概念多元表征的教学设计对概念学习的影响

第19卷第2期 数 学 教 育 学 报

Vol.19, No.2

2010年4月

JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION

Apr., 2010

收稿日期：2009–12–21

基金项目：广西教育科学“十一五”规划重点课题——信息技术与中学数学教学整合的理论与实证研究（桂教科学（2008）2号）；广西师范大学博士科研启动基金（科研（2008）35号）

作者简介：唐剑岚（1974—），男，湖南永州人，博士，副教授，硕士生导师，主要从事数学教学论、数学教育技术与心理研究．

概念多元表征的教学设计对概念学习的影响

唐剑岚

（广西师范大学 数学科学学院，广西 桂林 541004）

摘要：直接学抽象的数学概念是很困难的，用数学概念的多元表征学习数学概念是一种新理念和策略．就概念学习过程的认知负荷而言，高低水平学生之间没有显著差异；就概念学习的效果与效率而言，高水平学生显著好于低水平学生．学生水平和教学设计方式是影响学习过程与结果的显著因素；与静态组比较，动态组的教学设计方式更能改善学生的认知负荷和理解成绩，且动态书面组的教学设计方式最有利于高水平学生学习，动态教师组的教学设计方式最有利于低水平学生学习．

关键词：多元表征；数学概念；教学设计；认知负荷；三角验证

中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2010）02–0028–06

1 引 言

表征是指在认知对象不在的情况下，替代这个认知对象的任何符号或符号集[1]．表征本质上是被表征对象的替代．数学表征是数学学习对象的一个替代．数学多元表征是指数学学习对象的多种表征形式．这包括两层含义：其一，同一数学学习对象必须具有言语化和视觉化两种本质不同的表征；其二，数学学习对象的表征形式至少具有两种或两种以上[2]

．数学多元表征的最初含义来自20世纪60年代初英国数学家迪因斯（Z. P. Dienes ）提出的多元具体化原则（multiple embodiment principle ），即呈现学习者某一数学学习对象的具体实物模型或物理情境的各种变式，帮助他们从这些变式中抽象出数学结构[3]．从数学特征来说，数学是模式或模型[4]．数学学习对象绝大多数是模式，是思维产物、抽象的模式．用多个模型学习数学，不仅能学到多个模型，更重要的是通过这种载体间接地学到数学思想和方法[5]

．从多元表征的视角看，模型、模式实质是各种表征形式．模式化实质上是通过具体的表征（数、形、模式本身）来解释、描述或建构更复杂、抽象的模式．从古代用结绳计数到当今用计算机学习数学，其实就是一种向或用多元表征/多元模式学习数学．自90年代末来，用多元表征学习数学成了美国学校数学教育的原则和标准之一[6]

．随着信息技术融入数学教育中，用多元表征学习数学成了国际数学教育心理（PME ）研究的主题．我们认为，向或用多元表征学习数学是一种重要学习数学的理念或策略[2]．

数学概念，无论是它的构成要素，还是它的两重性[7]

，都具有多元表征形式[2]

．大量研究表明，直接学抽象的数学概念是很困难的，向或用数学概念的多元表征学习数学概念

不失是一种新理念和有效策略．然而数学多元表征是“双面刃”，对数学学习是一股强大动力，但也可能因不恰当的教学设计而导致过多的认知负荷，成为阻力[2]．这表明，数学多元表征的教学设计对数学学习有着深刻影响．而究竟有多大程度的影响，究竟对谁有影响，目前研究者主要采用口语报告或个案研究等方法对这些问题进行了探讨[8]．我们将从理论、方法、内容上突破以往研究框架，运用实验、调查、个案访谈相结合的三角验证方法，探讨数学概念多元表征的4种教学设计对数学概念学习的影响，为数学概念的教学提供理论与实践的参考．

2 研究方法

2.1 学习材料

学习材料来自人教社出版的全日制普通高级中学教科书（必修）高一内容“ 1.3函数的基本性质：函数的单调性”的改编．函数的单调性是中学教材第一次用数学符号语言刻画函数性质的形式化定义，为进一步学习函数其它性质和具体函数性质提供了方法论依据．

我们曾研究过15个“函数的单调性”教学案例（这些案例来自南京、广西的不同层次中学教师的真实课堂实录、录像以及教案、课件等资料），发现即使是省级重点中学的高一学生，理解函数单调性的形式化定义也有一定的困难，这说明函数单调性本身很难．另外，该学习内容含有较多的多元表征，比较适合研究．该课重点是单调函数的概念、函数单调性的判断及证明；难点是对单调函数概念的形式化定义的理解和如何运用函数单调性的定义证明函数的单调性．一般而言，函数的单调性需要3节课完成，本实验的内容是第一节课，其中涉及到的概念主要有：增函数、

第2期唐剑岚：概念多元表征的教学设计对概念学习的影响29

减函数、单调性、单调增区间和单调减区间．根据优化数学多元表征学习的教学设计原则[2]．本研究对这些概念的多元表征进行不同形式的教学设计，考察其对不同水平学生学习的影响．从两个维度界定各种教学设计特征：其一，从学习材料中多元表征的信息结构维度，将学习材料区分为两类：只具有静态表征的学习材料（记为静态组）和将静态组学习材料的某些表征动态化（记为动态组）；其二，从教学策略水平维度来分，将教学策略分为两类：书面语言暗示、提示和提问等（记为书面组）和教师语言暗示、提示和提问等（记为教师组）．静态表征是指存在于数学教材或学习材料中叙述或描绘数学学习对象的各种表征，譬如数学概念的书面表征、符号表征、图像表征、数值表征等；动态表征是指将数学学习对象的静态表征动态化，譬如教师运用动画演示某个单调函数图像上升与下降的过程．书面语言暗示、提示和提问等，作为促进或增强学生积极加工表征的策略，其本身也作为一种书面表征静态呈现于学习材料中．教师语言暗示、提示和提问等，作为促进或增强学生积极加工表征的策略，其本身也作为一种声音表征适时呈现在学习过程中，譬如教师在运用动画演示某个单调函数图像上升与下降过程的同时，还运用语言强调某个区间上的图像变化情况．上面两个维度分别组合形成4种不同水平的教学设计方式或学习条件：静态书面组、静态教师组、动态书面组和动态教师组．

2.2评估材料

（1）学习过程的评价材料，主要考察学生在学习过程中所感受的认知负荷．这里采用Paas等的“心理努力量表”来评估认知负荷．该量表简单[9~10]，且具有较高的信度和效度．考虑到中国人的习惯，本研究将量表的表述适当调整为：“请你谈谈为了学习上面内容，你付出了多少心理努力（或学习吃力程度）：要求学生从“非常非常少”到“非常非常多”7个选项中选择一个（量表只有一个问题，放在学习最后的小问卷中的第一个问题）．

（2）学习结果的测评试题，主要考察学生对概念的学习效果与学习效率两个方面．

学习效果包括概念理解和概念运用两种效果．理解效果的测试题是判断题和填写概念图两类题目，运用效果的测试题是一个解答题（运用概念判断并说明单调性的题目）．经过3名有经验的教师评估，判断题、填写概念图和解答题这3类题目难度、信度与效度分别为：判断题为0.63、0.82与0.89，填写概念图为0.56、0.78与0.83，解答题为0.76、0.85与0.87．3类题目的评分标准是：判断题的评分标准是每答对1题得1分，共4分；填写概念图的评分标准是每填对1空得1分，共4分；解答题评分标准是：没有任何步骤，解答不出来，得0分；给出一步正确步骤（包括结果不正确）得1分；给出两步正确步骤（包括结果不正确）得2分；其余类推，本题共6分．

学习效率包括概念理解和概念运用两种效率．研究表明，单纯运用认知负荷或测试成绩来反映教学设计的意义与价值是不够的，两者结合才能提供充分信息[2，9]．因此，本研究采用新的效率计算公式：

2

心智努力

表现

z

z

E

?

=．本公式说明，对于某一特定的学习任务，若一个学生取得的成绩越好，但他所付出的心理努力也越多，那么这个学生的学习效率不一定高，对于整个班级而言，这样的教学设计意义并不大；若一个学生取得的成绩越好，但他所付出的心理努力却并不多甚至较少，那么这个学生的学习效率就越高，对于整个班级而言，这样的教学设计意义就很大．在此，Z表现表示学生后测成绩的标准Z分数；Z心智努力表示认知负荷的标准Z 分数．

（3）附加评估材料．为了定性了解各种教学设计对不同水平学生学习过程的影响，本研究在学习测试材料中嵌入了评估学习材料和教学策略价值与意义的几个问题．

2.3被试

被试来自桂林市某县中学高一年级2个班，共137人．根据被试中考成绩与单元测试（第一单元）成绩之和的平均值作为评价学生水平指标，将大于平均成绩的被试视为高水平组，将小于平均成绩的被试视为低水平组．其中高水平组为69人，低水平组为68人，经过t检验，两组之间差异显著，然后分别把高、低水平被试平均分配到4种学习条件下．根据数据收集情况，最后得到有效被试122名的数据，其分布情况为：静态书面组、静态教师组、动态书面组、动态教师组的高水平学生人数分别是15、16、15、15，而各组低水平学生人数分别是15、15、16、15．

2.4实验设计

本实验采用2×4×2的3因素混合设计，其中自变量有：（1）组间变量：学生水平A，分为高水平组（Al）和低水平组（A2）；教学设计方式B，分为静态书面组（B1）、静态教师组（B2）、动态书面组（B3）、动态教师组（B4）4种水平．（2）组内变量C：概念学习效果的类型，即概念理解（C1）和概念运用（C2）．

因变量有：（1）概念学习的过程变量：认知负荷．（2）概念学习结果变量：学习效果的反应量——概念理解成绩和概念运用成绩；学习效率的反应量——概念理解效率和概念运用效率．

2.5实验程序

本研究先在桂林市某个中学进行了预实验，发现学习材料格式设计存在一些问题（譬如预实验材料设计不很适合学习者阅读等）和实验过程中存在人为因素后，通过与实验教师认真交流，待实验教师熟练实验流程与注意事项后进行正式实验．

在正式实验中，实验开始时，主试（受过培训的教师和本人）针对不同组采用指导语说明实验要求．譬如，对

30 数 学 教 育 学 报 第19卷

静态组的指导语为：“今天我们要对同学们进行一项数学学习情况测试，为今后教学提供依据．首先，请同学们认真学习发下来的学习材料．学习过程中请尽量理解学习内容，接着填写学习材料的问卷，限制在25分钟内完成学习材料与5分钟内完成问卷．然后测试同学们的学习情况，时间为25分钟．”指导语交待完后，发下学习材料，分发时材料先反扣桌面上，等全部发完后，由主试发出“开始”的指令后，被试开始学习，计时开始．实验中，由主试统一施测，再由班主任或任课老师负责考试纪律等无关变量，确保实验的严格进行．25分钟后，要求学生做评估学习过程的问卷，5分钟后收回学习材料；休息2分钟后，分发测试材料，分发时也先反扣桌面上，再统一施测，25分钟后收回测试卷． 2.6 数据分析

全部数据在SPSS 15.0软件中进行分析与处理．

3 实验结果与分析

3.1 影响学习过程中认知负荷的因素分析

由于认知负荷的评估工具是嵌入在学习材料的后面，学习后马上要求学生评估．因此，不考虑学习效果类型对认知负荷的影响，只考虑学生水平和教学设计方式对认知负荷的影响．

通过教学设计方式和学生水平对认知负荷影响的二因素方差分析，结果见表1．从表1得到，学生水平在认知负荷上的主效应没有达到显著水平（F =0.040，P >0.05）；教学设计方式在认知负荷上的主效应达到显著水平（F =22.343，P <0.05）；学生水平与教学设计方式在认知负荷上的交互作用没有达到显著性差异（F =2.175，P >0.05）．

表1 学生水平和教学方式对认知负荷影响的方差分析

变异来源

总方差（SS ）

自由度 均方（MS ）

F

学生水平A 0.030 1 0.30 0.040教学设计方式B 108.965

3

36.322 22.343*

A×B 4.877 3 1.626 2.175 注：*表示p <0.05，**表示p <0.01，***表示p <0.001．以下同．

从表1看出，教学设计方式是影响认知负荷的显著因素，而学生水平不是影响认知负荷的显著因素，且教学设计方式和学生水平两个因素不产生交互影响．通过在教学设计方式的主效应上进行事后多重比较发现，4种教学设计方式引起高低水平学生的认知负荷为：对于高水平学生而言，从低到高排列依次为：静态书面组、静态教师组、动态教师组、动态书面组；对于低水平学生而言，从低到高排列依次为：静态书面组、静态教师组、动态书面组、动态教师组．且静态书面组与静态教师组、动态教师组、动态书面组分别比较均有显著性差异（P <0.001），静态教师组与动态教师组、动态书面组分别比较有显著性差异（P <0.001），而动态教师组

与动态书面组之间无显著性差异（P =0.431）．以上说明，比较静态组、动态组的教学设计能显著降低学生在数学概念学习过程中的认知负荷，且动态书面组的教学设计方式最有利于降低高水平学生的认知负荷，动态教师组的教学设计方式最有利于降低低水平学生的认知负荷． 3.2 影响学习效果的因素分析

学习效果，即学生在测试中表现出来的概念理解与概念运用成绩．因为认知负荷作为过程变量，没有与学习效果的类型一起测试，故不考虑认知负荷影响学习效果这个因素，只考虑学生水平、教学设计方式和效果类型这3个因素．通过学生水平、教学设计方式和效果类型对学习效果影响的重复测量方差分析，得到表2．

表2 影响学习效果的各因素方差分析

变异来源

总方差（SS ）

自由度 均方（MS ）

F

学生水平A 7.56 1 7.56 5.362* 教学设计方式B

28.01 3 9.34 6.63***

A×B 3.99 3 1.33 0.94 效果类型C 164.06

1 164.06 312.20***

A×C 0.46 1 0.46 0.87 B×C 4.53 3 1.51 2.88* A×B×C 2.27 3 0.76 1.44

从表2看到，学生水平、教学设计方式、效果类型的主效应都达到显著水平（F =5.36，P =0.022<0.05；F =6.63，P <0.001；F =312.196，P <0.001）．学生水平与教学设计方式的交互作用不显著（F =0.94，P =0.422>0.05），学生水平与效果类型的交互作用不显著（F =0.87，P =0.354>0.05），学生水平、教学设计方式与效果类型3者的交互作用不显著（F =1.44，P =0.234>0.05），而教学设计方式与效果类型的交互作用显著（F =2.88，P =0.039<0.05）．

从以上分析得，学生水平、教学设计方式和效果类型都是影响学习效果的显著因素．教学设计方式对学习效果的影响还因效果类型的不同而不同．通过在学生水平的主效应上进一步分析表明：高水平学生概念理解成绩好于低水平学生且差异显著（t =2.18，p =0.031），概念运用成绩好于低水平学生但无显著差异（t =1.45，p =0.149）．这说明，高水平学生的概念理解成绩显著好于低水平学生．进一步通过对教学设计方式与效果类型对学习效果的交互作用做简单效应分析，得到如表3的结果．

表3 不同教学设计下的学习效果（M±SD ）

静态书面

静态教师

动态书面

动态教师

概念理解 3.37±1.0 3.61±0.95 4.48±1.06 4.27±1.01概念运用

1.93±0.91

2.26±1.00 2.45±1.09 2.53±0.94

从表3看出，教学设计方式对概念运用的影响没有显著差异（F =2.20，P =0.09>0.05），而对概念理解的影响存在非

第2期唐剑岚：概念多元表征的教学设计对概念学习的影响31

常显著的差异（F=8.38，P<0.001），从大到小依次排列为：动态书面组、动态教师组、静态书面组、静态教师组．通过事后多重比较发现，动态书面组与静态书面组、静态教师组之间比较有显著性差异（P=0.0；p=0.008），动态教师组与静态书面组之间比较有显著性差异（P=0.007），而其余分别比较均无显著性差异．以上说明，就学习效果而言，比较静态组、动态组的教学设计能显著提升学生概念理解成绩，而对概念运用成绩没有产生显著影响；且动态书面组最有助于概念理解，静态书面组最无助于概念理解．

3.3影响学习效率的因素分析

由于没有考虑认知负荷对学习效果的影响，因此只考虑学生水平和教学设计方式对学习效率的影响．根据学习效率的公式，分别求得理解效率和运用效率．通过教学设计方式和学生水平对学习效率影响的多因素方差分析，结果见表4．

表4影响学习效率的各因素方差分析

总方差(SS) 均方差(MS)多变量检验 F

变异来源

理解运用理解运用自由度(df) 理解运用

学生水平A 2.75 1.28 2.75 1.28 1 4.83* 1.95

教学设计

方式B

80.01 56.42 26.67 18.81 3 46.92***28.62***

A×B 7.32 1.99 2.44 0.67 3 4.29** 1.01

从表4看出，学生水平在理解效率上主效应达到显著水平（F=4.83，P=0.030<0.05），在运用效率上主效应未达到显著水平（F=1.95，P=0.166>0.05）．教学设计方式在理解及运用效率上均达到显著水平（F=46.92，P=0<0.001；F=28.62，P=0<0.001）．教学设计方式与学生水平在理解效率上的交互作用达到显著性水平（F=4.29，P=0.007<0.01）．通过对学生水平与教学设计方式在对理解效率的交互作用做简单效应检验，结果如表5．在理解效率上，对于高水平学生，4种教学设计方式对理解效率的影响从大到小依次为动态书面组、动态教师组、静态教师组、静态书面组，但4种教学设计方式间无显著性差异（F=1.641，P=0.190>0.05）．对于低水平学生，4种教学设计方式对理解效率的影响从大到小依次为动态教师组、动态书面组、静态教师组、静态书面组，4种教学设计差异非常显著（F=37.52，P=0<0.001）．

表5不同教学设计下的数学概念理解效率（M±SD）

静态书面静态教师动态书面动态教师高水平?0.86±0.77 ?0.15±0.69 1.30±0.68 0.31±1.12

低水平?1.50±0.46 ?0.46±0.53 0.53±0.77 0.81±0.83

表5说明，就学习效率而言，比较静态组、动态组的教学设计能显著提高学生概念理解的效率，而对概念运用的效率没有产生显著影响；动态书面组的教学设计方式最有利于提升高水平学生的概念理解的效率，动态教师组的教学设计方式最有利于提升低水平学生的概念理解的效率．教学设计方式对概念运用的效率似乎看不出优势．

4讨论

4.1教学设计方式对认知负荷影响的讨论

认知负荷是指工作记忆系统对某一特定教学内容的信息进行认知加工和保持信息过程中所承受的负荷总量．认知负荷主要来自两个方面：教学内容本身的难度和不恰当的教学[10~11]．因此，探讨教学设计方式对认知负荷的影响，可以从学习材料和教学策略两个方面来讨论．

就学习材料而言，静态组与动态组的书面材料完全一样，不同之处在于动态组还有课件．课件主要将书面材料上的表征动态视觉化，即运用《几何画板》尽可能将概念的多元表征动态联系起来，这可能优化了多元表征的信息结构．一方面，动态联系的视觉化表征引起了学生的选择性注意，促进表征系统的相互转换与转译，从而降低了学生的认知负荷；另一方面，动态联系的表征精细描绘了表征的信息元素与整体的关系（如精细描绘y=x2的图像在某个区间的上升和下降的变化），使信息元素的交互及其结构关系直观凸显，大大降低了表征自身的认知负荷[12]．也就是说，比较静态组，动态组的多元表征信息结构相对优化，有利于降低学生的认知负荷．

值得指出的是，在呈现学习材料时，没有引起国外研究者指出的“冗余效应”和“分散注意效应”[13]．其可能原因是：对前者而言，因为课件的动态表征重复了书面材料的静态表征，可能会让学生感到信息是冗余的，导致认知负荷的增加，但实际并没有增加：其一，当呈现课件时，学生的注意力主要集中到课件上；其二，即使存在这种效应，也被课件的动态联系的多元表征弥补了[14]．对后者而言，因为学生在注意书面材料上表征的同时，又注意课件上的表征，这可能会引起分散注意；但在实验过程中，据我们的实验观察，当实验教师提出让学生看课件时，学生的注意基本上集中到课件了．所以这两个效应没有出现，当然这只是推测，有待进一步探讨．

就教学策略而言，与静态组相比，动态组的教学策略多了课件促进或增强、教师促进或增强．这些教学策略的适时出现，也许会干扰学生认知加工而增加认知负荷，但由于本身是促进或增强认知加工的，从而弥补了因干扰引起的认知负荷．另外，动态教师组对高水平学生来说，可能会引起“冗余效应”，损伤他们的认知，因而动态书面组教学设计更加适合他们．

另外，通过对附加材料的分析和对部分学生的访谈，进一步获得了学生认知负荷的如下信息．（1）大多数学生认为学习材料本身对他们有较大的帮助，且高、低水平学生的评价基本一致．归纳学生的看法，认为有较大帮助的主要原因是：内容有趣、贴近生活、通俗易懂、结构简明、思路清晰、

32数学教育学报第19卷

图文并茂、有助于思考等．而认为有较小帮助的主要原因是：没有例题，也没有反馈，学完后不知道有没有效果；有的地方太简单，譬如对定义解释太少，理解定义还是有点吃力．（2）大多数学生认为学习材料的提示、暗示等对他们有较大的帮助，且高、低水平学生的评价基本一致．归纳学生的看法，认为有较大帮助的主要原因是：很新鲜、提示思路与方法、指明思考方向、促进思考等．而认为有较小帮助的主要原因是：有时有些多余，因为我想到了这样思考；虽然有点帮助，但没有时间按照提示那样思考，心有余而力不足；从没碰上这样的书面提示等，不太习惯．（3）教师的提示或强调等对不同水平的学生有不同的意义与价值，比较高水平学生，很多低水平学生认为其有大帮助，说明低水平学生比较看好教师的提示或强调，而高水平学生主要持中立态度．归纳学生的看法，认为有较大帮助的主要原因是：教师强调能引起注意、突出重点，提示及时指明方向，促进思考等．而认为有较小帮助的主要原因是：学习材料中已有提示，教师再提示有些多余，不太习惯这种学习．（4）大多数学生认为课件的动态演示和提示等对学习有大帮助．归纳学生的看法，认为有较大帮助的主要原因是：动态变化能吸引注意力、直观形象、不用费多大劲就能理解，但有时需要动态演示反复几次才能看得更加明白；提示及时，指明方向、促进思考等．而认为有较小帮助的主要原因是：图形已很直观，没有必要再动态演示；学习材料中有提示，课件再提示有些多余；不太习惯这种学习．同时也发现，虽然课件动态演示和提示有较大帮助，但对少数高水平学生可能存在“冗余效应”．

4.2学生水平等对概念学习效果影响的讨论

学生水平对学习效果有显著影响，且比较低水平学生，高水平学生的概念理解成绩显著好．在本研究中，学生水平是依据学生的中考成绩与单元测试（第1单元）成绩之和的平均值作为评价指标，高低组的原有水平是存在显著差异的．因此，学生水平对学习效果有显著影响．

教学设计方式对学习效果产生了显著影响．从理论上说，无论从学习材料的信息结构，还是教学策略的水平，4种教学设计方式对学习效果的影响从小到大排列依次为静态书面组、静态教师组、动态教师组、动态书面组．就学习材料而言，静态组与动态组的书面材料完全一样，不同之处在于动态组还有课件辅助．动态组中的动态联系的多元表征信息结构以及课件、教师促进策略，都有益于促进学生深度理解．因此，动态组教学设计产生的理解效果好于静态组．另外，这也可以从前面学生的表现看出．

效果类型也对学习效果产生了显著影响，即不同的学习效果对应于不同的教学设计，不同目标层次的教学设计导致不同层次的学习目标．这与研究假设一致．因为本研究的学习目标是定位于数学概念理解的层面，而没有涉及到概念运用层面．考察效果类型，其目的在于考察4种教学设计能否引起学生将概念理解迁移到概念运用．从结果看来，4种教学设计方式还不能引起学生将概念理解迁移到概念运用中．如何促进这方面的迁移，有待进一步研究．

学生水平、教学设计方式和效果类型3者交互作用中，只有效果类型与教学设计方式的交互作用显著．进一步分析得到，教学设计方式只显著影响了概念理解，对概念运用却无显著影响．这进一步说明，教学设计的方式与不同学习目标相对应．一方面，概念运用与概念深层理解相关．如果概念运用灵活，学生必定对概念理解有一定深度．但从表3看出，即使是高水平学生的理解成绩（最高分为4.48，总分为8分）还只是达到中等程度，这说明学生没有达到较深层次的理解．另一方面，概念运用与概念学习的程度相关，特别需要学习概念运用的例子．从学习材料看，材料没有学习运用概念解决问题的例子，也没有反馈学生学习的情况，正如学生在学习附加材料时提到的那样：“不知道学习效果，也不知道如何运用概念……”这与常理一致：即使理解了数学概念，但若缺失例题学习和变式训练，灵活运用和迁移也是很弱的．

综上可得：高水平学生显著好于低水平学生，教学设计的方式与不同学习目标是相对应的．

4.3学生水平与教学设计方式对学习效率影响的讨论

从以上界定的学习效率来看，学习效率的高低是由认知负荷和学习表现（在此是概念理解和运用的成绩）决定的．根据4.1和4.2的分析与讨论，虽然高低水平学生的认知负荷没有显著差异，但在学习效果上，高水平学生的概念理解成绩显著好于低水平学生；由学习效率公式可得，高水平学生的概念理解效率也显著高于低水平学生．

教学设计方式与学生水平的交互作用对概念理解效率产生了显著影响．同样由学习效率公式可得：动态书面组对提升高水平学生概念理解效率最明显，动态教师组对提升低水平学生概念理解效率最明显．

综上，就学习效率而言，高水平学生显著高于低水平学生；动态书面组最有利于提升高水平学生理解效率，动态教师组最有利于提升低水平学生理解效率．

5结论与建议

5.1学生水平在数学概念学习中的作用与建议

就概念学习过程的认知负荷而言，高低学生水平之间没有显著差异；就概念学习的效果与效率而言，高水平学生显著好于低水平学生．在优化概念多元表征学习的教学中，除了尽量优化教学信息以降低认知负荷外，还应改善教学策略以充分激活和调动学生原有的知识经验，使其投入到学习过程中．5.2教学设计方式在数学概念学习中的作用与建议

不同教学设计方式对不同水平学生概念学习结果产生不同程度的影响．相对而言，动态书面组的教学设计方式最有利于高水平学生概念学习，而动态教师组最有利于低水平学生概念学习．所以在数学概念教学中，为了保证所有学生

第2期唐剑岚：概念多元表征的教学设计对概念学习的影响33

促使学生深层内化多元表征信息结构、达到深度理解．取得较好的学习结果，除了优化多元表征信息结构外，更加

需要改善教学策略，促进或增强学生深度意义的学习参与，

［参考文献］

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Influence of Instructional Design of Multi-representations of Concept on Learning of Mathematics Concept

TANG Jian-lan

(Mathematics Institute of Guangxi Normal University, Guangxi Guilin 541004, China)

Abstract: It’s different to learn directly mathematics concept, however it’s a new good idea and strategy from/with multi-representations. Using the principles of methodological triangulation (experiment, investigation and interview), the paper probed influence of four instructional designs of multi-representations of concept on learning of mathematics concept. The outcome of the research shows: The student’s level and level of instructional design can improve cognitive load and understand achievement significantly. Compared with instructional design of static group, one of the dynamic groups is better in improving the learning process and product, and dynamic-written group was best fit for the learning of high level student, while the dynamic-teacher group was best fit for the low level student.

Key words: multi-representations; mathematics concept; instructional design; cognitive load; methodological triangulation

[责任编校：陈汉君]

《圆的理解》教学设计案例

《圆的理解》教学设计案例 一、教学设计理念： 新课标指出：“学生是数学学习的主人”，教师要“向学生提供充分从事数学活动的机会”，并指出：“动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式”。本课例我让学生自己动手来折圆纸片、同学之间合作交流，共同探究圆的一些特征。这样的组织教学，使整节课充满了“做数学”的过程，学生的主体性得到充分体现。 现代信息技术是为教学服务的，其主要功能就是“提供学生学习背景，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。”本课例的教学设计还着力利用信息技术让学生经历体验的过程，将抽象的数学知识形象化。引导学生积极主动的参与学习过程，培养学生的数学意识和数学水平。 二、教学对象分析： 本课时教学对象是小学六年级上学期的学生，年龄在11—12岁。他们开始对“有用”的数学更感兴趣。此时，学习素材的选择与表现以及学习活动的安排更理应注重数学在学生的学习和生活中的应用，使他们感觉到数学就在自己的身边，而且学数学是有用的、必要的，从而愿意并且想学数学。对于本节课教学的圆学生在生活中有大量的接触，有了一定的知识、经验基础，同时学生具备了很强的动手操作水平，有较强的交流与表达的愿望，使课堂教学引导学生主动探究，展开小组合作学习，培养创新意识和实践水平成为可能。 三、教学内容分析： “圆的理解”是人教版义务教育课程标准实验教科书数学第十一册第四单元P55—58页的内容。 本单元教材教学圆的理解、圆的周长和面积、轴对称图形。这部分内容是在学生学过了一些常见平面图形的理解，相关平面图形的周长和面积，以及在低年级直观理解圆的基础上教学的。学生从学习直线图形的知识，到学习曲线图形的知识，不论是内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化。 《圆的理解》是这个单元的第一节课，是这个单元中较为重要的教学内容。本课时的教学是进一步学习圆的周长和面积的重要基础，同时对发展学生的空间观点也很重要。 四、教学阐明： 1、知识与技能：理解圆，掌握圆的特征。 2、过程与方法：经历观察、合作、探究、游戏等活动理解圆各部分的名称；通过画一画、折一折、量一量、比一比等方法发现圆的特征。培养学生自主探究的意识和动手实践的水平，培养学生使用所学知识解决实际问题的水平。 3、情感态度价值观：让学生体验获取知识、解决问题的过程，激发学生积极参与的兴趣。通过体验圆与人类生活的不解之缘，感受圆的美、生活的美，培养学生的审美水平 五、教学重点、难点： 理解圆的相关概念，归纳圆的特征，能使用所学知识解决实际问题。 六、教学策略： 《数学课程标准》在本年段的教学建议中指出：“数学教学，要紧密联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发，创设有助于学生自主学习、合作交流的情境，使学生通过观察、操作、猜测、交流、反思等活动，获得基本的数学知识和技能，进一步发展思维水平，激发学生的学习兴趣，增强学生学好数学的信心。”

初中圆教学设计

初中圆教学设计 蕲春思源学校王礼斌 教学目的：理解圆的定义，掌握点与圆的位置关系，培养学生用数形结合思想方法分析解决问题的能力 教学重点、难点：圆的定义的理解 教学关键：理解两点：①在圆上的点，都满足到定点(圆心)的距离等于定长(半径); ②满足到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点，在以定点为圆心，定长为半径的圆上。 教学过程： 一、复习旧知： 1、角平分线及中垂线的定义(用集合的观点解释) 2、在一张透明纸上画半径分别1cm，2cm，3.5cm的圆，同桌的两个同学将所画的圆的大小分别进行比较(分别对应重合)。并回答：这些圆为什么能够分别重合?并体会圆是怎样形成的? 二、讲授新课： 1、让学生拿出准备好的木条照课本演示圆的形成，用圆规再次演示圆的形成。

分析归纳圆定义： 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 注意：“在平面内”不能忽略，以点O为圆心的圆，记作：“⊙O”，读作：圆O 2、进一步观察，体会圆的形成，结合园的定义，分析得出： ①圆上各点到定点(圆心)的距离等于定长(半径) ②到定点的距离等于定长的点都在以定点为圆心， 定长为半径的圆上。由此得出圆的定义： 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 例如，到平面上一点O距离为1.5cm的点的集合是以O为圆心，半径为1.5cm的一个圆。 3、在画圆的过程中，还体会到圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内。 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。同样有：圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 4、初步掌握圆与一个集合之间的关系： ⑴已知图形，找点的集合 例如，如图，以O为圆心，半径为2cm的圆，

教学设计的概念和作用

一、教学设计的概念和作用 教学系统设计（Instructional System Design，简称ISD），通常也称教学设计（Instructional Design），这门学科的发展综合了多种理论和技术的研究成果，参与教学系统设计研究与实践的人员由于其背景的不同，他们往往会从不同的视野来界定和理解教学设计的概念，因此人们在教学设计的定义上尚未取得完全的统一。 加涅认为：“教学是以促进学习的方式影响学习者的一系列事件，而教学设计是一个系统化规划教学系统的过程。”（加涅，1992） 肯普提出：“教学系统设计是运用系统方法分析研究教学过程中相互联系的各部分的问题和需求，确立解决它们的方法步骤，然后评价教学成果的系统计划过程。”（肯普，1994） 史密斯等的观点：“教学设计是指运用系统方法，将学习理论与教学理论的原理转换成对教学资料、教学活动、信息资源和评价的具体计划的系统化过程。”（史密斯、雷根，1999） 梅瑞尔在其新近发表的《教学设计新宣言》一文将教学设计界定为：“教学是一门科学，而教学设计是建立在教学科学这一坚实基础上的技术，因而教学设计也可以被认为是科学型的技术（science-based technology）。教学的目的是使学生获得知识技能，教学设计的目的是创设和开发促进学生掌握这些知识技能的学习经验和学习环境。”(梅瑞尔，1996) 帕顿在《什么是教学设计》一文中提出：“教学设计是设计科学大家庭的一员，设计科学各成员的共同特征是用科学原理及应用来满足人的需要。因此，教学设计是对学业业绩问题的解决措施进行策划的过程。”（帕顿，1989）乌美娜等认为：“教学系统设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程。”（乌美娜，1994） 何克抗等认为：“教学设计是运用系统方法，将学习理论与教学理论的原理转换成对教学目标（或教学目的）、教学条件、教学方法、教学评价……等教学环节进行具体计划的系统化过程。”（何克抗，2001） 上述几种定义反映了人们对教学系统设计内涵理解的不同角度以及各自的

圆的有关概念(一)教学设计

圆的有关概念(一)教学设计

数学教学设计 课题：圆的有关概念（一）

从单一注重学习书本知识逐步发展为书本知识及联系生活实际并重。让学生在一个充满探索的过程中学习数学、感受数学发展的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用数学意识和创新思维，进而使学生获得对数学知识理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。 三、教学背景分析 （一）教学内容分析 圆是继三角形、四边形等基本图形后的又一个重要内容。圆的知识在航海领域、土木建筑、体育竞技、科学技术和日常生活中有广泛应用。圆是平面几何中最基本的图形之一，它在几何中有重要的地位。圆的有关概念是圆这一章的起始课，在本节课之前学生小学已经学习了圆的初步知识，联系学生实际，整合课外资源来充实课堂教学内容。圆的有关概念是中学阶段应用圆知识解决实际问题的开端，也是为今后学习圆的知识奠定基础.通过对实际问题的探索让学生初步感受从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养学生的数学价值观，增强学数学、用数学的意识。 （二）学生情况分析 初三年级的学生是初中阶段的高年级的学生，课堂中的学习行为趋于理性化，思维的成熟度，内心深处探求真理的欲望比初二年级高，因此要引导轻松和谐的课堂气氛，充分激活学生的创造欲望，让学生在教师创设的情境中充满好奇心的学，留给学生充分的自主活动和相互交往的空间，在观察中不断地发现数学问题，在实践中日益领悟数学思想，在评价中逐步形成数学价值观。 学生们大多是在传统教学方式下，靠被动接受来获得新知的，他们欠缺的是对身边数学的理解、认识和应用。在合作交流、探索新知等方面发展的极不均衡。在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异。 （三）教学准备： 1、多媒体资源的收集。 2、教学课件的制作。 3、将学生按2人分成小组。 4、学生课前准备：刻度尺、圆规等。 （四）教学方法和教学手段

完整版圆周运动教学设计

《圆周运动》教学设计 六盘水市第二实验中学卢毅 一、教材分析 本节课的教学内容为新人教版第五章第四节《圆周运动》，它是在学生学习了曲线运 动的规律和曲线运动的处理方法以及平抛运动后接触到的又一类曲线运动实例。本节作为该章的重要内容之一，主要向学生介绍了描述圆周运动快慢的几个物理量，匀速圆周运动的特点，在此基础上讨论这几个物理量之间的变化关系，为后续学习圆周运动打下良好的基础。 二、学情分析 通过前面的学习，学生已对曲线运动的条件、运动的合成和分解、曲线运动的处理方法、平抛运动的规律有了一定的了解和认识。在此基础上了，教师通过生活中的实例和实物，利用多媒体，引导学生分析讨论，使学生对圆周运动从感性认识到理性认识，得出相关概念和规律。在生活中学生已经接触到很多圆周运动实例，对其并不陌生，但学生对如何描述圆周运动快慢却是第一次接触，因此学生在对概念的表述不够准确，对问题的猜想不够合理，对规律的认识存在疑惑等。教师在教学中要善于利用教学资源，启发引导学生大胆猜想、合理推导、细心总结、敢于表达，这就能对圆周运动的认识有深度和广度。 三、设计思想 本节课结合我校学生的实际学习情况，对教材进行挖掘和思考，始终把学生放在学习主体的地位，让学生在思考、讨论交流中对描述圆周运动快慢形成初步的系统认识，让学生的思考和教师的引导形成共鸣。 本节课结合了曲线运动的规律及解决方法，利用生活中曲线运动实例（如钟表、转动的飞轮等）使学生建立起圆周运动的概念，在此基础上认识描述圆周运动快慢的相关物理量。总体设计思路如下：

提出问题：除了用线速度、角速度描述圆周运动快慢，能否用其它物理量描述圆周运动的快慢？学生 思考、讨论交流，教师引导分析，利用物体做圆周运动转过一圈所需要时间多少来描述圆周运动的快 慢，即周期。 一 四、教学目标 （一）、知识与技能 1、知道什么是圆周运动、匀速圆周运动。理解线速度、角速度、周期的概念，会用线速度角速度公式进行计算。 2、理解线速度、角速度、周期之间的关系，即v *r r。 3、理解匀速圆周运动是变速运动。 4、能利用圆周运动的线速度、角速度、周期的概念分析解决生活生产中的实际问题。 （二）、过程与方法 1、知道并理解运用比值定义法得出线速度概念，运用极限思想理解线速度的矢量性和瞬时性。 2、体会在利用线速度描述圆周运动快慢后，为什么还要学习角速度。能利用类比定义线速度概念的方法得出角速度概念。 （三）、情感、态度与价值观 1、通过极限思想的运用，体会物理与其他学科之间的联系，建立普遍联系的世界观。 2、体会物理知识来源于生活服务于生活的价值观，激发学生的学习兴趣。 3、通过教师与学生、学生与学生之间轻松融洽的讨论和交流，让学生感受快乐学习。 五、教学重点、教学难点 （一）、教学重点1、理解线速度、角速度、周期的概念2、掌握线速度、角速度、周期之间的关系（二）、教学难点1、理解线速度、角速度、周期的物理意义及引入这些概念的必要性。2、理解线速

初中数学概念课堂教学设计

专题讲座 初中数学概念课堂教学设计 俞京宁（北京教育学院丰台分院） 学生在数学学习中有一个现象：当解决数学某一问题遇到困难时，如果追根求源，就会发现，往往是由于他们在某一个或某一些概念处产生问题，而导致思维受阻。许多事实例证了正确地理解数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用数学知识解决问题的金钥匙。基于此，我们就要对数学概念的本质进行分析，并且希望找到合理的概念教学的模式，以使教师的教课与学生的数学学习轻松而有成效。 一、什么是数学概念？ 概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念，就是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。它是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。 可见，数学概念是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的形成与提高的必要条件，也是数学教学的重点内容。为什么学生对数学概念的理解总是停留在表层，往往知其然，并不知其所以然？教学中如何进行有效地概念教学，以使学生真正的理解概念？这是每名教师都在思考的问题。 二、目前概念教学的现状 数学概念具有抽象性、发展性、生成性等特点，它的特点以及初中学生认知的思维水平的限制性，决定了他们在学习过程中，会对一些抽象的、不常接触的概念不容易理解，需要教师进行合理的教学设计，使学生能够参与到概念的发生与形成过程中，了解概念的来龙去脉，理解概念的内涵与外延，弄清概念之间的区别与联系，在头脑中形成相关概念的网络，以达到掌握并灵活运用的程度。对于概念教学这个问题，在新课程实施以来，广大教师都有了一定的认识，加强了对概念教学的重视程度。但由于各种各样的原因，事实上，大部分教师只是停留在思想的层面上，而行动上仍然是传统的教学模式。 案例 1 ：前不久听一位教师关于“平方根”的概念教学课，上课开始，教师呈现一组面积不同的正方形，要求学生求边长x 。

小学六年级数学《认识圆》教学教案

小学六年级数学《认识圆》教学教案 范本三篇 《认识圆》的教学内容是在学生认识了长方形等多种平面图形的基础上展开教学的，也是小学阶段认识的最后一种常见平面图形。下面就是小编给大家带来的小学六年级数学《认识圆》教学教案范本，欢迎大家阅读! 教学目标： 1、给合生活实际，通过观察、操作等活动认识圆，认识到“同一个圆中半径都相等、直径都相等”，体会圆的特征及圆心和半径的作用，会用圆规画圆。 2、通过观察、操作、想象等活动，发展空间观念。 教材分析： 重点在观察、操作中体会圆的特征。知道半径和直径的概念。 难点圆的特征的认识及空间观念的发展。 教具准备： 教学圆规、电化教具、课件 教学过程： 一、观察思考 1、(呈现教材套圈游戏中的第一幅图)这些小朋友是怎么站的?在干什么?你对他们这种玩法有什么想法吗?(从公平性上考虑)得到：大家站成一条直线时，由于每人离目标的距离不一样导致不公平。 2、(呈现教材套圈游戏中的第二幅图)如果大家是这样站的，你觉得公平吗?为什么?得到：大家站成正方形时，由于每人离目标的距离也不一样导致也不公平。

3、为了使游戏公平，你们能不能帮他们设计出一个公平的方案?(学生思考)学生想到圆后，出示第三幅图，提问：为什么站成圆形就公平了呢?(每人离目标的距离都一样) 4、上面我们接触了三种图形-----直线、正方形、圆。其中圆是有点特殊的，你能说说圆与正方形等图形的不同之处吗?举出生活中看到的圆的例子。 二、画圆 1、你们谁能画出圆来吗?动手试一试。 2、谁来展示一下自己画的圆，并说说你是怎样画的?画的时候要注意什么?其他同学有想法可以补充。 3、思考：以上这些画法中有什么共同之处?注意的问题你是怎么想到的?(固定一个点和一个长度，引出圆心和半径) 三、认一认 1、教师边画圆边讲概念。(概念讲解一定要结合图形，并要举一些反例)强调：圆心是一个点，半径和直径是线段。 2、半径和直径的辨认。 四、画一画，想一想 1、画一个任意大小的圆，并画出它的半径和直径。想：在同一个圆中可以画多少条半径、多少条直径?同一个圆中的半径都相等吗?直径呢?(放动画) 2、以点A为圆心画两个大小不同的圆。 3、画两个半径都是2厘米的圆。 4、把自己画的圆面积在小组内交流。你们画的圆的位置和大小都一样吗?知道为什么吗? 五、应用提高 讨论：圆的位置和什么有关系?圆的大小和什么有关系? 六、作业

《圆的有关概念》教学设计

《圆的有关概念》教学设计 一、教材分析： 本节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书》九年级上册第二十四章圆第一节内 容，圆的定义和有关概念，是圆的第一节第一课时。因为学生在小学中已经学过圆的一些 知识，对圆已有初步的了解，本课时的内容也较为简单。这节课概念较多，是今后进一步 学习圆的相关内容的基础，因此在教材的处理上，不能盲目忽略这一节，结合小学中学习 的内容、生活中的实例来学习这一节。根据《数学课程标准》的要求，结合以上分析从而 确定教学目标。 二、教法分析： 新的课程标准指出，数学课程不仅要考虑到数学自身的特点，更应遵循学生学习数学 的心理规律，从学生已有的生活经验出发，通过自主探索与合作交流的形式，使学生乐于 投入到数学活动中去。为此我联系学生生活实际创设问题情境引入新课，使大多数学生在 问题情境中自然的进入新课，引起学生学习的兴趣；通过教师问题的设置，抓住学生已有 的知识点，在学生主动参与，教师引导下，使学生更好掌握新知识，培养学生的探索精神； 经过学生合作学习，共同探究新知识，培养学生与他人合作的意识。结合我校的“学——讲——练”教学模式学习圆的有关概念，最后利用新的知识解决问题。采用直观教具和多媒体 演示，使学生获得直观印象便于学生理解新知。 三、学情分析 学生在小学中学过圆的一些知识，对于圆已经有进步的了解，并会利用圆规画面，经历 了在操作活动中探索圆的性质的过程。初步了解圆所具有的一些性质，并会用自己的语言 加以简单描述，初步具有了有条理地思考与表达的能力，为本章的深入学习奠基了基础圆是一种基本的几何图形，圆形物体在生活中随处可见。学生通过观察体会现实生活中 圆形物体所具有的性质。获得了初步的数学活动体验。因此，圆这部分知识得以从小学到 初中的顺利过渡，并以积极的态度投入到初中数学的学习，具有了一定的主动参与、合作 意识和初步的观察、分析抽象概括的能力。通过一系列不同问题，采用自主学习与合作学

圆的基本概念和性质教学设计

圆的基本概念和性质教学设计 教学设计思想 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的基本概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验；第二课时在第一课时的基础上，掌握垂径定理及其逆定理；第三课时加深学生对弦、弧、圆心角之间关系的认识；第四课时的重点是圆周角，通过圆周角定理及其推理的推理论证，从而把圆周角、圆心角、弧和弦之间的关系展现出来，从而使学生全面了解和掌握圆的基本性质。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用电子白板教学帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 圆的基本概念和性质总目标： 1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系； 2、掌握垂径定理及推论的意义及应用，掌握圆心角与弧、弦关系定理意义及应用，掌握圆周角定理及推论的意义和应用； 3、探索圆周角与圆心角、弧、弦的关系，理解并会证明圆周角定理及其推论，理解圆内接四边形的对角互补。 第一课时教学目标 知识与技能： 1、经历圆的形成过程，理解圆的概念， 2、能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 3、认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 过程与方法： 1、经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2、通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 情感态度价值观： 经历探索圆及其有关结论的过程，发展学生的数学观察及思考能力以及问题的提出能力。 教学重难点 重点：（1）了解圆的概念的形成过程；（2）揭示与圆有关的本质属性。 难点：圆的概念的形成过程和圆的定义。 学情分析

圆的相关概念教案

新航标个性化一对一辅导教案 日期：2014 年11 月22-23日上课时段：14：30 ----------16:30 辅导科目：数学课次：第5、6次课时：（2）小时上课地点： 教学目标1.圆的相关概念 2.弦、弧等与圆有关的定义 3.垂径定理及其推论 4.圆的对称性 教学内容1.点和圆的位置关系 2.圆周角定理及其推论 3.直线与圆的位置关系 教学重难点1.点和圆的位置关系 2.直线与圆的位置关系 教学过程考点一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） （2）直径 经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD） 直径等于半径的2倍。 （3）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫 做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为：

对数的概念教案

对数的概念 教学目标： 1、理解对数的概念 （1）、理解对数的定义，了解对数式中各字母的取值范围及名称； （2）、理解指数与对数之间的互逆关系，能够进行对数式与指数式的互化； （3）、能够利用对数式与指数式的互化关系完成简单的运算。 2、通过对数概念的学习，使学生认识到指数与对数之间的互化关系，蕴含着数学中相互转化的思想，同时学生体会到类比学习方法在数学学习中的作用。 3、通过对数的学习，能利用相互联系的观点看问题，培养他们利用数学思想分析问题的意识。 教学重点： 1、对数概念的正确理解； # 2、对数式与指数式的相互转化。 教学难点： 1、对数式，指数式中各字母含义的区别理解； 2、应用指数与对数的相互转化求值。 教学过程： 一、问题情境： 若3+2=5，则3=5-2；

若3×2=6,则3=6÷2； 若23=8，则3=。 思考：能否用2和8的来表示3 [ 二、学生活动： 活动1：引导学生观察在上面的几个式子中，都是求3，第一个3根据的加法逆运算用减法求出，第二个3用乘法的逆运算除法求出，那么第三个3能不能用指数式的逆运算求出来呢指数式的逆运算又 是什么呢显然我们以前没有学过，所以今天我们学习一种新的数学运算——对数运算来解决这个问题。 三、构建数学： 1、对数的定义：一般地，如果a(a＞0,a≠1)的b的次幂等于N，即a b=N,那么就称b是以a为底的对数，记作, =其中a叫做对 N log b a 数的底数，N叫做真数。 注意：（1）a＞0,a≠1, （2）a b=N?, = N log b a (3)注意对数的书写格式。 活动2：讨论并写出a,b,N在指数式和对数式中各自的名称两种运算的关系就如同加减法和乘除运算一样，当数字的位置变发生了变化，其含义和名称也随之改变。

圆的基本元素教案

第23章《圆》 第1课时 圆的基本元素 初三（ ）班 学号： 姓名： 年 月 日 学习目标：了解圆及弦、弧、圆心角的概念，了解弧、弦、圆心角的关系。 学习过程： 一、温故而知新 1.确定一个圆的两个条件是 和 ， 决定圆的位置， 决定圆的大小。 2. 图2 3.1.2中的圆心角是 。 二、新课学习 在图23.1.2中，线段OA 、OB 、OC 都是圆的半径， 线段AC 为直径.这个以点O 为圆心的圆叫作“圆O ”， 记为“⊙O ”. 线段AB 、BC 、AC 都是圆O 中的弦， 弦 AC 经过圆心O ，则弦AC 叫做直径弦。 弦AB 、BC 不经过圆心O ，则弦AB 、BC 叫做非直径弦。 曲线BC 、BAC 都是圆O 中的弧，分别记为BC ︵ 、BAC ︵，其中像弧BC 这样小于 半圆周的圆弧叫做劣弧,像弧BAC 这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧. 两条能够完 全重合的弧叫做等弧。 ∠AOB 、∠BOC 等就是我们知道的圆心角. 能够重合（或半径相等）的两个圆是等圆。 如图线段 AB 是⊙O 中任意一条弦，过点O 作线段 AB 的垂线段O C ，则O C 叫做弦心距（即圆心到弦的距离）， 并且弦心距O C 平分弦AB ，即AC=BC=AB 21 . 例1. 如图23.1.10，写出符合条件 弦： 圆心角： 劣弧： 优弧： C B A O

例2 如图在⊙O 中，弦AB 的长为8 cm,圆心O 到AB 的距离为3 cm,求⊙O 的半径。 解：过点O 作 OC AB ⊥,垂足为C 则OC 就是圆心O 到AB 的距离，即OC= cm Θ OC 平分弦AB, ∴AC=21 = cm 在 Rt AOC ?中，OA 2= + ∴ OA= 中考链接 小明家新买来一张饭桌，但没有注明尺寸，姐姐说是直径1米；哥哥说是直径1.2米的……大家众说不一，请你设计一个方案，帮助小明动手实际测量一下，给大家一个答案。 分析：这道题主要是测量圆的直径。 解：拿来米尺，把一端放在桌子的边缘上，米尺的另一端沿着桌子的边缘移动，当米尺的两端距离 时，这个距离就是桌子的 。 点评：这道题主要利用“ 是圆中最长的弦”这一结论。 分层练习（A 组） 1. 判断题 （1）能够重合的两个圆是等圆。 （ ） （2）直径相等的两个圆是等圆。 （ ） （3）半圆周是弧，弧不一定是半圆周。 （ ） （4）长度相等的两条弧叫做等弧。 （ ） （5）连接圆心和圆上任意一点的线段是弦。 （ ） （6）直径是圆中最长的弦，圆中最长的弦是直径。（ ） （7）在同圆中，优弧一定比劣弧长。 （ ） 2.如图，点A,O,D 以及B,O,C 分别在一条直线上， 则圆中弦的条数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 O E D C B A

圆的基本性质-教学设计

圆的基本性质教学设计 教材分析 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验。第二课时加深学生对弦、弧之间关系的认识，掌握垂径定理及其逆定理。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用现代多媒体帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 知识与技能： 1．能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 2．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵活运用垂径定理及逆定理进行有关计算和证明。 过程与方法： 1．经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 3．利用圆的对称性通过折叠来发现垂径定理，充分体验探索的过程。 情感态度价值观： 体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 教学重难点 重点：（1）揭示与圆有关的本质属性；（2）垂径定理探索及其应用。 难点：垂径定理探索及其应用。 教学方法 启发式教学 教学过程设计 第一课时 一、观察与思考 观察汽车和皮带转动轮的视频或图片 提问：车轮是什么形状的？ 生：圆形（问题简单，一起回答） 教师又问：“为什么车轮要做成圆形呢？难道不可以做成别的形状，比方说三角、四边形等？” 生：“不能！”“它们无法滚动！”

集合的概念教学设计

集合的概念及相关运算教学设计 一、教材分析 1.知识来源：集合的概念选自湖南教育出版社必修一中第一章集合与函数概念的第一小节； 2.知识背景：作为现代数学基础的的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言．高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究。通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力。 3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的。 二、学情分析 1．学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授课方法就显得十分重要。 2．学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力。对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的

基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣。 三、教学目标 (一)知识与技能目标 1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，掌握集合的基本运算。能从集合间的运算分析出集合的基本关系，同时对于分类讨论问题，能区分取交还是取并． 2．学会在具体的问题中选择恰当的集合表示方法，理解集合有限和无限的特征，理清“元素和集合关系”和“集合与集合关系”符号的区别，不混淆。 3.学会正确使用集合补集思想，即为“正难则反”的思想。 (二)过程与方法目标 1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化． 2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合的本质． 3.学生通过集合概念的学习，应掌握分类讨论思想、化简思想以及补集思想等。 (三)情感态度与价值观目标 1.在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力。 2.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的

沪教版九年级数学下册24.2 第1课时 与圆有关的概念及点与圆的位置关系(优秀教学设计)

24.2 圆的基本性质 第1课时 与圆有关的概念及点与圆的位置关系 1．认识圆及圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系(重点)； 2．理解并掌握点与圆的位置关系，并能够进行简单的证明和计算(重点，难点)． 一、情境导入 在我们日常生活中常常可以看到有许多圆形物体，例如茶碗的碗口、锅盖、太阳、车轮、射击用的靶子等都是圆的，怎样画出一个圆呢？木工师傅是用一根黑线来画圆的，给你一根细绳、一个图钉和一支铅笔，你能画出一个圆吗？ 二、合作探究 探究点一：与圆相关的概念 【类型一】 圆的有关概念的理解 有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，所以①③⑤的说法是错误的．故选C. 方法总结：对称轴是直线，不能说成每条直径就是圆的对称轴；注意圆的对称轴有无数条． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 利用圆的相关概念进行线段的证明 如图所示，OA 、OB 是⊙O 的半径，点C 、D 分别为OA 、OB 的中点，求证：AD ＝BC . 解析：先挖掘隐含的“同圆的半径相等”“公共角”两个条件，再探求证明△AOD ≌△BOC 的第三个条件，从而可证出△AOD ≌△BOC ，根据全等三角形对应边相等得出结论． 证明：∵OA 、OB 是⊙O 的半径，∴OA ＝OB .∵点C 、D 分别为OA 、OB 的中点，∴OC ＝12OA ，OD ＝12 OB ，∴OC ＝OD .又∵∠O ＝∠O ，∴△AOD ≌△BOC (SAS)，∴BC ＝AD .

九年级圆的教学设计

24.1《圆》教学设计 一、教学目标 知识技能: 1．了解圆和圆的相关概念,知道圆实轴对称图形,理解并掌握垂直于弦的直径有哪些性质. 2．了解弧、弦、圆心角、圆周角的定义，明确它们之间的联系. 数学思考: 1．在引入圆的定义过程中，明确与圆相关的定义，体会数学概念间的联系. 2．在探究弧、弦、圆心角、圆周角之间的联系的过程中，培养学生的观察、总结及概括能力. 问题解决: 1．在明确垂直于弦的直径的性质后，能根据这个性质解决一些简单的实际问题. 2．能根据弧、弦、圆心角、圆周角的相关性质解决一些简单的实际问题. 情感态度：在引入圆的定义及运用相关性质解决实际问题的过程中，感悟数学源于生活又服务于生活.在探索过程中，形成实事求是的态度和勇于创新的精神. 二、重难点分析 教学重点：垂径定理及其推论；圆周角定理及其推论． 垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据；圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等等问题提供了十分简便的方法．所以垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论是本小节的重点． 对于垂径定理，可以结合圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性，引导学生去发现“思考”栏目图中相等的线段和弧，再利用叠合法推证出垂径定理．对于垂径定理的推论，可以按条件画出图形，让学生观察、思考，得出结论．要注意让学生区分它们的题设和结论，强调“弦不是直径”的条件． 圆周角定理的证明，分三种情况进行讨论．第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．这种由特殊到一般的思想方法，应当让学生掌握． 教学难点：垂径定理及其推论；圆周角定理的证明． 垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，圆周角定理的证明要用到完全归纳法，学生对于分类证明的必要性不易理解，所以这两部分内容是本节的难点．圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识. 三、学习者学习特征分析 圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识. 四、教学过程 （一）创设情境，引入新课 圆是一种和谐、美丽的图形，圆形物体在生活中随处可见.在小学我们已经认识了圆这种基本的几何图形，并能计算圆的周长和面积. 早在战国时期，《墨经》一书中就有关于“圆”的记载，原文为“圆，一中同长也”.

教学设计概念、定义及理论基础

教学设计概念、定义及理论基础 教学设计概念、定义及理论基础教学设计概念、定义及理论基础 一、的概念和定义 1.教学设计的定义 国内学者的界定： “教学设计是以获得优化的教学效果为目的，以学习理论、教学理论和传播理论为理论基础，运用系统方法分析教学问题、确定教学目标、建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和修改方案的过程。” “所谓教学设计，就是为了达到一定的教学目的，对教什么(课程、内容等)和怎么教(组织、方法、传媒的使用等)进行设计。” 归纳以上的观点，对教学设计的一般定义描述为：以学习论、教学论、教育传播学、信息技术等作为指导思想的理论依据，采用系统方法，分析学习需要、确定学习目标和任务体系，整合教学策略和制定解决方案，开展评价活动和试行解决方案、并在评价基础上改进工作和方案的有序过程。教学设计的目的是实现教与学的最优化。 2. 教学设计的特点 1.系统教学设计以系统理论与方法作为其方法论基础 系统教学设计的最根本特征是追求教学系统的整体优化。系统

理论把事物看成是由相互关联的部分所组成的具有特定功能的整体。它要求人们着眼于整体，从整体与部分、整体与环境之间的相互联系、相互制约中选择解决问题的优化方案。例如相对于一堂课来说，不仅要考虑这堂课中的各个要素，把它本身作为整体来看待，同时，还要考虑这堂课与本单元教学甚至本课程教学的关系。所以，教学系统作为一种“人为系统”，其本身是分层次的，而且由于参照点不同，系统的构成也是灵活多变的。当我们把课堂教学作为一个系统来对待时，系统教学设计主要是从“输入(建立目标)—过程(导向目标)—输出(评价目标)”这一视角来看待其整体优化问题的。系统教学设计有利于保证真正从行动上落实教学系统的整体观念，克服以往的局部改革对旧教学机制触动不大的缺陷。 2.系统教学设计更加完整合理地看待学习与教学之间的关系 系统教学设计致力于设计、开发、利用及评价恰当的学习环境、学习资源和学习经验，因而，“为学习设计教学”这一当代杰出教学设计理论家罗伯特·M·加涅提出的，正是人们长期以来对学与教关系加深认识的总结。系统教学设计把“学习”看成是学习者认知结构或业绩行为发生的持久变化，这一变化既体现为过程又反映在结果上。“学习过程”遵循着一系列复杂的身心内部加工，诸如产生警觉、知觉选择、复诵强化、编码组织、提取回忆、执行监控、建立期望等；“学习结果”则是身心状态的积极转变，例如认知完善、情感陶冶、态度转变、动作精致、交往和谐等；两者共同构成了学习的内部条件。教学不仅仅体现为教师教与学生学的共同活动(劳动)性质，更重要的

多元函数微分学总结

多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念

①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。

新北师大版九年级数学(下册)圆的教学设计说明

课时教学设计首页

教师行为学生行为课堂变化及处理 主要环节的效果 一、创设问题情境，激发学生兴趣. 1、如图3-1一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈 目标都是图中的花瓶。如果他们呈“一”字型排开，这样的队形对每个人都公平吗？你认为他们应当什么样的队形才公平？ 2、请你说一说为什么上述游戏中排成圆形（或圆弧形）队形比较公平? 二、问题引申，探究圆的定义. 1、观察下列画圆的过程， 你能根据自己的理解试着 给圆下个定义吗？ 2、你能在图中找到圆心，半径，并会表示这个圆吗？学生积极思考把自己带入游戏的 快乐中，并举手回答： 如果单纯考虑队形因素，即只考虑 “距离”对投圈结果的影响，那么 排成圆形（或圆弧形）队形比较公 平。 学生抢答： 因为圆上的点道圆心的距离相等 学生小组合作、分组讨论，通过动 画演示，发现圆可以看成是平面上 到定点的距离等于定长的所有点 组成的图形； 学生通过阅读课文独立回答 圆心：固定的端点叫作圆心； 半径：线段OA的长度叫作这个圆 的半径． 圆的表示方法：以点O为圆心的 圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 引导学生发现：每一 人到玩具的距离相 等时才公平.为抽象 出“平面上到定点的 距离等于定长的所 有点组成的图形叫 做圆”的概念做准 备. 通过游戏引出圆的 概念教学时要对学 生合理的想法给予 肯定并引导完善 A O

教师行为学生行为课堂变化及处理 主要环节的效果 4、请你说一说圆上各点、定点、定长有何关系呢？（1）圆心的距离都等于定长 （2）到定点的距离等于定长的点 5、那么确定一个圆要几个要素: 一是圆心，圆心确定其位置， 二是半径，半径确定其大小． 三、进一步探究圆的相关概念，培养学生的自学探究精神。 请同学们结合图3-2小组交流讨论解决以下问题．弦：直径： 弧、弧的表示方法： 半圆：等圆： 等弧：优弧：劣弧： 四、问题深入，探究点和圆的关系 1、在平面上任取一点， 这点可能在圆的什么地方? 2、如图3-3所示，⊙O是 一个半径为r的圆，圆上分别取一点，点到圆心的距离为d，你能用r与d的大小关系刻画它们的位置特征吗？小组讨论, 组互相交流协商、组 统一意见.各组派代表表述本组 讨论结果. 学生根据自己的理解口头作答， 最后由一名学生小结. 学生通过自己阅读课文，与同伴 交流完成圆的相关概念的认识。 学生抢答: 这点可能在圆外、在圆上、或在 圆。 学生口答并完成课文66页想一 想。 点P在圆外，?d＞r； 点P在圆上，?d＝r； 点P在圆，?d＜r. 学生发言踊跃，思维 得到了有效的激发， 多数学生能抓住到 定点的距离相等的 条件，只是表达还不 够准确、完善. 对还有疑虑的问题， 教师可以作引导性 讲解生回答教师引 导 通过此问题的探究， 使学生理解点与圆 的位置关系，并体会 定性分析与定量分 析的关系.