物理静电场练习题 欧阳光明（2021.03.07） 1、如图所示，中央有正对小孔的水平放置的平行板电容器与电源连接，电源电压为U 。将一带电小球从两小孔的正上方P 点处由静止释放，小球恰好能够达到B 板的小孔b 点处，然后又按原路返回。那么，为了使小球能从B 板 的小孔b 处出射，下列可行的办法是（） A. 将A 板上移一段距离 B.将A 板下移一段距离 C.将B 板上移一段距离 D.将B 板下移一段距离 2、如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为匀强电场中一个正六边形的六个顶点，已知A 、B 、C 三点的电势分别为1V 、6V D 、E 、 F 三 点的电势分别为（） A 、+7V 、+2V 和+1V B 、+7V 、+2V 和1V C 、-7V 、-2V 和+1V D 、+7V 、-2V 和1V 3、质量为m 、带电量为-q 的粒子（不计重力），在匀强电场中的A 点以初速度υ0沿垂直与场强 E 的方向射入到电场中，已知粒子到达B 点时的速度大小为2υ0，A 、B 间距为d ，如图所示。 A B a P · m 、q 。 。 U + -
则（1）A 、B 两点间的电势差为（） A 、q m U AB 232υ-= B 、q m U AB 232υ= C 、q m U AB 22υ-= D 、q m U AB 22υ= （2）匀强电场的场强大小和方向（） A 、qd m E 221υ= 方向水平向左 B 、qd m E 221υ=方向水平向右 C 、qd m E 2212υ= 方向水平向左 D 、qd m E 2212υ=方向水平向右 4、一个点电荷从竟电场中的A 点移到电场中的B 点，其电势能变化为零，则（） A 、A 、 B 两点处的场强一定相等 B 、该电荷一定能够沿着某一等势面移动 C 、A 、B 两点的电势一定相等 D 、作用于该电荷上的电场力始终与其运动方向垂直 5、在静电场中（） A.电场强度处处为零的区域内，电势也一定处处为零 B.电场强度处处相等的区域内，电势也一定处处相等 C.电场强度的方向总是跟等势面垂直 D.沿着电场线的方向电势是不断降低的 6、一个初动能为EK 的带电粒子，沿着与电场线垂直的方向射入两平行金属板间的匀强电场中，飞出时该粒子的动能为2EK ，如果粒子射入时的初速度变为原来的2倍，那么当它飞出电场时动能为（） E B ·
电磁场复习题
《电磁场与电磁波基础》复习题 一、 填空题： （第一章）（第二章）（第三章）（第四章）（第五章）（第六章） （第一章） 1、直角坐标系下，微分线元表达式 z e y e x e l z y x d d d d ++= 面积元表达式 2、圆柱坐标系下，微分线元表达式z e e e l z d d d d ++=φρρφρ， 面积元表达式z e l l e S z d d d d d φρρφρρ == z e l l e S z d d d d d ρφρφφ ==φρρφρd d d d d z z z e l l e S == 3、圆柱坐标系中，ρe 、e ? 随变量? 的变化关系分别是φρφ e e =??，ρφφe -e =?? 4、矢量的通量物理含义是 矢量穿过曲面的矢量线的总和； 散度的物理意义是 矢量场中任意一点处通量对体积的变化率； 散度与通量的关系是 散度一个单位体积内通过的通量。 5、散度在直角坐标系 F z F y F x F V S d F F div Z Y X S V ??=??+??+??=??=?→?0lim 散度在圆柱坐标系 z F F F F div Z ??+??+??=φρρρρφρ1)(1 6、矢量微分算符（哈密顿算符）?在直角坐标系的表达式为 z z y y x x e e e ??+??+??=? 圆柱坐标系 z e z ??+??+??=? φρρφρe e 球坐标系分别 ? θθφθ??+??+??=?sin e e r e r r r 7、高斯散度定理数学表达式 ???=??V s S d F dV F ，本课程主要应用的两个方面分别是 静电场的散度 、 恒定磁场的散度 ；
电磁场理论习题及答案1
一． 1.对于矢量A u v，若A u v＝ e u u v x A＋y e u u v y A＋z e u u v z A， x 则： e u u v?x e u u v＝；z e u u v?z e u u v＝； y e u u v?x e u u v＝；x e u u v?x e u u v＝ z 2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A u v，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（）
7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 一、填空 1.方程▽2φ=0称为静电场的（拉普拉斯（微分））方程 2.在静电平衡条件下，导体内部的电场强度E 为（0） 3.线性导电媒质是指电导率不随（空间位置）变化而变化 4.局外电场是由（局外力）做功产生的电场 5.电感线圈中的磁场能量与电流的平方（成正比） 6.均匀平面电磁波中，E 和I 均与波的传播方向（垂直） 7.良导体的衰减常数α≈（β≈2 ωμγ） 8.真空中，恒定磁场安培环路定理的微分形式（▽x B=0μJ ） 9.在库伦规范和无穷远参考点前提下，面电流分布的矢量的磁位公式 （A=?R Idl 40πμ）公式3-43 10.在导体中，电场力移动电荷所做的功转化为（热能） 11. 在静电平衡条件下，由导体中E=0，可以得出导体内部电位的梯度为（0 ）（p4页） 12.电源以外的恒定电场中，电位函数满足的偏微分方程为----- （p26 页） 13.在无源自由空间中，阿拉贝尔方程可简化为----------波动方程。 瞬时值矢量齐次 （p145页） 14.定义位移电流密度的微分表达式为------------ t ??D =0εt ??E +t P ?? （p123页） 15.设电场强度E=4，则0 P12页 16.在单位时间内，电磁场通过导体表面流入导体内部的能量等于导线电阻消耗的（热能） 17.某一矢量场，其旋度处处为零，则这个矢量场可以表示成某一标量函数的（梯度） 18.电流连续性方程的积分形式为（???s dS j =-dt dq ） 19.两个同性电荷之间的作用力是（相互排斥的） 20.单位面积上的电荷多少称为（面电荷密度） 21.静电场中，导体表面的电场强度的边界条件是：（D1n-D2n=ρs ） 22.矢量磁位A 和磁感应强度B 之间的关系式：（ =▽ x ） 23.E （Z ，t ）=e x E m sin （wt-kz-）+ e y E m cos （wt-kz+），判断上述均匀平面电磁波的极化方式为：（圆极化）（应该是 90％确定） 24.相速是指 均匀平面电磁波在理想介质中的传播速度。 一 习题答案（第二章） 2.4 由E =-?? 已知?=+2ax b 得2E a =-??=- x ax 根据高斯定理：0 .E ?= ρ ε得 电荷密度为： 00.E ==? -2a ρεε 2.6 取直角坐标系如图所示，设圆盘位于xoy 平面，圆盘中心与坐标原点重合 方法1： 由 ' 04s s ds R ρ?=πε? 在球坐标系求电位值，取带点坐标表示源区最新电磁场试题及答案
电磁场课后习题答案