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奇偶性习题(含答案)

奇偶性习题（含答案）

一、单选题

1．若，，且，则函数满足

A．为增函数且为偶函数B．且为偶函数

C．为增函数且为奇函数D．且为奇函数

2．下列函数是偶函数的是

A．B．C．D．

3．函数的图象大致是

A．B．C．

D．

4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ( )

A．B．C．D．

5．下列函数在定义域内是奇函数且单调函数的为

A．B．C．D．

6．下列函数为奇函数的是（）

A．B．C．D．

7．已知函数是奇函数，当时，，则曲线在

处的切线方程为（）

A．B．C．D．

8．函数是（）

A．奇函数，且在上是增函数B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数D．偶函数，且在上是减函数9．已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，

A．B．C．D．

10．设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]都满足f(x)≤t2－2at＋1，则t的取值范围是( )

A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)

C．D．

二、填空题

11．已知函数，若，则的值为__________．

12．若函数为偶函数，则a＝_______.

13．已知奇函数在，上单调递减，且则不等式的解集为_______.

14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中．

①_______；

②若的值域是，则的取值范围是_______．

15．已知,分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则=_____．

三、解答题

16．已知定义在上的偶函数，当时，；

（1）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；

（2）解不等式：。

17．已知函数(、为实数),，，＞，＜

设＞，＜，＞，＞且为偶函数,判断是否恒大于零?若是给出证明,不是则说明理由.

18．设是定义在上的函数，且对任意实数，恒有

，当时，.

(1)当时，求的解析式；（2）计算. 19．设是实数，已知奇函数,

（1）求的值；

20．已知定义域为的单调函数是奇函数,当时,.

（1）求的解析式.

（2）若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

根据题意，用特殊值法分析：令可得：，变形可得的值，再令可得：，即，即可得函数的奇偶性，综合可得答案．

【详解】

解：根据题意，若x，，且，当可得：，变形可得，令可得：，即，函数为奇函数；

故选：D．

【点睛】

本题考查抽象函数的奇偶性的判断，注意用特殊值法分析，属于基础题．

2．B

【解析】

【分析】

对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．

【详解】

对于，函数为奇函数，所以A不正确．

对于B，函数为偶函数，所以B正确．

对于C，函数为奇函数，所以C正确．

对于D，函数为非奇非偶函数，所以D不正确．

故选B．

【点睛】

本题考查函数的奇偶性，解题的关键是熟记一些常见函数的性质，属于基础题．

3．A

【解析】

【分析】

直接利用函数的奇偶性及特殊值对应点的坐标判断选项即可．

由题意知，可知函数为奇函数，排除C、D,

当x=时，函数f（）=，排除B,

故选：A．

【点睛】

本题考查函数的图象的判断，利用函数奇偶性及特殊点的位置判断选项是常用方法．

4．B

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性的定义，先判定定义域是否关于原点对称，在根据和的关系，即可判定，得到答案．

【详解】

由题意，A中，函数，且满足，所以为偶函数；

对于C中，函数的定义域为，且满足，所以函数为奇函数；

对于D中，函数的定义域为，且满足，所以为偶函数，

所以既不是奇函数又不是偶函数的为函数，故选B．

【点睛】

本题主要考查了利用函数奇偶性的定义判定函数的奇偶性问题，其中解答中熟记函数奇偶性的定义和判定方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

5．D

【解析】

【分析】

可以看出，，在定义域内都没有单调性.

故选D．

【详解】

解：，和在定义域内都没有单调性．

故选D.

考查反比例函数，二次函数及函数的单调性，奇函数的定义．

6．D

【解析】

【分析】

根据奇函数的定义逐项检验即可.

【详解】

A选项中故不是奇函数，B选项中故不是奇函数, C选项中故不是奇函数, D选项中，是奇函数，故选D.

【点睛】

本题主要考查了奇函数的判定，属于中档题.

7．D

【解析】

【分析】

根据奇函数定义，求得在时函数解析式；代入x的值求得点的坐标，利用导数求得切线的斜率，结合直线的点斜式即可求得切线方程。

【详解】

因为函数是奇函数，且当时，

令，则

所以

又因为

所以当

所以，则

而，所以切点为

所以切线方程为

所以选D

【点睛】

本题考查了函数解析式的求法，过曲线上一点切线方程的求法，属于基础题。

8．A

【解析】

【分析】

利用函数奇偶性定义首先判断函数奇偶性，再根据：增函数+增函数=增函数可判断函数是增函数.

【详解】

已知函数

则函数为奇函数；

是增函数，是增函数；

则函数是增函数；

故选A

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，是基础题；意在考查函数奇偶性、单调性的判断方法，是考试中常见题型.

9．B

【解析】

【分析】

设，则由奇函数的性质f（-x）=-f（x），求出函数f（x）的解析式，【详解】

设，则，所以.又因为是定义在上的奇函数，所以，所以.

故选B.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题.

10．B

【解析】

【分析】

根据恒成立问题转化为对应函数最值问题，再根据一次函数单调性转化为对应不等式组，最后解得结果.

因为对所有的x∈[－1,1]都满足f(x)≤t2－2at＋1，所以，

因为奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，所以，即，

因为对任意的a∈[－1,1]都满足,所以或或，选B.

【点睛】

不等式有解问题与恒成立问题，都可转化为最值问题，即恒成立? ，恒成立? .

11．4

【解析】

依题意函数的自变量满足，即，此时恒成立

∴

故答案为4

12．

【解析】

【分析】

根据偶函数的定义可得，由此可求得．

【详解】

∵函数是偶函数，

∴，

即，

整理得，

∴，

解得．

故答案为．

解答类似问题时，要先根据奇偶性的定义得到恒等式，经过变形后比较系数可得所求的参数的值，对于选择题和填空题来说，也可以利用特殊值的方法来求解．

13．

【解析】

【分析】

不等式等价于，可得或又利用奇函数的性质得出，从而得出和，从而可得结果.

【详解】

函数为奇函数，且在上单调递减，

在上单调递减，

即函数为奇函数，且在上单调递减，

不等式等价于，

函数为奇函数，且

可变形为（1）或（2），

不等式组（1）的解为；

不等式组（2)的解为，

不等式的解集为，

故答案为.

【点睛】

本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.

14．

【解析】

【分析】

①利用奇函数的定义，计算即可得到所求的值；

②由的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与轴的交点，由判别式不小于0，解不等式即可得到答案.

【详解】

①由题意，函数是定义在R上的奇函数，当时，，

则；

②若函数的值域为R，

由函数的图象关于原点对称，可得当时，函数的图象与轴有交点，则，解得或，

即实数的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性的应用，及函数的值域的应用，其中解答中根据函数的奇偶性和合理利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.

15．1

【解析】

【分析】

已知,分别是定义在上的偶函数和奇函数，则令x=-1即可.

【详解】

令x=-1,则

已知,分别是定义在上的偶函数和奇函数，

则

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性定义求值，属于基础题，解题中要熟练掌握函数奇偶性定义，认真审题,灵活应用.

16．（1）见解析；（2）.

（若分类讨论，直接解分式不等式也可，参照上述标准分步给分）

【解析】

【分析】

（1）不妨设，再作差，通分合并，最后根据自变量范围确定各因子符号，得差的符号，结合单调性定义作出判断；（2）函数是偶函数，由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减，转化为，从而可得结果.

【详解】

（1）函数在上单调递增

证明：

函数在上单调递增

（2）函数是偶函数，

由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减

即可

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断

的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），可得在已知区间上是增函数，可得在已知区间上是减函数.

17．见解析.

【解析】

【分析】

根据为偶函数，可得，进而，结合，，可得结论

【详解】

是偶函数,则

，

，，又，，

又，

恒大于零．

【点睛】

本题主要考查的知识点是函数奇偶性的性质，二次函数的性质以及分段函数的应用，属于中档题。

18．（1）（2）0

【解析】

【分析】

（1）根据函数周期性的定义即可证明f（x）是周期函数,再根据函数奇偶性和周期性的关系即可求出当x∈[2，4]时f（x）的解析式.

（2）根据函数的周期性先计算一个周期内的函数值之和，即可计算

的值．

【详解】

：（1）将中的用代换得，又

得，将用替换得所以周期为4，

由得函数的对称中心是，此函数是奇函数，在的解析式为

，向右移4个单位得

（2），，，，由周期是4知

【点睛】

本题主要考查函数值的计算，根据函数周期性的定义以及函数奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键．

19．（1） 1 ；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由可得结果；（2）先根据复合函数的单调性判断出递增，结合奇偶性可将转化为，即，利用二次函数的性质求出的最小值，从而可得结果.

【详解】

（1）∵f（x）为R奇函数，∴f（0）=0，，解得a=1，

（2）因为递增，递增，

所以递增，

∵f（x）为奇函数，由不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0化为

f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），即f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），

又∵f（t）为增函数，t2﹣2t＜k﹣2t2，∴3t2﹣2t＜k．

当t=﹣时，3t2﹣2t有最小值﹣，∴.

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.

20．（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据函数为奇函数可求得当时的解析式，再根据可得所求．（2）由题意可得函数在上单调递减，然后根据不等式恒成立得到对任意恒成立，利用判别式可得所求的范围．

【详解】

(1) 当时,，

∴，

又函数是奇函数，

∴，

∴．

又．

综上所述．

（2）∵为上的单调函数，且，

∴函数在上单调递减．

∵，

∴，

∵函数是奇函数，

∴．

又在上单调递减，

∴对任意恒成立，

∴，

解得．

∴实数的取值范围为．

【点睛】

一元二次不等式恒成立问题的解法

（1）一元二次不等式在实数集R上的恒成立问题，可根据函数图象（抛物线）的开口方向和判别式的符号求解．

（2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，可利用分离参数法求解，即将欲求范围的参数分离到不等式的一边，通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min．

高中数学解题方法谈：函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法较多，下面把常见的判定方法分类加以研究分析． 1．定义域判定法例1 判定()(1)2f x x x =-- 的奇偶性．解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称， ∴原函数是非奇非偶函数．评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数的奇偶性． 2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性．解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数的奇偶性． 3．等价形式判定法例3 判定2211 ()11x x f x x x ++-=+++的奇偶性．解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =， ∴图象过原点．又0x ≠ 时，22 22 ()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--， (1)()f f x ∴-=-．又(0)0f =，∴()f x 为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法例4 若0a >，()([])f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性．

高一函数单调性奇偶性经典练习题

函数单调性奇偶性经典练习一、单调性题型高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断函数单调性判断常用方法： 121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>??>Q 210x x ∴->，1(4)0x ->，2(4)0x -> 12()()f x f x ∴> 故函数()f x 在区间(4)+∞，上为减函数. 练习1 证明函数21 ()3 x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法）练习2 证明函数2()f x x =2()3 -∞，上为增函数（定义法、快速判断法）练习3 求函数3 ()2 x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法) 练习4 求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法）

基本初等函数专项训练经典题

一、简答题 1、设．（1）判断函数的奇偶性；（2）求函数的定义域和值域． 2、设函数（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值． 3、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数． (1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|； (3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值． 4、经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t－15|. (1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)． 5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是： P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*)

(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式； (2)若第x月的销售量g(x)＝ (单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403) 6、已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋a ln x(a为常数)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程； (2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间． 7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因； (2)若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 8、已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,); (Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求证:. 9、已知命题p：函数y＝log a(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x 恒成立．若p∨q是真命题，求实数a的取值范围．

函数单调性与奇偶性经典例题透析

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函数单调性与奇偶性经典例题透析（一）讲课人：张海青授课时间：2014年9月23日授课地点：教学楼二楼多媒体（二）授课对象：高三文科优生授课过程：类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴ ∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象. 类型二、求函数的单调区间

2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数.

函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性的判定方法山东刘海函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法． 1．定义域判定法例1 判定()(1)f x x =- 解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数．评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性． 2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性．解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性． 3．等价形式判定法例3 判定()f x =的奇偶性．解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点．又0x ≠ 时，22 22()(1)(1)1()(1)(1) f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-．又(0)0f =，()f x ∴为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性．

(完整版)函数奇偶性知识点和经典题型归纳

函数奇偶性知识梳理 1. 奇函数、偶函数的定义（1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数. （2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数. （3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性. （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．（2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数． 2．奇(偶)函数的基本性质 (1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反． 3. 判断函数奇偶性的方法（1）图像法（2）定义法 ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．例题精讲【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值. 解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx. ∴2bx=0. ∴b ＝0. 【例3】已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象. 题型一判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性. （1）2()||(1)f x x x =+；（2）1()f x x x =；

函数的奇偶性

函数的奇偶性【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：() ()()0, 1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：() ()()01(()0)() f x f x f x f x f x -+-==-≠，；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数；若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法

《函数的单调性和奇偶性》经典例题

经典例题透析类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x10 ∴x1f(x2) 上是减函数. 总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.

类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，

在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，；

奇偶性的典型例题

函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质 ①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③、可逆性： )()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； )()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； ④、等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f )()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； ⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x

⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x ∈〔-1,1〕),g(x)=x(x ∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=? ??<-≥),0)((),(0)((),(x f x f x f x f 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。

(完整版)函数单调性奇偶性经典例题

函数的性质的运用 1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x =()图象上的是（） A.(())a f a ，- B.(())--a f a ， C.(())---a f a ， D.(())a f a ，- 2. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数，则a 的值为（） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-= +x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______． 4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________． 5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3. 8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）；（2）设f （2）=1，解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（） A ． 0 B ．9 C ．12 D ．18 10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123 2 x x <<，则实数m 的取值范围 11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =，则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2 x ；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则 2(2log 3)f +＝ A 124 B 112 C 18 D 38 13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f ( 2 1 )=－1,当且仅当0

函数的奇偶性的典型例题

函数的奇偶性的典型例题函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分

奇偶性与单调性及典型例题

奇偶性与单调性及典型例题函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象. 难点磁场 (★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数. 案例探究［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当00,1－x1x2>0，∴>0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0 ∴x2－x1<1－x2x1, ∴0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)3a2－2a+1.解之，得0

函数的基本性质(考点加经典例题分析)

函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性 1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。 2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。） 3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2 )()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加；当0-x f x f x f x f 或； ⑸根据定义下结论。例2、判断函数1 2)(-+= x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.

5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。例3：函数322-+=x x y 的单调减区间是（） A.]3,(--∞ B.),1[+∞- C.]1,(--∞ D.),1[+∞ 6．函数的单调性的应用：判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。例4：求函数1 2-= x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值. 二、奇偶性 1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数；（等价于：0)()()()(=--?=-x f x f x f x f ）如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。（等价于：0)()()()(=+-?-=-x f x f x f x f ）注意：当0)(≠x f 时，也可用1) ()(±=-x f x f 来判断。 2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。若函数)(x f 为奇函数，且在x=0处有定义，则0)0(=f ； 3．判断一个函数的奇偶性的步骤 ⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断)()(x f x f -=-或)()(x f x f =- 是否恒成立。