最新考研数学复习高等数学第七章无穷级数汇总

2013考研数学复习高等数学第七章无穷级

数

第七章 无穷级数【数学1要求，3傅里叶系数之前内容要求】

2013考试内容

常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶（Fourier ）系数与傅里叶级数 狄利克雷（Dirichlet ）定理 函数在[－l ，l]上的傅里叶级数 函数在[0，l]上的正弦级数和余弦级数

2013考试要求

1. 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要

条件。

2. 掌握几何级数与p 级数的收敛与发散的条件。

3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

6. 了觖函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7. 理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求

一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10. 掌握,sin ,cos ,ln(1)(1)x e x x x x α++及的麦克劳林（Maclaurin ）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数

与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

一、三基层面及其拓展

1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞

→∞

==∑存在，称级数收敛。

2. 级数的本质：级数就是限项求和，记为121

n n n u u u u ∞

==++

++

∑，虽然在形式上是用加

法依次连成，但在意义上与有限项求和形式121

m

n m n u u u u ==++

+∑完全不同。

从有限到无限发生了本质的变化，如级数一般不满足结合律（可任意加括号）和交换律（可任意变换相加顺序），只有当级数收敛时才满足结合律，当级数绝对数收敛时才满足交

换律。所以，无穷级数不能看成是有限项相加，121

n n n u u u u ∞

==++

++

∑只是形式上的记

号而已。

无穷级数的特征就是收敛性，收敛性的定义就是部分和极限存在，只有在收敛时，才能讨论无穷级数的性质。研考数学需要掌握的级数对象分为三类：常数项级数（正项、负项、交错和任意项），函数项级数（只要求掌握幂级数），傅里叶级数。研究常数项级数首先是研究正项级数（又称不变号级数，因为正项级数的全部收敛性质也代表负项级数）分为收敛和发散两种；任意项级数（又称变号级数，包含交错级数）如分为绝对收敛与发散，条件收敛与发散两组，若任意项级数1

n n u ∞

=∑收敛，1

n n u ∞

=∑发散，则称1

n n u ∞

=∑条件收敛，若

1

n

n u

∞

=∑收敛，则称级数1

n n u ∞

=∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。任意项级数（如

2

1n

n ∞

=-

）加上绝对值后就是正项级数，交错级数（如1n

n ∞

=-例，故判别它们的收敛性，就必须首先考虑其绝对收敛性，这时，所有正项级数的判敛法都能使用。如果任意项级数不绝对收敛，原级数不一定发散，需要用其他方法判别，如对交错级数使用莱布尼茨定理判敛。而其它不绝对收敛的任意项级数类型一般使用拆项法或定义法，更复杂的类型不是考研数学的大纲范畴，。级数收敛时，去掉有限个项不影响其收敛性，如去掉奇次项或偶次项（无限次），则会影响收敛性，如1

(1)n

n a n

=-，则n a ∑收，2n

a

∑发，。

3. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞

=

这是因为部分和 1

1

lim n n k n k n k k S u S u S ∞

→∞

===?==∑∑

1

1

1

1

1lim lim lim 0

n n k k k n n k k k n n k k k u u u S S u S S S S --==-→∞

→∞

→∞

?=-=-?=-=-=∑∑

4．若有两个级数1

n n u ∞=∑和1

n n v ∞=∑，1

1

,n n n n u s v σ∞∞

====∑∑

则 ①1()n n n u v s σ∞

=±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞==????

?=? ? ?????

∑∑。

②1

n n u ∞=∑收敛，1

n n v ∞=∑发散，则1

()n n n u v ∞

=+∑发散。

③若二者都发散，则1

()n n n u v ∞=+∑不确定，如()1

1

1, 1k k ∞∞==-∑∑发散，而()1

110k ∞

=-=∑收敛。

【例1】已知级数()

1

211

1

1

12, 5, n n n n n n n a a a ∞

∞∞

--===-==∑∑∑求。

解：

()()1

21211111

=12558n n n n n n n n n a a a a ∞

∞∞

∞---====??---+=--+=????∑∑∑∑

5．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数：

a)

b) P 级数：

c) 对数级数：6．斯特定公式：

【例2】 12!lim lim

n

n

n n

n

n n

n n n n e n e

e e n n θ-→∞→∞

?==→+∞ 7．下面三个重要结论及其证明方法具有代表性，请读者反复历练。

证明：

()()()()()()11021321

1210

1001

()()lim lim lim n

n

n i n n n n n n

n n n n n n n n a

a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a -=---∞

-→∞

→∞

→∞

=-=-+--+

+-+-=--?-=-???

∑

∑ 收敛

结论。 证明：

221

1

lim 0 1 n n

n n

n n n n n a a

a a

a a ∞

∞

→∞

==?=?

证明：

()()2

22222

1111

11

102

1211

, n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b b a n n n n ∞∞∞∞

====∞∞

==≤≤

+?+?=?=?∑∑∑∑∑∑和收收收令收令收

【例3】设0n a >，{}n a 单调递减，()11n

n n a ∞

=-∑发散，试证明：111n

n n a ∞

=?? ?+??

∑收敛。

证明：因为0n a >，{}n a 单调递减，则lim n n a →∞

必存在，设lim n n a A →∞

=，

由于()1

1n

n n a ∞

=-∑发散，可推出0

lim 00n a n n a A A >→∞

=≠???

→>（否则，由莱布尼茨定理判定()

1

1n

n n a ∞

=-∑必收敛。）

又， {}lim 0, 0,n n n n a A a N n N a A →∞

=>??>>>单调递减使当时，有，

()()1111

0111

111n

n

n n

n

n n n a A a A ∞

∞

==???<< ?++??

??? ?++??

∑∑为正项级数并收敛收敛

【例4】 设1111

2, ()2n n n a a a a +==+ 证明： ①lim n n a →∞? ②11

(1)n n n a a ∞

=+-∑收

证明：① 如lim n n a →∞? 则 11

()12a a a a

=+?=

有界性： 而211111

1()1(1)0122n n n n n n

a a a a a a ++-=+-=

-≥?≥ 即{}n a 有下界1； 单调性： 21111

()(1)022n n n n n n n

a a a a a a a +-=+-=

-≤ 故{}n a 单调不增 由单调有界性定理lim n n a →∞

?? 且lim 1n n a →∞

=

②由于1111

11n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-≥?

-=≤- 根据重要结论1： 11

lim ()n n n n n a a a ∞

-→∞

=??-∑ 收敛，

由比较法知 111

11(

1)n n n n n n n a a a

a a ∞

∞

+=-++--=∑∑收敛。 【例5】设1

n n b ∞

=∑收敛正项，11

()n n n a a ∞

+=-∑收敛，试讨论1

n n n a b ∞

=∑的敛散性。

解： 不知道1

n n a ∞

=∑是正项还是正负相间的交错级数？或是正负任意项级数，所以应首

先讨论其绝对收敛性。

因为11()n n n a a ∞

+=-∑收敛，根据重要结论1： lim n n a →∞

?，则n a 有界，不妨设n a M ≤

则n n n a b Mb ≤ 1

(0)n n n n b a b ∞

=≥?∑绝对收敛。

8．常用收敛快慢

正整数

由慢到快

连续型由慢到快

例如根据上面的规律可以快速判断 lim 0n

n n a n

→∞=等等。

二、正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧

1.

11,lim

1,lim 0)

1,n n n n n

n l u l l u l μμ+→∞→+∞

?

=>≠??=??收

发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）

2. 1,1,1,n n l l l n l μ

=>??=?

收发（当为某次方时）单独讨论

3.

① 代数式 1

1

1

1

n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞

====≤???∑∑∑∑收敛收敛，发散发散

② 极限式 lim n

n n

u A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞

=∑都是正项级数。

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

? 0 ? 0 ? n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞∞∞∞

====∞∞

==∞

∞

∞

∞

=====→→

?≠→→=?=∞?→

是的同阶无穷小和敛散性相同。

是的高阶无穷小收敛收敛，

发散发散。

大收小收，小发大发，同阶同敛散。只有大收小发情形下，比较法才可判

敛。

●

判别正项级数收敛的一般思路：先看lim 0n n u →∞

=是否成立，如不成立，则发散，如收敛，

则根据级数通项的特点考虑比值法或根值法，如果比值法或根值法的极限不易求出或等于1，则使用比较法或其极限形式。

● 比阶法的极限形式是核心方法，必须熟谙陈氏第17技，否则读者在做题时会糊涂。比较法中最常用的技巧是找到合适的基准级数，主要技巧有3≥

● 凡是由达朗贝尔比值法给出的收敛性结论，由柯西根值法必可以给出相同的结论；反之却不一定。

【例6】讨论级数()

1

212n

n

n ∞

=+-∑的收敛性。 解：根据达朗贝尔比值法，有

()

()

()()1

1

1

212121

lim

lim 222121n n n n

n

n n n +++→∞→∞+-+-??

=+-+-极限不存在，无法判断收敛性； 根据柯西根值法，有

()

()1

1

2111lim lim 21, 222n

n

n n

n n n →∞→∞??+-???=+-=???????

?原级数收敛。 【例7】R θ∈，试讨论级数的敛散性1

cos n n n θ

∞

=∑。

解：

()()111111cos cos 1 cos cos 1lim cos cos 12 1cos 1cos cos 121 n n n n n n n n n n n n k n n k n n n k n n θ

θθπθθθθθπθθθθπ∞=+∞∞→∞==∞∞

==?<→≠??

??

?===→==?+?

?-?=-→=+=??

∑∑∑∑∑时，

绝对收敛；时，发散；时，条件收敛

【例8】判别（1）5

1

4

ln n n n

∞

=∑

和（2）11cos n n λ∞

=?

?- ??

?∑ 的敛散性。

解：(1) 5

1

4

ln n n n

∞

=∑

54

1544

1ln ln ln 1

lim lim 0< 11

n n n n

n n n n n n n n

→∞→∞∞

===?∑而发散，

根据只有大收小发才可判敛的原则，无法判断51

4

ln n n n

∞

=∑

的敛散性； 显然，要想办法让比较极

限为零。

故我们另选参考级数

54

1598489

8918

ln ln ln 1

lim lim 0< 11

n n n n

n n n n n n n n

→∞→∞

∞

===?∑而收敛，

根据大收小收，小发大发 ， 54

ln lim

n n n

→∞

得收敛。

(2)对 11cos n n λ∞

=?

?- ???∑选比较基准级数211n n

∞

=∑

2

2

222

12

1cos

2lim lim 112

01cos 000

2

n n n n n n n n λλλλλλλ→∞→∞∞

=-==?

?=?-= ??

?≠?

≠∑

故原级数收敛。

很容易确定。

如级数32

1122

1~~111n n n n u n n n n ∞

=++?

??==+ ?---??

，可直接选用基准

级数3

1

2

1n n

∞

=∑

就可知原级数收敛。

又如级数113220

012

210113n n n n dx u dx x x n ∞

=?≤=≤=?++∑??，也可选用基准级数312

1n n ∞

=∑就可知原级数收敛。

【例9】判别级数111

[ln(1)]n n

n ∞

=-+∑的敛散性

解 方法一：试探比阶法

12000111ln(1)11ln(1)11lim lim lim lim 1(1)()

k k k n x x x k x x n n x x n x kx kx x n

--→∞→→→-+-

-++===+ 2k ?= 上述极限=1

2

，故原级数收敛。

方法二：泰勒展开法

22222222211211111111ln(1)22111112lim 1 1222n n n n u o o n n n n n n n n o n n o n n n n

∞∞

→∞==??????=

-+=-++=+ ? ???????

????+ ?????????=?+ ????????

???∑∑因为与敛散性相同。

由比阶法知故原级数收敛。

三、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧

●

①lim 0n n u →∞

= ②1n n u u +≥?0

(1)n n n u ∞

=-∑收敛。这是一个必要条件，如果①不满足，则0

(1)

n

n n u ∞

=-∑必发散，若只有②不满足，则不一定

收敛还是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。

● 任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散。 ● 任意项级数判敛的两个重要技巧：

()a 微分积分法。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。

()b k 阶无穷小试探法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法，

见【例10】判别级数()1

1

(0 n

n a a ∞

=>∑的敛散性。

【例10】设()f x 在[)0, +∞上单调增加有界，求证：()()11n

n n f n f x dx ∞

-=??-???

?∑?收敛。

证明：

()()()()()()()()

()()()()

()()()()

1

1

1

1

, 11101 10n

n n n n n n

n k f x dx f n n

f n f f n f n f x dx f n f n f x dx f n f n S f k f k f n f ξξξ---==-≤≤?-≤≤?-≤≤?≤-≤--=--=-???????

∑根据积分中值定理：又：部分和

又题知()f x 在[)0, +∞上单调增加有界，故()lim n f n →∞

存在，则()()1

1n f n f n ∞

=--????∑收敛，

由正项级数的比较法知：()()11n

n n f n f x dx ∞

-=??-???

?∑?收敛。

【例11】设()f x 在（0，1）内可导，且导数()f x '有界，证明：

（1）11

11[(

)()]22n n n f f ∞

+=-∑绝对收敛 （2）1

lim ()2n

n f →∞?

证明：（1）'()f x 有界，则?常数M>0'()f x M ?≤ 由拉格朗日中值定理有 '

111

11111(

)()()22222n n n n n f f f M ε+++-=-≤ 由比较法知 11

11

[(

)()]22

n n n f f ∞

+=-∑绝对收敛。 （2）证 111

1111

[()()]()()2222n

n i i n i s f f f f ++==-=-∑

0lim n n s →? 而1

()2

f 为常数。故1lim ()2n n f →∞?

【例12

】设1

0,(1)n

n λ∞

=≠-∑的收敛性

解： n →∞ n 比ln n

0→，由莱布尼茨判据知原级数收敛。

>（n 很大时）

1n

=

，故 即原级数条件收敛。

【例13

】讨论(1sin n π∞

=∑的敛散性

解：

((

)()

(

))

(

)(

)

()

2

2

2

sin 1sin 1sin 1~1~1n

n

n n

n

n n n

ππ

πλ=-=-=---

故，原级数条件收敛。

【例14

】判别级数()11(0 n

n a a ∞

=>∑的敛散性

解：令

1

x n

=

，考察x a 0x +→时是x 是几阶无穷小？先用k 阶试探，则：

1

2

1

002

1

1ln;1

ln(1)

2

2

lim lim

11

[(ln)];2

24

x

x

k k

x x

a k

a a x

a

I

x kx

a k

++

-

-

→→

?

-=

-+?

?

===?

?+=

??

当。

当。

当1

k=时，由于

1

x

n

=，此时比较基准为发散级数

1

1

n

n

∞

=

∑；

当2

k=时，由于

1

x

n

=，此时比较基准为收敛级数

2

1

1

n

n

∞

=

∑；

根据大收小收，小发大发，同阶同敛散原则，判断如下：

?当

1

ln

2

a=时

1）取1

k=

1

ln0

2

I a

=-=

，无法判断敛散性

n

；

2）取2

k=，2

111

[(ln)]

244

I a

=+=，则原级数

2

11

4n

?，故收敛；

?当

1

ln

2

a≠时

1）取1

k=，

1

ln0

2

I a

=-≠，显见原级数收敛性与

1

n

∑敛散性相同，故发散；

2）取2

k=，虽然2

11

[(ln)]0

24

I a

=+≠，但极限不唯一，无法判断。

综上所述，

1

ln

2

a=原级数收敛

1

ln

2

a≠原级数发散

【例15】

1

11

sin

ln(2)

n

n n

∞

=

+

∑的敛散性

解：利用第三个比较基准，容易得到：

11

sin

ln(2)

1

1

ln

n n

n n

+

=故原级数发散。

【例16】设()

f x在0

x=的某一邻域内具有不为零的二阶连续导数，且

()

lim0

x

f x

x

→

=，证明1

1

()

n

f

n

∞

=

∑绝对收敛。

证明（一）：

00()

lim 0(0)lim ()0x x f x f f x x

→→=?==

'0()(0)

(0)lim 00

x f x f f x →-==-

'''2''211

()(0)(0)()()22

f x f f x f x f x ξξ=++=

而''()f x 在x=0某邻域内连续，则0M ?>，在某一小邻域内''()f x M ≤

211

()()2M f n n

≤ 收，故原命题成立

证明（二）：

'''

2000()()()1lim lim

lim (0)222

x x x f x f x f x f x x →→→''=== 令

1

x n

=代入上式即得结论。 【例17】 11

(3)(1)(32)n n

n n n

n n u n ∞

∞

==-=-+∑∑的敛散性。 解 312(32)[1()]3

n n n n

n u n n ==++ 命()(1)x

f x b x =+ 23b = '()1(1ln )1x x f x b x b →+∞

=++???

→，故'()f x >0，1

2[1()]

3

n n n

u =+单调减少； 由莱布尼茨定理知 1

(3)(32)n

n n n

n ∞

=-+∑收敛。 又：1

2n u n

>

，1n ∑发，故n u ∑发

∴原级数条件收敛。

【例18】 1

(2)[2(1)]n

n n

n n ∞

=-+-∑的敛散性 解： (1)n

n u -∑形式中，命211

1[2(1)]2[1()]2

n n n n n u n n

n ==>+-+-发，绝对不收敛；

显然n u 不单调减少，莱布尼茨判剧失效。

但 lim 0n n u →∞

= 原级数不一定发散

折项法 (1)1

[2(1)]n n n n u n n

-=-+- (1)n

n -∑收，11[2(1)]21n n n n <+--，而11

121lim

112

21

n n n

+→∞-=<-，收 故原级数条件收敛。

【例19】 已知 lim 0n n nu →∞

=，1(1)()n n n u u ++-∑收，证明：n u ∑收

证明：用定义法证明之：

设1(1)()n n n u u ++-∑部分和为n s ，则

21321121

11

2()3()(1)()

2(1)(1)n n n n n n n s u u u u n u u u u u n u u s n u +++=-+-+++-=---

-++=--++

n →∞时， 1lim 0lim(1)0n n n n nu n u +→∞

→∞

=?+=

11

lim 2

n n s u →∞=- ， 由级数收敛定义知n u ∑收敛

【例20】 判别下列命题的正误 （1）1n n a ∞

=∑发（n a >0）1

n a n

?≥

()n N ≥ (2) 2121()n n n a a ∞

-=+∑收 1

n n a ∞

=?∑收

(3) 1

n n a ∞

=∑收 21

n n a ∞

=?∑收

(4) lim

0n

n n

u l v →∞=≠ 则n u ∑和n v ∑有相同的敛散性 (5) 1

1

,n n n n a b ∞

∞

==∑∑至少一个发，则()n n a b +∑发

(6) n n a b ∑收22,n n a b ?∑∑均收

(7) 若n a ∑为正项级数，

1

1n n n

a a a +

=

-； （2）错误。如反例：()1n

n a =-； （3）错误。如反例：()

11n

n a n

=-； （4）错误。因为只对不变号级数才成立，否则极限可能不唯一，无法判断，见【例10】； （5）正确，反证如下：

因为 , n n n n n n a a b b a b ≤+≤+

() n n n n a b a b +?∑∑∑如收敛和都收敛，与条件矛盾。

（6）错误，如反例：21

, 1n n a b n =

=； （7）错误，如反例：1

n a n

=；

（8）正确，证明如下：

因为 0n n n n u w v w <-<-，而：,n n w v ∑∑收敛()(),n n n n u w v w ?--∑∑都收敛， 但 ()n n n n n u u w w u =-+?∑收敛收敛。

【例21】设级数1n n u ∞

=∑收敛，下列必收敛的级数是（ ）。

（A ）()11n

n

n u n ∞

=-∑ （B ） 21

n n u ∞

=∑

（C ）()21

n n n u u ∞

=-∑ （D ） ()11

n n n u u ∞

+=+∑

解： （A ）取()1ln n

n

u n

-=

，则命题错误；

（B ）取

1n

n

u -=

（C ）取

1n

n

u -=

（D ）()1122334111

n n n n n n n u u u u u u u u u u u u ∞

+-+=+=++++++

+++++

∑，

112

22n n u u u S ∞

==+=+∑，收敛， 则命题正确。

【例22】设级数1

0n n na ∞==∑，且()11

n n n n a a ∞-=-∑收敛，则级数1

n n a ∞

=∑（ ）。

（A ）收敛 （B ） 发散

（C ）不定 （D ） 与n a 有关 解：取()11k

k n n n S n a a -==-∑

()()()()()

()1021324310111011

01

1

234 k k k k k

k k k k

k

k k

k k

k k n n S a a a a a a a a k a a a a a a ka a S ka S

S

a S

S

a a S

--→∞

*-→∞

***-==?=-+-+-+-++-=--++

++=--+???→=???→===--∑∑，

则命题（A ）正确。

【例23】设函数()f x 在(), -∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）。 ()A 若{}n x 收敛，则(){}n f x 收敛。 ()B 若{}n x 单调，则(){}n f x 收敛。 ()C 若(){}n f x 收敛，则{}n x 收敛。 ()D 若(){}n f x 单调，则{}n x 收敛。 解： 因为()f x 在(), -∞+∞内单调有界，如{}n x 单调，则(){}n f x 单调有界，故(){}n f x 收敛。

()B 正确。

【例24】举例说明： 1）级数条件收敛?结合性成立，交换性不一定成立，如级数不收敛，

则结合性和交换性都不一定成立。

2）级数绝对收敛?结合性成立，交换性也成立。 解：1）如 11(1)n n ∞

+=-∑发散，

而 1

(11)(11)(11)0n n n

n ∞

=--+-++-+

==∑

，故收 ()

()1

1

1

1

(1-1+1)-(1-1+1)+

+

11n n n n n n n n ∞

∞++==-+=-=-∑∑ 结果可能为1或零，故发散。 2）又如1

1

1(1)

n n n ∞

+=-∑条件收敛，11

1lim (1)n n n n s s n ∞

+→∞===-∑

但交换位置后 11111

111

(1)()(

)24368

21424n n n

--+--+

+--+--

()'

11111111111

()()

2142421

2214111111 ()(1)221222

n

n n n n n n k n s n n n n n n s s n n n ∞

∞

==∞

+===--=------=

-=-=≠-∑∑∑∑

故交换律不成立。

四、幂级数 00

()n n n a x x ∞

=-∑

1．阿贝尔（Abel ）定理

如果级数0n

n n a x ∞

=∑当20001 0, =00n n x x x x a x ∞

=??

=≠?= ???

∑因为显然收敛点收敛，则级数在圆

域0x x <内绝对收敛；如果级数0

n n n a x ∞=∑当1 x x =点发散，则级数在圆域1x x >外发散。由

阿贝尔（Abel ）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除()00 0x x x =≠外，该定理并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好幂级数的关键。如

推论：如果0n n n a x ∞

=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个

确定的正数R 存在，使得：

1

n n n x R x R x R x R R a x ∞

=<

>==-∑当 时，幂级数绝对收敛；当 时，幂级数发散；

当 与时，幂级数可能收敛，也可能发散，我们称为的收敛半径。

如果所给级数为()()0

0n

n n a x a a ∞

=-≠∑在()00 x x x a =≠点收敛，则相当于0n n n a t ∞

=∑在1t x a =-处收敛，显然0

n n n a t ∞

=∑的收敛半径0R x a ≥-。如果所给级数为()()0

0n

n n a x a a ∞

=-≠∑在

()01 x x x a =≠点发散，则相当于0

n

n n a t ∞=∑在1t x a =-处发散，显然0

n n n a t ∞

=∑的收敛半径

1R x a ≤-。

2．幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域 已知00()n n n a x x ∞

=-∑

，若1

lim

n n n n

a a ρρ+→∞

==或；则根据比值判敛法有：

1000+1

1

lim

1=lim n n n n n n a a x x x x x x R a a ρρ+→∞

→∞-=-

●收敛半径R ：11lim , 000, n

n n a a R R R x ρρρρ→∞+?=≠???

==+∞???=?==+∞???

全平面收敛, =0只有一个收敛点。

●收敛区间()00, x R x R -+：级数在()000, x x R x x R x R -

()n

n n a x x ∞

=-∑至少在0x x =处收敛，对0

n n n a x ∞

=∑至少在0x =处收敛。由阿

贝尔定理可以推出：幂级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点。

●收敛域：由于级数在收敛区间的端点上（收敛半径R 上）收敛性待定，故收敛域是

()00, x R x R -+、[)00, x R x R -+、(]00, x R x R -+或[]00, x R x R -+四种情况之一。

3．在收敛区域内的性质

(1) 0n n n a x ∞

=∑的和函数()f x 连续并有任意阶导数；

(2) 0n ∞=∑可逐项微分 10

1

'()()n

n n n n n f x a x na x ∞∞

-=='==∑∑

(3) 0n ∞

=∑可逐项积分 1

0()()1

x

x

n

n n n n n a f x dx a x dx x n ∞

∞

+====+∑∑

??

(4) 0

n n n a x ∞

=∑绝对收敛。

4．利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幂级数－泰勒级数

展开的充要条件是泰勒公式中余项（包括拉氏余项，佩亚若余项）为零。以下是几个常用的麦克劳林展开结论。

①011n n u u ∞

==-∑ (1,1)u ∈- ②0

1(1)1n n n u u ∞

==-+∑ (1,1)u ∈- ③0!

n

u

n u e n ∞

==∑ (,)u ∈-∞+∞

④21

sin (1)(21)!n n

n u u n +∞

==-+∑ (,)u ∈-∞+∞

⑤21

cos (1)(2)!n n

n u u n +∞

==-∑ (,)u ∈-∞+∞

⑥1

1

1

1

(1)ln(1)(1)

ln 2n n n n n u u n n -∞

∞

-==-+=-?=∑∑ (1,1]u ∈- ⑦0

(1)(1)

(1)!

n

n

n n n n u u C u n α

αααα∞

∞

==-???-++==∑

∑ (1,1)u ∈- ⑧21301

tan 21

3n n u u u u n +∞

===+++∑

… ⑨2130

(1)1

arctan 213n n n u u u u n +∞

=-==-++∑

… [1,1]u ∈-

5. 幂级数求和方法 ● 函数项级数求和方法

一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组装 ● 数项级数求和方法

构造辅助幂级数法。

【例25】已知级数()

1n

n x a n

∞

=-∑

在2x =收敛，试确定a 的取值范围。

解：()

1

n

n x a n

∞

=-∑

的收敛半径为：1

lim 11

1

n n R n →∞==+

()

1

2111 1 12113n

n x x a a x a n a a a ∞

==?

?

-?-

?

??

?

????→-≤<+?<≤∑

收敛收敛域为：收敛，故左边取等号

【例26】设幂级数()

()01ln 2n

n x a n ∞

=-+∑在12x =-条件收敛，证明：幂级数()()2

012n n x a n ∞

=-+∑在21

4

x =

发散。 解： 显然两个级数有相同的收敛半径1R =。且收敛区间的中点相同，都为0x a =。 因为()

()01ln 2n

n x a n ∞

=-+∑

在12x =-条件收敛，根据阿贝尔定理：绝对收敛区间为

2131a a --

()()()()

201112, 01

3314, 22n n a x x x a a x x n ∞

=?=-→+<→∈-?-??=-→?+<→∈--+??∑ 而214x =不在收敛域内，故幂级数()

()2012n

n x a n ∞

=-+∑在214x =发散。 【例27】设幂级数()0

1n

n n a x ∞

=+∑在2x =-时条件收敛，则在2x =处的收敛性如何？

解：()0

1n

n n a x ∞

=+∑在2x =-时条件收敛，相当于0

n n n a t ∞

=∑在1t =-条件收敛，

又由阿贝尔定理知：对应的级数0

n n n a t ∞

=∑的收敛半径为1

1

lim

1n

n n a R a ρ

→∞+=

==，

而()0

1n

n n a x ∞

=+∑的收敛半径与0

n n n a t ∞

=∑相等，故 收敛区间为 1120x x +

2x =不在收敛区间内，故发散。

高等数学考研知识点总结

高等数学考研知识点总结 一、考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5、理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7、掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。1

1、掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。 二、内容提要 1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系、（2）复合函数: y=f(u), u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域、（3）分段函数: 注意，为分段函数、（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性* 注： 1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。特别：若为偶函数且存在，则 2、若为偶函数，则为奇函数；若为奇函数，则为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设以为周期且存在，则。 4、若f(x+T)=f(x), 且，则仍为以T为周期的周期函数、 5、设是以为周期的连续函数，则， 6、若为奇函数，则；若为偶函数，则 7、设在内连续且存在，则在内有界。 2、极限 (1) 数列的极限： (2) 函数在一点的极限的定义： (3)

考研数学公式大全(考研同学必备)

考研数学公式(全) ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边,

·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A

考研数学知识点总结

考研数学考点与题型归类分析总结 1高数部分 1.1高数第一章《函数、极限、连续》 求极限题最常用的解题方向： 1.利用等价无穷小； 2.利用洛必达法则 型和 ∞ ∞ 型直接用洛必达法则 ∞ 0、0∞、∞1型先转化为 型或 ∞ ∞ 型，再使用洛比达法则； 3.利用重要极限，包括1 sin lim = → x x x 、e x x x = + → 1 ) 1( lim、e x x x = + ∞ → ) 1(1 lim； 4.夹逼定理。 1.2高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》 第三章《不定积分》提醒：不定积分?+ =C x F dx x f) ( ) (中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样加深印象：定积分?dx x f) (的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是?+ =C x F dx x f) ( ) (中的那个C,漏掉了C也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章： 对于?-a a dx x f) (型定积分，若f(x)是奇函数则有?-a a dx x f) (=0； 若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f) (=2?a dx x f ) (； 对于?20)( π dx x f型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t- = 2 π 的代换是常用方法。 所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质0 = ?-a a奇函数、? ?= - a a a0 2偶函数 偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1.3高数第五章《中值定理的证明技巧》 用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式A?E、(A B)?C、(C D E)?F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D，求证F。 为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。 正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的A?E就可能有A?H、A?(I K)、(A B) ?M等等公式同时存在，

考研数学知识点总结(不看后悔)

考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板函数 极限数列的极限特殊——函数的极限一般 极限的本质是通过已知某一个量自变量的变化趋势去研究和探索另外一个量因变量的变化趋势 由极限可以推得的一些性质局部有界性、局部保号性……应当注意到由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立 在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续函数在某点的极限等于函数在该点的取值 连续的本质自变量无限接近因变量无限接近导数的概念 本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限更简单的说法是变化率 微分的概念函数增量的线性主要部分这个说法有两层意思一、微分是一个线性近似二、这个线性近似带来的误差是足够小的实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它但是当误差不够小时近似的程度就不够好这时就不能说该函数可微分了不定积分导数的逆运算什么样的函数有不定积分 定积分由具体例子引出本质是先分割、再综合其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分然后再综合最后求极限当极限存在时近似成为精确 什么样的函数有定积分 求不定积分定积分的若干典型方法换元、分部分部积分中考虑放到积分号后面的部分不同类型的函数有不同的优先级别按反对幂三指的顺序来记忆 定积分的几何应用和物理应用高等数学里最重要的数学思想方法微元法 微分和导数的应用判断函数的单调性和凹凸性 微分中值定理可从几何意义去加深理解 泰勒定理本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容需要考虑两个问题一、这些多项式的系数如何求二、即使求出了这些多项式的系数如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度即还需要求出误差余项当余项随着项数的增多趋向于零时这种近似的精确度就是足够好的考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板多元函数的微积分将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数 最典型的是二元函数 极限二元函数与一元函数要注意的区别二元函数中两点无限接近的方式有无限多种一元函数只能沿直线接近所以二元函数存在的要求更高即自变量无论以任何方式接近于一定点函数值都要有确定的变化趋势 连续二元函数和一元函数一样同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等导数上册中已经说过导数反映的是函数在某点处的变化率变化情况在二元函数中一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关有可能沿不同方向会有不同的变化率这样引出方向导数的概念 沿坐标轴方向的导数若存?诔浦际?通过研究发现方向导数与偏导数存在一定关系可用偏导数和所选定的方向来表示即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况高阶偏导数若连续则求导次序可交换 微分微分是函数增量的线性主要部分这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小若是则微分存在 仅仅有偏导数存在不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小即偏导数存在不一定有微分存在若偏导数存在且连续则微分一定存在 极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂 极值若函数在一点取极值且在该点导数偏导数存在则此导数偏导数必为零

考研数学高数公式：函数与极限解读

考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限

极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。

2018考研数学：重点整理自己的错题集

2018考研数学：重点整理自己的错题集 2018考研的同学们在复习备考的初期阶段需要准备一个错题本，把自己平时做错的题抄在上面，然后自己解析，逐渐形成自己的复习指导书。下面是在整理错题本时的一些注意要点，希望对考生能够有所帮助。 1.高等数学 极限、导数和不定积分这三个部分是考试中考查的重点，其他部分都是在这三个的基础上进行延伸。 2.线性代数 是初等变换，含有参数的线性方程式解的讨论，还有就是方程的特征值、特征向量，有了他们，线性代数的复习就会很流畅。 3.概率论与数理统计 第一章的概念，其中的条件概念，乘法公式、等三个方面; 第二章是几何分布，这章是该理论的核心，特别是二维联系变量的平均分布密度、条件分布密度，离散型的实际变量的特征和定义; 第三章数据变量的数据特征，主要就是四个概念数学期望、方差、线方差、相关系数。 此外，大家在复习的过程中，应重视自己的错题，因为他们在一定程度上反映出你的知识漏洞。在数学试卷中，客观题部分主要分填空和选择。其中填空6道题，选择8道题，共56分。占据了数学三分之一多的分数。在历年的考试中，这部分题丢分现象比较严重，很多一部分同学在前面的56分可能才得了20多分，如果基本题丢掉30多分，这个时候总分要上去是一件非常不容易的事情。 【填空题】 (1)考查点：填空题比较多的是考查基本运算和基本概念，或者说填空题比较多的是计算。 (2)失分原因：运算的准确率比较差，这种填空题出的计算题题本身不难，方法我们一般同学拿到都知道，但是一算就算错了，结果算错了，填空题只要是答案填错了就只能给0分。 (3)对策：这就要求我们同学平时复习的时候，这种计算题，一些基本的运算题不

考研数学公式大全(免费)

高等数学公式篇·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

考研高等数学常用公式以及函数图像

考研高等数学常用公式及函数图象 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

考研数学公式大全(数三)

导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

考研数学备考：概率论各章节知识点梳理.doc

考研数学备考：概率论各章节知识点梳理考研备考时间已然快要过半，还在为了备考方法焦灼？不用担心！老司机带你上车，下面由我为你精心准备了“考研数学备考：概率论各章节知识点梳理”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！ 考研数学备考：概率论各章节知识点梳理 众所周知，概率论的知识点又多又杂，需要我们系统的归类并掌握，这样才能获得高分。为此我整理了相关内容，希望对大家有所帮助。 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，请各位研友务必重视起来。 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布

其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质 (4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算。 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π

考研数学公式大全(高数概率线代)目前中最全的

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='?-='?='-='='2 22211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='??????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222?? ? ??++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 222222222222222222 222 020ππ

考研数学知识点总结

2 0 19 考研数学三知识点总结 考研数学复习一定要打好基础，对于重要知识点一定要强化练习，深刻巩固。整合了考研数学三在高数、线性代数及概率各部分的核心知识点、考察题型及重要度。 2019考研数学三考前必看核心知识点

知识点口诀，掌握解题技巧 1、函数概念五要素，定义关系最核心

分段函数分段点，左右运算要先行。 变限积分是函数，遇到之后先求导。 奇偶函数常遇到，对称性质不可忘。 单调增加与减少，先算导数正与负。 正反函数连续用，最后只留原变量。 一步不行接力棒，最终处理见分晓。 极限为零无穷 小，乘有限仍无穷小。 幂指函数最复杂，指数对数一起上。 、待定极限七类型，分层处理洛必达。 、数列极限洛必达，必须转化连续型。 、数列极限逢绝境，转化积分见光明。 、无穷大比无穷大，最高阶项除上下。 、 n 项相加先合并，不行估计上下界。 、变量替换第一宝，由繁化简常找它。 、递推数列求极限，单调有界要先证， 两边极限一 起上，方程之中把值找。 、函数为零要论证，介值定理定乾坤。 、切线斜率是导数，法线斜率负倒数。 、可导可微互等价，它们都比连续强。 、有理函数要运算，最简分式要先行。 、高次三角要运算，降次处理先开路。 、导数为零欲论证，罗尔定理负重任。 23 、函数之差化导数，拉氏定理显神通。 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

24、导数函数合（组合）为零，辅助函数用罗尔。 25、寻找En无约束，柯西拉氏先后上。 26、寻找En有约束，两个区间用拉氏。 27、端点、驻点、非导点，函数值中定最值。 28、凸凹切线在上下，凸凹转化在拐点。 29、数字不等式难证，函数不等式先行。 30、第一换元经常用，微分公式要背透。 31、第二换元去根号，规范模式可依靠。 32、分部积分难变易，弄清u、v是关键。 33、变限积分双变量，先求偏导后求导。 34、定积分化重积分，广阔天地有作为。 35、微分方程要规范，变换，求导，函数反。 36、多元复合求偏导，锁链公式不可忘。 37、多元隐函求偏导，交叉偏导加负号。 38、多重积分的计算，累次积分是关键。 39、交换积分的顺序，先要化为重积分。 40、无穷级数不神秘，部分和后求极限。 41、正项级数判别法，比较、比值和根值。 42、幕级数求和有招，公式、等比、列方程。 2019考研数学各科核心考点梳理

考研高数各章重点总结

一、一元函数微分学 求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论; 利用洛比达法则求不定式极限; 讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式; 利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数; 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间; 利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。 二、一元函数积分学 计算题：计算不定积分、定积分及广义积分; 关于变上限积分的题：如求导、求极限等; 有关积分中值定理和积分性质的证明题; 定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等; 综合性试题。 三、函数、极限与连续 求分段函数的复合函数; 求极限或已知极限确定原式中的常数; 讨论函数的连续性，判断间断点的类型; 无穷小阶的比较; 讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。 四、向量代数和空间解析几何

计算题：求向量的数量积，向量积及混合积; 求直线方程，平面方程; 判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角; 建立旋转面的方程; 与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。 五、多元函数的微分学 判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续; 求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数; 求二元、三元函数的方向导数和梯度; 求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习; 多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。 六、多元函数的积分学 二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序; 第一型曲线积分、曲面积分计算; 第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用; 第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用; 梯度、散度、旋度的综合计算; 重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。 七、无穷级数 判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;

考研高数知识总结

考研数学讲座（1） 考好数学的基点“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。 非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。 在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。 在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。 在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。 非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。 大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。 考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。 做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。 按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。 从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。 你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。 阳春三月风光好，抓好基础正当时。 考研数学讲座（2）笔下生花花自红 在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。” 发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。 也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。 考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。 动笔的时间很少。数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。 科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑 如何迈出第一步。 或“依据已知条件，我首先能得到什么？”（分析法）； 或“要证明这个结论，就是要证明什么？”（综合法）。 在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。 “连续函数与不连续函数的和会怎样？” 写成“连续A + 不连续B = ？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。

考研高数：泰勒公式求极限

考研高数：泰勒公式求极限

凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方

面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。

考研数学(一)知识点汇总

1：数列极限 手册P13 1.01：求极限时候，函数中有阶乘且趋近于无穷大，要用级数法，即证明函数是收敛的（可以用根值，比值），故趋近于无穷大为0. 1.02：已知0x lim ()x f x A ->=，则()f x A α=+，0 x lim 0x α->= 1.1：奇+奇=奇，偶+偶=偶， ()==奇偶奇奇，（奇）偶，偶偶偶 1.2：f(x)为周期函数，0x =(t)dt x F f ?（），不一定是周期函数，但是f （x ）如果是奇函数，这个就成立了。且为奇函 数时候。00(t)dt (t)dt x x f f -=?? 1.3：判断函数有无上下界，用绝对值放缩或导数最大最小，文登P3 1.305：奇函数的原函数一定是偶函数。 1.31：()lim ()n f x g x ->∞ =，一般把g （x ）给分段 1.4：证明连续：00->0 lim[f(x +)-f(x )]x x ?? 1.5： 22sin(1)(1)sin[(1)]n n n n ππ+=-+-这个让原本不是交错级数的变成了交错级数。 1.6： xlny=xln （y-1+1),于是等价无穷小于x （y-1）前提是y 趋近于1

1.7：20f(x)-g(x),0....o x 37 式出现可以对二者使用迈克劳林，然后消去相同项，注意不能消去（）文登P 1.8：测试函数： （1）x 大于0,为1，小于0为-1 （有界不收敛） （2）x=sinn ，y=1/n （x 发散，y 收敛，无穷大时xy=0） （3）x （n ）在n 为奇数时为n ，为偶数时为0，y （n ）反过来，xy 都是无界，但是xy=0 1.9：文登P26.1.55 P23.1.49 1.91：证连续就是要证，左值=右值=等于该点值，证可导是左导数等于右导数即可。 1.92：看到导数大于小于0的时候，不仅有递增递减，还可以写出导数的极限表达式，然后利用保号性可以通过极限分式下半部的正负性决定上半部的正负性。注意在x0的左右两个领域内，0x x -正负不一，而决定 0()()f x f x -的正负， 模拟卷1.1 1.93：对于一阶导数的方程，由一阶导数方程的24b ac -<0知道一阶导数恒大于0或者恒小于0，知原函数恒增或恒减 模拟卷1.4 1.94：不连续点求导用极限求 模拟卷3.9 2：收敛数列三性质（唯一性，有界性，保号性）手册P14 3：函数极限 手册P15

考研数学公式大全

高等数学公式篇 ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·倍角公式：si n(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三角函数的有理式积分： 22 2212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 一些初等函数： 两个重要极限： 和差角公式： ·和差化积公式： ·正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理： C ab b a c cos 2222 -+= 反三角函数性质： arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： ) () ()()2()1()(0)()() (!)1()1(!2)1() (n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+ '+==---=-∑ a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arc c os 11 )(arc sin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβ αβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+= -+±=++=+-==+= -= ----11ln 21) 1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1 1(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x